DE THI GV DAY GIOI CAC TINH DEN 2011

www.vnmath.com

UBND tỉnh Thái Nguyên
Sở GD&ĐT Thái Nguyên

KỲ THI GIAO VIÊN DẠY GIỎI THPT NĂM 2011
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút.


Câu 1:

a. Để đổi mới phương pháp dạy học, theo đồng chí mỗi giáo viên phải thực hiện
những yêu cầu gì?
b. Đồng chí hiểu như thế nào về phương pháp dạy học tích cực? Nêu những đặc
trưng của phương pháp dạy học tích cực.

Câu 2:
Đồng chí hãy nêu quy trình biên soạn đề kiểm tra 45 phút hoặc kiểm tra học kỳ.
Theo đồng chí thì quy trình nào là quan trọng nhất? tại sao?

Câu 3:
Khi gặp bài tập Cho x và y là hai số dương thoả mãn điều kiện:
22
1xy

 . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
11
11 11Ax y

y
x


   




, một học sinh giải như sau:
11 11
1 1 2 22228
xyxy
Ax y xy
yyxx yx x y
 


 


 

Dấu “=” xẩy ra khi x=y=1.
Đồng chí có nhận xét gì về lời giải trên? Nếu chưa đúng hãy hướng dẫn học sinh đưa ra
lời giải đúng.

Câu 4:
Khi gặp bài tập Giải phương trình:
11 2

(*)
cos sin 2 sin 4xxx

, một học sinh đã giải
như sau:
2
2
12111cos212sin
(*)
cos 2sin 2 cos2 sin 2 cos sin 2 cos 2 cos 2sin cos cos 2
sin 1
1sin sin
1
sin 1 2sin
sin 0,5
cos cos cos2 cos 2
sin .cos 0
sin 0 sin .cos 0
sin .cos 0
xx
x
xx x x xx x xxx
x
xx
xx
x
xxx x
xx
xxx
xx


   






 










2,
6
sinx 0,5
5
2,
6
xmm
xnn








 




 





Đồng chí có nhận xét gì về lời giải trên? Nếu chưa đúng hãy hướng dẫn học sinh đưa ra
lời giải đúng.

Câu 5:
Hướng dẫn học sinh giải bài tập sau;
Cho
3x  , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
Sx
x

 .

www.VNMATH.com
www.vnmath.com

………………………………….Hết………………………………………
www.VNMATH.com

SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THPT
CHU KỲ 2008 – 2011


MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1.

a) Anh (chị) hãy nêu những hoạt động toán học liên quan mật thiết với nội
dung môn Toán ở trường THPT hiện nay?
b) Khi dạy khái niệm toán học cần chú trọng nhất đến việc rèn luyện hoạt
động toán học nào cho học sinh? Lấy một ví dụ minh hoạ.
c) Hãy nêu những ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học theo nhóm
nhỏ. Hướng khắc phục những hạn chế đó.

Câu 2.
Nêu quy trình giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f(x) liên tục trên [a; b].
Hãy chỉ ra một số ứng dụng của bài toán trên để giải một số lớp bài toán
thường gặp.

Câu 3. Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c; BC = a; CA = b. Gọi I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC và S
a

, S
b
, S
c
theo thứ tự là diện tích các tam
giác IBC, ICA, IAB. Chứng minh rằng:
a b c
S .IA S .IB S .IC 0
+ + =
   
.
(
Dựa theo bài 37- SBT Hình học nâng cao lớp 10)
a) Anh (chị) hãy nêu hai định hướng để học sinh tìm được hai cách giải. Hãy
trình bày một cách giải.
b) Hãy khái quát hoá bài toán và trình bày lời giải.

Câu 4. Cho dãy số (U
n
) xác định bởi U
n
=
(
)
n
2 3
+ . Chứng minh rằng [U
n
] là một số
lẻ với mọi n (ký hiệu [U

n
] là phần nguyên của U
n
).
Anh (chị) hãy giải bài toán trên và hướng dẫn học sinh tìm lời giải.

