phương trình bậc hai và ứng dụng pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (156.67 KB, 11 trang )
“Phương trình bậc hai và ứng dụng”
Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.1. Định nghĩa phương trình bậc hai
1.1.1. Phương trình một ẩn x
Là biểu thức có dạng
)x(g)x(f =
. Trong đó:
-
)x(g),x(f
là các hàm số.
- Điều kiện của phương trình là tập xác định của hai hàm số f(x) và g(x). Kí
hiệu là D.
- Nếu
Dx
0
∈
sao cho
)x(g)x(f
00
=
là đẳng thức đúng thì
0
x
là nghiệm của
phương trình.
- S được gọi là tập nghiệm của phương trình. Nếu
∅=S
thì ta nói phương
trình vô nghiệm.
1.1.2. Phương trình bậc hai
Là phương trình một ẩn x có dạng
)1()0a(0cbxax
2
≠=++
. Tập hợp S là
tập nghiệm của phương trình (1). Có 3 trường hợp:
- Nếu (1) vô nghiệm thì
( )
)0k.a(kxacbxax
2
2
>+α−=++
.
- Nếu (1) có một nghiệm
0
x
thì
( )
2
0
2
xxacbxax −=++
.
- Nếu (1) có hai nghiệm
21
x,x
thì
( )( )
21
2
xxxxacbxax −−=++
.
1.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
1.2.1. Giải và biện luận phương trình bậc hai
(*)0cbxax
2
=++
.
- Nếu
0a =
thì
0cbx(*) =+⇔
+
0b ≠
−=⇒
b
c
S
+
0c,0b ≠=
∅=⇒ S
+
0c,0b ==
RS =⇒
- Nếu
0a ≠
, xét biệt thức
ac4b
2
−=∆
. Biện luận nghiệm theo dấu của
∆
:
+
0<∆
∅=⇒ S
+
0=∆
−=⇒
a2
b
S
. Khi đó
1
+
0>∆
∆+−∆−−
=⇒
a2
b
;
a2
b
S
1.2.2. Số nghiệm của phương trình
Tìm giá trị của tham số để phương trình
(*)0cbxax
2
=++
có số nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương trình (*):
- Có nghiệm kép
=∆
≠
⇔
0
0a
- Có một nghiệm
=∆≠
≠=
⇔
0,0a
0b,0a
- Có hai nghiệm phân biệt
>∆
≠
⇔
0
0a
- Có nghiệm
≥∆≠
≠=
===
⇔
0,0a
0b,0a
0cba
- Vô nghiệm
<∆≠
≠==
===
⇔
0,0a
0c,0ba
0cba
Chú ý: Nếu
0ac <
thì (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt (không cần tính
∆
).
1.2.3. Quan hệ các nghiệm giữa hai phương trình
Định tham số để hai phương trình sau có nghiệm chung
=++
=++
)2(0cxbxa
)1(0cxbxa
22
2
2
11
2
1
Phương pháp:
* Cách 1: Khi (1) và (2) đơn giản ta giải theo hai bước:
Bước 1: Giả sử
α
là nghiệm chung ta có:
=+α+α
=+α+α
)2(0cba
)1(0cba
22
2
2
11
2
1
. Dùng
phương pháp thế tìm tham số.
Bước 2: Thử lại các giá trị của tham số đã tìm được ở bước 1 để kết luận.
* Cách 2: Giải theo hai bước
Bước 1: Đặt
yx
2
=
. Đưa về bài toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
2
=++
=++
)'2(0cxbya
)'1(0cxbya
222
111
Bước 2: Chọn tham số ở bước 1 thỏa mãn điều kiện sau:
≥−=∆
≥−=∆
=
0ca4b
0ca4b
xy
22
2
22
11
2
11
2
1.2.4. Bài tập tương tự
1.3. Định lý Viét và ứng dụng
1.3.1. Nội dung định lý Viét
1.3.1.1. Định lý thuận
Phương trình bậc hai
0cbxax
2
=++
có 2 nghiệm
21
x,x
thì:
==
−=+=
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
1.3.1.2. Định lý đảo
( )
=
=+
Pxy
Syx
:y,x
y,x⇒
là nghiệm của phương trình
0PSXX
2
=+−
(Với
điều kiện
0P4S
2
≥−
)
1.3.2. Tìm các biểu thức đối xứng của nghiệm
Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét thuận)
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
0≥∆
- Tính S, P.
- Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P.
1.3.3. Tìm tham số để phương trình có một nghiệm
α=x
cho trước và tìm
nghiệm kia
1.3.4. Tìm tham số để hai phương trình tương đương
Cho hai phương trình:
=++
=++
)2(0cxbxa
)1(0cxbxa
22
2
2
11
2
1
* Hai phương trình được gọi là tương đương khi và chỉ khi hai tập nghiệm
của chúng trùng nhau (kể cả bằng ∅).
3
* Phương pháp: Xét hai trường hợp
- Hai phương trình vô nghiệm: Giải hệ
<∆
<∆
0
0
2
1
- Hai phương trình đều có nghiệm: Giải hệ
=
=
≥∆
≥∆
21
21
2
1
PP
SS
0
0
(
)2,1i(P,S,
iii
=∆
tương ưng với phương trình (i)).
1.3.5. Tìm tham số khi biết một hệ thức của nghiệm
Phương pháp: (Dùng định lý Viét)
- Tính S, P theo m.
- Biểu diễn biểu thức qua S, P. Thay S, P vào ta được biểu thức biến m. Tìm
m thỏa mãn bài toán.
- Thử lại điều kiện
0≥∆
để kết luận về tham số.
1.3.6. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
0≥∆
- Tính S, P.
- Khử tham số giữa S và P để được một hệ thức chỉ còn S và P. Thay
2121
xxP,xxS =+=
ta được một hệ thức độc lập với tham số.
1.3.7. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Tìm hai số x, y khi biết
PxyvàSyx ==+
.
Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét đảo)
- Lập phương trình bậc hai
0PSXX
2
=+−
và giải tìm nghiệm.
- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình trên.
1.3.8. Bài tập tương tự
1.5. Dấu của tam thức bậc hai và bất phương trình bậc hai
Tam thức bậc hai
)0a(cbxax)x(f
2
≠++=
. Nghiệm của tam thức bậc hai
là nghiệm của phương trình bậc hai
0)x(f =
.
1.5.1. Xét dấu của tam thức bậc hai
Để xét dấu của tam thức bậc hai ta sẽ xét biệt thức deta:
ac4b
2
−=∆
.
4
-
0<∆
tam thức bậc hai vô nghiệm
x
∞−
∞+
f(x) Cùng dấu với a
-
0=∆
Tam thức bậc hai có nghiệm kép
a2
b
−=α
x
∞−
α
∞+
f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
-
0>∆
Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt
)xx(x,x
2121
<
x
∞−
1
x
2
x
∞+
f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
1.5.2. Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R
-
<∆
>
⇔∈∀>
0
0a
Rx,0)x(f
-
≤∆
>
⇔∈∀≥
0
0a
Rx,0)x(f
-
<∆
<
⇔∈∀<
0
0a
Rx,0)x(f
-
≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0a
Rx,0)x(f
1.5.3. Bài tập tương tự
1.6. So sánh nghiệm
Cho tam thức bậc hai
)0a(cbxax)x(f
2
≠++=
có 2 nghiệm
)xx(x,x
2121
≤
.
