CÁC CHỦ ĐỀ ÔN THI TNTHPT Toán12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1014.86 KB, 40 trang )
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1
CÁC CHỦ ĐỀ ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP
Môn: Toán Lớp 12
Năm học: 2011-2012
Chủ đề 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Học sinh cần thực hiện các bước sau:
Đối với hàm đa thức
3 2
a ( 0)
y x bx cx d d
4 2
a ( 0)
y x bx c d
Hàm phân thức
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
( Có TCĐ:
d
x
c
; TCN:
a
x
c
)
1) Tìm TXĐ
2) Tìm các giới hạn:
3) Tính y’. Giải pt y’=0 tìm nghiệm
4) Lập BBT.
+ Hàm số tăng, giảm
+ Hàm số đạt CĐ, CT
5) Đồ thị.
+ Tính y’’
Giải pt y’’= 0
+Đồ thị nhận điểm uốn I(x
0
;y
0
) làm tâm đối xứng
(đối với hàm
3 2
a ( 0)
y x bx cx d d
)
+Xác định các điểm đặc biệt
1. Tìm TXĐ
2. Tìm các đường tiệm cận
3. Tình y’.
4. Lập BBT
Hàm số tăng (giảm) trên mỗi khoảng
Hàm số không có cực trị.
5. Đồ thị
Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận làm
tâm đối xứng.
Xác định các điểm đặc biệt
* Chú ý:
- Đồ thị phải thể hiện theo chiều biến thiên
- Đồ thị phải đi qua các điểm CĐ, CT, tâm đối xứng và các điểm đặc biệt
- Đồ thị hs bậc 4 nhận trục Oy làm trục đối xứng, (hs ban cơ bản không phải tìm điểm uốn).
CÁC BÀI KHẢO SÁT HÀM SỐ MẪU
I) HÀM SỐ ĐA THỨC:
Thí dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
43
23
xxy
+ TXĐ: D=R
+ Tìm giới hạn:
y
x
lim ;
y
x
lim
+ Tính:
2
' 3 6
y x x
2
0 4
' 0 3 6 0
2 0
x y
y x x
x y
+ Bảng biến thiên:
x
0 2
y’ + 0 – 0 +
y
CĐ
4
CT
0
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2
* Hàm số tăng trên các khoảng (-
;0) và (2;+
), giảm trên khoảng (0;2)
* Hàm số đạt CĐ tại điểm x = 0 và y
CĐ
=4; hàm số đạt CT tại x = 2 và y
CT
= 0
+ Vẽ đồ thị:
* Tính:
'' 6 6
y x
'' 0 6 6 0 1 2
y x x y
Đồ thị nhận điểm uốn I(1;2) làm tâm đối xứng.
* Điểm dặc biệt:
Cho
1 0
x y
3 4
x y
Thí dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
23
3xxy 3x – 1
+ TXĐ: D=R
+ Tìm giới hạn:
y
x
lim
;
y
x
lim
+ Tính:
2
2
' 3 6 3
' 0 3 6 3 0 1 0
y x x
y x x x y
+ Bảng biến thiên:
x
1
y’ + 0 +
y
* Hàm số tăng trong trên khoảng (-
;+
)
* Hàm số không có cực trị.
+ Vẽ đồ thị:
* Tính:
'' 6 6
y x
'' 0 6 6 0 1 0
y x x y
Đồ thị nhận điểm uốn I(1;0) làm tâm đối xứng.
* Điểm đặc biệt:
Cho
0 1
x y
2 1
x y
Thí dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1x3xy
3
+ TXĐ: D=R
+ Tìm giới hạn:
ylim
x
;
ylim
x
+ Tính:
2
' 3 3
y x
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3
2
1 3
' 0 3 3 0
1 1
x y
y x
x y
+ Bảng biến thiên:
x
-1 1 +
y’ - 0 + 0 -
y
+
CĐ
1
-3
CT
* Hàm số giảm trên các khoảng (-
;-1) và (1;+
); tăng trên khoảng (-1;1)
* Hàm số đạt CT tại điểm x = -1 và y
CT
= -3; hàm số đạt CĐ tại x =1 và y
CĐ
= 1
+ Vẽ đồ thị:
* Tính:
'' 6
y x
'' 0 6 0 0 1
y x x y
Đồ thị nhận điểm uốn I(0;-1) làm tâm đối xứng.
* Điểm đặc biệt:
Cho
2 1
x y
2 3
x y
Thí dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 32
24
xxy
+ TXĐ: D=R
+ Tìm giới hạn:
y
x
lim ;
y
x
lim
+ Tính:
3
' 4 4
y x x
3
2
' 0 4 4 0
4 ( 1) 0 0 3
y x x
x x x y
+ Bảng biến thiên:
x
0
y’ + 0 -
y
CĐ
3
* Hàm số tăng trên khoảng (-
;0), giảm trong khoảng (0;+
)
* Hàm số đạt CĐ tại x = 0 và y
CĐ
= 3.
+ Vẽ đồ thị:
* Tính: xxy ;0412''
2
, Đồ thị không có điểm uốn.
(Ban c bản không làm phần này)
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4
* Điểm đặc biệt:
Cho
1 0
x y
1 0
x y
Hàm số đă cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng
Thí dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
32
24
xxy
+ TXĐ: D=R
+ Tìm giới hạn:
y
x
lim
;
y
x
lim
+ Tính:
3
' 4 4
y x x
3
0 3
' 0 4 4 0 1 4
1 4
x y
y x x x y
x y
+ Bảng biến thiên:
x
-1 0 1
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
CĐ
-3
-4 -4
CT CT
* Hàm số tăng trên mỗi khoảng (-1;0) và (1;+
), giảm trong mỗi khoảng (-
;-1) và (0;1)
* Hàm số đạt CĐ tại điểm x = 0 và y
CĐ
= -3; hàm số đạt CT tại điểm
1
x
và y
CT
= -4.