Câu 5. Giải bài toán sau:
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2 2
.
2 2 3
P
a 1 b 1 c 1
= − +
+ + +



HẾT
Đ
Ề THI CHÍNH THỨC

www.VNMATH.com

Trang 1

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THPT

CHU KÌ 2008 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: Toán

(Hướng dẫn chấm này gồm có 05 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1.
a) 2 đ
Các hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện
- Những hoạt động toán học phức hợp như: Chứng minh, định nghĩa, giải toán
bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích …
- Hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia
trường hợp vv…
- Những hoạt động trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự,
trừu tượng hoá, khái quát hoá…
- Những hoạt động ngôn ngữ: HS thực hiện khi được yêu cầu phát biểu, giải
thích một vấn đề nào đó của toán học, trình bày lời giải bài toán …

0,5

0,5


0,5


0,5

b) 1 đ Dạy khái niệm cần chú ý đến các hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm
+ Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn tàng) là
phát hiện xem một đối tượng cho trước có thoả mãn định nghĩa đó hay không.
+ Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng thoã mãn định nghĩa đó.
- Ví dụ: Khi dạy khái niệm hình chóp đều.
+ Nhận dạng: Phải chăng mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều luôn là một
hình chóp đa giác đều?
+ Thể hiện: Cho hình lập phương ABCDA
’
B
’
C
’
D
’
. Các đường thẳng AC và
BD cắt nhau tại O. Các đường thẳng A
’
C
’
và B
’
D
’
cắt nhau tại O
’
. Hãy vẽ hai
hình chớp đều có đáy là hình vuông ABCD.

0,5




0,5
c)
2 đ
Ưu điểm:
- Một trong những phương pháp dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung
tâm.
- Học sinh được thay đổi cách học, cách làm việc, mọi học sinh được tạo
cơ hội làm việc tham gia xây dựng bài.
- HS có cơ hội thể hiện khám phá cá nhân.
- Các học sinh được thảo luận, học tập lẫn nhau, chủ động tiếp thu kiến
thức.
- Học sinh nắm kiến thức một cách vững chắc, nhớ lâu.
- Giáo viên có điều kiện phân hoá đối tượng, tuỳ vào mức độ dễ, khó của
nhiệm vụ dược giao.
- Phát huy được phương tiện dạy học hiện đại.
Tồn tại:
- Gặp trở ngại cho không gian chật hẹp của lớp học, học sinh đông.
- Thời gian hạn định một tiết, mà các hoạt động lại tiêu tốn thời gian.
- Mức độ, hiệu quả phụ thuộc vào hoạt động tự giác của học sinh.
- Những học sinh yếu, kém có thể thường ỷ lại cho các bạn học khá giỏi
làm việc, mình ngồi chơi, không làm việc.

3 ý

0,25


4-5 ý
0,5

≥6 ý
1,0




0,5
www.VNMATH.com

Trang 2

- Kinh nghiệm của GV chưa nhiều, mô hình, tài liệu về phương pháp này
còn thiếu, dẫn đến sự bao quát của Gv còn hạn chế, xây dựng kế hoạch
bài giảng còn gặp khó khăn.
- Phụ thuộc nhiều đến đối tượng.

Hướng khắc phục:
- GV cần chuẩn bị kỹ ở nhà: Mục đích hoạt động nhóm, kế hoạch phân
chia nhóm, thời gian hoạt động nhóm để trên lớp đỡ mất thời gian chia
nhóm.
- GV tích cực bao quát theo dõi các nhóm làm việc
- Đưa ra hình thức nhóm nào thảo luận quá ồn ào, mất trật tự sẽ bị trừ điểm
làm bài của nhóm.
- Gọi luân phiên học sinh trong nhóm trình bày kết quả của nhóm nhằm bắt

buộc học sinh nào cũng phải làm việc để có thể trình bày được kết quả.
- …





0,5
Câu 2
3
điểm
Quy trình:
- Tính đạo hàm f
’
(x).
- Tìm x
i

∈
(a; b) sao cho f
’
(x
i
) = 0
- Tính f(x
i
); f(a); f(b)
- So sánh các giá trị của f(x
i
); f(a); f(b) suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất cần tìm.
Một số ứng dụng cơ bản:
1.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm trên [a; b].
2.Tìm điều kiện của tham số m để BPT f(x)
≥
m có nghiệm trên [a; b].
3.Tìm điều kiện của tham số m để BPT f(x)
≥
m nghiệm đúng
[
]
x a;b
∀ ∈
.
4.Sử dụng GTLN, GTNN để giải một số phương trình, bất phương trình…
5.Tìm tập giá trị của hàm số.
6.Giải các bài toán trái ngược với các bài toán nêu trong 1., 2., 3.

