Tài liệu Tổng hợp đề thi HSG tán 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2002-2003.
Bài1:(4). Cho phương trình :
012)12(
2
=+−−
mxxm
.
a/ Đònh m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).
b/ Đònh m để phương trình có hai nghiệm
21
; xx
thõa
1
2
2
2
1
=−
xx
.
Bài 2: (5). Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây;
a/
381257
2
+−=−+−
xxxx
; b/






=++
=+++
7
8
22
22
xyyx
yxyx
; c/





=++
=++
11
11
yx
yx
Bài 3: (3). a/ Cho a > c, b > c , c > 0 . chứng minh :
abcbccac
≤−+−
)()(
.
b/ Cho
1,1
≥≥

yx
. Chứng minh
xyyx
+
≥
+
+
+
1
1
1
1
1
1
22
Bài 4: (3). Từ điểm a ở ngoài đường tròn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C là các tiếp điểm ) .
Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .Gọi E là giao điểm của DO và AC .Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn
(O)Tiếp tuyến này cắt AB ở K .Chứng minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường tròn .
Bài 5: (2). Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC . Có hai đường thẳng lưu động và vuông
góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt ở D và E . Xác đònh vò trí của D và E để diện tích tam giác DME
đạt giá trò nhỏ nhất .
Bài 6: (3). Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’)
đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D , đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân
giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN.
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH
Năm học 2002-2003.Thời gian : 150 phút
Bài 1: (2điểm). Cho biểu thức
x
x
x

xx
x
x
x
x
K
2003
)
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
−
+
=
.
a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác đònh .
b/ Rút gọn biểu thức K.

c/Với những giá trò nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trò nguyên .
Bài 2: (2điểm). Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm các giá trò của m để đường thẳng (D) :
a/ Đi qua điểm A( 1; 2003).
b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0;
c/ Tiếp xúc với parabol
.2
4
1
xy
−=
.
Bài 3: (3điểm). a/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và
chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m . Tính diện tích hình chữ nhật đó.
b/ chứng minh bất đẳng thức :
20032002
2002
2003
2003
2002
+>+
.
1
Bài 4: (3điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .Nửa đường tròn đường kính AB căùt BC tại D . Trên cung AD lấy một
điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
a/ Chứng minh CDEFlà một tứ giác nội tiếp .
b/ Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q .Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại
sao?
c/ Gọi
21
,, rrr

theo thứ tự là bán kính đường trònnoij tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng
2
2
2
1
2
rrr
+=
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 1 -TP HỒ CHÍ MINH
Năm học 2002-2003.
Bài 1: (3điểm). Giải phương trình :
.4241
222
+−=−+−
xxxx
Bài 2: (3điểm). Chứng minh đẳng thức
a
b
a
ba
b
a
b
ab
−
−
=
−
−
, với a,b trái dấu .

Bài 3: (3điểm). Rút gọn
3242)4321(23
3814
3
)3612(
+++−−−
−
−
.
Bài 4: (3điểm). Trong các HCN có diện tích là p , hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tìm diện tích đó.
Bài 5: (4điểm). Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) .Kẻ tiếp tuyến AM,AN ;đường thẳng chứa
đường kính song song với MN cắt AM, AN lầ lượt tại B ,C . Chứng minh :
a/ Tứ giác MNCB là hình thang cân .
b/
2
. RMBMA
=
.
c/K thuộc cung nhỏ MN .Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lựot tại P, Q .Chứng minh :
4
.
2
BC
CQBP
=
Bài 6: (4điểm). Cho đường tròn (O)và đường kính AB .Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O ). Gọi N là điểm di
động trên (d),kẻ tiếp tuyến NM ( M thuộc (O).
a/ Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
b/ Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –TỈNH HÀ TÂY

Năm học 2003-2004.
Bài 1: (2điểm). Cho biểu thức
)
1
2
1(:)
1
2
1
1
(
+
−
−−+
−
−
=
x
x
xxxx
x
x
P
.Với
1,0
≠≥
xx
.
1/ Rút gọn P ;
2/ Tìm x sao cho P< 0 ;

