Tong hop kien thuc on thi dai hoc mon toan

)

4.

I- GIẢI TÍCH TỔ HP
Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc
đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi
đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.

5.

Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :

6.

Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :

1.

2.
3.

k
An =

7.

k
Cn =

n!
k!(n − k )!

n!
k
k
, A n = Cn .Pk
(n − k)!

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
Tam giác Pascal :
1
1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

C0
0

Tính chất :

0
C1
0
C2
0
C3
C0
4

1

C1
1

1
C2

C1
3
1
C4

C2
2

2
C3
C2
4

C3
3
3
C4

k
C0 = Cn = 1, Cn = Cn− k
n
n
n
k
k
k
Cn −1 + Cn = Cn+1

8.

Nhị thức Newton :
*

(a + b)n = C0 an b 0 + C1 an−1b1 + ... + Cn a0 b n
n
n
n
a = b = 1 : ...

n
C0 + C1 + ... + Cn = 2n
n
n

Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

C 0 , C1 ,..., C n
n
n
n
*

(a + x)n = C0 an + C1 an−1x + ... + Cn x n
n
n
n
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa

C 0 , C1 ,..., C n
n
n
n

bằng cách :

- Đạo hàm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
±1

- Cho a = ±1, ±2, ...,

∫
0

β

0

hay

±2

α

∫ ... hay ∫

Chú ý :

* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :

Ck a n −k b k = Kx m
n

Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
k n −k
n

Ca
Giải hệ pt :

m / p ∈ Z

 r / q∈ Z

m
p

b = Kc d
k

, tìm được k

r
q

C4
4

)
k
k
* Giải pt , bpt chứa A n , C n ... : đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng

mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh
hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa
tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1.

Chuyển vế :

a/b = c ⇔

a

2n

a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔

 a = bc
;

b≠ 0

= b ⇔ a = ± b, a =
2n

b = c = 0
 b ≠ 0

 a = c / b

a2 n +1 = b ⇔ a = 2 n +1 b
2n

 b = a 2n
b ⇔ 
a ≥0

 b = ±a

a= b ⇔
, a = logα b ⇔ b = α a
a≥ 0
b = 0, c > 0
b>0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ 
 a < c/ b
b<0

 a > c/ b
2.

Giao nghieäm :

x >a
x⇔ x > max{a, b} ; 
⇔ x < min{a, b}

x > b
x< b

p

x>a
a < x < b(neá u a < b)  p ∨ q
Γ
⇔
; 
⇔


VN(nếu a ≥ b)
q
Γ
x< b

Γ
3.
a.

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
Công thức cần nhớ :
: chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất

phải đặt điều kieän.


)

b ≥ 0
b ≥ 0
a=b⇔
, a ≤ b ⇔
2
2
a = b
0 ≤ a ≤ b
b < 0 b ≥ 0
a≥b⇔
∨

a ≥ 0 a ≥ b2

a . b (neáu a, b ≥ 0)
ab =
− a . − b (neáu a, b < 0)
b.

.

: phá

.

bằng cách bình phương :

a =

a

2

= a2

hay bằng định nghóa :

a (nếu a ≥ 0)
− a (nếu a < 0)

b ≥ 0
a =b⇔

; a = b ⇔ a = ±b
a = ± b
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
b ≥ 0
a ≥ b ⇔ b < 0hay 
a ≤ − b ∨ a ≥ b

a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0
c.

Muõ :

y = ax , x ∈ R, y > 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ neáu 0 < a < 1.

a0 = 1 ; a− m / n = 1/ n am ; am .an = am + n
am / an = am −n ; (am )n = am.n ; an / b n = (a/ b)n
an .b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = 1
a m < an ⇔
d.

m < n (neáu a > 1)
, α = a loga α
m > n (neáu 0 < a < 1)

log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ neáu a > 1, y↓ neáu 0 < a < 1, α = logaaα
loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )

log a M 2 = 2 log a M , 2 log a M = log a M 2 (⇒)

logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
logbc = logac/logab,

log

aα

M=

1
loga M
α

loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N

loga M < loga N ⇔

0 < M < N(neá u a > 1)
M > N > 0(neá u 0 < a < 1)

4.

Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp
miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
Đổi biến :

a.

Đơn giản

b.
c.
d.

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng
thức.
Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t.
Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.