0,25
0,25
0,25
0,25


2 ý
1,0

3-4 ý
1,5
≥ 5 ý

2,0
Câu 3
a)
3,5 đ
Định hướng HS tìm cách giải:
Định hướng 1.
- Chuyển bài toán về bài toán quen thuộc là chứng minh:
aIA bIB cIC 0
+ + =
   

- Chỉ rõ sự xác định của I là giao điểm các đường phân giác
- Viết điều kiện xác định D bằng đẳng thức véc tơ?
- =
 
c
BD DC
b
. Phân tích các vec tơ theo
các véc tơ gốc I ta có
+ = +
  
(b c)ID bIB cIC

- Tương tự viết điều kiện xác định điểm I
bằng đẳng thức
+ =
 
(b c)DI aIA

- Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Định hướng 2.
GV đặt vấn đề
- Biểu diễn

CI
theo hai vectơ
 
CA vµ CB
bằng cách:
+ Dựng hình bình hành IECF
+
= +
  
CI kCA mCB




0,25



0,25



0,25

0,5


B
C
A
D
I

www.VNMATH.com

Trang 3

+ Tìm cách tính k, m theo tỷ số diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB và
diện tích tam giác ABC





Cách giải: (theo HD cách 1)
+
+ + = ⇔ + + =
       
a b c a b c
2
S .IA S .IB S .IC 0 (S .IA S .IB S .IC) 0

r


aIA bIB cIC 0
⇔ + + =
   

+ Do D là chân đường phân giác trong góc A nên ta có:
= ⇒ = ⇒ − = −
     
DB c c c
BD DC ID IB (IC ID)
DC b b b

+ = +
  
(b c)ID bIB cIC
(1)
+ Do I là chân đường phân giác nên ta có:
+
= = = = ⇒ + = −
+ +
 
ID BD CD BD CD a
(b c)ID aIA
IA BA CA BA CA b c
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

0,25




0,5


0,5



0,5


0,5
b)
2
điểm

Để ý trong cách 2 điểm I liên quan đến diện tích các tam giác. Khi I thay đổi
trong tam giác ABC thì S
a
, S
b
, S
c

thay đổi, nhưng S
a
+ S
b
+ S
c
= S
Vậy thay I bởi điểm M thay đổi trong tam giác ABC ta có bài toán khái quát
hơn:
M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC, CMR:
+ + =
   
a b c
S .MA S .MB S .MC 0

Cách giải:
+ Dựng hình bình hành MECF
+ Ta có
b b
CF S S
CF CB
CB S S
= ⇒ =
 


a a
CE S S
CE CA
CA S S

= ⇒ =
 

+
a b
S S
CM CE CF CA CB
S S
= + = +
    


a b
S.CM S .CA S .CB
⇒ = +
  

a b
S.CM S .(MA MC) S .(MB MC)
⇔ = − + −
    

a b a b
a b c
(S S S )CM S .MA S .MB
S .MA S .MB S .MC 0
⇔ − − = +
⇔ + + =
  
   

1,0





0,5






0,5

Câu 4
3,5 đ
- Lời giải:
Ta có:
(
)
−
=
+ =
∑
n

n
k n k k
n
k 0
2 3 C 2 ( 3)


(
)
−
=
− = −
∑
k
n
n
k k n k
n
k 0
2 3 ( 1) C 2 ( 3)



0,5



- Tiếp đến phân tích các vectơ
 
CA vµ CB

theo các véc tơ gốc I
- Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.


