Phương trình cực trị và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (503.36 KB, 86 trang )
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
Phần Mở Đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình bộ môn Toán ở trờng THCS có một mảng kiến thức
rất quan trọng, đó là các dạng toán về phơng trình. Đây là dạng toán cơ bản
có mặt xuyên suốt trong hầu hết chơng trình học của các em, và còn có mặt
rất nhiều ở trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh, cũng nh đề thi tuyển
sinh Thế nh ng không phải học sinh nào cũng nắm bắt, hiểu rõ đợc các dạng
phơng trình và cách giải nó một cách hoàn chỉnh nhất. Qua chuyên đề này tôi
xin đợc trình bày một số dạng toán về phơng trình cơ bản, nâng cao, cách giải
và một số ứng dụng của phơng trình đối với chơng trình học ở bậc THCS,
nhằm làm cơ sở cho các em nắm bắt và tiếp cận với các dạng toán về phơng
trình đợc dễ dàng hơn.
II. Mục đích nghiên cứu:
Đa ra các dạng phơng trình cơ bản, phơng pháp giải và các ứng dụng
của phơng trình, nhằm phục vụ cho công tác dạy và học ở bậc THCS.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Cung cấp cơ sở lý thuyết về phơng trình, các dạng phơng trình cơ bản,
nâng cao.
Trình bày một số phơng pháp giải cơ bản của phơng trình.
Trình bày các ứng dụng của phơng trình.
IV. Phơng pháp nghiên cứu:
Tham khảo sách, báo, tài liệu có liên quan.
Tham khảo một số phần mềm dạy học Toán.
Thực nghiệm thực tế.
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
Đề tài:
Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao
và ứng dụng
Phần I: Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao
I - Phơng trình bậc nhất
!"#
$%&'(
)*
'+,*-
$
=
(
)*&'&'+./0,(
)*&'
'.,(
Ví dụ 1:1
$ $
+ = +
Giải:*2,#
'(34#
5 5
$ $
6$ 7 6$ 7
$ $
6 7$ 6 7
+ +
=
+ = +
+ = +
=
)*
'+,*-
6 7
$
= =
)*&+./0,(
Ví dụ 2:1#
5 5
8$ 5 5$ $ 9 $
5 : ; <
+
= +
Giải:=->?+**@A2/B+
(
5 5
5 5
8$ 5 5$ $ 9 $
5 : ; <
8$ 5 $ 9 $ 5$
5 ; < :
+
= +
+
= +
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 5
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
5 5
8$ 5 56$ 97 56 $ 7 5$
5 :
+ +
=
9$ < 9
5 :
:69$ <7 9; $
;
+
=
+ = =
C-,D>?
$
;
=
(
Bài tập thêm:
Giải các phơng trình sau:
$ 5$ 9$ <$
7
9 < 8 5
$ $ 9 $ 8 $ 5 $ < $ ;
7
EE EF E8 E: E; E<
$ $ $ <$
7
+ = +
+ + = + +
+ + +
+ + + =
+ +
Hớng dẫn giải:
$ $ 9 $ 8 $ 5 $ < $ ;
7
EE EF E8 E: E; E<
$ '' $ '' $ '' $ '' $ '' $ ''
EE EF E8 E: E; E<
6$ ''76 7
EE EF E8 E: E; E<
$ ''
+ + = + +
+ + = + +
+ +
=
$ $ $ <$
7 <
$ $ $ <6 7 <$
<6 $7
6 $76 7
<
6 $76 7 '
+ + +
+ + + + + =
+ +
+ + + + + + + +
+ + =
+ +
+ +
+ + + + =
+ +
+ + + + =
+ +
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 9
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
II - Phơng trình bậc hai
Kiến thức cần nắm vững:
( 3>?+ $
5
%$%&'GB+$
>?G>?H,/04
'(
5( 32*-+H /*
$
5
&'6
'&'&'7?,>?$&'
$
5
%$&'6
'&'7?,>?$
&'
5
$
=
$
5
%&'6
'&'7?,>?
5
$
=
*?H*.
,*?I*(
3D+ $
5
%$%&'6*2H'7
J
5
< =
K'#.,
&'#+,2L
5
$
5
=
M'+5,
=,
5
$
5
=
J
5
N N =
6*,/0O
&5P7
N
K'#.,
N
&'#+,2L
5
$
=
N
M'+5,
=,
5
N
$
=
3. Định lí Viét
)*$
5
%$%&'+,$
$
5
?!D
,+>?#
5 5 5
Q $ $ 3 $ $
= + = = =
áR#)*$
5
%$%&'
7 S+,$
&%%&'?T> *%%&'$
&?