:

t = ax + b∈ R, t = x 2 ≥ 0, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = ax > 0 , t = loga x ∈ R


)
5.
a.
b.
c.
6.

Xét dấu :
Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm
đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu.
Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt
f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0)
P = x1x2 = c/a
* S = x1 + x2 = – b/a ;
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :

g = 0

 S = x1 + x 2
 P = x .x
1 2


Bieát S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔

x1 < x2 < 0 ⇔

∆ > 0

P > 0
S> 0


∆ > 0

P > 0
S< 0


* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
α < x1 < x2 ⇔

∆ > 0

 a.f (α) > 0
 α < S/ 2


α < x1 < β < x2 ⇔

7.
a.

b.

; x1 < x2 < α ⇔

 a.f(β) < 0

 a.f(α) > 0
α <β


∆ > 0

 a.f (α) > 0
 S/ 2 < α


; x1 < α < x2 < β ⇔

 a.f (α) < 0

 a.f (β) > 0
α <β


Phương trình bậc 3 :
Viête :
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a
Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C
thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔

2 nghiệm phân biệt ⇔

1 nghiệm

∆ > 0

f (α) ≠ 0
∆ > 0
∨

f (α) = 0


⇔

∆ = 0

f (α) ≠ 0

∆ = 0
∆ < 0 hay 
f ( α ) = 0

• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y =
f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa
(Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0


)
3 nghiệm ⇔

∆ y ' > 0

y CĐ .y CT < 0

2 nghiệm ⇔

∆ y ' > 0

y CĐ .y CT = 0

1 nghiệm ⇔ ∆y' ≤ 0 ∨

c.

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔

d.

∆ y ' > 0

y CÑ .y CT > 0

∆ y ' > 0

y uốn = 0

So sánh nghiệm với α :
• x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) ,
đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 +
cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)

α < x1 < x2 < x3 ⇔

x1 < α < x2 < x3 ⇔

x1 < x2 < α < x3 ⇔

x1 < x2 < x3 < α ⇔

8.

 ∆y' > 0

 y CÑ .y CT < 0

 y(α) < 0
α
CÑ
 ∆ y' > 0
 y .y < 0
 CÑ CT

 y(α ) > 0
 α < x CT

 ∆ y' > 0
 y .y < 0
 CÑ CT

 y(α ) < 0
 x CÑ < α


 ∆y' > 0

 y CÑ .y CT < 0


 y(α) > 0
x <α
 CT

Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α

2 nghieäm ⇔

 f (α ) ≠ 0

∆ > 0

, 1 nghieäm ⇔

∆ > 0

 f (α ) = 0
∆ = 0

 f (α ) ≠ 0

α x1

x1

x1

x1

α

x2

α

x2

x2

x3

x3

α

x3


)
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨

∆ = 0

 f (α ) = 0

9.

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
Phương trình bậc 4 :

a.

Trùng phương :

ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔

t = x2 ⇔ x = ±
4 nghieäm ⇔

∆ > 0

P > 0
S> 0


 t = x2 ≥ 0

 f (t ) = 0

t
; 3 nghieäm ⇔

P = 0

S> 0

P<0
2 nghieäm ⇔

∆ = 0 ;

 S/ 2 > 0

1 nghieäm ⇔

∆ ≥ 0

VN ⇔ ∆ < 0 ∨  P > 0 ⇔ ∆ < 0 ∨
S< 0

 0 < t1 < t 2
4 nghieäm CSC ⇔ 
 t 2 = 3 t1
Giải hệ pt :

P = 0

S< 0
∆ = 0

 S/ 2 = 0



P>0
S <0


 t 2 = 9 t1


 S = t1 + t 2
 P = t .t
1 2

1
. Tìm đk của t baèng BBT : t ≥ 2
x
1
– bx + a = 0. Đặt t = x –
. Tìm đk của t baèng BBT : t ∈ R.
x

b.

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x +

c.

ax4 + bx3 + cx2

d.

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT.

e.

(x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt :

10. Hệ phương trình bậc 1 :

D=

a b
a' b'

, Dx =

t = x+

a+b
, t ∈ R.
2

 ax + by = c
. Tính :

 a' x + b' y = c'
c b
a c
c' b'

, Dy =

a' c'

D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D.
D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :

Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ÑK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giaûi ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất


)
⇒α=β⇒m=?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương
trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :

 ax 2 + bxy + cy 2 = d
 2
2
 a' x + b' xy + c' y = d'

Xeùt y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t,
suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của

, .