B
C
A
D
I E
F

B
C
A
D
M
E
F

www.VNMATH.com

Trang 4

(
)
(
)
−
=

⇒ + + − = + −
∑
n
n n
k
k k n k
n
k 0
2 3 2 3 (1 ( 1) )C 2 3


n
k
k n k
n
k sè ch¨n, k=0
2C 2 3 2.m víi m N
−
=
= = ∈
∑

Do 0 < 2 -
(
)
< ⇒ < − < ∀ ∈
n
*
3 1 0 2 3 1 n N

Mặt khác:
(
)
(
)
(
)
(
)
 
+ = + + − − + − −
 
 
n n n n
2 3 2 3 2 3 1 1 2 3

Mà
(
)
 
< − − <
 
 
n
0 1 2 3 1

Suy ra
(
)
(

)
(
)
 
+ = + + − − = −
 
 
n n n
2 3 2 3 2 3 1 2.m 1
là số lẻ

- Hướng dẫn giải:
+ Khai triển
(
)
n
2 3
+
?
+ Nhận xét tổng
(
)
n
2 3
+
+
(
)
n
2 3

−
?
+ Hãy biểu biểu diễn
(
)
n
2 3
+
bằng biểu thức có chứa tổng
(
)
n
2 3
+
+
(
)
n
2 3
−
?
(
)
n
2 3
+
= (
(
)
n

2 3
+
+
(
)
n
2 3
−
- 1) + (1 –
(
)
n
2 3
−
)
+ Theo định nghĩa phần nguyên kết luận
(
)
n
2 3
 
+
 
 
=
(
)
n
2 3
+

+
(
)
n
2 3
−
- 1 = 2m – 1 là số lẻ





0,5



0,5




0,5



0,25

0,25

0,5



0,5

Câu 5
3 đ
Ta có: a + c = b(1- ac) > 0 . Dễ thấy ac
≠
1
⇒
0<
1
a
c
<
nên
+
=
−
a c
b
1 ac

−
⇒ − +
+ + + − +
+

= + − +
+ + + +
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2(1 ac) 3
P=
a 1 (a c) (1 ac) c 1
2 2(a c) 3
2
a 1 (a 1)(c 1) c 1

Xét f(x) =
+
= + + −
+ + + +
2
2 2 2 2
2 2(x c) 3
2
x 1 (x 1)(c 1) c 1

+ + +
= + −
+ + +
2 2
2 2 2
2(x 2cx 2c 1) 3 1
f(x) 2 víi 0 < x <

(x 1)(c 1) c 1 c

− + −
⇒ =
+ +
2
'
2 2 2
4c(x 2cx 1)
f (x)
(x 1) (c 1)

trên khoảng (0;
1
c
)
= = − + +
' 2
0
f (x) 0 că nghiÖm x c c 1
và f
’
(x) đổi dấu từ

0,5



0,5

0,5




www.VNMATH.com

Trang 5

dương sang âm khi x qua x
0
, suy ra f(x) đạt cực đại tại x = x
0

⇒ ∀ ∈ ≤ + − = +
+ +
+ − + +
2 2
2 2 2
1 2 3 2c 3
Víi x (0; ) : f(x) 2
c c 1 c 1
c 1 c c 1 c 1

Xét
= +
+
+
2
2
2c 3
g(c) víi c>0
c 1
c 1

−
= ⇒ = ⇔ =
+ + +
2
' '
2 2 2
2(1 8c ) 1
g (c) g (c) 0 c (v× c >0)
2 2
(c 1) ( c 1 3c)


⇒ ∀ ≤ = + =
1 2 24 10
c > 0: g(c) g( )
3 9 3
2 2



=



⇒ ≤ =



=


1
a
2
10
P . DÊu "=" xÈy ra khi b 2
3
1
c
2 2

Vậy giá trị lớn nhất của P là
10
3
.


