Tổng hợp đề thi HSG

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN

NGUYỄN VĂN XÁ




TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN


TẬP BA









MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI




























2009
20092009
2009




Nguyễn Văn Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

1

MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI


1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009
Bài 1 (6 ñiểm)

1/ So sánh hai số 2009
2010
và 2010
2009
.
2/ Tìm giới hạn
2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x
→
 
−
 
+ +
 

+ + + +
 
.
Bài 2 (4 ñiểm)

1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x
2009
+ y
2009
+ z
2009
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của
F = x
2
+ y
2
+ z
2
.
2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng
1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1

C C C 2007
n+
+ + + <
.
Bài 3 (4 ñiểm)
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180

o
và các cạnh bên
SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 .
Bài 4 (4 ñiểm)

1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng
2 2 2
1 2 2+ 3
+ - m + n + p
m n p
≤
.
2/ Giải hệ phương trình
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz

+ + + = +

+ + + = −



+ + + = +

.
Bài 5 (2 ñiểm)

1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ
giác ñó.
2/ Cho y = a
0
x + a
1
x
3
+ a
2
x
5
+ … + a
n
x
2n+1
+ … thoả mãn (1 – x
2
)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1).
Tìm các hệ số a
0
, a
1

, a
2
, …,

a
n
.


2.

KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007

Câu 1:
(4
ñ
i
ể
m)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z

y z x
z x y
+ = +


+ = +


+ = +

.
Trang

1
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

2
Câu 2:
(4
ñ
i
ể
m)

Cho dãy s
ố

{
}
n
x
tho
ả
mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x
x x x
+ +
=



− = +


. Tìm
lim
n
n

x
→+∞
.
Câu 3:
(4
ñ
i
ể
m)
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên
*
+
R
và tho
ả
mãn:
2 2
2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0 .
f

f x x f x x x
x
=



− = − ∀ >



Câu 4:
(4
ñ
i
ể
m)

Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng cho hình vuông ABCD c
ạ
nh a và
ñ
i
ể
m M thay
ñổ
i. Tìm giá tr

ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a m
ỗ
i t
ổ
ng
sau:
1)

T
2
= 2.MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
.
2)

T
1

= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5:
(4
ñ
i
ể
m)
Cho t
ậ
p h
ợ
p A =
{
0,1,2,…,2006
}
. M
ộ
t t
ậ
p con T c
ủ
a A
ñượ
c g
ọ
i là t
ậ
p con “ngoan ngoãn” n
ế
u v

ớ
i b
ấ
t
kì x, y
∈
T (có th
ể
x = y) thì | x – y |
∈
T.
1)

Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a A và khác A.
2)

Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” bé nh
ấ
t c
ủ

a A ch
ứ
a 2002 và 2005.


3. THI HSG BẮC NINH LỚP 12 NĂM HỌC 2007 – 2008
Câu 1:
Tìm a
ñể
t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

2
( )
2
a x
f x
a x
+
=
−
ch
ứ
a t

ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

2
1
( )
2 4 2
g x
x x a
=
+ + −
.
Câu 2:

Gi
ả
i h
ệ
PT
4 2 2 3
2 2
1
1
x x y x y
x y x xy


+ − =

− + = −

.
Câu 3:

Cho x
≥
1, y
≥
2, z
≥
3. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
1 2 3
( , , ) .
yz x zx y xy z

f x y z
xyz
− + − + −
=
Câu 4:

G
ọ
i V, S l
ầ
n l
ượ
t là th
ể
tích và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABCD. Ch
ứ
ng minh
3

2
288.
S
V
>
Câu 5:

Gi
ả
i PT nghi
ệ
m nguyên
2 2 2 2
8 2 .
x y x y xy
− − =
Câu 6:

Tìm hàm s
ố
kh
ả
vi f : (-1 ; 1)
→

ℝ
th
ỏ
a mãn
( ) ( ) ( ), , ( 1; 1).

1
x y
f x f y f x y
xy
+
+ = ∀ ∈ −
+

Trang

2
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

3


4. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002
Câu 1
Cho hàm s
ố
f(x) có
ñạ
o hàm trên

R
và th
ỏ
a mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x,
∀
x
∈
R
. Tính f

’(0) b
ằ
ng
ñị
nh
ngh
ĩ
a.
Câu 2

1.

Cho
△
ABC. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ

t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c cot cot cot tan tan tan .
2 2 2
A B C
P A B C
= + + + + +
2.

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 2
3 2
2000 0
500 0
x xy y
y x y x

− + =

− − =


.
Câu 3

1.

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo k s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2 1 2
(1 )ln 1 0.
2 2 1
k kx
x
kx k
+ −
− − =
− +

2.

Tìm nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình
3
2
1
1
1
1
2
1 1
ln(1 ) ln(1 ) 1 .
x x
x x x
x x
+
+
+ − + = −
Câu 4

Cho t
ứ
di

ệ
n ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm t
ứ
di
ệ
n và x, y,
z, t l
ầ
n l
ượ
t là kho
ả
ng cách t
ừ
G
ñế
n các m
ặ
t ph
ẳ
ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC).
a.

Tìm m
ố
i liên h

ệ
gi
ữ
a a, b, c
ñể
GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t).
b.

G
ọ
i , ,
α β γ
là góc gi
ữ
a các c
ặ
p
ñườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Gi
ả
s
ử

c < b < a . H

ỏ
i ba
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng
os , os , osa c b c c c
α β γ
có th
ể
d
ự
ng
ñượ
c m
ộ
t tam giác hay không ?


5. THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008
Bài 1
Tính g
ầ
n
ñ
úng giá tr
ị
l

ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a f(x) = 5x – 3 +
2
10 8x x− −
.
Bài 2

Tính g
ầ
n
ñ
úng (
ñế
n
ñộ
, phút, giây) nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình 3cos2x + 4cos3x = 1.

Bài 3
V
ớ
i m
ỗ
i n
∈
N
*
ñặ
t f(n) = (n
2
+ n + 1)
2
+ 1 và a
n
=
(1). (3) (2 1)
(2). (4) (2 )
f f n
f f f n
−
. Tính g
ầ
n
ñ
úng 2009a
2008
.
Bài 4

D
ự

ñ
oán lim(
sin
1)
n
n
n
+ .
Bài 5

Gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình
2
3 0
2
x
x
e sinx
− + − = .
Trang

3
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

4
Bài 6

M
ộ
t
ñấ
t n
ướ
c có 80 sân bay mà kho
ả
ng cách gi
ữ
a các c
ặ
p sân bay b
ấ
t kì
ñề

u khác nhau và không có ba
sân bay nào th
ẳ
ng hàng. Cùng m
ộ
t th
ờ
i
ñ
i
ể
m t
ừ
m
ỗ
i sân bay có m
ộ
t chi
ế
c máy bay c
ấ
t cánh và bay
ñế
n
sân bay nào g
ầ
n nh
ấ
t. Trên b
ấ

t kì sân bay nào c
ũ
ng không th
ể
có quá n máy bay bay
ñế
n. Tìm n.
Bài 7
Hình chóp t
ứ
giác
ñề
u có tâm m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p trùng v
ớ
i tâm m
ặ
t c
ầ
u n
ộ
i ti
ế

p. Tính g
ầ
n
ñ
úng góc
gi
ữ
a m
ặ
t bên và m
ặ
t
ñ
áy.
Bài 8

Gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) 6
( ) 30
( ) 12

xy x y
yz y z
zx z x
+ =


+ =


+ =

.
Bài 9

Trên b
ả
ng có 2008 s
ố

1 2 2008
, , ,
2008 2008 2008
. M
ỗ
i l
ầ
n xóa
ñ
i hai s
ố

a và b
ở
b
ả
ng
ñ
ó ng
ườ
i ta vi
ế
t vào
b
ả
ng s
ố
(a + b – 2ab). H
ỏ
i sau 2007 l
ầ
n xóa nh
ư
v
ậ
y s
ố
còn l
ạ
i trên b
ả
ng là s