5
$
=
7 S+,$
&U%&'?T> *U%&'
$
&?
5
$
=
Ví dụ:SH5$
5
UF$%8&'6%%&'7
C?<$
5
U9$UF&'6U%&'7
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 <
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
Định lí Viét đảo:)**?>?/0+*%&Q?!*(&3*?
>?5,DV
5
UQV%3&'64*2WXQ
5
U<3
'7
Ví dụ:Y/0DZ>?
9
9
?!DZ>?
9 9
9
+
Giải:[/0>?WXD5#
5
9 9 9
V V '
9 9
+
=
ữ
-9V
5
9
VU69%
9
7&'
1T-/0>??
9
9
+
(
Các dạng toán thờng gặp:
Ví dụ 1: 1?,>*#
$
5
U56%57$%%8&'
Giải:
Y\T#&']?#<$%8&'(
Q*-+,*-
8
$
<
=
(
Y\T5#
'
(^+#
[ ]
5
5 5
N 6 57 6 87
< < 8 <
= + +
= + + = +
%)*U%<K'-M<.,(
%)*U%<&'-&<+,2L
9
$
5
=
%)*U%<M'-K<+5,=,#
5
5 < 5 <
$ $
+ + + + +
= =
Ví dụ 2:1#
5 5 5 5 5 5
$ EE$ $ EE$ 5 $ EE$ 9 $ EE$ < $ EE$ 8 $ EE$ ;
EE E: EF E; E8 E<
+ + + + + +
+ + =
Giải:
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 8
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
$ EE$ $ EE$ 5 $ EE$ 9
EE E: EF
$ EE$ < $ EE$ 8 $ EE$ ;
E; E8 E<
$ EE$ '' EE $ EE$ '' E: $ EE$ '' EF
EE E: EF
$ EE$ '' E; $ EE$ '' E8 $ EE$ '' E<
E; E8 E<
+ − + − + −
+ + =
+ − + − + −
= + +
+ − + + − + + − +
⇔ + +
+ − + + − + + − +
= + +
6$ EE$ ''76 9 97
EE E: EF E; E8 E<
$ EE$ '' '
$
$ ''
⇔ + − + + + − − − −
⇔ + − =
=
⇔
= −
C-,D>?$&B_$&''
VÝ dô 3: SB$
5
U'$U
5
&'67
(S@`,D67>?WBD
$
5
%'$U&'657
(C4HW?BD67+,$
$
5
Ba*
2,;$
%$
5
&8
Gi¶i:(C4
≠
'
5
N 58 '∆ = + >
4
∀
(
Q*-67>*.>*.+5,( ¸RW>!CL+#
5
5
$ $ '= − ≠
(bB+
$ '≠
(
Y+#
5 5
$ '$ ' 6 7− − = ∗
S5D
6 7∗
4U$
5
T
5 5
5 5 5
5
$ '$
'
$ $ $
'
'
$ $
− − =
− − −
⇔ − + + =
÷
C-
$
5
$
>?H,D657(
(Yc67+#
5
N 58 '∆ = + >
4
∀
(
C->*.+5,=,(YdB?+,#
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – ;
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
5
5
5
5
$ $ ' 67
$ ($ 67
;$ $ 8 67
+ =
= −
+ = −
167?67T$
&?$
5
&-?B67T
= ±
(
VÝ dô 4:SB#
5 5
$ 56 7$ 9 5 ' 67− + − − − =
(S@`4eHWD67>*.+5,
H*(
(YHHWD67+,$&(
(YHHW*67+5,$
$
5
Ba#
5$
%9$
5
&8
(YHWD67+,$
$
5
Ba$
5
%$
5
5
&
5
U5%9(
Gi¶i:(Y+#
[ ]
5
5
5 5
5
5 5
N 6 7 6 9 5 7
5 9 5
< < 5
657 5(5 65 7
∆ = − + − − − −
= + + + + +
= + +
= + + + = + +
bB
5
65 7+
M'4
f∀ ∈
X
5
65 7+
%M'4
f∀ ∈
(
bB-67>*.>*.+5,=,(
g_2HdBW>!CL> +#
5
5
5 5
5 5
$ $ 9 5
6 5 7 5
6 7 6 5 7
= − − −
= − + + −
= − + + −
Q*-
5
$ $
K'4
f∀ ∈
(
bB-67>*.>*.+5,H*(
(367+,$&2?h2
5 5
5
6 7 56 76 7 9 5 '
5
9 5 '
9
− − + − − − − =
⇔ − + = ⇔ = ±
(bB
5
N 65 7 ∆ = + +
M'4
f
∀ ∈
X>*.+5,=,(
¸RW>!CL+#
5
5
5
5
$ %$ &56%7 6N7
$ ($ &9 565N7
5$ %9$ &8 69N7
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – F