HẾT

0,5







0,5





0,5

Ghi chú:
1. Phần lấy ví dụ, GV lấy ví dụ đúng khác với đáp án vẫn cho điểm tương ứng.
2. Phần giải bài tập, GV làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng.

www.VNMATH.com
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1

NĂM HỌC 2011 – 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: Toán

Câu Nội dung Điểm
Câu 1.
a)
3 điểm
Năng lực khơi d
ậy hứng thú học tập môn Toán cho học sinh là hết sức quan
trọng. Năng lực này biểu hiện ở các mặt sau:
1. V
ận dụng tốt các PPDH, sao cho việc dạy học giúp cho học sinh
phát huy tính tích cực, chủ động, độc lập sáng tạo.
2. Gợi động cơ làm cho học sinh ý thức đư
ợc họ cần phải học, họ thấy
mình thực sự đang thiếu kiến thức mới.
3. Quan tâm đ
ến việc lựa chọn hệ thống bài tập phù hợp. Tạo nhiều
tình huống để HS dự đoán kết quả bài toán, dự đoán đưa ra các bài toán m
ới
dựa trên các hoạt động trí tuệ bằng các thao tác tư duy.
4. Khai thác cái hay, cái đẹp hoặc những chi tiết, s
ự kiện lí thú liên
quan đến nội dung dạy học nhằm tạo ấn tượng cho HS.
5. Gợi động cơ thành công, c
ủng cố niềm tin cho học sinh dựa trên kết
quả học tập của bản thân.
6. Tăng cường ứng dụng các phần mềm dạy học.



0.5

0.5


0.5



0.5



0.5


0.5

6 ý
3điểm
b)2 điểm Các bước tiến hành trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Bước 1: Phát hiện vấn đề: Tạo tình huống có vấn đề, phát hiện những dạng
vấn đề nẩy sinh, phát hiện vấn đề cần giải quyết.
Bước 2: Tìm giải pháp: Đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch giải quyết vấn
đề, thực hiện kế hoạch giải quyết vấn đề.
Bước 3: Trình bày giải pháp: Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp: Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết
quả, đề xuất những vấn đề mới có liên quan.


0.5

0.5

0.5
0.5
Câu 2.
5 điểm
Định hướng 1:
- Xét
2
3
0
cos
( 3sin cos )
x
J dx
x x





2,0điểm


0.5



0.5

www.VNMATH.com
-Tính:
2 2
2
2
0 0
1
3
4
( 3 sin cos )
s ( )
3
dx dx
I J
x x
co x
 

  


 


2
0
1 1
tan( )
4 3
3

x


  
- Tính:
2
2
3 2
0
0
( 3sin cos ) 1 1
3
3
( 3sin cos ) 2( 3sin cos )
d x x
I J
x x x x



     
 


- Giải hệ:
1
3
3
1
3

3
1
6
I J
I J
I
 
  


 




Định hướng 2:
- Tìm A, B sao cho:
sin ( 3 sin cos ) ( 3sin cos )'
x A x x B x x
   

3
3 1
4
1
3 0
4
A
A B
A B

B




 
 
 
 
 



 



- Ta có:
2 2
2 3
0 0
3 1 ( 3sin cos )
4 4
( 3 sin cos ) ( 3sin cos )
dx d x x
I
x x x x
 

 

 
 


2 2
3
2
0 0
3 1 ( 3 sin cos )
16 4
( 3 sin cos )
os ( )
3
dx d x x
x x
c x
 


 


 

=
2
3 1 1
tan( )
2 2
16 3 6

8( 3 sin cos )
0 0
x
x x
 

  


Bài toán tổng quát: Tính tích phân
3
a sin cos
( sin cos )
x b x
K dx
c x d x







Cách giải: -Tìm 2 số A, B sao cho:
sin cos ( sin cos ) ' ( sin cos )
a x b x A c x d x B c x d x
    

3 2
( sin cos )

( sin cos ) ( sin cos )
d c x d x dx
K A B
c x d x c x d x
 
 

  
 
 

2 2 2 2
2( sin cos ) os ( )
A B dx
c x d x c d c x





  
  

Với
2 2 2 2
sin , os
c d
c
c d c d
 

 
 







0.5


0.5


2,0điểm

0.5



0.5



0.5


0.5

1,0điểm


www.VNMATH.com


2 2 2
tan( )
2( sin cos )
A B
K x
c x d x c d
 

 
    
 