ố
nào ?
Bài 10

Cho hai
ñườ
ng tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) c
ắ
t nhau. Bi
ế
t r
ằ
ng O
2
n
ằ
m trên (O
1
; R
1
) và di
ệ

n tích ph
ầ
n
chung c
ủ
a hai hình tròn này b
ằ
ng n
ử
a di
ệ
n tích c
ủ
a hình tròn (O
1
; R
1
). Tính g
ầ
n
ñ
úng t
ỉ
s
ố

1
2
R
R

.


6. CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008)
Bài 1
Tìm m
ñể
2 3 4 3 ,
x x x
mx x
+ + ≥ + ∀ ∈
R
.
Bài 2

Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho
ñườ
ng tròn (C) x
2
+ y
2
-2x – 4y – 20 = 0 và hai
ñ
i
ể
m A(

29
4
;2), B(- 9 ; - 6).
Tìm
ñ
i
ể
m M
∈
(C) sao cho 4MA + 5MB
ñạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 3

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên
2 2
24( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + +
.

Bài 4

Cho
△
ABC có góc
ˆ
A tù. D
ự
ng
△
ABD vuông cân t
ạ
i D và
△
ACE vuông cân t
ạ
i E sao cho C, D khác
phía so v
ớ
i AB còn B, E cùng phía so v
ớ
i AC. G
ọ
i I, K l
ầ
n l
ượ
t là các tâm
ñườ
ng tròn n

ộ
i ti
ế
p
△
ABD và
△
ACE. Tính t
ỉ
s
ố

IK
BC
và góc gi
ữ
a hai
ñườ
ng IK, BC.
Bài 5
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy ( )
n
x
cho b

ở
i
1
2
1
1
2
, *.
2 1
n
n
n
x
x
x n N
x
+

≠




= ∀ ∈

−



Trang

4
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang

5
Bài 6
Xác
ñị
nh hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên
R
+
và th
ỏ
a mãn f(x
24
) + f(x
10
) = 2007(x
24
+ x

10
),
∀
x
∈
R
.
Bài 7

Trên bàn có 2007 viên bi g
ồ
m 667 bi xanh, 669 bi
ñỏ
, 671 bi vàng. C
ứ
m
ỗ
i l
ầ
n l
ấ
y
ñ
i 2 viên bi khác
màu, ng
ườ
i ta l
ạ
i thêm vào 2 viên bi có màu còn l
ạ

i. H
ỏ
i có th
ể

ñế
n m
ộ
t lúc nào
ñ
ó trên bàn ch
ỉ
còn các bi
cùng màu hay không ?



7. THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 1999 – 2000
Bài 1 Cho parabol (P) y = x
2
– 3x + 3.
a – Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng

ñ
i qua A(1 ;
1
2
) và ti
ế
p xúc v
ớ
i (P).
b – M là
ñ
i
ể
m b
ấ
t kì thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng y =
1
2
. Ch
ứ
ng minh qua M luôn v
ẽ

ñượ

c hai ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (P) và
hai ti
ế
p tuy
ế
n
ấ
y vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 2
Cho ba s
ố
a, b, c th
ỏ
a mãn
2 2 2
2
1
a b c
ab bc ca

+ + =


+ + =

. Áp d
ụ
ng h
ệ
th
ứ
c VIET ch
ứ
ng minh a, b, c
∈
[-
4
3
;
4
3
].
Bài 3

a)

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình

2 2
4
128
x y x y
x y

+ + − =


+ =


.
b)

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 5 4
x x m
+ + − = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Bài 4
Cho hình ch
ữ
nh

ậ
t ABCD,
ñ
i
ể
m M b
ấ
t kì. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
. .
MA AD MB BC
=

. b.
. .
MA MC MB MD
=

.
Bài 5
Cho
△
ABC cân (AB = AC) v
ớ
i
ˆ

A = 2
α
, các
ñườ
ng cao AH, BI. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a> sin2
α
= 2sin
α
.cos
α
. b> 1 – cos2
α
= 2sin
2
α
. Suy ra 1 + cos2
α
= 2cos
2
α
.
Bài 1 (1
ñ
i
ể

m) Tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

a.
2
2 4
2 3
x x
y
x
− −
=
+
. b.
( )( )( )
x a x b x c
y
a b c
+ + +
=
+ −
(a, b, c là
ñộ
dài 3 c

ạ
nh 1 tam giác th
ườ
ng).
Bài 2
(3
ñ
i
ể
m)
a – V
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
2 3 1y x x= − +
.
b – Dùng
ñồ
th
ị
trên bi
ệ
n lu
ậ

n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
2 3 0x x m− + =
.
Bài 3
(2
ñ
i
ể
m) Tìm k
ñể
ph
ươ
ng trình
2 2
( 5 3) (3 1) 2 0k k x k x− + + − + =
có hai nghi
ệ
m x
1
, x
2

th
ỏ
a mãn
x
2
= 2x
1
.



8. THI ðỊNH KÌ LỚP CHỌN 10A LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000)
Trang

5
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang

6
Bài 4
(2
ñ
i
ể
m) Các c

ạ
nh AB và CD c
ủ
a t
ứ
giác ABCD kéo dài thì vuông góc v
ớ
i nhau. Hãy tính di
ệ
n tích
c
ủ
a t
ứ
giác này n
ế
u AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm.
Bài 5
(2
ñ
i
ể
m) Cho
△
ABC có góc
ˆ
A nh
ọ
n. V
ẽ

ra bên ngoài
△
ABC các tam giác vuông cân
ñỉ
nh A là
△
ABD,
△
ACE. G
ọ
i M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a BC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AM ⊥DE.


9. THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñợt 1)
Câu 1 Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a.

3
3
1 2 2 1
x x
+ = − . b.
2
2
1 1
3
x x x x
+ − = + − .

Câu 2
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
1.
2 2
4 4
3
17
x xy y
x y

+ + =


+ =

. 2.
12
20
15
xy
yz
zx
=


=


=

. 3.
2 2 2
2 3
2 0
2 3 4 0
x y x y
x y x

− + =

+ + − =

.

Câu 3
Tìm m
ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0 có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m x th
ỏ
a mãn 1 < x < 2.
Câu 4
Cho hình vuông ABCD có c
ạ
nh b
ằ
ng 1, hai
ñ
i
ể
m M, N di chuy

ể
n trên AD và CD nh
ư
ng luôn có

∠
MBN = 45
0
. Xác
ñị
nh v
ị
trí c
ủ
a M, N
ñể
di
ệ
n tích
△
MBN
ñạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ

nh
ấ
t.
Câu 5
Cho hai
ñườ
ng tròn (O) và (O’),
ñ
i
ể
m M n
ằ
m ngoài c
ả
hai
ñườ
ng tròn này. D
ự
ng
ñườ
ng th
ẳ
ng d
ñ
i
qua M và c
ắ
t c
ả
hai

ñườ
ng tròn (O), (O’) t
ạ
o ra hai dây cung b
ằ
ng nhau.