, log, mũ có thể giải trực tiếp, các

dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.

* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm
: có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :

a+ b
≥ ab
2

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :

a+b+c 3
≥ abc
3

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacoápxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d)
(hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d)

(hay cắt)
+
III- LƯNG GIÁC
1.

Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M.
Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của

π 1
(
6 3

cung

−2 π

−2π

0

2π

0

M

π 1
phần tư) và

( cung phần tư)
4 2
2 kπ
x=α+
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng
tg
n
Hàm số lượng giác :

α
A 0
x+k2 π

sin

giác.
2.

2π

cotg

M

M
cos

3.

chiếu xuyên tâm

Cung liên kết :
chiếu ⊥
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hieäu π).


)
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
4.

π
2

(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).

Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
f. Đưa về

t = tg

a
2

: đưa lượng giác về đại số.

g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
5.

Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,

sinα = 1 ⇔ α =

π
+ k2π; sinα =
2

–1 ⇔ α = –

cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =

6.

π
+ k2π,
2

π
+ kπ,
2

cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π

tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
* Chia 2 vế cho

a2 + b 2

, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.

(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
7.

π
t2 − 1

2 sin  u +  , − 2 ≤ t ≤ 2,sin u.cos u =
4
2


Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :

Đặt :

9.

u
)
2

Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =

8.

t = tg

π
t 2 −1

t = sin u + cos u = 2 sin  u +  , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
4
2


Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :

π
1 − t2

t = sin u − cos u = 2 sin  u −  , − 2 ≤ t ≤ 2,sin u.cos u =
4
2


10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :


Đặt :

π
1− t

t = sin u − cos u = 2 sin  u −  , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
4
2


11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :

2


)
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng

* t = tg

x
2

: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.

14. Phương trình đặc biệt :
*

*

*

*

*

u=0
u2 + v2 = 0 ⇔ 
v= 0
u=v
u=C

u≤C⇔ 
v =C
v≥C

u≤A
u=A


⇔
v≤ B
u+v = A+B v = B

 sin u = 1
 sin u = −1
sinu.cosv = 1 ⇔ 
∨ 
 cos v = 1  cos v = −1
 sin u = 1
 sin u = −1
sinu.cosv = – 1 ⇔ 
∨ 
 cos v = −1  cos v = 1

Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :

 F(x) ± F(y) = m (1)

(2)
x±y = n

. Dùng công thức đổi + thành nhân,

thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :

x+y =a


x−y = b

 F(x).F(y) = m
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.

x±y=n
 F(x ) / F(y) = m
Dạng 3 : 
.
x±y=n
a c
a+c a−c
Dùng tỉ lệ thức :
= ⇔
=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
b d
b+d b−d

b. Dạng 2 :

c.

công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)

A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA


*

*

*

)

1
1
abc
S = ah a = ab sin C =
= pr
2
2
4R
= p( p − a)( p − b)(p − c)
1
Trung tuyeán : m a =
2 b 2 + 2 c2 − a 2
2
A
2 bc cos

2
Phân giác : ℓa =
b+c
IV- TÍCH PHÂN

1.

Định nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :

∫ f (x)dx = F(x) + C
*

α
∫ du = u + C ; ∫ u du =

(C ∈ R)

uα+1
+C,
α +1

α≠–1

du
= ln u + C; ∫ e u du = e u + C; ∫ a udu = a u / ln a + C
u
∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cos udu = sin u + C

∫

∫ du / sin

2

u = − cot gu + C

b

*

∫ f(x)dx = F(x)

b
a

∫ du / cos

;

2

u = tgu + C

= F(b) − F(a)

a

*

a

∫a

b

= 0 ; ∫ = −∫
a

a

b

c

b

c

a

b

,∫ =∫ +∫
a

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k ∫ f
2.

Tích phân từng phần :

∫ udv = uv − ∫ vdu
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.
b.
c.

n x

n

n

n

∫ x e , ∫ x sin x ; ∫ x cos x : u = x
n
∫ x ln x : u = ln x
x
x
x
x
∫ e sin x , ∫ e cos x : u = e hay dv = e dx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm

3.

Các dạng thường gặp :

a.

∫ sin x. cos x
m
2 n +1
∫ cos x.sin x
2m
2n
∫ sin x. cos x
2m

2n
∫ tg x / cos x

b.

m

2 n +1

:

u = sinx.