Câu 3.
4đ
N
K
M
B1

BA
A1
D1
C1
C
D
P

Giải:
Định hướng 1: Hướng dẫn học sinh giải bằng cách gắn tọa độ.
- Gắn hệ trục tọa độ Oxyz trên hình lập phương
- Tìm tọa độ các điểm A
1
, D, D
1
, C
- Từ D, D
1
tìm trung điểm K của DD
1

- Lắp công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau CK và A
1
D ta có:
1
1
1
, .
( ; )

3
,
CK A D CD
a
d CK A D
CK A D
 
 
 
 
 
  
 

Định hướng 2: Hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp tổng hợp
- CK song song với mặt phẳng nào chứa A
1
M?
- Khoảng cách cần tính dẫn đến tính khoảng cách từ điểm K đ
ến mặt
phẳng nào?
- Tìm mối quan hệ khoảng cách từ K với khoảng cách từ A đến
(A
1
PD)?
- Tứ diện AA
1
DP vuông tại A nên
2
1

1
( ;( )
d A A DP
=?














1,5điểm


0,5điểm


0,5điểm




0,5điểm

1,5điểm



0,5điểm



0,5điểm



0,5điểm




Lời giải: Gọi M là trung điểm của BB
1
.
Ta có A
1
M//KC nên d(CK; A
1
D)=d(CK; (A
1
MD)).

Gọi N là giao điểm của AB và A
1
M.
1,0điểm


0,5điểm



www.VNMATH.com
Khi đó:
1
1
( ;( ))
1
( ;( )) 2
d K AMD NK
d A A MD NA
 

1 1 1
1 1
( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
2 2
d CK A D d A A MD d A A DP
  

Tứ diện AA
1

DP vuông tại A nên
2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 9
( ;( ) AA AP AD 4
d A A DP a
   

Suy ra:
1 1
2
( ;( )) ( ; )
3 3
a a
d A A DP d CK A D
  








0,5điểm

Câu 4
3 đ
Cho dãy số
1
2
x  ;
1
2
n n
x x

 

*
x N
 
.Tìm lim x
n
.
Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ bản
+ Ta có
1
2
2 2
2
x cos

  (đúng)
+ Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được

*
n
n 1
x 2.cos , n N
2


  

+ lim
1
lim 2. 2
2

 
 
 
 
n
n
x cos


Cách 2: Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn:
Ta có x
1
< 2  hiển nhiên
Giả sử x
k
< 2  ta chứng minh x

k+1
< 2 
2 2 2
k k
x x
   

(đúng)
Vậy
*
2
n
x n N
  
Ta có x
1
< x
2
(đúng)
Giả sử x
k-1
< x
k
ta chứng minh x
k
< x
k+1


1 1

2 2
k k k k
x x x x
 
     
Đpcm
Vậy dãy {x
n
} đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn L. Ta có
phương trình tìm L:
2
2 2 0
L L L L
     


2
1
L
L




 


Do {x
n
} dương nên giới hạn L = 2

0,5điểm



0,5điểm



0,5điểm





0,5điểm








0,5điểm

0,5điểm





www.VNMATH.com

Câu 5
3 điểm

Định hướng: Ta có thể dùng các câu hỏi dẫn dắt như sau:
H? Giả sử T là tập giá trị của P. Khi đó m  T sẽ tương đương với điều gì?
Mong đợi câu trả lời: hệ
3( 1 2)
x y m
x y m

   


 


có nhiệm
H? Hãy tìm điều kiện của tham số m để hệ trên có nghiệm?
Mong đợi câu trả lời:
Đặt

u x 1;v y 2
   
; u ≥ 0; v ≥ 0
Hệ (I) trở thành
2 2
3(u v) m
u v m 3
 


  


2
m
u v
3
1 m
u.v m 3)
2 9

 



 

  
 


 

(II)
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (u; v) với u ≥ 0; v ≥ 0

2
2
2
m
0
3
m
m 3 0
9
m m
( ) 2 m 3
3 9





  



 
  

 

 