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
Yc69P7> +#
[ ]
5 5 5 5
56$ %$ 7%$ &8 5 56 7 $ 8 $ < 6 7⇔ + + = ⇔ = − ∗
Y-?B67T#$
&5%5U6U<7&;%6ii7
Y-6i7?6ii7?B65P7T#
5
5 5
5
6; 76 <7 9 5
5< 5 9 5
5 < 5 ' 6<N7
+ − = − − −
⇔ − + + = − − −
⇔ − − =
16<P7T
5 <;
5
±
=
(Yc=*->*.>*.+,=,(
Y+#$
5
%$
5
5
&6$
%$
5
7
5
U5$
$
5
&
5
U5%968P7
YdBW>!CL> +#
$
%$
5
&56%7
$
($
5
&9
5
U5U
Y-?B68P7T#
5 5 5
5 5 5
5
<6 7 56 9 5 7 5 9
< : < ; < 5 5 9
E < 9 '
F 55
E
+ − − − − = − +
⇔ + + + + + = − +
⇔ + + =
− ±
⇔ =
C-HWj>?
F 55
E
− ±
=
VÝ dô 5:SB5$
5
%65U7$%U&'
(Y+5,$
$
5
/BB9$
U$
5
&
8
5
(Y,*(
(Y,@k,2.R*?B
Gi¶i:(g*0+5,=,
'
∆ >
-
5 5
65 7 :6 7 65 97 '∆ = − − − = − >
2
8≠
YdB?,#
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – :
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
5
5
5
5 5
$ $ 67
5 5
$ ($ 657
5
8
9$ $ 697
5
− −
+ = − =
−
=
− =
Sc67?697T#
; 5
<$ 9
5
−
= = −
/*-
9
$
<
−
=
Y-?B67T#
5
5 9 9
$
5 < <
− − +
= − =
C-697+
9 9
< < 5
− + −
− =
÷
-;
5
U95%'&'
bB+9
5
U;%8&'?,>?
'
9
=
?
5
&5
C-+HWD>?
'
9
?55,DaBB
a,@9$
U$
5
&
8
5
(
(g*0,*,#
5
'
Q '
5
- 6 7
3 '
'
5
−
>
>
∗
> −
>
C4
5
'
5
−
>
+
5
<
4
'
5
−
>
M(
^T> -`,6i7.,@>?2.+HW?BD
,*(
(bBQ&
5
5
−
?3&
5
−
X+#
5 5 5
Q 53
5 5 5
− −
+ = + = −
C-,@k,2.R*?B>?#
$
%$
5
%5$
$
5
&
5
−
(
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – E
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
ví dụ 6:^.$
5
U8$%<&'a-!#
( Y
5
$ $+
( 1HW*@
5 5
5 5
5 5
5 5
9$ 8$ $ 9$
g
<$ $ <$ $
+ +
=
+
Giải:3$
5
U8$%<&'>*.+5,=,H,
/0%%&'$
%$
5
&8!$
($
5
&<(
(Y+#
5
5 5 5
6 $ $ 7 $ $ $ $ 8 5 < E+ = + + = + =
v-
5
$ $+
&9
(
5 5
5 5
5 5
5 5
9$ 8$ $ 9$
g
<$ $ <$ $
+ +
=
+
(Y4!$
5
%$
5
5
+#
$
5
%$
5
5
&6$
%$
5
7
5
U5$
$
5
&58&:&F
gHWDg>?#
9(F 8(< F
g
<(<(8 :'
+
= =
(
Bài tập thêm:
Bài 1:SB$
5
U6%7%&'
(YHHWD/BB>D`E(
(C4HW?BDHDH, THW
l(
Bài 2:S@`
9 5
$ 6 7$ 6 7 ' + + + + + =
+H,>?(
Bài 3:SB+$#$
5
U56U7U9U&'
(S@l+,/04e
(Y/BB,/0$
$
5
DB*2,#
5 5
5
$ $ '+
Bài 4:SB#$
5
U65U97$%
5
U9&'
(S@`>*.>*.+,2-(
(W+,$
$
5
B#K$
K$
5
K;(
( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 trờng Lê Hồng Phong, năm học 1998 1999)
Bài 5:SB$
5
%$%&'G$
5
%$%&'
YHHWDX+!,*(
Hớng dẫn giải:
Bài 1:(1,/*HWD#
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 '
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
5
5
5
9 9
5
6 7 < ' 67
$ $ 657
$ ($ 697
$ $ E 6<7
∆ = + − >
+ = +
+ =
Y+#
9 9
5
$ $ E+ =
/*-6
5
$ $+
7
9
U9$
$
5
6
5
$ $+
7&E(Y-?B!