10. ðỀ THI HSG LỚP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001)
Bài 1 Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+ +

=
+ +
.
Bài 2
Ch
ứ
ng minh
0 0
4cos36 cot7 30' 1 2 3 4 5 6+ = + + + + + .
Bài 3
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Bài 4 Ch
ứ
ng minh v
ớ

i m
ọ
i
△
ABC ta có
2 2 2
1 1 1
12
sin sin sin
2 2 2
A B C
+ + ≥ .
Bài 5
Cho tam di
ệ
n vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz l
ấ
y l
ầ
n l
ượ
t các
ñ
i
ể
m A, B, C. G
ọ
i H là hình chi
ế
u c

ủ
a
O trên (ABC). G
ọ
i , ,
α β γ
l
ầ
n l
ượ
t là góc g
ữ
a OH v
ớ
i Ox, Oy, Oz. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
os os os
c c c
α β γ
+ + = 1.
Trang

6
Nguy
ễ
n V

ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

7


11. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001)
Bài 1 Cho hàm s
ố
y = x
3
– 6x
2
+ 3(m + 2)x – m – 6.
a/ Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b/ Xác
ñị
nh m
ñể

hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
và các giá tr
ị
c
ự
c tr
ị
cùng d
ấ
u.
Bài 2 Cho m > 1 và ba s
ố
a, b, c th
ỏ
a mãn 0
2 1
a b c
m m m
+ + =
+ +
. Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình

2
0
ax bx c
+ + = có nghi
ệ
m (0;1).
x
∈
Bài 3
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
5
2 0
x x
− − = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
0
x
trên
ñ
o
ạ
n [1 ;2] và
0

9
8x >
.
Bài 4

a/ Cho F(-3 ;0) và (
△
) 3x + 25 = 0. Tìm qu
ỹ
tích
ñ
i
ể
m M trong m
ặ
t ph
ẳ
ng sao cho 5FM = 3MK v
ớ
i K là
hình chi
ế
u c
ủ
a M trên (
△
).
b/ Tìm qu
ỹ
tích tâm c

ủ
a
ñườ
ng tròn (C
α
) x
2
+ y
2
– 2xcos
α
+ 4ysin
α
+ 3sin
2
α
- sin
α
+ 1 = 0 (
α
∈
R
).


12. THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001)
Bài 1 (4
ñ
i
ể

m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1.

(2
ñ
i
ể
m) sinx(cos2x + cos6x) + cos
2
x = 2.
2.

(2
ñ
i
ể
m)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 20 4 5 15 3 4 12 3
x x x x x x x x x
− + + − + = + +
.
Bài 2
(4

ñ
i
ể
m) Cho dãy (u
n
) th
ỏ
a mãn u
1
= - 2,
1
,
1
n
n
n
u
u n
u
+
= ∈
−
N
*.
1.

Ch
ứ
ng minh u
n

< 0,
∀
n
∈
N
*.
2.

V
ớ
i m
ỗ
i n
∈
N
*
ñặ
t v
n
=
1
n
n
u
u
+
. Ch
ứ
ng minh (v
n

) là m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng và suy ra bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a v
n
và u
n
.
Bài 3
(4
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ

27 4

1 1 5
4 27 6
1
log log
6
27 4 1
x x
y
x
y x

+ =



− ≥


− ≤



.
Bài 4
(4
ñ
i
ể
m) Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng n
ế
u ba s
ố
nguyên t
ố
t
ạ
o thành m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng có công sai không chia
h
ế
t cho 6 thì s
ố
bé nh
ấ
t trong chúng là 3.
Bài 5 (4
ñ
i
ể

m) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, th
ể
tích b
ằ
ng 1cm
3
. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng SA, SB, SC
ñ
ôi m
ộ
t vuông góc.
Trang

7
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

8


13. THI CHỌN LỚP 12A THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002
Câu 1 Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a/.
1 sinx 1 sinx 2cos
x
− + + = . b/.
3
2
log (1 ) log
x x
+ =
.
Câu 2 Cho hàm s
ố

4
( )
2 4
x
x
f x =
+
. Tính
2000
1

( )
2001
i
i
A f
=
=
∑
.
Câu 3
Gi
ả
i bi
ệ
n lu
ậ
n ph
ươ
ng trình
sinx 1 sinx
4 2 m
+
+ = (m là tham s
ố
).
Câu 4
Cho hình chóp
ñề
u S.ABC có trung
ñ

o
ạ
n b
ằ
ng a và l
ậ
p v
ớ
i
ñ
áy m
ộ
t góc m
ộ
t góc
α
.
a – Tìm tâm và bán kính m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p hình chóp S.ABC.
b – Tìm kho
ả
ng cách t
ừ

A t
ớ
i (SBC).


14. THI HSG 11 BC NINH (2004 – 2005)
Bài 1
(2,5 đim) Tính giá tr ca: cos5
0
- cos31
0
- cos41
0
+ cos67
0
+ cos77
0
.
Bài 2
(2,0 đim) Cho dãy s {a
n
} tha a
1
= 1, a
n+1
=
n
n
a
a

1
2
 vi n =1, 2, 3, …
Chng minh biu thc
2
2
2

n
a
là s nguyên, vi mi giá tr nguyên n > 1.
Bài 3
(2,5 đim) Cho t din ABCD, đng vuông góc chung ca AC và BD đi qua trung đim BD và
S
ABD
= S
BCD
=
2
1
S
ABC
. Gi s tn ti đim O trong t din sao cho tng khong cách t O đn B và D
bng tng khong cách t O đn bn mt t din. Chng minh:
1) ng vuông góc chung ca AC và BD đi qua trung đim AC.
2) AC  BD.
Bài 4
(2,0 đim) Gi r, R là bán kính đng tròn ni tip, ngoi tip tam giác ABC, và r
1
là bán kính

đng tròn ni tip tam giác có các đnh là tip đim ca đng tròn ni tip tam giác ABC. Chng minh
rng r 
1
Rr .
Bài 5
(1, 0 đim) Gii phng trình x
3
- 3x = 2x .