+ Vẽ đồ thị:
* Tính:
2
'' 12 4
y x
(Ban c bản không làm phần này)
2
3 32
3 9
'' 0 12 4 0
3 32
3 9
x y
y x
x y
Điểm uốn
9
32
;
3
3
1
U và
9
32
;
3
3
2
U
* Điểm đặc biệt:
Cho
2 5
x y
2 5
x y
Hàm số đă cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung Oy làm trục đối xứng
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5
II. HÀM SỐ PHÂN THỨC:
Thí dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
12
x
x
y
+ TXĐ:
\ 1
D R
+ Tiệm cận:
* Tiệm cận đứng: x = 1; v́
y
x 1
lim và
y
x 1
lim
* Tiệm cận ngang: y = 2; v́ 2lim
y
x
và 2lim
y
x
+ Tính:
1 ; 0
1
1
'
2
x
x
y
+ Bảng biến thiên:
x
1
y’ – –
y
2
2
* Hàm số giảm trên mỗi khoảng (-
;1) và (1;+
)
* Hàm số không có cực trị.
+ Vẽ đồ thị:
* Đồ thị nhận giao điểm I(0;-1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
* Điểm đặc biệt:
Cho
3
1
2
x y
0 1
x y
2 3
x y
5
3
2
x y
2. Các bài toán liên quan đến khảo sát:
Bài toán 1: Viết pttt với đường cong (C):y=f(x)
1/ Dạng 1: Viết pttt với đ/cong (C) tại điểm M
0
(x
0
;y
0
)(C)
phương trình tiếp tuyến: y – y
0
=f’(x
0
)(x-x
0
)
trong đó f’(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Chú ý: Ta thường gặp các trường hợp sau:
+ TH1: Cho đường cong (C):y=f(x) và điểm M
0
(x
0
;y
0
)(C)
+ TH2: Cho đường cong (C):y=f(x) và hoành độ tiếp điểm x
0
+ TH3: Cho đường cong (C):y=f(x) và tại giao điểm của (C) với trục Ox (hoặc trục Oy)
…………………………………………………………………………………………
2/ Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k (biết trước), gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm
Giải phương trình f’(x
0
) = k tìm hoành độ tiếp điểm
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6
' 0
y x D
Chú ý:
+ Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
0
( )
'
x d
y k
(giải pt tìm x
0
y
0
)
+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)
0
( )
' . 1
x d
y k
(giải pt tìm x
0
y
0
)
Bài toán 2 : Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:
f(x)= m (1)
( Pt (1) là pthđgđ của đ/cong (C): y=f(x) và đường thẳng (d
m
):y=m)
+ Vẽ đồ thị (C): y=f(x) và (d
m
):y=m(trong đó (d
m
):y=m song song trục ox)
+ Dựa vào số giao điểm của (C) và (d
m
) số nghiệm của pt (1)
Bài toán 3: Sự tương giao của 2 đường cong
Cho 2 đường (C
1
): y=f(x) và (C
2
):y=g(x)
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và(C
2
)
f(x)=g(x) (1)
+ Dựa vào số nghiệm của phương trình (1) số giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
Bài toán 4: Sự tiếp xúc của hai đường cong (NC)
Cho 2 đường (C
1
): y=f(x) và (C
2
):y=g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
nghiệm của hệ chính là hoành độ tiếp điểm.
Bài toán 5: Tìm những điểm trêm đồ thị có tọa độ nguyên
Phương pháp:
Xét hàm số dạng:
)()(
)(
xQ
C
baxy
xQ
xP
y (Thực hiện chia đa thức)
Gọi M(x;y)(C) là những có toạ độ nguyên.
Tức là:
Zy
Zx
Q(x) là ước nguyên của C từ đó giải tìm x y
3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Phương pháp: + Tìm TXĐ của hàm số.
+ Tính y’ giải phương trình y’= 0 tìm nghiệm
+ Lập biến thiên
+ Kết luận:
y’ 0 xK hàm số tăng K
y’ 0 xK hàm số giảm K
(Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)
Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến trên tập xác định)
Phương pháp chung: Để hàm số số đồng biến trên tập xác định D.
( Để hs nghịch biến ' 0
y x D
)
Chú ý: Nếu
2
' a ( 0)
y x bx c a
Hàm số đồng biến:
0
' 0
0
a
y x D
Hàm số nghịch biến:
0
' 0
0
a
y x D
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7
4. Cực trị của hàm số:
Phương pháp tìm cực trị của một hàm số:
Phương pháp1: (Dùng y’)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ giải pt: y’= 0
+ BBT
+ KL:
* x
0
là điểm CĐ khi y’ đổi dấu từ (+) sang (-)
* x
0
là điểm CT khi y’ đổi dấu từ (-) sang (+)
Phương pháp2: (Dùng y’’)
1)
0)(''
0)('
0
0
xf
xf
x
0
là điểm CĐ 2)
0)(''
0)('
0
0
xf
xf
x
0
là điểm CT
Xác định tham số m để hàm số có cực trị (có CĐ và CT)
Chú ý:
1/ Nếu
3 2
a ( 0)
y x bx cx d a
2
' a
y x bx c
Hàm số có cực trị
' 0
y
có 2 nghiệm phân biệt
'
0
0
y
a
2/ Nếu
2
' '
ax bx c
y
a x b
2
2
aa' 2 ' ( ' ' )
'
' '
x ab x bb a c
y
a x b
(Đặt
2
( ) aa' 2 ' ( ' ' )
g x x ab x bb a c
)
Hàm số có cực trị
' 0
y
có 2 nghiệm phân biệt
0
0
'
0
'
g
a
b
g
a
5. GTLN-GTNN của hàm số:
Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn:
Hàm số y=f(x) liên tục trên a;b
Ta thục hiện các bước:
+ Tính f’(x) giải phương trình f’(x)=0 trên a;b giả sử có nghiệm x
1
, x
2
, x
n
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
),…f(x
n
)
1 2
a;b
ax ( ); ( ); ( ); ( ) ( )
n
GTLN m f a f b f x f x f x
1 2
a;b
min ( ); ( ); ( ); ( ) ( )
n
GTNN f a f b f x f x f x
Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên khoảng : (lập BBT)
Ta thực hiện các bước:
+ Xét trên khoảng (a;b)
+ Tính f’(x) giải phương trình f’(x)=0 tìm nghiệm.