HWD(
($
5
%$
5
5
&6$
%$
5
7
5
U5$
$
5
&6%7
5
U5&
5
%M'4
∀
(
C-HWlD$
5
%$
5
5
`(
Bµi 2:Shj@#C9+*9,?m67&
'm67&'m67&'/*-+9,(
Bµi 3:(S@
'∆ ≥
4
∀
(
(1,
5
5
5 5
5
$ $ 56 7
$ ($ 9
$ $ '
+ = −
= − −
+ ≥
HH#
9
5
≥
B_
'
≤
Bµi 4:
5 5
5 5
( 65 97 <6 97
< 5 E < 5 E
∆ = − − −
= − + − + =
∆
&EM'(3>*.+,=,2-(
(
9#∆ =
,D>?#
5 9 9 5 9 9
$ $ 9
5 5
− + − −
= = = −
Y+K$
K$
5
K;B+KU9KK;
⇔
<KK;(
Bµi 5: 1e$
'
>?,*D(
Y+#$
'
5
%$
'
%&'67G$
'
5
%$
'
%&'657
Yc67?657+#$
'
%$
'
U&'
'
'
' '
$ 6 7 6 7 '
6 76$ 7 '
'
$ ' $
⇔ − − − =
⇔ − − =
− = =
⇔ ⇔
− = =
• &]?$
5
%$%&'+
∆
&U<&9K'(3
.,(n&6>B 7
• $
'
&-?B67+
5
%%&'
⇔
&5
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 –
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
&5+,*>?
C-&5>?HWj(
III - Các loại phơng trình quy về phơng trình bậc hai:
1. Phơng trình tích:
3!>?+ #
n6$7(o6$7 &'67
YB+n6$7o6$7 >?H@(
67hjcn6$7&'o6$7&' A>-
HWXDZ(
SHH=!@?=p+qr*eB
, !(SH_Rs\T/p
R?->\Te?(
Ví dụ 1:165$
5
U9$%76$
5
%<8$%987&'
Giải: Y+#65$
5
U9$%76$
5
%<8$%987&'
5
5
$
$
5$ 9$ '
5
$ <8$ 98 '
$
$ 98
=
=
+ =
+ + =
=
=
Ví dụ 2:1
6$
5
U76$
5
%<$%97&E5
Giải:o]?#
6$
5
U76$%76$%97&E5
6$U76$%7
5
6$%97&E5
_$%&-]?#
6-U57-
5
6-%57&E5
-
5
6-
5
U<7&E5(
_-
5
U5&tt%5
']?#
6t%576tU57&E5
t
5
&E;
t&
<(
JB t&<H4*2,t%5
'(
C4t&<-
5
&;B+-&
<(
C4-&<$%&<X$&9(C4-&<$%&<X$&8(
C-,D$&9$&8(
Ví dụ 3:1
6$%576$U576$
5
U'7&F56i7
Giải:6i7
6$
5
U<76$
5
U'7&F5
_$
5
UF&-]?#
6-%976-U97&F5
-
5
&:
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 5
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
-&
E
VL$
5
UF&ET$&
<(
VL$
5
UF&ET$
5
&5.,(
C-$&
<
Ví dụ 4:1
6$U7
9
%$
9
%6$%7
9
&6$%57
9
Giải:Q*2T#
V
9
U9$
5
U9$U<&'
$
9
UU9$
5
U9$U9&'
6$U76$
5
%$%7U96$
5
%$%7&'
6$
5
%$%76$U<7&'
bB$
5
%$%
'X+,$&<(
2. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
SH4@]u*@#
Y*2,$HW6YV7D(
v*-Au*@]DA2pu*@(
1cT(
),D>?HHWTDBa*2,$H
W(
Ví dụ 1:1
<- 5
- 5 - 5 - 5
+ = +
+ +
Giải:*2,
- 5
u*2H'(
gu**#-
5
U<(Q*2r*-Au*A2pu*T#
-U5%<-&-
5
U<%56-%57--
5
U9-%5&'
1T,>??5()HW-&52.Ba*2,@
>?5
YV(
C-h+,>?-&(
Ví dụ 2: 1
$ $ 9 5
$ 5 $ < 6$ 576< $7
+
+ =
67
Giải:*2,D
$ 5 $ <
(
o67#
6$U76$U<7%6$%976$U57&5(
Y*eT5$6$U57&'657
),D657>?$
&'$
5
&5(
Y-$
&'Ba*2,D?BH$