9 3 21
m 9 3 15
2

   
H? Từ điều kiện của m ở trên hãy tìm tập giá trị T của P để từ
đó suy ra
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó.
Mong đợi câu trả lời:
Vậy tập giá trị T của P là đoạn
9 3 21
[ ;9 3 15]
2


Từ đó suy ra: min P =
9 3 21
2

; max P =
9 3 15


Bài giải:
Giả sử T là tập giá trị của P. Khi đó ta đi tìm m để hệ
3( 1 2)
x y m
x y m


   


 


có nhiệm
Đặt
u x 1;v y 2
   
; u ≥ 0; v ≥ 0

0,5điểm










0,5điểm

0,5điểm






0,5điểm
















0,5điểm

www.VNMATH.com
Hệ (I) trở thành
2 2
3(u v) m
u v m 3
 


  


2
m
u v
3
1 m
u.v m 3)
2 9

 



 

  
 


 

(II)
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (u; v) với u ≥ 0; v ≥ 0

2
2
2
m
0
3
m
m 3 0
9
m m
( ) 2 m 3
3 9





  



 
  


 
 

9 3 21
m 9 3 15
2

   
Vậy tập giá trị T của P là đoạn
9 3 21
[ ;9 3 15]
2


Từ đó suy ra: min P =
9 3 21
2

; max P =
9 3 15


0,5điểm


Ghi chú:
Phần giải bài tập, GV làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng.



www.VNMATH.com
SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
Trường THPT Quỳnh Lưu 1
KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
NĂM HỌC 2011 – 2012

MÔN: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. a. Anh (chị) hãy nêu các biện pháp khơi dậy hứng thú học tập môn Toán cho
học sinh?
b. Anh (chị) hãy nêu các bước tiến hành trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề.

Câu 2 . Tính
2
3
0
sin
( 3sin cos )
x
I dx
x x





Anh (chị) hãy nêu hai định hướng để học sinh tính được tích phân trên. Trình bày
một cách giải, sau đó phát biểu và giải bài toán tổng quát theo cách giải đó.
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm
của DD
1
. Tính d(CK;A
1
D).

Anh (chị) hãy nêu hai định hướng để học sinh tìm được lời giải bài toán trên. Hãy
trình bày một cách giải.
Câu 4. Cho dãy số
1
2
x 
;
1
2
n n
x x

 

*
x N
 
. Tìm lim x
n
.
Anh (chị) hãy giải bài toán trên bằng hai cách.

Câu 5. Xét các số thực x, y thoả mãn điều kiện:
3 1 3 2
x x y y
    
(1)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x + y
Anh (chị) hãy nêu định hướng để học sinh tìm được lời giải bài toán trên. Hãy trình
bày lời giải.

HẾT




www.VNMATH.com





Câu 1. Cấu tạo của một tiết học theo nhóm có thể như sau: (Theo [24, tr. 7]).
1/ Làm việc chung cả lớp:
+ Nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức.
+ Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ.
+ Hướng dẫn cách làm việc trong nhóm.
2/ Làm việc theo nhóm:
+ Phân công trong nhóm.
+ Cá nhân làm việc độc lập rồi trao đổi hoặc tổ chức thảo luận trong nhóm.
+ Cử đại diện (hoặc phân công) trình bày kết quả làm việc trong nhóm.
3/ Tổng kết trước lớp:
+ Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả.
+ Thảo luận chung.
+ giáo viên tổng kết, đặt vấn đề tiếp theo.
Câu 1b.
Câu 5.
Ví dụ :
Nhận xét 1: Các tài liệu hiện có mà tôi tham khảo được chỉ trình bày lời giải (1) đối
với bài toán trên. Việc hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều lời giải, giúp cho các em tiếp

cận với cách giải bài toán một cách linh hoạt và toàn diện hơn từ các phương pháp đã
học, không gò bó vào một cách giải có sẵn.
Nhận xét 2: Từ các cách giải trên có thể phân tích để tìm chìa khóa của bài toán đó
là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình:

L 2 L
L 2
L 0

 
 