+ Lập BBT xét trên khoảng (a;b)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị:
Câu 1: Nêu các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
3 2
a ( 0)
y x bx cx d a
Áp dụng: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8
a/
3 2
3
y x x
b/
3 2
3 2
y x x
c/
3
3 2
y x x
d/
3 2
1
3
y x x
e/
3 2
3 4
y x x
f/
3 2
6 9
y x x x
g/
3 2
3 2
y x x
h/
3 2
3
y x x
i/
3 2
1
2 4 1
3
y x x x
j/
3 2
1
2 5 1
3
y x x x
k/
3
3
y x x
l/
2
( 3) 1
y x x
m/
3 2
1
2 3
3
y x x x
Câu 2: Nêu các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4 2
a ( 0)
y x bx c a
Áp dụng: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
a/
4 2
2
y x x
b/
4 2
2 2
y x x
c/
4 2
4 1
y x x
d/
4
2
3
2 2
x
y x
e/
4 2
2 3
y x x
f/
4 2
8 10
y x x
g/
4 2
2 2
y x x
h/
4 2
4 2
y x x
i/
4 2
1
2 1
4
y x x
j/
4 2
1
1
4
y x x
Câu 3: Nêu các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( 0)
ax b
y ad bc
cx d
Áp dụng: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
a/
2 1
1
x
y
x
b/
3 4
2 3
x
y
x
c/
1
2
x
y
x
d/
3 1
1
x
y
x
e/
2
1
y
x
f/
1
1
x
y
x
g/
3
1
y
x
h/
3 2
1
x
y
x
i/
3 2
1
x
y
x
j/
2 1
x
y
x
k/
2
1
x
y
x
l/
3
2
1
y
x
2. Khảo sát và vẽ đồ thị-các bài toán liên quan:
Câu 1:
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số:
3 2
3 2
y x x
b/ Dùng đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
3 2
x x m
.
c/ Dùng đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
3 0
x x m
.
d/ Dùng đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
3 1 0
x x m
.
e/ Xác định m để phương trình:
3 2
3 1 0
x x m
có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2:
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số:
4 2
4 2
y x x
b/ Dùng đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
4 2
x x m
.
c/ Dùng đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
4 0
x x m
.
d/ Dùng đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4 2
4 1 0
x x m
.
e/ Xác định m để phương trình:
4 2
4 1 0
x x m
có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3:
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số:
2
1
x
y
x
b/ Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tọa độ nguyên.
c/ Biện luận theo m số giao điểm của (C):
2
1
x
y
x
và (d):
y x m
Câu 4:
Cho hàm số:
3 2
3 3(2 1) 1
y x mx m x
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9
a/ Xác định m để hàm số tăng trên miền xác định.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên khi m=0.
Câu 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau:
1.
3
4
2sin sin
5
y x x
trên
0;
10.
3 2
8 16 9
y x x x
trên
0;3
2.
3 2
8 16 9
y x x x
trên
1;3
11.
3
3 1
y x x
trên
0;2
3.
2 3
y x
trên
1;3
12.
4 2
1 9
3
4 2
y x x
trên
2;1
4.
2
6
y x x
trên
2; 2
13. y = x
4
– 2x
2
+ 1 trên đọan [-1;2].
5.
4
1
2
y x
x
trên
1;2
14.
1
1
5
y x
x
(x > 5 )
6.
1
y x
x
trên (0; +∞). 15.
2
3 1
x
y
x
trên đoạn
1
1;
2
7.
2
2 5 4
2
x x
y
x
trên đoạn [0; 1]. 16. y = x – lnx + 3.
8.
4 2
2 4 3
y x x
trên
0;2
17.
2
( ) 4 5
f x x x
trên đoạn
[ 2;3]
.
9. y = cos
2
x – cosx + 2. 18.
2
( ) 5 6
f x x x
Chủ đề 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA - HS MŨ - HS LÔGARIT
1/ Lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ, só thực:
+
.
n
a aa a
(n thừa số a)
+
0
1
1, ( 0)
n
n
a a a
a
+
. , ,
n
m
n
m
n n n n
n
n
a a
a b ab a a
b
b
+
1
,
m
n m
n
n n
a a a a
+
. , ,
n
m n
n m n m n m n m nm
m
a
a a a a a a a
a
+
,
n
n
n
n n
n
a a
ab a b
b b
* Nếu
1
a
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
* Nếu
0 1
a
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
2/ Lôgarit:
Định nghĩa:
log ( 0, 1)
a
b b a a a
Tính chất:
+
log
log 1 0, log 1, log , ( 0, 1)
a
b
a a a
a a a b a a
+
a 1 2 1 2
log ( ) log log
a a
b b b b
+
1
a 1 2
2
log log log
a a
b
b b
b
,
a
1
log log
a
b
b
+
1
log log , log log
n
a a a a
b b b b
n
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10
+
log
log log .log log
log
c
a a c c
c
b
b b a b
a
+
1 1
log , log log
log
a a
a
b
b b b
a
;
2
2 2
1
log log
a
a
b b
* Nếu
1
a
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
* Nếu
0 1
a
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
3/ Các công thức tính
Đạo hàm:
' '
1 1 '
' '
'
' '
'
' '
'
' '
'
;
ln ; ln .
; .
1 1
ln ; ln .
1 1
log ; log .
ln ln
x x u u
x x u u
a a
x x u u u
a a a a a a u
e e e e u
x u u
x u
x u u
x a u a
4. Phương trình và bpt mũ và lôgarit:
Câu 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a/
3
5log 2
3
b/
0,5
log 2
1
32
c/
3
11
log 121
d/
10 10
log 8 log 125
e/
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
f/
6 10
2
log 5 1 log 2
log 3
36 10 8
g/
7 7
6 6
1
log 14 log 56
3
1
log 30 log 50
2
h/
1
ln lne
e
i/
1 2
5ln 4ln
e e e
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
1/ A=
5 1 5 1
lg lg
2 2
.2/ B=
3lg 2 1 lg 5 2 7
3/
3
2 1 1 2
2 2 2
. ( 0, 1)
(1 ) 1
a a
C a a
a a a
4/.