5
&52.Ba*
2,D?BH(
C-,D$&'(
Các dạng toán điển hình và nâng cao
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 9
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
Bài toán 1:1
5 5
5$ F$
9$ $ 5 9$ 8$ 5
=
+ + +
Giải:*2,#
5
$ $
9
Y-$&'2.>?,D(bB+p?u*
B$]?#
5 F
5 5
9$ 9$ 8
$ $
=
+ + +
_&9$%
5
$
]?#
5
5 F
8 5 < 8
8
= + = +
+
1?-0(
),D>?
EF
$
;
=
Ghi nhớ: Ta thờng dùng phơng pháp trên đối với các phơng trình có dạng
sau:
5 5
5 5
5 5
5
5 5
$ $
(
$ $ $ r$
$ $ $ $
5( '
$ $ $ r$
$ $ $
9( '
$ $ $ r$
+ =
+ + + +
+ + + +
+ =
+ + + +
+ +
+ =
+ + + +
Bài toán 2:1
5
5
5
<$
$ 5
6$ 57
+ =
+
Giải:*2,
$ 5
(YX?B5D
5$
5$
$ 5
+
]
?#
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 <
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
5
5
5
5
5
5$ 5$ 5$
$ 5$ 5 5$
$ 5 $ 5 $ 5
5$ 5$
$ 5 5$
$ 5 $ 5
5$ <$
5 '
$ 5 $ 5
+ =
ữ
+ + +
=
ữ
+ +
+ =
ữ
+ +
_&
5
$
$ 5+
(^+#
5
< 5 '+ =
1T&5B_&;(
C4&5T$&
8
C4&;-?B.,(
Bài toán 3:1
5 5
5
5
$ 5 $ 5 $ <
5' 8 <: ' 67
$ $ $
+
+ =
ữ ữ
+
Giải:đ*2,
$ $
_
$ 5 $ 5
- t
$ $
+
= =
+
(367]?#
5'-
5
U8t
5
%<:-t&'
)*-&'t&'6>B 7
)*
- ' t '
DBt
5
(3]?#
5
- -
5' <: 8 '
t t
+ =
ữ
đ_&
-
t
(Q*-5'
5
%<:U8&'
=->? e/aH(
H/0#$&9$&
5
9
Bài toán 4:1?,>*#
< 9
< 9
$ $ $
$ $ 5 $
+ + +
=
+ + +
Giải:*2,H*@+w#
< 9
$ $ 5 ' 67
$ ' 657
+ +
+
Y-
< 9
$ $ 5+ +
M'2
$ '
(
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 8
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
^
$
6$7
9
6$7
<
B-
< 9
$ $ 5 5 '+ + >
)*UK$K'6$7
9
B-
< 9 <
$ $ 5 $ '+ + + >
(
C-*2,657>*.>*.Ba(Q*-*2,H*@+
w>?
$
(
Y-`$&'>?,D2?h2#
5
5
= =
Trờng hợp 1:)*
5
+aB4 #
< 9 < 9 < 9
< 9 < 9 < 9
$ $ 6$ $ 7 $ $
$ $ 5 6$ $ 7 $ $
+ + + +
=
+ + + +
6Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức:
= =
7
[-
$
5 $
+
=
+
-6U57$&5U697
()*&5.,5U
'
()*
5T,
5
$
5
=
trờng hợp 2:)*&5aB/*#
< 9
< 9
$ $ 5 $
$ $ 5 $
+ + +
=
+ + +
[-
9
< 9
6 7$ 56 7
$ $ 5 $
+
=
+ + +
()*&
*>?,
()*
*T#
9
< 9
$ 5
$ $ 5 $
+
=
+ + +
[-6$%76$
9
%57&$
<
%$
9
%5
$
<
%$
9
%5$%5&$
<
%$
9
%5
^+$&'>?,*-D
Nhận xét: (Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng phơng pháp thông thờng (quy
đồng mẫu số). Sau khi đơn giản các số hạng ta cũng đi đến phơng trình (3).