Bài 2: (1,5điểm). Cho phươngtrình :
02)12(
2
=−+−+
mxmmx
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thõa mãn :
2003
2
2
2
1
=+
xx
.
Bài 3: (2điểm ). Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc dòng nước )và một ca nô cùng rời bến A để xuôi
dòng sông .Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay về bến A ngay , cả đi lẫn về hết 21 giờ .Trên đường ca nô trở về
2
bến A , khi còn cách bến A 36 kmthì gặp bè nứa trôi nói ở trên .Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng
nước .
Bài 4: (3,5điểm ). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .C là trung điểm của đoạn thẳng AO , Đường
thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB , Cx cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kì nằm trên đoạn
thẳng CI (K khác I ; K khác C), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M .Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại
điểm M cắt Cx tại điểm N tia BM cắt Cx tại D.
1/ Chứng minh bốn điểm A,C,M,D cùng nằm trên một đường tròn .
2/ Chứng minh tam giác MNK cân .
3/Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
4/Chứng minh rằng khi K di động trên CI thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường
thẳng cố đònh .
Bài 5: (1 điểm ). Cho a,b,c là ba số bất kì đều khác không và thõa mãn :

03
≤++
abbcac
.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm :
.0))()((
222
=++++++
baxcxacxbxcbxax
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH
Năm học 2003-2004.
Bài 1 : (1,5 điểm). Cho phương trình :
.01
2
=−+
xx
Chứng minh trằng phương trình có hai nghiệm trái dấu . Gọi
1
x

là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trò của biểu thức :
.1310
11
8
1
xxxP
+++=
Bài 2( 2 điểm). Cho biểu thức :
.2)3(5 xxxxP
+−+−=

Tìm giá trò nhỏ nhất , lớn nhất của P khi
30
≤≤
x
.
Bài 3: ( 2 điểm ). a/Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho :
2007
222
=++
cba
.
b/ Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x,y, z sao cho :
.0753
222
=++++++
zyxzyx
Bài 4 :( 2,5điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .Vẽ đường cao AH .Gọi (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
AHC .Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A .Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy
hai điểm Dvà E sao cho BD = BE = BA . Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N .
a/ chứng minh rằng tứ giác BDNE nôò tiếp .
b/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau .
Bài 5 ( 2 điểm) . Có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng .Hai điểm bất kì được nối với nhau một đoạn
thẳng ,mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh đỏ hoặc vàng . Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh ,một đoạn
màu đỏ , một đoạn màu vàng ;không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có
tam giác nào tạo bỡi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu .
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm .
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất có bao nhiêu điểm thõa mãn đề bài .
ĐỀ THI VÀO 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA- T P HỒ CHÍ MINH
Năm học 2003-2004.
Bài 1: 1/ Chứng minh rằng : phương trình

0)(2)(
4433222
=−+−+−
baxbaxba
.luôn có nghiệm với mọi a, b.
3
2/ Giải hệ phương trình



=+++
=++
35)1()1(
5
33
yx
xyyx
Bài 2 : 1/ Với mỗi số nguyên dương n, đặt
{
;122;122
112112
++=+−=
++++
nn
n
nn
n
ba
Chứng minh rằng với mọi n ,
nn

ba .
chia hết cho 5 va ø
nn
ba .
+
không chia hết cho 5.
2/tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao tích của chúng
bằng tổng của chúng
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao
.,
11
ACKAABHA
⊥⊥
Đặt
.,
11
yCAxBA
==
1/ Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và AHK Hãy tính tỉ số
r
r'
theo x, y .tìm giá
trò lớn nhất của tỉ số đó.
2/Chứng minh rằng Tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn . Tính bán kính của đường tròn đó theo x,y.
Bài 4: 1/Cho đường tròn (C) tâm O và điểm A khác O nắm trong đường tròn một đường thẳng thay đổi qua A
nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N .Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm
cố đònh khác O .
2/ Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn . I là một điểm di động trên (D)
Đường tròn đường kính IO căÉt (C) tại M,N. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố đònh .
Bài 5: 1/ Cho một bảng vuông 4x 4 ô.Trên các ô của hình vuông này ,ban đầu người ta ghi 9số 1và 7 số 0 một