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
D
a a a
5/ E =
4
3
log 8log 81
6/ F =
1
5
3
log 25log 9
7/ G =
3
2 25
1
log log 2
5
8/ H =
3 8 6
log 6log 9log 2
9/ I =
3 4 5 6 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
10/ J =
2
4
log 30
log 30
11/ K =
5
625
log 3
log 3
L =
2 2
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2
12/ M =
1 9
3
3
log 7 2log 49 log 27
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a/
3 1
9 3
x x
b/
2
3 4 1
2 4
x x x
c/
1 2 3 1
5 5 5 3 3 3
x x x x x x
d/
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
e/
1
3 .2 72
x x
f/
2 4 2 8
6 3 .2
x x x
g/
8.3 3.2 24 6
x x x
h/
2 1
4.3 5.3 7.3 60
x x x
Câu 4: Giải các phương trình sau:
a/
9 4.3 3 0
x x
b/
2 1
3 9 4
x x
c/
1
4 2 8 0
x x
d/
64 8 56 0
x x
e/
1
7 2.7 9 0
x x
f/
2 2
2 9.2 2 0
x x
g/
25 6.5 5 0
x x
h/
1
25 2.5 11 0
x x
i/
2 1
13 13 12 0
x x
j/
4 2
3. 2 0
x x
e e
k/
8 2
5
4 2
x x
x
l/
2 3 2 3 2
x x
m/
7 48 7 48 14
x x
n/
2
2( 1)
6 2 5 6 2 5 2 320
x
x
p/
x x
49 3.7 4 0
q/
1
4 3.2 16 0
x x
r/
1
3 18.3 29
x x
t/
2 1
5.4 2.6 3
x x x
Câu 5: Giải các phương trình sau:
a/
6.9 13.6 6.4 0
x x x
b/
3.4 2.6 9
x x x
c/
25 15 2.9
x x x
d/
2 4 2
3 45.6 9.2 0
x x x
Câu 6: Giải các phương trình sau:
a/
2
3 .2 1
x x
b/
1
3 .8 36
x
x
x
c/
1
5 .8 500
x
x
x
d/
1
5 .8 100
x
x
x
e/
3
2 log
3 81
x
x
Câu 7: Giải các phương trình sau:
a/ log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b/ lg(x + 1) – lg(1 – x) = lg(2x + 3)
c/ log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d/ log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e/ log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f/
3 9 27
log log log 11
x x x
g/ log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
(3
x – 2
+ 1) h/
2
2 1
2
2
log 3log log 2
x x x
i/
4 8
2
log 4log log 13
x x x
j/
2
2 2
log 5log 6 0
x x
k/
5 3
3
log ( 2).log 2.log ( 2)
x x x
Câu 8: Giải các bất phương trình sau:
a/ 16
x – 4
≥ 8 b/
2 5
1
9
3
x
c/
6
2
9 3
x
x
d/
2
6
4 1
x x
e/
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
f/ 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
g/ 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 h/ 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3 i/
1 1
1 2
4 2 3
x x
j/ 5.4
x
+2.25
x
≤ 7.10
x
k/ 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15 l/ 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8
o/
1
9 2.3 16 0
x
p/
25 6.5 5 0
x x
q/
25 15 2.9
x x x
Câu 9: Giải các bất phương trình sau:
a/ log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b/ log
2
(x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c/ log
2
(x
2
– 4x – 5) < 4 d/ log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e/ 2log
8
(x- 2) – log
8
(x- 3) > 2/3 f/ log
2x
(x
2
-5x + 6) < 1
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12
g/
1
3
3 1
log 1
2
x
x
h/ log
2
2
+ log
2
x ≤ 0
i/ log
1/3
x > log
x
3 – 5/2 j/ log
2
x + log
2x
8 ≤ 4
k/
1 1
1
1 log log
x x
l/
2
log 3log 4
x x
o/
4
2
1 log
1
1 log 4
x
x
Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
1. Tìm nguyên của các hàm số :
Nguyên hàm thường gặp Nguyên hàm hàm hợp
( )
u u x
Nhóm cơ bản.
(1)
x=x+C x= x+C
d kd k
(k,C là h.số)
(2)
1
x= +C
1
x
x d
(Với
1
)
(3)
1
x=ln + C
d x
x
(Với
0
x
)
(4)
1
1 1
x = ( 1)
(1 )
d C vôùi
x x
Nhóm nguyên hàm hàm mũ cơ bản.
(5)
x
x = e
x
e d C
.
(6)
x
a
x = ( 0)
lna
x
a d C vôùi a
Nhóm nguyên hàm hàm l.giác cơ bản.
(7)
sinxdx = -cosx + C
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
(8)
cosxdx = sinx + C
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
(9)
2
1
dx = tanx + C
cos
x
(10)
2
1
dx = -cotx + C
sin
x
(11) t anxdx ln osx
c C
(12) cotxdx ln sinx
C
(13)
1
( ) ( )
f ax b dx F ax b C
a
Nhóm cơ bản.
(1)
= +C = +C
du u kdu ku
(2)
1
= +C
1
u
u du
(Với
1
)
(3)
1
=ln +C
du u
u
(Với
0
u
)
(4)
1
1 1
= ( 1)
(1 )
du C vôùi
u u
Nhóm nguyên hàm hàm mũ cơ bản.
(5)
u
= e
u
e du C
.
(6)
u
a
= ( 0)
lna
u
a du C vôùi a
Nhóm nguyên hàm hàm l.giác cơ bản.
(7)
sinudu = -cosu + C
1
sin( ) cos( )
au b du au b C
a
(8)
cosudu = sinu + C
1
cos( ) sin( )
au b du au b C
a
(9)
2
1
du = tanu + C
cos
u
(10)
2
1
du = -cotu + C
sin
u
(11) t anudu ln osu
c C
(12) cotudu ln sinu
C
(13)
1
( ) ( )
f au b du F au b C
a
Nguyên hàm thường gặp
2 2
dx 1
ln ( 0)
2
x
x a
C a
a x a
a
n n-1
x 1 1
( 0)
(ax+b) ( 1) (ax+b)
d
C a
a n
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13
2 2
dx 1
ln ( 0)
2
x a
C a
a x a
a x
1
(a )
(a ) ( 0)
( 1)
n
n
x b
x b dx C a
a n
ax (ax )
1
( 0)
b b
e dx e C a
a
Công thức hạ bậc
2
2 os 1 os2a
c a c
.
2
2sin 1 os2a
a c
.
2
1 os2a
tan
1+ cos2a
c
a
3
1
4 os ( os3a + 3cosa)
4
c a c
3
1
sin (3sina - sin3a)
4
a
Cộng thức cơ bản
2 2
sin os 1
a c a
sina
t ana=
cosa
;
cosa
cot =
sina
a
2
2
1
1 tan
os
a
c a
;
2
2
1
1 cot
sin
a
a
t ana.cota=1
.