5(Bằng cách đã đợc trình bày ở bài toán trên, ta có thể giải các phơng trình
dạng#
< 9 5 9 9
< 9 5 9 5
5 5 5 5 5 5 5
$ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $
+ + + + + + +
=
+ + + + + + +
và các dạng toán tơng tự.
Bài toán 5:1
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 ;
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
9
9
$ F:6$ 7
$ $
+ = +
Gi¶i:*2,#
$ '
≠
(
QpR`x@
9
%
9
&6%7
9
U96%7+#
9
5
5
$ 96$ 7 F:6$ 7
$ $ $
6$ 7 6$ 7 : '
$ $
$ ' 67
$
6$ 7 : ' 657
$
+ − + = +
÷
⇔ + + − =
+ =
⇔
+ − =
$
$
+
&'
⇔
$
5
%&'
⇒
.,
5
6$ 7 : ' $ E
$ $
+ − = ⇔ + = ±
(
$
$
+
&E
⇔
$
5
UE$%&'
⇔
5
E FF
$
5
±
=
(
$
$
+
&E
⇔
$
5
%E$%&'
⇔
9<
E FF
$
5
− ±
=
C-+H,#
5
E FF
$
5
±
=
9<
E FF
$
5
− ±
=
Bµi to¸n 6:1
5 5
<$ 8$
<$ :$ F <$ ;$ F
+ =
− + − +
Gi¶i:*2,#
9
$ $
<
≠ ≠
C$&'2.>?,Dp?u*D5=
@B$T#
< 8
F F
<$ : <$ ;
$ $
+ =
− + − +
_&<$%
F
$
6*2,#
; :7≠ ≠
(Y+#
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – F
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
< 8
: ;
;
F
+ =
=
=
C4&;2.IT4*2,D?BH
C4&F+#
5
F FF
<$ F$ F ' $
:
+ = =
C-+5,>?
F FF
$
:
=
3. Phơng trình vô tỉ
^H?BH@y@4X_k*2,B?
BH+wA.\HHy@?2p+(
a. Phơng trình vô tỉ dạng
n o=
Y+#
5
n o 67
n o
o ' 657
=
=
)-.h
n o=
,
67?657(
Bài toán 1:1#
5
$ <$ 8 $ 5+ =
6i7
Giải:
5 5
$ <$ 8 6$ 57
3z6i7
$ 5 '
E
$ ,.,
:
$ 5
+ =
=
C-6i7.,(
YB\T_*.h+**y
_*2,Bk*@+we*2,*
A?
n o=
?HRH
X(
Bài toán 2:1
$ $ $ 5 67 + =
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 :
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
Giải:đ*2,
$ '
' $
$ ' 657
$ $ '
$ $ '
<
Y/*
67 $ $ 5 $ 697 =
C$
X
5 $
M'+5D697
697 $ $ < < $ $
$ <6 $ 7 6<7
= +
=
C$
X
$
/*-D6<7#
<6 $ 7 '
qH
$ '
(
C-6<7$-2?h2
$
&'&<6$U7
$ =
(
1HW?-Ba*2,657X>?,DaB(
Chú ý:Trong khi giải bài toán trên ta thờng chú ý đến các phép biến đổi mà
không để ý đến điều kiện tơng đơng, nếu thế thì sau khi giải xong phải thử lại nghiệm
tìm đợc.