cách tùy ý (mỗi ô một số ) .Với mỗi phép biến đổi bảng cho phép chọn một hàng hay một cột bất kì và trên hàng
hay trên cột đã chọn ,đổi đồng thời các số 0 thành số1, các số 1 thành số 0 . Chứng minh rằng sau một số phép
biến đổi hữu hạn như vậy , ta thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn bộ số 0.
2/Ở vương quốc “sắc màu kỉ ảo “ Có 45 hiệp só : 13 hiệp só tóc đỏ , 15 hiệp só tóc vàng và, 17 hiệp só tóc
xanh . Khi hai hiệp só có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ : khi
hiệp só tóc đỏ gặp hiệp só tóc vàng Thì cả hai đổi sang tóc xanh ).Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn
lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “sắc màu kì ảo “ Tất cả các hiệp só có cùng mùa tóc được không?
ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG
Năm học 2003-2004.
Bài 1: Cho hai số dương a và b .Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng :
}.1;0,0,{
=+>>+=
yxyxbyaxT
Chứng minh các số :
abva
ba
ab
+
2
đều thuộc tập T .
Bài 2: Ch o tam giác ABC ,D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, AC .
Chứng minh đường phân giác trong của góc B , đường trung bình song song với AB của tam giác ABC và đường
thẳng DE đồng qui.
Bài 3; 1/ Giải hệ phương trình





=+−

=−+
85))((
45))((
22
22
yxyx
yxyx
4
2/ Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho các số :
a
c
c
b
b
a
1
,
1
,
1
+++
là các số nguyên dương .
Bài 4 : Tìm đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho :
2
)72(
)72(
=
+
+
g

f
.
Bài 5 Tìm số nguyên tố p để
14
2
+
p
và
16
2
+
p
là các số nguyên tố .
Bài 6 : Cho phương trình :
.0
2
=++
baxx
có hai nghiệm
21
xx
≠
. Đặt
21
21
xx
xx
u
nn
n

−
−
=
(n là số tự nhiên ). Tìm giá trò của a,b sao cho đẳng thức :
n
nnnn
uuuu )1(
321
−=−
+++
. Với mọi số tự
nhiên n từ đó suy ra
21
++
=+
nnn
uuu
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH NAM ĐỊNH
KHÓA THI: 2002-2003.
Bài 1: Rút gọn biểu thức :
5310
53
5310
53
−+
−
−
++
+
=

A
.
Bài 2: Gọi avà b là hai nghiệm của phương trình bậc hai :
.01
2
=−−
xx
Chứng minh rằng các biểu thức
,20032003200120014422,33
babavaRbabaQbabaP
+++=+++=+++=
là những số nguyên và chia hết cho 5 .
Bài 3: 1/ Cho hệ phương trình
)1(
.44
12
22
2





=−+
=−
myxyx
xyx
a/ Giải hệ phương trình khi m=7 .
b/ Tìm m sao cho hệ phương trình (1) cónghiệm .
Bài 4 : Cho hai đường tròn

)();(
21
CC
tiếp xúc ngoài với nhau tại T hai đường tròn này nằm trong đường tròn
)(
3
C
và tiếp xúc vơí
)(
3
C
tương ứng tại Mvà N . tiếp tuyến chung tại T của
)();(
21
CC
cắt
)(
3
C
tại P . PM cắt
)(
1
C
tại điểm thứ hai là Avà MN cắt
)(
1
C
tại điểm thứ hai là B . PN cắt
)(
2

C
tại điểm thứ hai là D và MNø cắt
)(
2
C
tại điểm thứ hai là C.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp .
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AB , CD và PT đồng qui .
Bài 5 :Một ngũ giác có tính chất : tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của một ngũ giác đều có diện
tích bằng 1. tính diện tích của ngũ giác đó .
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH BẮC NINH
KHÓA THI: 2002-2003.
BÀI 1:1/ Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn :
30263
2
=+
y
x
.
2/ Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
1989
=+
yx
.
Bài 2: 1/ Tìm các giá trò của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m :
.0
2
=++
mxx
2/ Tìm các giá trò của a để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :

01)7(4
=+−+
xaxx
.
3/Tìm x thõa mãn :
xxxxx 21081087
22
=+−−++
.
5
Bài 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung AB cố đònh trương cung
0
120
.Lấy C thay đổi trên cung lớn
AB (C không trùng A và B ); M trên cung nhỏ AB ( M không trùng Avà B) . Hạ ME , MF thứ tự vuông góc với AC và
BC .
1/ Cho M cố đònh hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố đònh khi C thay đổi .
2/ Cho M cố đònh hãy chứng minh giá trò
MF
BC
ME
AC
+
không thay đổi khi C thay đổi .
3/ Khi M thay đổi hạ MK vuông góc với AB .Hãy xđònh vò trí của M sao cho
MK
AB
MF
BC
ME

AC
++
đạt giá trò NN
Bài 4 : Cho tam giác đều ABC .Lấy điểm M ngoài Tam giác sao cho
2
=
MA
;MB=2
(cùng đơn vò đo độ dài vớicạnh tam giác ); góc
15
=
MAC
độ ( tia CM nằm giữa hai tia CAvà CB ).Tính độ dài CM
và số đo góc BMC.
BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TĨAN
ĐẾ 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
MƠN TỐN HỌC
Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x
2
– 49 – 12xy + 9y
2
b) x
2
+ 7x + 10
Bài 2 (4đ) Cho
2
2
1 2 2 4

2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
a) Rút gọn A.
b) Tìm x ngun để A ngun.
Bài 3 (4đ). Giải phương trình
) 2 1 3 2a x x+ = −
b) x
2
– 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng
vng góc với AB tại B và đường thẳng vng góc với AC tại C cắt nhau tại G.
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC. b) ∆ABC ~ ∆AEF
c)
EDCFDB
ˆˆ
=
d)H cách đều các cạnh của tam giác ∆DEF
Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình
2008
2007
<
−
x
ĐỀ 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Mơn: Tốn.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1: a) Giải phương trình:
4 3 2
11 10 0x x x x- + - + =
.
b) Tìm x, y thoả mãn: 2 1 4 4x x y y- - = - + - .
6
Bài 2. Rút gọn
3 3 3 3
2 3 2 2 2 3 2 2
A
- +
= +
- + + -
.
Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:
2 2
4 12 9 4 20 25P x x x x= + + + - +
.
2 2
2 2 2 2008Q x y xy x= + + - + .
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối xứng
nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại
E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi
H là trung điểm của FG.
a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.
b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
ĐỀ 5
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2007 -2008 MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).
3 2
và
2 3

Câu 2: (3 điểm). Giải phương trình sau:
2 2
x 1 x 1 0− − + =
Câu 3: (1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
x 1
A
x 1
−
=
+
Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình: 2x
2
+ 3y = 1
3x
2
- 2y = 2
Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cô giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp
thành các tổ học tập:
- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.
- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chín người.

Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?
Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn
AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng
vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM.CN = 2R
2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường tròn (O, R). Trên tia
đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O, R) thì D
chuyển động trên đường nào?
ĐỀ THI HS To¸n líp 9
7
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức A =
a
a
a
a
aa
a

+

+

+

3
12
2
3
65
92
với
9,4,0

aaa
.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của
a
để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên của
a
để A có gía trị là một số nguyên.
Bài 2 (4 điểm) Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2

ayx
ayax
a, Giải hệ phơng trình khi
2
=
a
.
b, Tìm
a
để hệ có nghiệm thoả mãn
1
=
yx
.
Bài 3 (3 điểm) Cho bốn số thực
dcba ,,,
thoả mãn đồng thời:
7
=+++
dcba
và
13
2222
=+++
dcba
. Hỏi
a
có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 4 (4 điểm) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Vẽ KH vuông góc với tiếp
tuyến Bx của đờng tròn. Giả sử góc KAB bằng

độ ( 0 <

< 90 ).
a, Tính KA, KB, KH theo R và

.
b, Tính KH theo R và 2

.
c, Chứng minh rằng: cos 2

= 1 2sin
2

; cos 2

= 2 cos
2

- 1
Bài 5 (4 điểm)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên đờng tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax,
lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm
của MA, BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C. Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.
b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định.
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Bài I (2
đ