Cộng thức đổi biến
Đặt
tan
2
a
t
2
2t
sina=
1+t
.
2
2
1-t
cosa=
1+t
2
2t
tana=
1- t
Cộng thức nhân đôi
1
sina.cosa= sin2
2
a
2 2 2 2
os sin 1 2 os 1 2sin os2a
c a a c a a c
2
2t ana
tan2
1-tan
a
a
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
osa.cosb= [cos(a-b)+cos(a+b)]
2
c
1
sina.cosb= [sin(a-b)+sin(a+b)]
2
1
sina.sinb= [cos(a-b)-cos(a+b)]
2
2. Tính các tích phân: (bằng phương pháp đổi biến số)
Một số cách đặt trong tích phân đổi biến dạng 1
Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có các dạng sau:
sinx.dx Đặt t= cosx (hay t= cosx+C) dt=?
x
dx
2
cos
Đặt t= tanx (hay t= tanx +C) dt=?
cosx.dx Đặt t= sinx (hay t= sinx +C) dt=?
x
dx
2
sin
Đặt t= cotx (hay t= cotx +C) dt=?
x
dx
Đặt t= lnx (hay t= lnx +C) dt=?
x
e dx
Đặt
x
t e
(hay
)
x
t e C
dt=?
1n
x dx
Đặt
n
t x (hay
)
n
t x C dt=?
( HS cần tìm hiểu thêm về cách đặt sao cho khi tính dt= ? thay vào tích phân tính được)
3. Tính các tích phân: (bằng phương pháp tích phân từng phần)
Công thức:
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu
Phương pháp:
Đặt: u=? du=?
dv=? v = ?
v dv
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 14
Một số cách đặt trong tích phân từng phần
DẠNG 1:
b
a
x
dx
x
x
e
xP
)cos(
)sin()(
Đặt u=P(x) , dv= sin( )
cos( )
x
e
x dx
x
DẠNG 2:
' '
sin( )
cos( )
b
x
a
x
e dx
x
Đặt u=e
’x+’
, dv=
dx
x
x
)cos(
)sin(
DẠNG 3:
b
a
dxxxP )ln().(
Đặt u=ln(x+) , dv=P(x)
( Trong P(x) là một đa thức )
4. Tính diện tích hình phẳng:
+ TH1: Tính diện tích hình phẳng (S) được giới hạn đường cong (C), trục Ox và 2 đường thẳng
x = a, x = b (trường hợp đầy đủ)
Ta có:
b
a
dxxfS )(
(HS khử dấu giá trị tuyệt đối)
+ TH2: Tính diện tích hình phẳng (S) được giới hạn bởi 2 đường cong:
1 1 2 2
( ) : ( ); ( ) ( )
C y f x C y f x
(HS giải pthđgđ để xác định cận của tích phân)
Ta có:
b
a
dxxfxfS )()(
12
(HS khử dấu giá trị tuyệt đối)
5. Tính thể tích khối tròn xoay:
Diện tích hình phẳng (S) được giới hạn đường cong (C), trục Ox và 2 đường thẳng
x = a, x = b. Khi phần diện tích (S) quay quanh trục Ox thì ta được khối tròn xoay có thể tích được
xác định.
(Hình phẳng quay quanh ox)
b
a
dyxV
2
NC(Hình phẳng quay quanh Oy)
4. Tính tích phân:
Câu 1 : Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau biết:
a/
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
biết
1
(1)
3
F
b/
3
( ) 2 5
f x x x
biết
(2) 5
F
c/
1
( )f x x
x
biết
2
( )
2
e
F e
d/
2
1
( ) sin
os
f x x
c x
biết
2
4 2
F
Câu 2: Tính các tích phân sau: (Sử dụng nguyên hàm cơ bản)
a/
4
2
6
2
3cos
sin
x dx
x
b/
4
6
2
3
sin
sin1
dx
x
x
c/
3
4
2
2
cos
cot23
dx
x
xg
d/
3
6
22
cossin
xx
dx
e/
2
2
3cos5cos
xdxx f/
2
0
sin5 cos3
x xdx
b
a
dxyV
2
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 15
g/
2
0
sin5 sin3
x xdx
h/
2
2
0
sin 3
xdx
i/
2
2
0
cos 4
xdx
j/
4
2
0
tan
xdx
k/
6
2
5
1
5 6
dx
x x
l/
5
2
3
2 1
3 2
x
dx
x x
Câu 3:: Tính các tích phân sau: (Khử dấu giá trị tuyệt đối)
a/
3
3
2dxx
b/
2
2
1dxx
c/
2
2
2
1dxx
d/
2
1
2
23 dxxx
e/
2
0
2
1dxxx
f /
4
1
2
45 dxxx
g/
3
0
2 4
x
dx
h/
2
0
1 cos2
xdx
Câu 4:: Tính các tích phân sau: (sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1)
1/
4
6
cot
xdx
2/
4
0
tan
xdx
3/
2
0
cos31
sin
dx
x
x
4/
1
0
.
2
xdxe
x
5/
1
0
2
.1 xdxx
6/
4
1
dx
x
e
x
7/
2
0
3 3
2
1
dx
x
x
8/
2
0
23 3
.8 dxxx
9/
1
0
2
)( dxee
xx
10/
1
1
ln1
e
dx
x
x
11/
2
0
cos
sin
xdxe
x
12/
2
4
0
( sin )
x
e x xdx
13/
2
0
3
cos.sin
xdxx 14/
6
0
cos.sin41
xdxx 15/
4
0
( sin )
x
e x xdx
16/
1
0
2
4 x
dx
17/
3
2
2
1x
dx
18/
2
6
32
cossin
xdxx
19/
2
1
2
x
x
e dx
e
20/
1
2
1
2 1
1
x
dx
x x
21/
1
2
8
0
1
x xdx
22/
3
0
23
1dxxx 23/
2
0
3
sin
xdx 24/
3
0
3
cos
xdx
25/
/2
/6
1 sin2
sin cos
x
dx
x x
26/
1
2 2
0
1 x
x x d
27/
2
2
1
1
( 1) 1
dx
x
28/
1
5
0
(1 )
x x dx
29/
3
2
2
3 / 3
1x
dx
x
30/
/ 4
0
sin2x
1+ 4cos2x
dx
31/
/ 4
2
0
sin 4
1 cos
x
dx
x
32/
/ 2
/ 6
sin cos
x
sin cos
x x
d
x x
33/
1
0
1 x
x x
e e d
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 16
Câu 5:: Tính các tích phân sau: (sử dụng phương pháp từng phần)
a/
1
3 1
0
.