1.6.1. So sánh hai nghiệm của tam thức với một số thực
α
-
21
xx:0)(af <α<<α
-
0)(af =α
:
α=x
là một nghiệm của tam thức bậc hai, nghiệm còn lại là
)0,
P
x(Sx ≠α
α
=α−=
-
21
xx
2
S
0)(af
0
<<α⇔
α>
>α
>∆
;
21
xx
2
S
0)(af
0
≤<α⇔
α>
>α
≥∆
5
-
α<<⇔
α<
>α
>∆
21
xx
2
S
0)(af
0
;
α<≤⇔
α<
>α
≥∆
21
xx
2
S
0)(af
0
1.6.2. So sánh hai nghiệm của tam thức với hai số thực
)(, β<αβα
-
<β
<α
⇔<β<α<
0)(af
0)(af
xx
21
-
β<<α
>β
>α
>∆
⇔β<<<α
2
S
0)(af
0)(af
0
xx
21
-
<β
>α
⇔<β<<α
0)(af
0)(af
xx
21
-
>β
<α
⇔β<<α<
0)(af
0)(af
xx
21
1.6.3. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai
)0a(cbxax)x(f
2
≠++=
có dấu xác
định trên một tập hợp
1.6.4. Bài tập tương tự
Chương 2. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Phương trình quy về phương trình bậc hai
2.1.1. Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai
2.1.1.1. Dạng đoán nghiệm
Ta chỉ xét với phương trình bậc 3:
)1()0a(0dcxbxax
23
≠=+++
Phương pháp: Tìm một nghiệm
0
x
của phương trình:
- Nếu (1) có nghiệm
)Z(x
0
∈αα=
(nghiệm nguyên) thì
∈α
Ư(d).
- Nếu (1) có nghiệm
( )
Zq,p
q
p
x
0
∈=
(nghiệm hữu tỉ) thì
)d(Up
∈
và
)a(Uq
∈
.
Khi đó thực hiện phép chia đa thức
dcxbxax
23
+++
cho
0
xx −
ta được đa
thức bậc hai
'cx'bax
2
++
. Và ta có:
6
( )
( )
'cx'baxxxdcxbxax
2
0
23
++−=+++
=++
=−
⇔=+++
0'cx'bax
0xx
0dcxbxax
2
0
23
2.1.1.2. Dạng phương trình trùng phương
)0a(0cbxax
24
≠=++
Phương pháp:
Đặt
)0t(tx
2
≥=
. Đưa phương trình về dạng
0cbtat
2
=++
rồi giải tìm
nghiệm t.
2.1.1.3. Dạng phương trình đẳng cấp bậc hai
)0ca(0cvbuvau
2222
>+=++
(u, v có thể là các biểu thức biến x)
Phương pháp: Có hai cách giải
Cách 1: Giải phương trình với
0v =
Với
0v ≠
, chia hai vế của phương trình cho
2
v
ta được phương trình sau:
0c
v
u
b
v
u
a
2
=+
+
Đặt
t
v
u
=
. Đưa phương trình về phương trình bậc hai
0cbtat
2
=++
rồi giải.
Cách 2: Giải phương trình với
0v =
Với
0v ≠
, đặt
kvu =
đưa việc giải phương trình trên về giải phương trình
bậc hai biến k:
0cbkak
2
=++
2.1.1.4. Dạng phương trình dạng hồi quy
0edxcxbxax
234
=++++
trong đó
2
b
d
a
e
=
Phương pháp: x không là nghiệm của phương trình trên, chia cả hai vế cho
2
x
ta được:
0c)
bx
d
x(b)
ax
e
x(a
2
2
=++++
Đặt
t
bx
d
x =+
b
d2
t
ax
e
xt
b
d2
bx
d
x
2
2
22
2
2
−=+⇔=+
+⇒
Đưa phương trình trên về phương trình sau:
0)
b
ad2
c(btat
2
=−++
2.1.1.5. Dạng:
( )( )( )( )
edxcxbxax =++++
trong đó
dcba +=+
Phương pháp:
( )( )( )( )
edxcxbxax =++++
7
[ ] [ ]
ecdx)dc(x.abx)ba(x
22
=++++++⇔
Đặt
tabx)ba(x
2
=+++
, ta được:
e)abcdt(t
=−+
( )
0etabcdt
2
=−−+⇔
2.1.1.6. Dạng:
( )( )( )( )
2
exdxcxbxax =++++
trong đó
cdab =
Phương pháp:
( )( )( )( )
2
exdxcxbxax =++++
[ ] [ ]
222
excdx)dc(x.abx)ba(x =++++++⇔
Đặt
tabx)ba(x
2
=+++
, ta được:
( )
[ ]
2
exxabdctt =−−++
( )
0extxabdct
22
=−−−++⇔
Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đã có phương pháp giải.
2.1.1.7. Dạng:
( ) ( )
cbxax
44
=+++
Phương pháp: Đặt
t
2
ba
x =
+
+
, ta được:
c
2
ab
x
2
ab
x
44
=
−
++
−
−
0c
2
ab
2x
2
ab
12x2
4
2
2
4
=−
−
+
−
+⇔
Đây là phương trình trùng phương bậc 4 đã có phương pháp giải.
2.1.2. Phương trình căn quy về phương trình bậc hai
2.1.2.1. Dạng:
)x(g)x(f =
Phương pháp: Điều kiện:
≥
≥
0)x(g
0)x(f
Bình phương hai vế của phương trình:
)x(g)x(f
2
=
2.1.2.2. Dạng:
)x(g)x(f =
Phương pháp:
Phương trình trên tương đương với phương trình:
=
≥
)x(g)x(f
0)x(g
2
(Chú ý rằng điều kiện
0)x(f ≥
không cần đặt ra, vì nếu
)x(g)x(f
2
=
thì sẽ
kéo theo
0)x(f ≥
)
2.1.2.3. Dạng:
0c)x(fb)x(af =++
Phương pháp: Điều kiện
0)x(f ≥
Đặt
)0t(t)x(f ≥=
, ta được:
0cbtat
2
=++
8
2.1.2.4. Dạng:
( )
0c)x(g).x(fb)x(g)x(fa
=+++
. Trong đó
k)x(g)x(f
=+
.
Phương pháp: Điều kiện:
≥
≥
0)x(g
0)x(f
Đặt
)x(g)x(ft +=
(tìm điều kiện của t). Khi đó
2
kt
)x(g).x(f
2
−
=
.
Đưa phương trình về dạng:
0kc2at2bt
2
=−++
2.1.2.5. Dạng:
0c)x(fb)x(fa
1
=++
−
Phương pháp:
2.1.3. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối quy về phương trình bậc hai
2.1.3.1. Dạng:
)x(g)x(f =
Phương pháp: Bình phương hai vế của phương trình:
−=
=
≥
⇔
=
≥
)x(g)x(f
)x(g)x(f
0)x(g
)x(g)x(f
0)x(g
22
Trường hợp:
k)x(g =
với
0k ≥
ta có:
−=
=
k)x(f
k)x(f
2.1.3.2. Dạng:
0c)x(fb)x(af
2
=++
Phương pháp: Đặt
22
t)x(f)0t(t)x(f =⇒≥=
, ta được:
0cbtat
2
=++
2.1.4. Phương trình mũ quy về phương trình bậc hai
2.1.4.1. Dạng:
0cba
)x(f)x(f2
=+α+α
Phương pháp:
Đặt:
)0t(t
)x(f
>α=
. Đưa phương trình về dạng
0cbtat
2
=++
rồi giải.
2.1.4.2. Dạng:
0cba
)x(f)x(f
=+α+α
−
Phương pháp:
Đặt:
t
1
)0t(t
)x(f)x(f
=α⇒>α=
−
. Đưa phương trình về dạng
0bctat
2
=++
rồi giải.
2.1.4.3. Dạng:
0cba
)x(f)x(f
=+β+α
. Trong đó
1. =βα
Phương pháp:
Ta có:
)x(f)x(f1
1
1.
−−
α=β⇒α=β⇔
α
=β⇔=βα
9
Đặt:
t
1
)0t(t
)x(f)x(f
=β⇒>α=
. Đưa phương trình về dạng
0bctat
2
=++
rồi giải.