5
67 $ $ 5 $
$ $ < < $ $
$ < $ <
$ 6< $ <7
95 $ F$ 8
6 $ 76F $ 87 '
$
558
$
5:E
=
= +
=
=
= +
=
=
=
^p> >B HW
558
$
5:E
=
Bài toán 3:1?,>*#
5 5
$ $ 5$ $ ' 67 + + =
Giải:*2,
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 E
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
5 5
$ '
$ 5$ $ ' 657
≥
+ + ≥
VLK'2+
$ '≤
HD672.X67+,2
?h2
5 5
$ '
$ '
$ 5$ $ '
=
⇔ =
+ + =
)*&'67+ #
$ ' $ '− = ⇔ =
)*M'67/*#
5 5
$ $ 5$ $ ' 697= + + =
C5D6972.=5T#
5 5 5
5 5 5
5 5 5
$ $ 5$ $ '
$6 5$ $ 7 '
$ '
5$ $ ' 6<7
= + + =
⇔ − − + =
=
⇔
− − + =
Y+#
5 5 5
6<7 5 $ 6<N7⇔ − = +
Y-6<P7+,2?h2
5 5
' − ≥ ⇔ ≥
o5D6<P7+#
< 5 5 5 5
< 5 5 5
5 < 6$ 7
9 5 < $ ' 687
− + = +
⇔ + − + =
)4
5
≥
HD687X687.,(
C-aB+,*-$&'
Bµi to¸n 4:1
F$ 9 9$ E 8$ 5F− − − = −
Gi¶i:_*2,
F$ E '
E
9$ E ' $
9
8$ 5F '
− ≥
− ≥ ⇔ ≥
− ≥
C> 4 #
F$ 9 9$ E 8$ 5F− = − + −
C5D*2.=+5
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – 5'
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
F$ 9 9$ E 8$ 5F 5 69$ E768$ 5F7
99 $ 5 69$ E768$ 5F7 67
= + +
=
( )*99U$K'-$M99.,
{( VL
E
$ 99
9
5D67*2.=5T#
':EU;;$%$
5
&;'$
5
UF'<$%5'85
[-8E$
5
U;9:$%E;9&'
1?-T5,$
&E?$
5
&
'F
8E
(),$
5
K
E
9
X
>B (
C-aB+,*-$&E(
b. Một số phơng trình vô tỉ có cách giải đặc biệt:
b.1: Giải phơng trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ:
Bài toán 1:1
$ 9 < $ $ : ; $ + + + =
Giải:
_
5 5
- $ $ -
$ -
- ' - '
= = +
=
3aB]?#
$ 9 < $ $ : ; $
- 5 - 9 6i7
+ + + =
+ =
1W*-,06i7dB*2,
-
'T,/0>?#
5 - 9(
Yc+#
$ - 5 $ 9 =
< $ E 8 $ '
C-,/0D.h>?#
8 $ '
b.2: Dùng lợng liện hiệp:
Bài toán 1:1
5 5
9$ 5$ 8 9$ 5$ : F + + + =
67
Giải:)=D4>T>,,DH+#
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 5
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5
5 5
5 5
5 5
9$ 5$ 8 9$ 5$ : 9$ 5$ 8 9$ 5$ :
F 9$ 5$ 8 9$ 5$ :
F F 9$ 5$ 8 9$ 5$ :
9$ 5$ 8 9$ 5$ : 657
+ + + + +
= + +
= + +
+ + =
S67?657+#
5 5
9$ 5$ 8 < 9$ 5$ 8 ; + = + =
5
9$ 5$ '
$
$
9
=
=
=
Yp> T,D>?
$
9
=
$&(
Ghi chú:Có thể trình bày lời giải theo cách sau:
Đặt u =
5
9$ 5$ 8 +
; u
0
v =
5
9$ 5$ : +
; v
0
Ta có phơng trình (1) trở thành:
5 5
* F
* F
$
* <
* F *
9
$
* 'G ' * 'G '
9
+ =
+ =
=
=
= =
=
=
Bài toán 2:1
6$%<76$%7U9
5
$ 8$ 5 5+ + =
Giải:*2,
5
$ 8$ 5 '+ +
Y+#6$%<76$%7U9
5
$ 8$ 5 5+ + =
5
6$%<76$%7 9 $ 8$ 5 ' + + =
_-&
5
$ 8$ 5+ +
-
'
367
5
- 9- ' - ' =
-6- 97 '
-&'
-&9
=
C4-&'
5 5
$ 8$ 5 ' $ 8$ 5 ' + + = + + =
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 55
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
8 F
$
5
=
C4-&9
5 5
$ 8$ 5 9 $ 8$ 5 E + + = + + =
5
8 89
$ 8$ F ' $
5
+ = =
C-,D
8 F
$
5
=
G
8 89
$
5
=
c) Một số dạng vô tỉ khác:
Bài toán 1:1
$ 9 $ 9
$
$ $ 9 $ $ 9
+
+ =
+ +
Giải:*2,*@+w>?