15. THI HSG 11 THPT YÊN PHONG 2 - BC NINH (2008 – 2009)
Bài 1:
Tìm giá tr nh nht ca biu thc A = 2 11 2 4 5y x y    , vi x, y là các s thc tho mãn
x
2
+ y
2
– 2x – 6y + 6 = 0.
Trang

8
Nguyn Vn Xá
 thi HSG môn Toán
Trang 9
Bài 2:
Cho các s thc a, b, c ≥ 1, a
2
+ b
2
+ c

2
= 4. Tìm phn nguyên ca B =
1 1 1
2
 
  
a b c
a b c
.
Bài 3:
Tính giá tr ca biu thc C =
2006 1 2004 3 2 2005 2007
2008 2008 2008 2008
2009 . 2009 . 2009 .C C C C   
.
Bài 4:
Gii phng trình lng giác vi x(0, 2

):
3 sin 3
5( ) 3 2
1 2 sin 2
cos x x
sinx cos x
x

  

.
Bài 5:

Gii phng trình nghim nguyên: x
2
– 4y
2
= 17.
Bài 6:
Gii h phng trình
2 3 2
2 3 2
2 3 2
10
10
10
x y y y
y z z z
z x x x

   

   


   

.
Bài 7:
Gi s ba đim G, H, O ln lt là trng tâm, trc tâm, tâm đng tròn ngoi tip ca mt tam giác
nào đó. Chng minh rng:
2.GO


=

HG
.
Bài 8:
Chng minh rng vi mi ABC nhn ta luôn có tanA.tanB.tanC > 1.
Bài 9:
Tìm tt c các hàm s f:    tho mãn f(x
3
– y) + 2y.(3f
2
(x) + y
2
) = f(y + f(x)), x, y.
Bài 10:
Cho các hng s thc a, b, c vi a ≠ 0. Chng minh rng đng thng (d) x =
2
 b
a
là trc đi
xng ca parabol (P) y = ax
2
+ bx + c.


16. THI HSG 10 THPT YÊN PHONG 2 - BC NINH (2008 – 2009)
Câu 1
(3 đim) Cho hàm s y = - x
2
-2x + 3.

a, V đ th hàm s.
b, Bin lun theo m s nghim ca phng trình - x
2
-2|x| + m = 0.
c, Tìm a đ phng trình - x
2
-2|x| + 3 – a = 0 có nghim thuc đon [-1; 1].
Câu 2
(3 đim)
a. Chng minh rng
2 2
1 1 2
,
1 1 1a b ab
 
  
vi ab > 1.
b. Cho a, b, c, d > 0 và
a b c d
S
d a b a b c b c d c d a
   
       
. Chng minh 1 < S < 2.
c. Chng minh
300 200
200 300 .
Câu 3
(3 đim) Cho ABC cân đnh A. Gi M là trung đim ca AB, G là trng tâm ACM, I là tâm
đng tròn ngoi tip ABC. Chng minh GI  CM.

Câu 4
(1 đim) Chng minh
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )a b a b a a b b       .


17. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH – NĂM HỌC 2008 – 2009
Câu 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn
1
f(x) = f( ),
x
∀
x > 0. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố

Trang 9
Nguyn Vn Xá
 thi HSG môn Toán
Trang 10
π
f(tanx) khi 0 x <
2
g(x) =
π

f(0) khi x =
2

≤






liên t
ụ
c trên
ñ
o
ạ
n [0;
π
2
].
Câu 2
Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 hàm số y = x(x – a)
2
không phải là hàm ñồng biến.
Câu 3
Giải phương trình
a/
3 2 3 2 2
3 3
1 1 81

(sin ) ( s ) os 4 .
2 2 4
sin s
2 2
x x
co c x
x x
co
+ + + =
b/
sin
2 osx
x
c=
.
Câu 4 Cho f(x) = x
2
+ ax + b (a, b
∈

R
). Chứng minh ít nhất một trong ba số |f(0)|, |f(-1)|, |f(1)| lớn hơn
hoặc bằng
½
.
Câu 5
Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Hãy tính theo a:
1)

Góc tạo bởi A’B và B’C.

2)

Diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ñi qua A’B và trọng tâm G của tam giác ABC.
3)

Tỉ số thể tích hai phần của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bị phân chia bởi thiết diện nói trên.



18. THI HSG LỚP 11 (2001 – 2002)
Bài 1 Có tồn tại hay không 2001 số dương phân biệt sao cho tổng các nghịch ñảo bình phương của chúng
là một số chính phương có dạng n
2
+ n + 1 (n
∈N
*) ? Tại sao?
Bài 2

1.

Cho n số dương a
1
, a
2
, …, a
n
(n
∈N
*) thỏa mãn a
1

a
2
…a
n
≤ 2n – 1. Chứng minh rằng
1
1
1
1
n
k
n
k
k
a
a
=
+
≥
+
∑
.
2.

Chứng minh
2
1
( 1) 3
n
k

k
k x
=
+ − ≥
∑
,
∀
n
∈N
*,
∀

∈R
.
Bài 3

1.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên
1 2 2 2 1
2 . 4 2 1 4 4 2 .4 4 4 12.4 4
x x x x x x x
x x x x
+ +
+ + + + + − + = + +
.

2.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác cos6x – cos4x = 4(1 + cos3x).
Bài 4
Cho
△
OAB có C là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AB, D là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a OC, AD c
ắ
t OB t
ạ
i E, g
ọ
i F là
ñ

i
ể
m
ñố
i
x
ứ
ng v
ớ
i E qua C, và G là
ñ
i
ể
m
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i D qua OB. Ch
ứ
ng minh OF + 4.OG cùng ph
ươ
ng v
ớ
i OB.


19. THI HSG LỚP 11
Bài 1 Ch
ứ
ng minh hàm y = f(x) = x liên t
ụ
c và có
ñạ
o hàm t
ạ
i x = 0, hàm y = g(x) = |x| liên t
ụ
c nh
ư
ng
không có
ñạ
o hàm t
ạ
i x = 0. Hàm y = f(x).g(x) = x|x| có liên t
ụ
c t
ạ
i x = 0 hay không, có
ñạ
o hàm t
ạ
i x = 0
hay không?
Trang 10
Nguy

ễ
n V
ă
n Xá



ðề thi HSG môn Toán
Trang

11

Bài 3 Cho hàm s
ố
liên t
ụ
c f : [0; 1]
→
[0; 1], có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng (0; 1) và f(0) = 0, f(1) = 1.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình f(x) = 1 – x có nghi

ệ
m trên kho
ả
ng (0; 1).
b. Ph
ươ
ng trình f

’(x). f

’(a) = 1 (h
ằ
ng s
ố
0 < a < 1) có nghi
ệ
m trên kho
ả
ng (0; 1) hay không?
Bài 4
Cho Ax và By chéo nhau, C
∈
Ax, D
∈
By,
a b
k
AC BD
+ = (a, b, k là h
ằ

ng s
ố
d
ươ
ng cho tr
ướ
c).
a.

Ch
ứ
ng minh CD luôn c
ắ
t m
ộ
t
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng c
ố

ñị
nh.
b.Xác
ñị
nh C, D sao cho ABCD có th
ể

tích nh
ỏ
nh
ấ
t.


20. THI HSG LỚP 11
Bài 1 Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
a)

A =
0 0
3 1
os10 sin10c
− .
b)

B = tan112
0
30’.
c)

C =

2 4 6
cos cos cos
7 7 7
π π π
+ + .
Bài 2
1.Gi
ả
i bi
ệ
n lu
ậ
n theo tham s
ố
m ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác m.cos3x + sinx.sin2x – cosx = 0.
2.Ch
ứ
ng minh v
ớ
i m
ọ
i
△
ABC ta có
(1)
2 2 2

3
cos os os
4
A c B c C+ + ≥ .
(2)
AsinA+BsinB+CsinC
3 sinA+sinB+sinC 2
π π
≤ < .
Bài 3

1)

Cho c
ấ
p s
ố
nhân u
1
, u
2
, … , u
n
có các s
ố
h
ạ
ng d
ươ
ng và th

ỏ
a mãn
1
n
k
k
u
=
∑
= a,
1
1
n
k
k
u
=
∑
= b (a, b > 0).
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
n
n
k
n
k

a
u
b
=
=
∏
.
2)

Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
2
4
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ + −
.
Bài 4
Cho hình chóp S.ABCD có
ñ
áy ABCD là hình vuông c
ạ

nh a, SA = a, SA
⊥
(ABCD).
a)

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
ñườ
ng th
ẳ
ng SC và BD.
b)

M
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
ñ
i qua A, vuông góc v
ớ
i SC, c
ắ
t SB, SC, SD l
ầ

n l
ượ
t t
ạ
i P, Q, R. Tính di
ệ
n tích t
ứ
giác
APQR theo a.
Bài 2

1.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
7 3
log log (2 )
x x
= +
.
2.

Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình
1 2
2 3
3 1
3 3. os( x )
3 3. os( x )
3 3. os( x )
x c
x c
x c
π
π
π

=


=


=


.



21. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10A (2009)

Bài 1
Cho x, y th
ỏ
a mãn x
2
+ y
2
-2x + 4y – 4 = 0. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
Trang

11
Nguy
ễ

n V
ă
n Xá



ðề thi HSG môn Toán
Trang

12


a.

A = |2x + y – 7|.
b.

B = 2x + y – 7.
c.

C = 4x
2
+ y
2
+ 4xy -28x – 14y + 49.

Bài 2
a.

Gi

ả
i ph
ươ
ng trình 4 2 9 5
x x x
− − − = − .
b.

Cho hai ph
ươ
ng trình x
2
+ bx + c = 0 (1) và x
2
– b
2
x + bc = 0 (2). Ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m th
ự
c
x
1
và x
2
, ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi

ệ
m th
ự
c x
3
và x
4
th
ỏ
a mãn x
3
- x
1
= x
4
- x
2
= 1. Xác
ñị
nh b và c.
c.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên 3
x

– y
3
= 1.

Bài 3
Cho b
ả
ng ô vuông kích th
ướ
c 2009
×
2010, trong m
ỗ
i ô lúc
ñầ
u
ñặ
t m
ộ
t viên s
ỏ
i. G
ọ
i T là thao tác l
ấ
y
2 ô b
ấ
t kì có s
ỏ

i và chuy
ể
n t
ừ
m
ỗ
i ô
ñ
ó 1 viên s
ỏ
i
ñư
a sang ô bên c
ạ
nh (là ô có chung c
ạ
nh v
ớ
i ô có ch
ứ
a
s
ỏ
i). H
ỏ
i sau h
ữ
u h
ạ
n b

ướ
c th
ự
c hi
ệ
n thao tác trên ta có th
ể

ñư
a h
ế
t s
ố
s
ỏ
i
ở
trên b
ả
ng v
ề
cùng m
ộ
t ô hay
không?

Bài 4
Trong m
ặ
t ph

ẳ
ng Oxy cho B( - m; 0), C(m; 0) c
ố

ñị
nh, m
≠
0. A là
ñ
i
ể
m thay
ñổ
i trên m
ặ
t ph
ẳ
ng th
ỏ
a
mãn tung
ñộ
c
ủ
a A g
ấ
p 3 l
ầ
n tung
ñộ

c
ủ
a tâm I
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p
∆
ABC. Tìm qu
ỹ
tích
ñ
i
ể
m I.


22. ðỀ THI HSG LỚP 11 – THPT NHƯ NGUYỆT (2009)
Vòng 1
Bài 1 Cho dãy s
ố
{u
n
} xác
ñị
nh nh
ư
sau:

u
0
= 1, u
1
= - 1, u
n + 2
= k.u
n + 1
- u
n
,
∀
n
∈

N
.
Tìm s
ố
h
ữ
u t
ỉ
k
ñể
dãy s
ố
trên là dãy tu
ầ
n hoàn.

Bài 2
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
1
x + a
0
= 0 có n nghi
ệ
m th
ự
c (n
∈

N
, n
≥
3, a

i
∈

R
,
i =
0,
n
, a
n

≠
0). Ch
ứ
ng minh
2
n 1 n n 2
(n 1)a 2na a
− −
− ≥ ,
∀
n
∈

N
, n
≥
3.
Bài 3
Tìm a, b

ñể
t
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

2
ax + b
x 1
y
=
+
là
ñ
o
ạ
n [- 1; 4].
Bài 4
Tính gi
ớ
i h
ạ
n:
a)
n
n

n
[(2+ 3) ]
lim
(2+ 3)
→+∞
(
ở

ñ
ó [x] là ph
ầ
n nguyên c
ủ
a s
ố
th
ự
c x, t
ứ
c là s
ố
nguyên l
ớ
n nh
ấ
t không v
ượ
t quá x).
b)
1 2

lim ( ( )( ) ( ) )
n
n
x
x a x a x a x
→+∞
+ + + − (v
ớ
i n
∈

N
*, a
i

∈

R
, i = 1,
n
).
Bài 5
Cho hàm s
ố
liên t
ụ
c f : [a; b]
→

và hai s
ố
th
ự
c ,
α β
d
ươ
ng. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ồ
n t
ạ
i x
0

∈
[a; b]
sao cho f(x
0
) =
f(a) f(b)
α β
α β
+
+
.

Bài 6
Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng n
ñể

3 2005 2007
14
2006 2006 1
n
n n n
+ +
+ + là s
ố
nguyên t
ố
.
R


23. ðỀ THI HSG LỚP 11 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009)
Vòng 2

Bài 1 Tính
m n
0
1 . 1 1
lim

x
ax bx
x
→
+ + −
( v
ớ
i
a, b

∈

R
; m, n
∈

N
*).
Bài 2 Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ

a bi
ể
u th
ứ
c T = a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc, v
ớ
i a, b, c là
ñộ
dài ba c
ạ
nh
m
ộ
t tam giác có chu vi b
ằ
ng 2.
Trang

12
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

13
Bài 3 Cho hai hàm s
ố
liên t
ụ
c f, g : [a; b]
→

R
th
ỏ
a mãn f(x) = g(x),
∀
x
∈




[a; b]. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

ta luôn có f(x) = g(x),
∀
x
∈
[a; b].
Bài 4
Tùy theo các tham s
ố
a, b, c d
ươ
ng, bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình a
x

+ b
x
= c
x
.

Bài 5
Cho dãy s
ố
{a
n
} th
ỏ
a mãn a
n+1

≤
a
n
– a
n
2
,
∀
n
∈

N
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng lima
n
= 0.
Bài 6

Trên n
ử
a
ñườ
ng tròn (O; R = 1) l
ấ
y 2n + 1
ñ
i
ể
m (n
∈

N
*) P
1
, P
2
, …, P
2n+1

ở
cùng phía
ñố
i v
ớ
i m
ộ
t
ñườ

ng kính nào
ñ
ó. Ch
ứ
ng minh
2 1
1
1
n
k
k
OP
+
=
≥
∑

.


24. ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009)
Vòng 1

Bài 1 Ng
ườ
i ta ch
ứ
ng minh
ñượ
c

ñị
nh lí sau, g
ọ
i là
ñị
nh lí Lagr
ă
ng: “N
ế
u hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên
ñ
o
ạ
n
[a; b], có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng (a; b) thì t
ồ
n t
ạ
i giá tr
ị
c
∈

(a; b) sao cho
( ) ( )
'( )
f a f b
f c
a b
−
=
−
”.
a)

Bây gi
ờ
ta xét hàm s
ố
f(x) =
2
1
x
−
+ 2 1
x
+ liên t
ụ
c trên
ñ
o
ạ
n [-

1
2
; 1] và có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng
(-
1
2
; 1). Hãy tìm giá tr
ị
c nh
ư
trong
ñị
nh lí trên nói t
ớ
i.
→
b)

Cho a > b > 0. V
ậ
n d
ụ
ng
ñị
nh lí trên ch
ứ

ng minh ln
a b a a b
a b b
− −
< < .
Bài 2
Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
y = x
3
– 3x. T
ừ

ñ
ó dùng
ñồ
th
ị
bi
ệ
n lu
ậ

n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình x
3
– 3x = m
3
– 3m.
Bài 3
a.

Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho
ñườ
ng tròn (C) (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4. Tìm qu
ỹ
tích các

ñ
i
ể
m M trong m
ặ
t
ph
ẳ
ng sao cho t
ừ
M k
ẻ

ñượ
c 2 ti
ế
p tuy
ế
n t
ớ
i (C) và 2 ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó vuông góc v
ớ
i nhau.
b.

G
ọ
i T là t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m trên
ñườ
ng tròn (C) và có các thành ph
ầ
n t
ọ
a
ñộ

ñề
u là s
ố
nguyên. Tìm
ñ
i
ể
m N trong m
ặ
t ph

ẳ
ng Oxy sao cho
2
A T
NA
∈
∑

ñạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.


25. ðỀ THI HSG LỚP 12 - THPT NHƯ NGUYỆT (2009)
Vòng 2

Bài 1 Cho hàm s
ố
f(x) xác
ñị
nh trên (a; b) và th
ỏ
a mãn
1 2 1 2
1 2

( ) ( )
( ), , ( ; ).
2 2
f x f x x x
f x x a b
+ +
≤ ∀ ∈
a – Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 2 3 1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ), , , ( ; ).
3 3
f x f x f x x x x
f x x x a b
+ + + +
≤ ∀ ∈
b – Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 2 1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ), , , , ( ; ), *.

n n
n
f x f x f x x x x
f x x x a b n
n n
+ + + + + +
≤ ∀ ∈ ∈

Bài 2
Cho hàm s
ố

2
1
x
y
x
−
=
+
(C).
a>

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th

ị
hàm s
ố
.
b>

Tìm hai
ñ
i
ể
m A, B thu
ộ
c 2 nhánh khác nhau c
ủ
a (C) sao cho
ñộ
dài AB nh
ỏ
nh
ấ
t.
N
Bài 3 V
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ

ng k, hãy ch
ứ
ng minh tích c
ủ
a k s
ố
nguyên liên ti
ế
p bao gi
ờ
c
ũ
ng chia h
ế
t
cho k!.
Trang

13
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá



ðề thi HSG môn Toán
Trang

14

Bài 4 Tìm t
ọ
a
ñộ
các
ñỉ
nh c
ủ
a hình vuông ABCD n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy, bi
ế
t A thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng
(d) x – y = 0, C thu
ộ
c
ñườ
ng th

ẳ
ng (d’) 2x + y – 1 = 0, và B, D thu
ộ
c tr
ụ
c Ox.


26. ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000)
(ðề này cần kiểm tra lại vì ñược ñánh máy theo một bản photocopy bị mờ, có thể có một số chi tiết không ñược chính xác) [XÁ]
Bài 1 (5
ñ
i
ể
m)
1)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
3 2
6 1 1 0
2
x
x x x
− − − + + =

không th
ể
có nghi
ệ
m âm.
2)

Tìm a sao cho v
ớ
i m
ọ
i x
≠
0 ta luôn có
2
2
1 1
( ) (1 3sin )( ) 3sin 0
x a x a
x x
+ + + + + >
.
Bài 2
(4
ñ
i
ể
m)
1)

Cho sáu s
ố
th
ự
c d
ươ
ng a, b, c, x, y, z th
ỏ
a mãn 4xyz – (a
2
x + b
2
y + c
2
z) = abc. Ch
ứ
ng minh t
ồ
n t
ạ
i các
s
ố

,
α β
th
ỏ
a mãn 0 ,0
2 2

π π
α β
< < < <
, sao cho a = 2
sinyz
α
, b = 2 sin
zx
β
, và c = 2
os( + )xyc
α β
.
2)

Cho tr
ướ
c ba s
ố
d
ươ
ng a, b, c. Tìm các s
ố
d
ươ
ng x, y, z theo a, b, c, bi
ế
t
2 2 2
x + y + z = a + b + c

4xyz (a x+b y+c z) = abc


−

.
Bài 3
(5
ñ
i
ể
m)
1)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng sinA + sinB + sinC
≤

3 3
2
.
2)

Cho
∆
ABC không vuông, tìm giá tr
ị

nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a P =
sin sin sin
log sin log sin log sin
sin sin sin sin sin sin
A B C
B C A
A B B C C A
+ +
+ + +
.
Bài 4
(6
ñ
i
ể
m) Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm t

ứ

di
ệ
n và x, y, z, t l
ầ
n l
ượ
t là kho
ả
ng cách t
ừ
G
ñế
n các m
ặ
t ph
ẳ
ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC).
a.

Tìm m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a a, b, c
ñể
GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t).

b.

G
ọ
i , ,
α β γ
là góc gi
ữ
a các c
ặ
p
ñườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Gi
ả
s
ử

c < b < a
. H
ỏ
i ba
ñ
o
ạ

n th
ẳ
ng
os , os , osa c b c c c
α β γ
có th
ể
d
ự
ng
ñượ
c m
ộ
t tam giác hay không ?


27. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2001 – 2002)
Ngày thi 26 -11-2001 (bu
ổ
i 2)
Bài 1 (2
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ

ng trình





=++
+=+=+
1
)
1
(5)
1
(4)
1
(3
zxyzxy
z
z
y
y
x
x
.
Bài 2
(2
ñ
i
ể
m) Cho

∆
ABC không có góc tù. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
E =
C
B
A
CBA
coscoscos
sinsinsin
++
++
.
Bài 3
(2
ñ
i
ể
m) Cho hàm s

ố
f :
N

→

N
và
ñồ
ng th
ờ
i th
ỏ
a mãn hai h
ệ
th
ứ
c
(1)

f(f(n)) = 4n + 9 v
ớ
i m
ọ
i n
∈

N
;
(2) f(2

n
) = 3 + 2
n + 1
v
ớ
i m
ọ
i n
∈

N
*
.

Tính f(1789).
Trang

14
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá



ðề thi HSG môn Toán
Trang

15

Bài 4 (2
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
ñ
i qua
ñườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i hai trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a hai c
ạ

nh
ñố
i
c
ủ
a m
ộ
t t
ứ
di
ệ
n chia t
ứ
di
ệ
n
ñ
ó thành hai ph
ầ
n có th
ể
tích b
ằ
ng nhau.
Bài 5
(2
ñ
i
ể
m) Cho n hình vuông b

ấ
t kì (n
∈N
*). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng có th
ể
c
ắ
t n hình vuông
ñ
ó thành
nh
ữ
ng
ñ
a giác mà v
ớ
i nh
ữ
ng
ñ
a giác này có th
ể
ghép l
ạ
i
ñượ

c m
ộ
t hình vuông m
ớ
i.

28. ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002)
Bài 1 (2
ñ
i
ể
m)
1/ Tìm gi
ớ
i h
ạ
n a.

3
sin3
lim
1 2cos
x
x
x
π
→
−
. b.
2

0
ln(cosx)
lim
x
x→
.
2/ Cho
3 3 2
os( n. n 3 1)
n
a c n n
π
= + + + ,
n∈
N
*. Tìm

lim
n
n
a
→ ∞
.
Bài 2 (1.5
ñ
i
ể
m) Tính các t
ổ
ng sau:

a)

S
n
= sinx + sin2x + … + sinnx.
b)

C
n
= cosx + 2cos2x + … + ncosnx.
Bài 3 (2
ñ
i
ể
m)
1)

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình )1(2)1(
2323
xxxx −=−+ .
2)

Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình
3 2
3 2
3 2
9 27 27
9 27 27
9 27 27
x z z
y x x
z y y

− + =

− + =


− + =

.
Bài 4 (1.5
ñ
i
ể
m) Cho dãy s
ố
vô h
ạ
n ph

ầ
n t
ử
{a
n
}. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
2 1
2 ,
n n n
a a a n
+ +
+ ≥ ∀ ∈
N
*, thì
1 3 2 1 2 4 2

,
1
n n
a a a a a a
n
n n
+
+ + + + + +

≥ ∀ ∈
+
N
*.
Bài 5 (3
ñ
i
ể
m)
1)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u m
ỗ
i c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác nào
ñ
ó
ñề
u nh

ỏ
h
ơ
n 1 thì di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác
ñ
ó
nh
ỏ
h
ơ
n
4
3
.
2)

Trong t
ứ
di
ệ
n ch
ỉ
có m
ộ
t c
ạ

nh có
ñộ
dài l
ớ
n h
ơ
n 1, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n
ấ
y không v
ượ
t
quá
1
8
. Hãy ch
ỉ
ra m
ộ
t t
ứ

di
ệ
n nh
ư
th
ế
.


29. ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2002 – 2003)
Ngày thi 16 -10 -2002 (bu
ổ
i 1)

Bài 1 (2
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − = .
Bài 2 (2
ñ
i
ể
m) Cho dãy {a

n
} g
ồ
m vô h
ạ
n s
ố
t
ự
nhiên th
ỏ
a mãn
1 1
1 1
2
n n
n
n n
a a
a
a a
− +
− +
=
+
,
n∈
N
*,
n

> 1. Ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng
1 2

n
a a a= = = .
Bài 3 (2
ñ
i
ể
m) Cho
∆
ABC. CMR
2
2 2 2
1 1 1 1 1
( )
sin sin sin
2sin sin sin 4sin sin sin
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B C
≤ + + ≤ .
Trang

15

Nguy
ễ
n V
ă
n Xá



ðề thi HSG môn Toán
Trang

16
Bài 4 (2
ñ
i
ể
m) T
ồ
n t
ạ
i hay không hàm s
ố
f :
R→R
th
ỏ
a mãn (f(x) – f(y))
2

≤

|x – y|
3
,
∀
x, y
∈


, và f
không ph
ả
i là h
ằ
ng s
ố
?
Bài 5 (2
ñ
i
ể
m) Cho hình chóp c
ụ
t ABC.A’B’C’. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các m
ặ
t (ABC’), (BCA’), (CAB’) c
ắ

t
nhau t
ạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m.
R

30. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2003)
Bài 1 (2
ñ
i
ể
m) Tìm các gi
ớ
i h
ạ
n sau: 1)

2
tanx
lim (sinx)
x
π
→
; 2)

1 1
lim (sin os )
x
x
x
c
x
→ ∞
+
.
Bài 2 (2.5
ñ
i
ể
m) Cho hàm s
ố
f(x) = x
3
– 3x – 1.
1. G
ọ
i
1 2 3
, ,
x x x
là hoành
ñộ
giao
ñ

i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
v
ớ
i tr
ụ
c hoành. Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3
4A x x x x x x x x x= + + + .
2. Xét s
ố
nghi
ệ

m c
ủ
a ph
ươ
ng trình f(f(x)) = 0.
Bài 3 (1.5
ñ
i
ể
m)
1.

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
2 2 ( )( 2)
2
y
x
y x xy
x y

− = − +

+ =


.
2.

Tìm s
ố
k l
ớ
n nh
ấ
t
ñể
v
ớ
i m
ọ
i
∆
ABC ta luôn có sin
2
A + sin
2
B > ksin
2
C.
Bài 4 (2.75
ñ
i
ể
m) Cho hình chóp SABC, SA

⊥
SB, chân
ñườ
ng cao h
ạ
t
ừ
S
ñế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) trùng
v
ớ
i tr
ự
c tâm
∆
ABC.
1.

G
ọ
i , ,
α β γ
l
ầ
n l

ượ
t là góc t
ạ
o b
ở
i các m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB), (SBC), (SCA) v
ớ
i
ñ
áy (ABC). Tính giá tr
ị

c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c os2 +cos2 +cos2T c
α β γ
= .
2.

G
ọ
i m là c

ạ
nh l
ớ
n nh
ấ
t trong các c
ạ
nh bên và r là bán kính hình c
ầ
u n
ộ
i ti
ế
p hình chóp SABC, tính t
ỉ

s
ố

m
r
.

Bài 5 (1.25
ñ
i
ể
m) Cho hàm s
ố
f(tanx) = sin2x, v

ớ
i m
ọ
i |x| <
2
π
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c P = f(sin
3
2x).f(cos
3
2x).



31. ðỀ THI HSG BẮC NINH (2004 - 2005)
Ngày thi 12 – 04 - 2005
Câu 1 (2
ñ
i
ể
m) Tìm gi
ớ
i h
ạ
n: 1) A =
a
1
sinx
lim ( )
sina
x
x a
→
−
; 2) B =
0
os( osx)
2
lim
sin(tanx)
x
c c

π
→
.
Câu 2
(2
ñ
i
ể
m)
1.

Tính
ñạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) = x
x

( x > 0), t
ừ

ñ
ó tìm nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố

ϕ

(x) = x
x
(1 + lnx).
2.

Tính tích phân J =
0
n -1
sin x.cos(n+1)x.dx
π
∫
, trong
ñ
ó n là s
ố
nguyên d
ươ
ng không nh
ỏ
h
ơ
n 2.
Trang

16
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

17
c
ủ
a (E) n
ằ
m trong góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ
nh
ấ
t, th
ứ
hai, th
ứ
ba, th
ứ
t
ư
t
ươ
ng

ứ
ng trên
ñồ
th
ị
. Hãy xác
ñị
nh giá tr
ị

T = R
1
- R
2
+ R
3
- R
4
.