x
x e dx
b/
2
0
.cos
x xdx
c/
2
0
.sin
x xdx
d/
1
.ln
e
x xdx
e/
2
5
1
ln
x
dx
x
f/
2
1
ln
e
x dx
g/
2
1
ln
e
x xdx
h/
1
ln
e
xdx
i/
1
0
.ln( 1)
x x dx
j/
1
2
0
.ln( 1)
x x dx
k/
2
0
.cos
x
e xdx
c/
2
0
.sin
x
e xdx
Câu 6:: Tính các tích phân sau: (Tích phân tổng hợp HS cần chú ý để tách ra giải)
VD: (minh họa)
a/
2
2
0
( os )sin
x c x xdx
b/
2
cos
0
( )sin
x
x e xdx
c/
2
2
0
( sin )sin
x x xdx
d/
2
2
0
( sin ) os
x x c xdx
e/
2
sinx
0
( ) os
x e c xdx
f/
2
2
0
( os ) os
x c x c xdx
5. Ứng dụng của tích phân:
Tính diện tích hình phẳng:
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
a/
2
( ): 3 2
( ): O
0, 1
C y x x
S x
x x
b/
2
( ): 3 2
( ): O
1, 2
C y x x
S x
x x
c/
2
( ): 3 2
( ): O
1, 3
C y x x
S x
x x
d/
2
( ): 3 2
( ): O
0, 3
C y x x
S x
x x
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
a/
2
( ): 3 2
( ):
C y x x
S
Ox
b/
2
( ): 1
( ):
( ): 3
C y x
S
d x y
c/
2
( ): 2
( ):
( ) : 3
C y x x
S
d y
d/
3
( ): 3
( ):
( ):
C y x x
S
d y x
e/
2
( ): 2
( ):
( ) :
C y x
S
d y x
f/
3
( ):
( ): ( ): 2
C y x
S d y x
Ox
g/
2
( ): 2
( ):
( ): 3
C y x
S
d y x
h/
4 2
( ): 3 3
( ):
0, 1
C y x x
S
Ox
x x
Chủ đề 4: SỐ PHỨC
Cho hai số phức a+bi và c+di với
2
a,b,c,d R; i 1
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 17
M(a+bi)
r
y
x0
1)
a c
a bi c di
b d
2) môđun số phức
2 2
z a bi a b
3) số phức liên hợp z = a+bi là:
z
= a bi.
4) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
5) (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i.
6) (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i
7) z =
c di 1
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 2
a bi
a b
Giải phương trình bậc 2.
1. Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0. Với = b
2
4ac. Với
2
1
i
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệp kép:
b
x x
1 2
2a
(Nghiệm thực)
Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực:
2
a,b,c,d R; i 1
(Nghiệm thực)
Nếu < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức
b i
x
2a
(Nghiệm phức)
2. Cho số phức z = a + bi Gọi là căn bậc hai của z thì: (NC)
* Nếu b0:
2 2 2 2
2 2
a a b a a b
i
* Nếu b≤0:
2 2 2 2
2 2
a a b a a b
i
1. Dạng đại số của số phức:
Câu 1: Xác định phần thực và phần ảo của các số phức sau:
1/
2 3
z i
2/
2 3
z i
3/
2
z i
4/
5
z
5/
(4 ) (2 3 ) (5 )
z i i i
6/
2 2
(1 ) (1 )
z i i
7/
3 3
(2 ) (3 )
z i i
8/
3 2
1
i i
z
i i
9/
2 2
(1 ) (2 1)
1
i i
z
i i
10/
3
2 3 3
z i i
11/
3 3
2 2
z i i
12/
1 2 1
1 3 2
i i
z
i i
13/
1 1 2
z i i
Câu 2: Tìm các số thực x, y sao cho z=z’ biết:
1/
2 1 2 ; ' 1 1
z x y i z x y i
2/
2 3 ; ' 2 1 2 3
z x y x y i z x y x y i
3/
1 2 ; ' 3 2 5
z x x y i z x y y i
4/
1 3 1 ; ' 5 6
z x y i z i
5/
( 3 9) 3 ; ' 12 (5 7)
z x i z y i
6/
(2 3) (3 1) ; ' (2 1) (3 7)
z x y i z y x i
7/
3 2 2 1 ; ' ( 1) ( 5)
z x y i z x y i
8/
2
( 2 ) ; ' 3
z x i z x yi
9/
3 2 4 4 ; ' 1 2 4 1
z x yi y xi z x yi x y i
10/
4 2 2 4 4 ; ' 5 3 2 2 11
z x yi y xi z x yi x yi
Câu 3: Tìm
z
và tính
z
với:
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 18
1/
2 3
z i
2/
2 2
z i
3/
11
z
4/
7
z i
Câu 4: Trên mặt phẳng phức tìm những điểm biểu diễn các số phức z sau thỏa điều kiện:
1/
1
z
2/
2
z
3/
1 2
z
4/
2
z
và phần thực của z bằng 1
5/
3
z
và phần ảo của z bằng 1
Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập những điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
a/ Phần thực của z bằng 1. b/ Phần ảo của z bằng -2.
c/ Phần thực của z thuộc (-1;2) d/ Phần ảo của z thuộc
1;3
e/ Phần thực của z thuộc
1;2
,phần ảo của z thuộc
0;1
Câu 6: Tìm số phức z biết:
1/
2
z
và z là thuần ảo.
2/
5
z và phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó.
2. Các phép toán trên số phức:
Câu 1: Tính
1
'; '; . '; ; ; . ;
'
z
z z z z z z z z z z
z z
với.