$ 9
YHD
$ 9 6$ 976 $ $ 97
$ $ 9 6 $ $ 9 76 $ $ 97
6$ 976 $ $ 97
9
+ + +
=
+ + + + +
+ +
=
Y|#
$ 9 6$ 976 $ $ 97
9
$ $ 9
+
=
C-+aB4
( )
(
)
( )
(
)
$ 9 $ $ 9 $ 9 $ $ 9 9$ + + =
Q*2T
( ) ( )
9 9
5 9
$ 9 $ 9 5 6$ 97 9 9$ + + + =
bB5D*5#
( ) ( )
9 9
5 9
5 9 5
$ 9 $ 9 5 6$ 97 5F$
5 6$ 97 $6E 5$ 7
+ + + =
=
)*
5
$6E 5$ 7
K'@>?
9 $ '< <
B_$M
9 9
5
.
,
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 59
Đề tài:Các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao và ứng dụng
VL
5
$6E 5$ 7
M'@>?
9 $
9 9
5
HD*
5#
<6$
5
U97
9
&$
5
6EU5$
5
7
5
[-5F$
5
&':(Yc+$
&5$
5
&56>B 7
C-aB+,*-$&5
Bài toán 2:1
t t 9 5 6t 76t 97 < 5t + + + + =
Giải:*2,t
(3+/*#
Y-
t 9 9 5+ + =
H
5G
<U5t
<U5(&5H
5
Q*-H``5-<U5t&5t&(
C-+,>?t&(
4. Phơng trình trùng phơng
b #J?+ $
<
%$
5
%&'6
'7?H>?I
R#_$
5
&M' r*d*
5
%%&'
Phơng trình at
2
+ bt + c = 0 Phơng trình ax
4
+ bx
2
+ c = 0
5, <,
, 5,
5,= C.,
C., C.,
gHr*H+ #
5
$ $ '+ + =
>*.>*.T
?- `H_-&$
(
Bài toán 1:1
( 9$
<
U:$
5
5&'
( 6-U<76-U876-U;76-UF7&;:'
(
5
t t
< 9
t t
= +
ữ ữ
Giải:
. đ_$
5
&
'+9
5
U:U5&'
1T
&6U%&'76>B 7?
5
&F
C-IaB+,>?
5
$ F=
(Y> aB/*#
6-U<76-UF76-U876-U;7&;:'
Sinh viên:Nguyễn Khánh LyLớp: CĐSP Toán tin_ K48 5<
§Ò tµi:C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, n©ng cao vµ øng dông
[-6-
5
U-%5:76-
5
U-%9'7&;:'
_-
5
U-%9'&T#6U57&;:'
1T
&<5
5
&<'
C4
&<5-
5
U-U5&'T,>?-
&?
-
5
&5
C4
5
&<'-
5
U-%F'&'?-.
,(
C-aB+,>?-
&-
5
&5
(_
t
6 7
t
−
= ∗
T
5
U9U<&'>?,>?
&
5
&<
Y-HHW?->j>T?B6i7+#
t
t
−
= −
?,>?t
&
5
t
<
t
−
=
?,>?t
5
&
9
−
C-aB+,>?t
&
5
t
5
&
9
−
Bµi to¸n 2:Y_HW6r7*-XBa
<
%
5
%r
5
%
5
r
5
U<
5
r&'
Gi¶i:3aB+#
<
%r
5
U5
5
r%
5
r
5
%
5
U5
5
r&'
h-6
<
%r
5
U5
5
r7%
5
6r
5
U5r%7&'
tc+#6
5
Ur7
5
%
5
6rU7
5
&'(C-,#
5
5
5 5
r
r '
-
'
6r 7 '
r
=
− =
=
− =
=
C-T_HW*-X/*=-#
6r7&6''7B_6
±
7
b 5#3 6$%7
<
%6$%7
<
&6i7
_V&$%
5
+
36i7]?]
V
<
%V
5
%&'
VÝ dô: 1#
6$%57
<
%$
<
&:5
Gi¶i:_V&$%(3aB]?#
6V%7
<
%6VU7
<
&:5
⇔
V
<
%<V
5
%%<V
9
%5V
5
%<V%V
<
%<V
5
%U<V
9
%5V
5
U<V&:
Sinh viªn:NguyÔn Kh¸nh LyLíp: C§SP To¸n tin_ K48 – 58