:

u = cosx.

:

haï bậc về bậc 1

:

u = tgx (n ≥ 0)


)
2m

2n

∫ cot g x / sin x :
:
∫ chứa a – u
:
∫ chứa u – a
:
∫ chứa a + u
∫ R(sin x, cos x) , R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx)
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx)
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx)

: u = cosx
: u = sinx
: u = tgx ∨ u = cotgx

u = cotgx

2

u = asint

2

u = a/cost

2

d.

2

2

c.

2

u = atgt

R đơn giản :
π/ 2

∫

(n ≥ 0)

u = tg

: thử đặt u =

0
π

x
2

π
−x

2

∫ : thử đặt u = π − x
0

e.
f.

m

n p/ q

q

n

∫ x (a + bx ) , (m + 1) / n ∈ Z : u = a + bx
m +1 p
x m (a + bx n )p / q ,
+ ∈ Z : u q x n = a + bx n
∫
n
q
1
u

g.

∫ dx /[(hx + k) ax2 + bx + c : hx + k =

h.
i.

∫ R(x, (ax + b) /(cx + d) , R là hàm hữu tỷ : u =
∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx .

4.

Tích phân hàm số hữu tỷ :

k m/n

n

(ax + b) /(cx + d )

k

∫ P(x) / Q(x) : baäc P < bậc Q
*
*

Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)
Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :

x+a→

A
A
A2

An
, ( x + a) n → 1 +
+ ... +
2
x+a
x + a ( x + a)
(x + a)n

ax 2 + bx + c(∆ < 0) →
5.

A(2ax + b)
B
dx


+ 2
(∆ < 0) = ∫ du /(u2 + a2 ) : đặt u = atgt 
∫ 2
2
ax + bx + c ax + bx + c  ax + bx + c


Tính diện tích hình phẳng :
b

SD = ∫ f (x) dx

a.

D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :

b.

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a,
b] của đường tròn lượng giác.
D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)

a

b

(C') : y = g(x) :

SD = ∫ f (x) − g(x) dx
a

c.

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0

f(x)

g(x)


)
b

SD = ∫ f(x) − g(x) dx

α/

a

y=b
g(y)

b

SD = ∫ f(y) − g(y) dy

β/

f(y)
y=a

a

Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ
gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác,
hàm mũ, hàm

.

.

Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn

−
6.
a.

(y = ... +

: trên, y = ... −

: dưới, x = ... +

Tính thể tích vật thể tròn xoay :
D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

: phải, x = ... −

: trái

f(x)

b

V = π ∫ [f (x)]2 dx

a

b

a

b
a

b

b.

V = π ∫ [f (y)] 2 dy

f(y)

a

f(x)

b

c.

g(x)

V = π ∫ [f 2 (x) − g2 (x)]dx
b

b

d.

V = π ∫ [f 2 (y) − g2 (y)]dy
a

b

a

f(x)

f(x)

c

V = π ∫ f 2 (x)dx + π ∫ g2 (x)dx

c

f.

f(y)

g(y)

a

c

e.

b

a

a

b

V = π ∫ g (y)dy + π ∫ f 2 (y)dy
a

2

c

a

-g(x)

b
a
g(x
0)

b

c

b
f(y)

c
a

-g(y)

)

+

hay


)
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.
a.
b.
c.

0
Tìm lim dạng , dạng 1 ∞ :
0
P(x)
(x − a)P1 (x)
P
(dạng 0 / 0) = lim
= lim 1

Phân thức hữu tyû : lim
x → a Q( x )
x→a (x − a)Q1 (x)
x→a Q1
f (x)
sin u
Hàm lg : lim
(dạng 0 / 0), dùng công thức lim
=1
x→a g(x )
u→ 0 u
f (x)
Hàm chứa căn : lim
(dạng 0 / 0) , dùng lượng liên hiệp :
x→a g(x)
, a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3

a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá
d.

Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức

2.

Đạo hàm :

a.

Tìm đạo hàm bằng định nghóa :

lim (1 + u)1/ u = e

u→ 0

f (x ) − f (x o )
x→xo
x − xo

f ' (x 0 ) = lim

Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
/
/
f+ (x o ) = lim , f− (x o ) = lim .
+
x →x o

b.