1/
5 2 ; ' 4 3
z i z i
2/
2 3 ; ' 6 4
z i z i
3/
4 7 ; ' 2 5
z i z i
4/
2 3 ; ' 6 4
z i z i
5/
3 2 ; ' 4 3
z i z i
6/
1 2 ; ' 1 2
z i z i
Câu 2: Thực hiện các phép tính:
1/
2
(1 )
i
2/
2
(2 3 )
i
3/
3
(1 )
i
4/
3
(2 3 )
i
5/
2010
1
1
i
i
Câu 3: Viết các số phức sau dưới dạng đại số:
1/
10 3
2
z i i
2/
2007 2008
z i i
3/
2010 2009 2008
2 3
z i i i i
4/
2 2
(1 ) (1 )
z i i
5/
3
(1 3)
z i
6/
10
(1 )
z i
7/
2
(2 )( 1 )(1 2 )
z i i i
8/
(3 2 )(1 2 )
(2 )
1 3
i i
z i
i
9/
1 1
1 1
z
i i
Câu4: Tìm căn bậc hai của số phức: (NC)
1/
1 4 3
z i
2/
9
z i
3/
8 6
z i
4/
5 12
z i
5/
3 4
z i
6/
5 12
z i
7/
1 2 6
z i
8/
8 6
z i
3. Giải các phương trình sau:
1/ x
2
– 2x + 5 = 0 2/
2
3 9 0
x x
3/
2
2 11 0
x x
4/
3
8 0
x
5/
3
8 0
x
6/
4 2
3 4 7 0
z z
7/
4 2
2 3 0
z z
8/
4 2
2 4 0
z z
9/
2
2 2 0
x x
10/
2
6 29 0
x x
13/
2 1 3
1 2
i i
z
i i
14/
2 3 5 4
iz z i
18/
2
3 4 6 0
x x i
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 19
H
A
B C
30
0
A
B
C
H
D
B
A
C
Chủ đề 5: KHỐI ĐA DIỆN
MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
I. DIỆN TÍCH_THỂ TÍCH
A. Công thức
Khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
Khối lập phương:
3
V = a
Khối chóp:
1
V = Bh
3
Lăng trụ:
V = Bh
Khối nón:
1 1
2
V = Bh =
πr h
3 3
,
S =
πrl
xq
Khối trụ:
2
V = Bh =
πr h
,
S = 2
πrl
xq
Khối cầu:
4
3
V =
πr
3
,
2
S= 4
πr
Một số kết quả cần nhớ
Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao
AB 3
AH=
2
.
* Diện tích:
2
AB 3
S=
4
.
Hình vuông ABCD:
* Đường chéo
AC=AB 2
.
* S=AB
2
.
Tam giác ABC vuông tại A:
Ta có: *
1
S= AB.AC
2
.
*
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
Đường tròn C(0;r)
CV=2r
DT=r
2
Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau:
Ta có:
1
2
ABCD
s ACBD
Diện tích thoi
Các chủ đề ơn tập tốn 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 20
MỘT SỐ ĐIỀU C
ẦN CHÚ Ý
KHI VẼ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1/ Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều:
Đáy là tam giác đều
Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
Đáy là tam giác đều
Các mặt bên là những tam giác đều
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABC
Vẽ trung tuyến AI
Dựng trọng tâm H
Vẽ SH
(ABC)
Ta có:
SH là chiều cao của hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
SAH
.
Góc mặt bên và mặt đáy là:
SIH
2/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều:
Đáy là hình vuông
Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABCD
Dựng giao điểm H của
hai đường chéo AC & BD
Vẽ SH
(ABCD)
Ta có:
SH là chiều cao của hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
SAH
.
Góc mặt bên và mặt đáy là:
SIH
h
I
C
A
H
S
B
I
H
D
A
B
C
S
Các chủ đề ơn tập tốn 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 21
H
G
E
F
B
D
C
A
3/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
SA
(ABC)
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
SBA
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
SCA
SA
(ABCD)
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
SAB
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
SCA
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
SDA
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
(Học sinh kiểm tra lại lời giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính khỏang cách từ điểm A tới mặt phẳng BCD.
b) Tính khỏang cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD.
Giải
a) Gọi G là trọng tâm tam giác đều BCD và E = BC
∩ DG , F = CD ∩ BG
Ta có : BF = DE = AF = a =
2
3a
và AGCDABFCD
AFCD
BFCD
)(
Chứng minh tương tự ta có BC
AG
Vậy AG
(BCD) và AG là khỏang cách từ A đến (BCD).
Ta có: AG
2
= AB
2
– BG
2
= a
2
-
3
2
2
3
3
2
2
2
aa
. Vậy AG =
3
6a
b) Gọi H là trung điểm AB . Vì CD )(ABF
nên CD
HF
. Mặt khác FA = FB nên FH
AB
. Vậy FH là
khỏang cách giữa hai cạnh đối AB và CD.
Ta có HF
2
= AF
2
– AH
2
=
222
3
2
2
2
aaa
. Vậy HF =
2
2a
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính
a) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Bài giải
a) Do SABC là hình chóp tam giác đều nên góc giữa các cạnh bên và đáy bằng nhau.
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC). Ta có H là trọng tâm của tam giác ABC.
AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên góc SAH là góc giữa cạnh bên SA và đáy.
Ta có: AI =
2
33a
, AH = 3
3
2
aAI
A
C
B
S
D
A
B
C
S
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 22
S
A
B
C
I
G
M
I
A
C
B
S
H
H
F
E
A
C
B
S
Cos SAH =.
2
3
2
3
a
a
SA
AH
. Vậy:
0
30
SAH
Các mặt bên của hình chóp tao với đáy các góc bằng nhau.
Ta có
AI BC
SI BC
SIA
là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
SH = SA sin 30
0
= a , HI =
2
3
2
aAH
Vậy tan SIH =
3
32
HI
SH
Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy
một góc 60
o
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Tính khỏang cách từ điểm A đến mp(SBC).
Bài giải
a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC
AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên g(SAH) = 60
o
Ta có: AE =
2
3a
, AH =
3
3a
, HE =
6
3a
SH = AH.tan 60
o
= a
a
3.
3
3
Vậy V
SABC
=
12
3
.
4
3
3
1
32
a
a
a
b)Gọi AK là khỏang cách từ A đến mp(SBC)
Ta có: V
SABC
= V
ASBC
=
SBC
SABC
SBC
S
V
AKAKS
3
3
1
SE
2
= SH
2
+ HE
2
= a
2
+
6
42
36
42
36
6
6
6
22
2
2
a
SE
aa
a
a
S
SBC
=
12
42
6
42
.