2.1.4.4. Dạng:
( )
0cba
)x(f2
)x(f
)x(f2
=β+αβ+α
.
Phương pháp:
Chia hai vế cho
0
)x(f2
>β
(hoặc
0
)x(f2
>α
) ta được:
0cba
)x(f)x(f2
=+
β
α
+
β
α
Đặt:
)0t(t
)x(f
>
β
α
=
. Đưa phương trình về dạng
0bctat
2
=++
rồi giải.
Chú ý: Trong một số trường hợp khó nhận dạng bình phương của một lũy
thừa phù hợp có thể đưa phương trình
( )
0cba
)x(f2
)x(f
)x(f2
=β+αβ+α
(ở dạng tiềm
ẩn) về dạng cùng có lũy thừa là
)x(f
:
( )
( )
( )
0cba
)x(f
2
)x(f
)x(f
2
=β+αβ+α
Khi đó ta sẽ chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất (hoặc bé nhất). Ta cũng đưa
được phương trình trên về dạng
0cba
)x(f)x(f2
=+
β
α
+
β
α
2.1.4.5. Dạng:
)0b,0a(ba
)x(f
>>=
. Trong đó f(x) là đa thức bậc hai.
Phương pháp:
Lôgarit cơ số a hai vế ta được:
0blog)x(fblog)x(f
aa
=−⇔=
(Đây là phương
trình bậc hai).
2.1.4.6. Dạng:
)0b,0a(ba
)x(g)x(f
>>=
. Trong đó
)0)x(g(
)x(g
)x(f
)x(h ≠=
là đa
thức bậc hai.
Phương pháp: Lôgarit cơ số a hai vế ta được:
blog)x(g)x(f
a
=
- Giải với
0)x(g =
- Với
0)x(g ≠
:
blog)x(g)x(f
a
=
0blog)x(hblog
)x(g
)x(f
aa
=−⇔=⇔
2.1.4.7. Dạng:
)Ra(aa
)x(g)x(f
+
∈=
. Trong đó
)x(g)x(f −
là đa thức bậc hai.
Phương pháp: Chia hai vế cho
0a
)x(g
>
ta được :
10
1a1
a
a
)x(g)x(f
)x(g
)x(f
=⇔=
−
=−
=
⇔
0)x(g)x(f
1a
2.1.4.8. Dạng:
[ ] [ ]
)x(g)x(f
)x(h)x(h
=
. Trong đó f(x)-g(x) và h(x) là đa thức bậc 2.
Phương pháp:
- Giải với
0)x(h =
.
- Với
0)x(h >
, chia hai vế cho
[ ]
0)x(h
)x(g
>
ta được :
[ ]
[ ]
[ ]
1)x(h1
)x(h
)x(h
)x(g)x(f
)x(g
)x(f
=⇔=
−
[ ]
=−
=
⇔
0)x(g)x(f
1)x(h
2.1.5. Phương trình lôgarít quy về phương trình bậc hai
2.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc tập hợp cho trước và
thỏa mãn điều kiện đã định
2.2.1. Định tham số để phương trình có một nghiệm thuộc tập hợp đã cho
2.2.2. Định tham số để mọi nghiệm phương trình có thuộc tập hợp đã cho
2.2.3. Điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc một tập hợp cho trước
2.2.4. Điều kiện để phương trình vô nghiệm trên một tập đã cho
2.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2.3.1. Tìm GTLN, GTNN trên tập hợp cho trước
2.3.2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức từ điều kiện có nghiệm của phương trình
2.4. Chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện có nghiệm và điều kiện vô nghiệm của phương trình để
chứng minh bất đẳng thức
2.5. Giải hệ phương trình
2.5.1. Hệ có một phương trình bậc hai
2.5.2. Hệ phương trình đối xứng loại một
2.5.2. Hệ phương trình đối xứng loại hai
2.5.4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
11