32 . ðỀ THI HSG BẮC NINH (2005 - 2006)
Ngày thi 05 – 04 - 2006
Bài 1
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n 1)
sinx
lim

x+sinx
x
x
→∞
−
; 2)
2
9
0
( 2005) 1 5 2005
lim
x
x x
x
→
+ − −
.
Bài 2

1) Cho hàm s
ố
f(x) = x
3
– 3x – 1. Tính s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph

ươ
ng trình f(f(x)) = 0.
2) Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình |x|
3
– 3|x| – 2 = m(x – 2) có 4 nghi
ệ
m th
ự
c phân bi
ệ
t.
Bài 3 Cho hình chóp SABC có
ñ
áy ABCD là t
ứ
giác n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn
ñườ
ng kính AC, SA = 2BD,

60

o
BAD = , SA
⊥
(ABCD). K
ẻ
AH, AK l
ầ
n l
ượ
t vuông góc v
ớ
i SB, SD t
ạ
i H, K. Hãy tính góc gi
ữ
a hai
m
ặ
t ph
ẳ
ng (AHK) và (ABCD).
Bài 4
Cho các s
ố
không âm x, y, z th
ỏ
a mãn x + y + z = 1. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4xyz
≥

13
27
.
D
ấ
u
ñẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi nào?
Bài 5 Cho hàm s
ố
f xác
ñị
nh b
ở
i f(x) = f(x + 3).f(x – 3),
∀
x

∈


. Ch
ứ
ng minh f là hàm tu
ầ
n hoàn.

33 . ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA ( 2005 – 2006)
Ngày thi 20 -10 -2005
Câu 1
(4
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
4 2
2
2 2 0
1 0
x y xy y
x y x


− + + =

+ − − =

.
Câu 2
(4
ñ
i
ể
m) Cho
∆
ABC, tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a T =
2 2 2
tan 3(tan tan )
2 2 2
A B C
+ + .
Câu 3
(4
ñ
i

ể
m) Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f(x) xác
ñị
nh và có
ñạ
o hàm trên

, th
ỏ
a mãn
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy,
∀
x, y
∈


.
Câu 4
(4
ñ
i
ể
m) Cho t
ứ

giác ABCD n
ộ
i ti
ế
p
ñườ
ng tròn (O). Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (O) t
ạ
i A và C c
ắ
t nhau
ở
Q,
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (O) t
ạ
i B và D c
ắ
t nhau

ở
P. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng P
∈
AC
⇔
Q
∈
BD.
Câu 5
(4
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hai s
ố
2005
n

và (2005
n
+ 5
n

)
có s
ố
ch
ữ
s
ố
b
ằ
ng nhau v
ớ
i m
ọ
i n nguyên
d
ươ
ng.
∧
R
R
R



Câu 3 (2
ñ
i
ể
m) Cho
∆

ABC có
ñộ
dài 3 c
ạ
nh là a, b, c. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
b x c x a
c y a y b
a z b z c

− + − =


− + − =


− + − =


.
Câu 4 (2
ñ

i
ể
m) Cho
∆
ABC có
ñộ
dài 3 c
ạ
nh là a, b, c, bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p và n
ộ
i ti
ế
p là R, r,
chu vi là 2p.
1.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ab + bc + ca = p
2
+ r
2

+ 4Rr.
2.

Tính t
ổ
ng
1 1 1
a b c
+ + qua p, R, r.
3.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng p
2
+ r
2

≥
14Rr.
Câu 5
(2
ñ
i
ể
m) Cho elip (E)
2 2
( 19) ( 98)

1998
19 98
x y− −
+ = . G
ọ
i R
1
, R
2
, R
3
, R
4
l
ầ
n l
ượ
t là di
ệ
n tích các ph
ầ
n
Trang

17
UBND TỉNH BắC NINH
Sở giáo dục Và Đào tạo


đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh

Năm học: 2009-2010
môn thi: toán lớp 12 thpt
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 14 tháng 4 năm 2010

Câu 1 (3,0 điểm)
1/ Giải phơng trình:
sin x sin 2x sin3x
3
cosx cos2x cos3x
+
=
+

2/ Cho bất phơng trình:
2
5 5 5
log (5x) log x log (25x )
4 6 m.3
(với m là tham số).
a) Giải bất phơng trình đ cho, khi m = 2.
b) Xác định m để bất phơng trình đ cho có nghiệm x > 1.

Câu 2 (4,0 điểm)
Cho hàm số y =
2
2
x 3x 1
x 1
+

+

1/ Chứng minh rằng hàm số đ cho có duy nhất điểm cực trị, đó là điểm cực tiểu.
2/ Đồ thị hàm số đ cho cắt trục hoành Ox tại hai điểm phân biệt A và B. Tính
cosin của góc tạo bởi các tiếp tuyến tại A và tại B của đồ thị hàm số đ cho (với kết
quả đợc rút gọn).

Câu 3 (3,0 điểm)

1/ Tìm tất cả các số nguyên dơng n thoả mn:
n
0 1 n
n n n
1 1 ( 1) 1
C C C .
2 3 n 2 42

+ + =
+

2/ Giải hệ phơng trình:
1 2
2 3
3 4
4 1
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
6 3 cos(2 )
x x

x x
x x
x x





=

=


=


=


Câu 4 (6,5 điểm)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, với
AB = 1 và AA = a.
1/ Tính thể tích khối tứ diện BDBC. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng DC
và AC.
2/ Khi a thay đổi, hy tìm giá trị lớn nhất của góc tạo bởi đờng thẳng BD và mặt
phẳng (BDC).

Câu 5 (3,5 điểm)

1/ Chứng minh rằng với mọi
Rx
ta đều có: 3


2 2
sin x cos x
2
2 2 2
+
+
2/ Tìm
( )
2 2
lim cos cos sin sin
n
n n
x

+
+
với
(0; )
2



.
Hết
(Đề thi gồm 01 trang)

Họ và tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2:

Đ
ề chính thức


34


thi HSG mụn Toỏn
Trang

18
Nguy

n V

n Xỏ
Trang

18

35


ðề thi HSG môn Toán
Trang

19

Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
Trang

19
ð
Ề
CHÍNH THỨC
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao ñề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================

Câu 1:(5 ñiểm)
1/ Cho hàm số
3
y x 3x 2= − +
có ñồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng
hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các ñiểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các
ñiểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’
thẳng hàng.
2/ Cho hàm số
2n 1

y x 2011x 2012 (1)
+
= + +
, chứng minh rằng với mọi số nguyên
dương n ñồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại ñúng một ñiểm.
Câu 2:(5 ñiểm)
1/ Giải phương trình:
( )
2 4 6 3 5 7
log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈ℝ
.
2/ Giải phương trình:
( ) ( )
2
2
1 1
5x 6 x x
5x 7 x 1
− − = − ∈
− −
ℝ
.
Câu 3:(3 ñiểm)
Kí hiệu
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử
( )
0 k n; k,n≤ ≤ ∈ℤ

, tính tổng sau:
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010
S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + +
.
Câu 4:(5 ñiểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ñáy ABCD là hình bình hành,
( )
AD 4a a 0= >
, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng
a 6
. Tìm
cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối
chóp S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có


0 0
BAC 60 ,CAD 120= =
. Gọi E là chân ñường phân giác
trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 ñiểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2 2
x y+ ≤ π
. Chứng minh rằng:
( )
cosx cos y 1 cos xy+ ≤ +
.
…………………… HẾT……………………

(ðề thi gồm có 01 trang)

36
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
Trang

20


ðề thi HSG môn Toán
Trang

20