Nhận xét 3: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau:
www.VNMATH.com
Bài toán 1.1: Cho x
1
= a > 0;
n n 1
x a x n 2;n N

    
tìm lim x
n
(giải tương tự
cách 1)
Bài toán 1.2:
Cho {x

n
} xác định với
1
n 1 n
x a
x a bx





 


với n  N
*
; a > 0; b>0
Tìm lim x
n
. (giải tương tự cách 1)
Bài toán 1.3: Chứng minh dãy {x
n
}
n 1 2 n
x a a a
    với a
i
> 1
i 1;n
  có giới hạn nếu:

www.VNMATH.com
SỞ GIÁO DỤC - ðÀO TẠO
BẮC GIANG
KÌ THI CHỌN GVG VÒNG 1 NĂM 2008
MÔN THI: TOÁN THPT
Ngày thi: 16/03/2008
Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1 (2 ñiểm)
1/ Cho hàm số
1)2(3)1(3
23
+−+−−= x
aaxaxy
, trong ñó
a
là tham số. Với giá trị nào
của
a
thì hàm số ñồng biến trên tập hợp các giá trị của
x
sao cho: .21 ≤≤ x
2/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số :
33
2
++−=
x
m

xxy
có ba ñiểm
cực trị . Khi ñó chứng minh rằng cả ba ñiểm cực trị ñều nằm trên một ñường cong.

Câu 2 (2 ñiểm)
1/ Bao nhiêu số có 10 chữ số tạo thành từ các chữ số 2 và 5 mà hai chữ số 2 không
ñứng cạnh nhau.
2/ Tìm tất cả giá trị của
,
x
thỏa mãn
1
>
x
, nghiệm ñúng bất phương trình :
)11(log
)(2
2
<−+
+
mx
m
xx
(*) với mọi giá trị của m:
.40
≤
<
m

Câu 3 (2 ñiểm)
1/ Cho tam giác
ABC
có
cba ,,
và
z
y
x
,
,
lần lượt là ñộ dài các cạnh
ABCABC ,,
và các
ñường phân giác của các góc
.,, C
BA

Chứng minh
cbazyx
111111
++>++
.
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
).8cos4(cos
2
1
)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+=

Câu 3 (2 ñiểm)

Cho hình lập phương
,,,,
. DCBAABCD
có cạnh bằng
a
. Giả sử
NM,
lần lượt là trung
ñiểm của
BC
và
,
DD
.
1/ Chứng minh rằng
MN
song song với mặt phẳng
)(
,
BDA
.
2/ Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng
BD
và
MN
theo
a
.

Câu 5 (2 ñiểm)

1/ Hãy so sánh ñặc trưng của dạy học cổ truyền và dạy học theo yêu cầu mới.
2/ Hãy nêu những thay ñổi quan trọng trong soạn giáo án theo yêu cầu ñổi mới.


www.VNMATH.com
SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2004 – 2005
ĐỀ THI KIẾN THỨC BỘ MÔN
Đề chính thức Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 06 – 11 – 2004


Bài 1 : (2,0 điểm).
Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên N

1 , ta có:




N
n
n
nn
1
2).1(
1
< 1 – ln2
Bài 2 : (2,0 điểm).

Các hàm số tuần hoàn f(x): R

R và g(x): R

R thỏa mãn
x
lim
(f(x) – g(x) ) = 0 .
Chứng minh rằng f(x) = g(x) với mọi số thực x.

Bài 3: (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao là AD, BE, CF . Gọi R là bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF . Chứng minh
rằng:
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 +
R
r

Bài 4: ( 3,0 điểm).
Trong tiết luyện tập toán, giáo viên ra đề :
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:
x + y = 2a – 1
x + y
2

= a
2
+ 2a - 3
Xác đònh a để tích xy nhỏ nhất?
- Một học sinh giải như sau:
Từ hệ phương trình đã cho ta có:
(x + y)
2
– 2xy = a
2
+ 2a – 3

(
2a – 1)
2
– 2xy = a
2
+ 2a – 3


xy =
2
3
(a – 1)
2
+
2
1



2
1
.
Do đó xy đạt giá trò nhỏ nhất khi a = 1.
- Anh (chò) hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai, anh (chò) hãy giải lại cho
đúng.

Hết
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com