−
x→xo

Ý nghóa hình học :

/

/

/

Neáu f+ (x o ) = f− (x o ) thì f có đạo hàm tại xo.
k = tgα = f/(xM)

/

c.

f + : f↑
f// + : f loõm

,
,

f –:f↓
f// – : f lồi

d.

f đạt CĐ tại M ⇔

f đạt CT taïi M ⇔

α
f(x)

M

 f / (x M ) = 0
 //
 f (x M ) < 0

 f / (x M ) = 0
 //
 f (x M ) > 0

M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM.
e.

Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x ,

( loga x )′ =

1
, (ex)/ = ex
x ln a

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng
tích, thương, chứa n
f.
3.

Vi phân : du = u dx
Tiệm cận :

lim y = ∞
x →a

...

/

a : tcđ

⇒ x =
x
y

a

∞
x

∞

−∞ +∞


lim y = b

x →∞

)
⇒ y = b :

lim [y − (ax + b)] = 0

x →∞

*

*

y

b

tcn

b

x

⇒ y = ax + b : tcx

−∞

+∞

∞

y

∞

Vẽ đồ thị có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.

- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
Xét

y=

P(x )
Q( x )

• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng
bậc cao nhất của Q.
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta coù :

*

f (x) = ax + b +

P1 (x)
, tcx là y = ax + b. Nếu Q
Q( x )

= x – α, có thể chia Honer.
Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :

y = ax + b +

c
dx + e

(d≠0)

• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b :
a>0
b/ y = ax2 + bx + c
3
2
c/ y = ax + bx + c + d

a<0

a>0

a=0

a<0

a> 0 :

∆ y′ = 0

∆ y′ < 0

∆ y′ > 0
a<0:
d/ y = ax4 + bx2 + c
a>0

a<0

ab < 0

ab > 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)

ad - bc > 0

f/ y =

ax2 + bx + c
dx + e

ad - bc < 0

(ad ≠ 0)

∆ y′ > 0

∆ y′ = 0

∆ y′ < 0


)
ad > 0

ad < 0

x=a
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
g(x) = f(–x) : ñx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : ñx qua (Ox)

a
x>a

x
y>b
b

y=b
y
(C ) : y =

f (x )

(C/) : y =

f ( x ) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy).

/

: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox).

6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)

a/ Điểm cố ñònh : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m (hay Am2 + Bm + C = 0,
∀m) ⇔

A =0

B= 0

(hay

A =0

 B = 0 ). Giải hệ, được M.
C = 0


b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am +
B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔

Chú ý :

A
=C
B

VN ⇔ B = 0 ∨

A = 0

B≠ 0

(hay

A =0
A ≠ 0

). Giải hệ , được M.
B= 0 ∨ 
∆<0

C ≠ 0


B ≠ 0

A = BC VN

c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm
m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3,
trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYEÁN :
a.

b.

(C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :

. Nghiệm x của hệ là

hoành độ tiếp điểm.
Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)

* Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
* Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số
lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số
lượng tiếp tuyến).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y =

c.

y C = y C/
 /
/
y C = y C/

−

1
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
a

Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tieáp tuyeán (n =
0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) :

y C = y d
 /
y C = k

(1). Theá k

)
vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x =
số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm
chung.
* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) vaø (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm
chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều
kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm
chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x)
= 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần.

 f / (x o ) = 0
 //
 f (x o ) < 0
 f / (x o ) = 0
f đạt cực tiểu tại xo ⇔ 
//
 f (x o ) > 0

* f đạt cực đại tại xo ⇔

* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔

∆f/

>0

* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α .
• 1 bên (Ox) ⇔

• 2 bên (Ox) ⇔

∆f/ > 0


 yCD .yCT > 0


 ∆f/ > 0

 yCD .yCT < 0


* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.).
* Tính yCĐ.yCT :
• Hàm baäc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
yCÑ.yCT =

u
v

/
u (x CÑ ).u / (x CT )
, dùng Viète với pt y/ = 0.
/
/
v (x CĐ ).v (x CT )

y=

* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / baäc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng treân (x2, +∞)


)
iv)

b.

+ hàm số giảm trên (x1, x2)
a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta
cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +∞)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
Biện luận sự biến thiên của y =

bậc 2
bậc1

i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2
và

x1 + x2
p
=− .
2
m

iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2
và

x1 + x2
p
=− .
2

m

c.

Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền
đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số
nghiệm = số điểm chung.
b.

Với pt mũ, log,

, .

, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t

để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y)
= 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?)
• Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của
3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn,
đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a.

c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :

 x M + x N = 2x I
 y + y = 2y
 M
N
I

 y M = f(x M )
 y N = f(x N )


d.

Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm ñ/x qua ñt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) laø

(d') : y = –

1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I
a

của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.


14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b +

c


 y M = ax M + b +
dx M + e

 xM , yM ∈ Z

⇔

⇔

c
dx + e

)
có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ

c

 y M = ax M + b + dx + e

M

c
 xM ,
∈Z

dx M + e


c


 y M = ax M + b +
dx M + e

 x M ∈ Z, dx M + e = ước số của c


15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :

xb
x≤a
f≤g⇔a≤x≤b,f≥g⇔ 
x≥b

f

f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔

g
a
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1.

Tọa độ , vectơ :
* (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/)
k(a, b) = (ka, kb)

/

/

(a, b) = (a , b ) ⇔

 a = a/

/
b= b

(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/

(a, b) = a2 + b2
rr
v.v /
r r/
cos( v ,v ) = r r /
v .v

AB = (x B − x A , y B − y A ), AB = AB
MA = k MB
x − kx B
y − ky B
⇔ xM = A
, yM = A
(k ≠ 1)
1− k
1− k
x + xB

y + yB
M : trung điểm AB ⇔ x M = A
, yM = A
2
2
xA + x B + xC

x M =
3
M : trọng tâm ∆ABC ⇔ 
yA + y B + yC
y M =
3


M chia AB theo tỉ số k ⇔

(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :
/

v = (a, b, c), v = (a' , b' , c' )

r r


[v, v/ ] =  b/ c/ , c/ a/ , a/ b/ 
b c c a a b 




b


)

r r
r r
r r
[ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / )

*

r r
r r
[v, v / ] ⊥ v, v /
r r
rr
r r r
r r
r r
v ⊥ v / ⇔ v.v / = 0 ; v // v / ⇔ [ v ,v / ] = 0 ; v, v / , v //
r r / r //
⇔ [v, v ].v = 0
1
S ABC =
AB, AC
∆
2

1
VS.ABC =
AB, AC .AS
6

[

đồng phẳng

]

[

]

VABCD.A 'B'C'D' = [AB, AD].AA
A, B, C thẳng hàng ⇔

/

uuu uuur
r
AB // AC

* ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔

 AH.BC = 0


 BH.AC = 0



H là chân đường cao ha ⇔

 AH.BC = 0


 BH // BC


M là chân phân giác trong

A

M là chân phân giác ngòai

A

∧

⇔

∧

⇔

AB
MC
AC
AB

MB = +
MC
AC

MB = −

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.

2.

I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong
của ∆ABC.
Đường thẳng trong mp :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp
(d) :

v

∧

B

của ∆ABM với M là chân phân giác trong

= (a,b) hay 1 pháp vectô (A,B) :

x = x o + at
x − xo y − yo
, (d ) :
=


a
b
y = y o + bt

(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0

x y
+ =1
a b
x − xA
y − yA
=
xB − xA yB − yA

* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
* (AB) :

* (d) : Ax + By + C = 0 coù

v = (− B, A ) ; n = (A, B)

* (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By +
* (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0
* (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì :

uu uuu
r r
nd .nd /
cosϕ = uu uuu

r
r
nd . nd /

* d(M,(d)) =

C′

=0

( ≠ cos( n ,n ))
uu uuu
r r
d

d/

Ax M + By M + C
A 2 + B2

* Phaân giác của (d) : Ax + By + C = 0 vaø (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 laø :

∧

A


)

Ax + By + C

A 2 + B2

=±

/

/

A x+B y+C

/

A / 2 + B/ 2

n d .n

d/

> 0 : phaân giác góc tù + , nhọn –

n d .n

d/

< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +

* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ :

n

= (A, B, C) hay 2 vtcp

v , v' .

(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0

n

v , v' ]

=[

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù

n

= (A, B, C).