) Rút gọn A
a
a
a
a
211
21
211
21


+
++
+
Với a =
4
3
Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2x
2
+ 4x = 19-3y
2
b) Giải hệ phơng trình x
3
=7x +3y
y
3
= 7y+3x
Bài III (3
đ
) Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1. Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx

Bài IV (6
đ
) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là trung
điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I là giao điểm của MH và
NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3
đ
) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc.
Kè THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2007 2008
8
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC 9
Gợi ý đáp án Điểm
Bài 1a)
4x
2
-49-12xy+9y
2
=(4x
2
-12xy+9y
2
)-49
=(2x-3y)
2
-7
2
=(2x-3y+7)(2x-37-7)
(1 đ)
(1đ)
Bài 1b)

x
2
+7x+10 =x
2
+5x+2x+10
=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)
(1đ)
(1đ)
Bài 2a) x
2
-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là
x ≠5và x ≠2
2 2
2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4
2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5
5 2 (2 4)( 2)
( 5)( 2)
8 15 ( 5)( 3) 3
( 5)( 2) ( 5)( 2) 2
x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x
− − − − − −

= + − = + − =
− − + − − − − −
− + − − − − −
=
− −
− + − − − − − +
= = =
− − − − −
(0,5đ)
(2đ)
2b)
( 2) 1 1
1
2 2
x
A
x x
− − +
= = − +
− −
, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.
(1,5đ)
Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau
TH1:
1
2 1 0 2 1 3 2
2

2 1 3 2 3
x x x x
x x x
≥ − ⇔ + ≥ ⇒ + = −
⇔ + = − ⇔ =
Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.
TH2:
1
2 1 0 2 1 3 2
2
2 1 3 2 5 1 0,2
x x x x
x x x x
< − ⇔ + < ⇒ + = −
⇔ − − = − ⇔ = ⇔ =
Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của
phương trình.
Kết luận phương trình có nghiệm x=3.
(1đ)
(1đ)
Bài 3b) x
2
-2=(2x+3)(x+5)+23 ⇔x
2
-25=(2x+3)(x+5)
⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0
⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 ⇔(x+5)(-x-8)=0 ⇔ x-5=0 hoặc x+8 =0 ⇔ x=-5
hoặc x=-8
(2đ)
9

Gợi ý đáp án Điểm
Bài 4a) Ta có BG ⊥AB, CH ⊥AB, nên
BG //CH,
tương tự: BH ⊥AC, CG ⊥AC, nên BH//CG.tứ
giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song
nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường
chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của
BC.
(2đ)
4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác
ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên
chúng đồng dạng. Từ đây suy ra
(1)
AB AE AB AF
AC AF AE AC
= ⇒ =
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra
∆ABC ~ ∆AEF.
(1,5đ)
4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra
∆BDF~∆DEC⇒
·
·
BDF CDE=
.
(1,5đ)
4d) Ta có
·
·

·
·
·
·
·
·
·
·
0 0
90 90BDF CDE BDF CDE
AHB BDF AHC CDE ADF ADE
= ⇒ − = −
⇒ − = − ⇒ =
Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia
phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam
giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.
(1đ)
Bài 5) Ta có
x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = (x + y)
3
+ z
3
– 3xyz – 3xy(x + y)
= (x + y + z)[(x + y)

2
– (x + y)z + z
2
] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)[(x + y)
2
– (x + y)z + z
2
– 3xy] = x
2
+ y
2
+ z
2
– xy – yz – zx
=
( )
2 2 2 2 2 2
1
2 ( 2 ) ( 2 )
2
x xy y y yz z x xz z
 
− + + − + + − +
 
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2

x y y z x x
 
− + − + −
 
dpcm
1đ
Bài 6) Điều kiện
0x ≠
, bất phương trình
2008
2007
<
−
x

2007 2008
0
x
x
+
⇔ >
(2008 2007) 0
0
2007
2008
x x
x
x
⇔ + >
>



⇔

< −

Hoặc biểu diễn trên trục số :
1đ
10
2007
2008
−
0
F
E
M
G
H
D
C
B
A