2
1
2
aa
a
Vậy AK =?
Ví du 4:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a, các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60
0.
Mặt
phẳng qua AB vuông góc với SC cắt SC tại M. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABM và S.ABC, từ
đó suy ra thể tích khối chóp S.ABM
Bài giải
Kẻ đường cao SG và gọi I là trung điểm của AB. (theo t/c của hình chóp tam giác đều) thì G là trọng tâm
của tam giác ABC và CI là đường cao của tam giác ABC.
Vì GC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABC) nên góc
0
60
GCS
Từ giả thiết: ( )
SC ABM SC IM
Ta có:
.
.
1 21
.
3 5
2 3
2
1 1 1
2 2 8 8
S ABM
S ABC
V SM
V SC
CG
CI
SC MC
SC CG CG
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 23
45
I
J
H
A
C
B
S
S
D
A
C
B
Mà SG = a
3
.
1 3
.
3 12
S ABC ABC
V S SG a
Vậy:
3
. .
5 5 3
8 96
S ABM S ABC
V V a
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông
góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45
0
.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài giải
a) Kẽ SH
BC vì mp(SAC)
mp(ABC) nên SH
mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB và BC
SI
AB, SJ
BC, theo giả thiết
0
45
SIH SJH
Ta có: HJHISHJSHI
nên BH là đường phân giác của
ABC
,
từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) Ta có HI = HJ = SH =
2
a
V
SABC
=
12
.
3
1
3
a
SHS
ABC
Ví du 6:
Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến AD = a, hai mặt bên SAB và SAC
cùng vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy một góc
và hợp với mặt phẳng SAD một góc
.Tính
thể tích khối chóp SABC theo a,
, .
Bài giải
Ta có : )(
)()(
)()(
)()(
ABCSA
ABCSAC
ABCSAB
SASACSAB
+ AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC) nên góc (SB, (ABC)) =
SBA
Ta có : )(SADBC
SABC
ADBC
+ SD là hình chiếu của SB lên mp(SAD) nên góc (SB, (SAD)) =
BSD
Ta có : SB
2
= SA
2
+ AB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
(1)
Mà SA = SB.sin
, BD = SB.sin
(1)
222222222222
sin.sin.sin.sin. aSBSBSBSBaSBSB
22222222
)sin(cos)sinsin1( aSBaSB
22
sincos
a
SB
2222
sincos
sin
,
sincos
sin
a
BD
a
SA
V =
)cos().cos(3
sin.sin
)sin(cos
sin.sin
.
3
1
3
1
3
1
3
22
3
aa
SAADBDSAS
ABC
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 24
30
I
C'
B'
A'
C
B
A
O
K
I
H
D
C
B
A
S
Ví dụ 7:
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và có
cạnh đáy bằng a.
Bài giải
Gọi H là tâm của hình vuông cạnh a, SH = h. Gọi I là trung điểm của BC.
Trong
SHI
phân giác của
SIH
cắt SH tại O, từ O kẻ OK
SI
, ta có OK
),(SBC
và OH = OK
nên O cách đều mặt đáy và mặt bên (SBC).
Tương tự O cũng cách đều các mặt bên còn lại.
Vậy O là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp và OH = OK = r.
Ta có:
IH
SI
SHIH
OH
IH
IS
IH
OS
OH
IS
IH
OS
OH
.
SHI
: SI
2
= SH
2
+ HI
2
= h
2
+
22
2
2
2
4
2
1
44
ah
a
hSI
a
Vậy : r = OH =
22
22
4
4
2
1
2
2
aha
ah
ah
a
h
a
Ví du 8:
Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 30
0
và diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài giải
Giả sử BI = x 3
2
32
x
x
AI
Ta có
0
' 30
'
AI BC
A IA
A I BC
Xét: x
xAI
AIIAAIA 2
3
32
3
2
30cos:':'
0
Mà: A’A = AI.tan 30
0
=
xx
3
3
.3
Vậy V
ABC.A’B’C’
= CI.AI.A’A = x
3
3
Mà S
A’BC
= BI.A’I = x.2x = 8 2
x
Do đó V
ABC.A’B’C’
= 8
3
Ví du 9:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ.
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có:
Sin A’ =
'
AA
AH
AH = AA’. Sin A’ = AA’. Sin 60
0
=
2
3b
A
A’
C
B
B’
C’
H
60
0
Các chủ đề ôn tập toán 12CB&NC GV biên soạn: Nguyễn Trường Sơn
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 25
a
60
N
H
C'
B'
A'
C
B
A
Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: h =
2
3a
Diện tích tam giác A’B’C’: S
A’B’C’
=
4
a3
h.a
2
1
2
Thể tích ABC.A’B’C’: V =
3
1
.AH. S
A’B’C’
= ba
8
3
2
Ví du 10:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A
’
cách đều các điểm
A, B, C. Cạnh bên AA
’
tạo với mp đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài giải
* Kẻ A
’
H
(ABC)
* A
’
cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của
ABC đều cạnh a
* Góc giữa cạnh AA
’
và mp(ABC) là
=
A AH
= 60
0
* Tính:
ABC.A B C
V
= Bh =
ABC
S
.A
’
H
* Tính:
ABC
S
=
2
3
4
a
(Vì
ABC đều cạnh a)
* Tính A
’
H: Trong
V
AA
’
H tại H, ta có:
tan60
0
=
A H
AH
A
’
H = AH. tan60
0
=
2
3
AN.
3
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
=
3
3
4
a
Ví du 11:
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy
một góc 60
0
. Tính thể tích của khối chóp đó.
Bài giải
Kẻ SH
(ABC)
Gọi I là giao điểm của AH và BC
Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm
của tam giác ABC.
AI =
2
3a
AH =
3
2
AI =
3
2
a
3
3
2
3a
Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 60
0
.
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
tan 60
0
=
0
60tan.AHSH
AH
SH
= a
Diện tích tam giác ABC: S
ABC
= BC.AI
2
1
=
2
a
4
3
a
2
3a
2
1
Thể tích khối chóp:
V =
3
1
SH. S
ABC
=
3
1
32
a
12
3
a
4
3
a
A
B
C
S
I
H