(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) =

Ax o + By o + Cz o + D
A 2 + B2 + C2

* (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ =

cos(n( P ) , n( P ') )

n( P ) ⊥ n( P ') , (P) // (P/) ⇔ n( P ) // n (P ')

* (P) ⊥ (P/) ⇔

4. Đường thẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp

(d) :

v

= (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :

 x = x o + at
x − xo y − yo z − zo

=
=
 y = y o + bt , (d ) :
a
b
c
 z = z + ct
o

v = [ n , n' ]

x − xA
y − yA

z − zA
=
=
xB − x A y B − y A z B − z A
 Ax + By + Cz + D = 0
* (d) = (P) ∩ (P/) : 
 A' x + B' y + C' z + D' = 0

* (AB) :

* (d) qua A, vtcp

v

thì :

d(M,(d)) =

[AM, v ]
v

* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :

cos( vd , v / )

cosϕ =

d

* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :

sinϕ =
* (d) qua M, vtcp
(d) caét (P) ⇔

cos( vd , n p )

v , (P) có pvt n

v.n

:

≠0

(d) // (P) ⇔

v.n

= 0 và M ∉ (P)

(d) ⊂ (P) ⇔

v.n

= 0 vaø M ∈ (P)

n , n'

:

)

v

* (d) qua A, vtcp
(d) caét (d/) ⇔ [
(d) // (d/) ⇔ [

v'

:

v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB

v , v' ] = 0

(d) cheùo (d/) ⇔ [
(d) ≡ (d/) ⇔ [

; (d /) qua B, vtcp

, A ∉ (d/)

v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB

v , v' ] = 0

* (d) cheùo (d/) : d(d, d/) =

≠0

, A ∈ (d/)

[ v , v' ] AB
[ v , v' ]

* (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆) : tìm

n

=0

n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n

; tìm (P/) chứa (d/), //

; (∆) = (P) ∩ (P/).

(d) ⊥ (P), caét (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/).
(d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P).
(d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/).
(d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//).
(d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/).
Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P).
Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt ñt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P).
Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P);
(d/) = (P) ∩ (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
// (∆); (d/) = (P) ∩ (Q).

5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
*
*
*
*
*
*
*
*

2

2

* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A + B − C
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) :
(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0
* Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2
với MAB : cát tuyến, MT : tieáp tuyeán ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoaøi ⇔ > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0
* (C), (C/) ngoaøi nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung);
cắt ⇔

R − R/

nhau ⇔ <

< II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ =

R − R/

R − R/

(1 tt chung là trục đẳng phương) chứa

(không có tt chung).

6. Mặt cầu :
* Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) vaø bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2.
* (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 coù taâm I(–A,–B,–C), bk R =

A 2 + B2 + C2 − D
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, caét ⇔ < R, không cắt ⇔ > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0
⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S).
* Mặt đẳng phương của (S) và (S/) :
2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0
* Tương giao giữa (S), (S/) : nhö (C), (C/).
* Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương.
* Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương.
7. Elip :
*
cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0


)
2

* (E) :

2

x
y
+ 2
2
a
b

M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a.
= 1 (a > b > 0) : tieâu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b);

tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ
B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tieâu : MF1 = a + exM,
MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E),
(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2.
* (E) :

x2 y2
+
= 1 (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a),
b 2 a2

B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y
= ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E)
tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chuù ý : tất cả các kết quả của trường hợp
này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x).

8. Hypebol :
* Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c.
M ∈ (H) ⇔

MF1 − MF2
(H) :

= 2a

x2 y2
−
a2 b2

= 1 (pt chính tắc)

tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo
B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo
B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 =
exM – a , M ∈ nhaùnh traùi MF1 = – exM – a,
MF2 = –exM + a; tieáp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tieäm cận y = ±
hình chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2.
(H) :

b
x
a

y2 x2
−

= 1 (pt không chính tắc)
a2 b2

tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 =
2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính
qua tiêu : M ∈ nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM +
a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ±

b
y
a

hình chữ nhật cơ sở : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường
hợp chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
9. Parabol :
*
Cho F, F ∉ (∆)
M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆))
(P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc).
tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; taâm sai e = 1, tiếp tuyến với
(P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ
số của y trong (d)); tham số tiêu : p.
(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với
(P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = – 2AC.
(P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với
(P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ
số của x trong (d)).

(P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).


)
tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với
(P) tại M : phân đôi tọa độ;
(P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = – 2BC .
CHUÙ Ý :
* Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm trong mp M(xo,yo) :
2 ẩn ; điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 aån A, B, C - thực ra là 2 ẩn;
đường tròn : 3 aån a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và cần biết
dạng; mp (P) : 4 ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng trong không gian (d)
= (P) ∩ (Q); đường tròn trong không gian (C) = (P) ∩ (S).
* Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ.