Xác suất thông kế

Học thông minh – Đừng là mọt sách




Lê Hồng Sơn Anh 17 – KTĐN – K49 FTU 0166.8589.667


Phần I:
A.B = V  xung kh
ắ
c (đi chơi vs đi học)
.
A B U
A B V
A B
B A
 










 đối (True or False)
P(A) không ảnh hưởng đến P(B) -> độc lập

lim ( ) ( )
n
n
f A P A



XS có điều kiện
P (A|B) =
( )
( )
P AB
P B
( P(B) >0 )
P (AB) = P(A|B) . P(B)
.A B A B 

.A B A B 

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC)
XS đ
ầ
y đủ:
P(A) =
1
( | ). ( )
n
i i
i

P A B P B



Bayes:
P (B
i
|A) =
( | ). ( )
( )
i i
P A B P B
P A

Phần II.
P (X=X
K
) = P
K
P (a ≤ X < b) =
2
i i
x p

; a ≤ X
K
< b
Hàm mđxs: f(x) = F’(x) f(x) ≥ 0 ∀x và
( )f x dx




= 1  P (a ≤ X < b) =
( )
b
a
f x dx

= F(b) – F(a)
Hàm pbxs: F(x) ∈ [0;1] ∀ x ∈ R F(x) =
( )
x
f x dx



F(x) là hàm không giảm
E (X) =
i i
x p

=
( )xf x dx



E (g(x)) = . ( )
i
p g x


=
( ). ( )g x f x dx




E (X
2
) =
2
i i
x p

=
2
( )x f x dx



V (X) = E (X
2
) – E
2
(X)
Mod X = x
0
 f(x) đạt GTLN tại x = x
0
Med X = x
i

 F (x
i
) ≤ 0.5 < F (x
i+1
) Med X = x
0
 F (x
0
) = 0.5
Nhị thức
X ~ B (n,p): P
K
= (1 )
n k n k
k
C p p


E (X) = np V (X) = npq np – q ≤ Mod (X) ≤ np +q
Siêu bội: P (X=m) =
.
m n m
M N M
n
N
C C
C



E (X) =
.n M
N
Var (X) = . . .
1
M N M N n
n
N N N
 

= npq.
1
N n
N



Poisson P
K
=
.
!
k
e
k



(
λ

> 0)
E (X) = Var (X) =
λ
Mod X
= λ
-1 và λ n
ế
u λ nguy
ên Mod X = [λ] n
ế
u λ không nguyên

1

Học thông minh – Đừng là mọt sách




Lê Hồng Sơn Anh 17 – KTĐN – K49 FTU 0166.8589.667


L
ũy thừa X ~ E (λ) nếu f(x) = 0 x < 0  F (x) = 0 x < 0
= λ. e
-λx
x ≥ 0 = 1 – e
-
λx
x ≥ 0

E (X) = 1/λ

Var (X) = 1/λ
2
λ – 1 ≤ Mod X ≤
λ

Pp đều trên [a,b]
f (x) =
0 [ , ]
1
[ , ]
x a b
x a b
b a








 F (x) =
0
1
x a
x a
a x b
b a

x b





 







E (X) =
2
a b
Var (X) =
2
( )
12
b a

Chu
ẩ
n X ~ N (
μ
;σ
2
)

Φ
0
(±∞) = ± 0.5 Φ
0
(-u) = - Φ
0
(u) u
1-
α
= -u
α

P (a ≤ x < b) = Φ
0
b



 
 
 
- Φ
0

a



 
 

 

P (|X-μ| < ε) =
95.44% 2
99.74% 3
 
 






(kx) ~ N (k
μ
; k
2
σ
2
) (x+a) ~ N (μ+a; σ
2
)
2 biến độc lập X
1
+ X
2
~ N (
μ
1

+ μ
2
;
2 2
1 2
 
 )
BNN 2 chiều
P (x
1
≤ X ≤ x
2

, y
1

≤ Y ≤ y
2
) = F(x
1
,y
1
) + F(x
2
,y
2
) - F(x
1
,y
2

) - F(x
2
,y
1
)
f (x,y) =
2
( , )
.
F x y
x y

 
 F (x,y) =
( , ) .
y
x
f x y dx dy
 
 

f
1
(x) =
( , )f x y dy



f
2

(y) =
( , )f x y dx




X; Y độc lập rời rạc: P
ij
= P(x
i
) . P(y
j
)
Liên tục: f(x,y) = f
1
(x). f
2
(y)  F(x,y) = F
1
(x). F
2
(x)
Cov (X;Y) = E(XY) – E(X). E(Y)
Rời rạc: E (XY) = Σ x
i
y
j
p
ij
Liên tục: E (XY) =

. ( , ) .xy f x y dx dy
 
 
 

Hệ số tương quan
( ; )
.
xy
x y
Cov X Y

 
 |ρ
xy
| ≤ 1 độc lập: ρ
xy
= 0
Chú ý:
Khi nhị thức có n ≥ 20 và p ≤ 0.1  AD công thức Poisson với λ = np
Khi nhị thức có n > 5 và
1 1
0.3
1
p p
p p
n

 


 AD công thức pp Chuẩn với μ = np và σ
2
= npq
P (X = x) =
1 x np
npq npq

 

 
 
 
 P (a ≤ X ≤ b) =
0 0
b np a np
npq npq
 
   
 

   
   
   

2
ƯỚC LƯỢNG : X ~ N(μ, σ
2
)
Khi biết σ
2

Khi chưa biết σ
2
ƯL trung bình tổng thể
N(0,1)~
)(




X
U
1)-T(n~
)(
S
nX
T



Khoảng tin cậy đối xứng
22




U
n
XU
n
X 

)1(
2
)1(
2


nn
t
n
S
Xt
n
S
X


Độ dài tin cậy
2



U
n
 ; I = 2ε
)1(
2


n
t

n
S


; I = 2ε
Khoảng tin cậy tối đa



U
n
X 
)1( 

n
t
n
S
X


Khoảng tin cậy tối thiểu




U
n
X
)1( 


n
t
n
S
X


Kích thước mẫu
ε ≤ ε
o

o
U
n




2

2
2/
)
.
('
o
U
n





)1(
2


n
t
n
S


≤ ε
o

2
)1(
2/
)
.
('
o
n
tS
n





Độ dài tin cậy đối xứng
I ≤ I
o

2
2/
)
.2
('
o
U
n




2
)1(
2/
)
.2
('
o
n
I
tS
n




Khi đã biết μ Khi chưa biết μ
ƯL phương sai tổng thể σ
2
)(2
2
2*
2
~
n
nS




))1((2
2
2
2
~
)1(



n
Sn



Với độ tin cậy 1-α cho trc
Khoảng tin cậy 2 phía

)(2
2
1
2*
2
)(2
2
2*
nn
nSnS






)1(2
2
1
2
2
)1(2
2
2
)1()1(







nn
SnSn




Khoảng tin cậy tối đa
)(2
1
2*
2
n
nS





)1(2
1
2
2
)1(




n
Sn




Khoảng tin cậy tối thiểu
)(2
2*
2
n
nS




)1(2
2
2
)1(



n
Sn



Khoảng tin cậy tối đa:

U
)1(
n

ff
fp


Khoảng tin cậy tối thiểu:

U
)1(
n
ff
fp


X
ác định kích thước mẫu
ƯL tỷ lệ tổng thể
N(0,1)~
)1(
)(
ff
npf
U



Khoảng tin cậy đối xứng
22
U
)1(
U

)1(

n
ff
fp
n
ff
f




2
U
)1(


n
ff 

Độ dài khoảng tin cậy đx:I = 2ε
ε ≤ ε
o

2
0
2/
.U)1(
'













ff
n
I ≤ I
o

2
0
2/
.U)1(2
'












ff
n

Sai số của ước lượng
Sai số của ước lượng


/>c thông minh
ọ
H – Đừng là mọt sách
Lê H ng Sơn Anh 17 – – K49 FTU
hosolee1@
ồ KTĐN
gmail.com
Phần III:
3

Học thông minh – Đừng là mọt sách




Lê Hồng Sơn Anh 17 – KTĐN – K49 FTU 0166.8589.667


Ký hiệu trong kq của máy tính CASIO: S* = xσn (máy 570 ES) = xσ (570 ES plus) S = xσn-1 = sσ
Từ BNN gốc X có E (X) = m và V (X) = σ
2

, mẫu nn kích thước n:  E ( X ) = m ; V ( X ) = Se
2
( X ) =
2
n


* Trung vị: + Rời rạc: n chẵn X
d
là 2 giá trị chính giữa n lẻ: X
d
= giá trị thứ
1
2
n 


+ Ghép lớp: X
d
= L +
0.5
.
d
X
n S
h
n


L: giới hạn dưới lớp chứa trung vị n: kích thước m

ẫ
u
S: t
ổ
ng t
ầ
n s
ố
lớp đứng trước lớp chứa trung vị
d
X
n : tần số của lớp chứa trung vị
h: Độ dài lớp chứa trung vị.
* Mốt: X
0
= giá trị tần số lớn nhất Nếu ghép lớp: X
0
= L + h.
1
1 2
d
d d

L: Giới hạn dưới của lớp chứa m
ố
t n: độ dài lớp chứa m
ố
t
d
1

: t
ầ
n s
ố
lớp chứa m
ố
t
–
t
ầ
n s
ố
lớp đứng trước d
2
: t
ầ
n s
ố
lớp chứa m
ố
t
–
t
ầ
n s
ố

lớp đứng sau
* Hệ số biến thiên: CV = 100.
S

X

ƯL 2 tham số của BNN
Hiệu 2 kì vọng như 1 tham số: thay X ->
1 2
X X và

->

1 2
 

* biết
2 2
1 2
;
 
: thay
n

->
2 2
1 2
1 2
n n
 

* Chưa biết
2 2
1 2

;
 

coi
2 2
1 2
 
 : thay (n-1) -> n
1
+n
2
-2 và
S
n
-> S
P
.
1 2
1 1
n n

với S
P
=
2 2
1 1 2 2
1 2
( 1). ( 1).
2
n S n S

n n
  
 

coi
2 2
1 2
 
 : thay
S
n

->
2 2
1 2
1 2
S S
n n
 và (n-1) ->
1 2
2 2
2 1
( 1)( 1)
( 1) (1 ) ( 1)
n n
n C C n
 
   
với
2

1
1
2 2
1 2
1 2
S
n
C
S S
n n



Hiệu 2 xác suất như 1 tham số: thay p -> p
1
– p
2
Thay
(1 )f f
n

-> S
f
=
1 1 2 2
1 2
(1 ) (1 )f f f f
n n
 


4

Học thông minh – Đừng là mọt sách




Lê Hồng Sơn Anh 17 – KTĐN – K49 FTU 0166.8589.667


Tỷ số 2 phương sai Thống kê F =
2 2
2 1
2 2
1 2
.
S
S


~ F (n
2
– 1; n
1
– 1)
KTC 2 phía: P (
2 1
2
( 1; 1)

1
2
1
2
2
.
n n
S
f
S

 

<
2
1
2
2


<
2 1
2
( 1; 1)
1
2
2
2
.
n n

S
f
S

 
) = 1 – α
,
,
1
1
n m
n m
f
f





KTC bên phải: P (
2 1
2
( 1; 1)
1
1
2
2
.
n n
S

f
S

 

<
2
1
2
2


) = 1 – α KTC bên trái: P (
2
1
2
2


<
2 1
2
( 1; 1)
1
2
2
.
n n
S
f

S

 
) = 1 – α
Phần IV: KIỂM ĐỊNH
Các quy tắc cần nhớ
1. H
0
luôn luôn có dấu “=”
2. Có 2 cách để nhận xét H
0
, H
1
, nhưng phải tùy thuộc vào yêu cầu đề bài để đưa ra kết luận.
Nếu qs ∈ W
α

bác bỏ H
0

Ch
ấ
p nhận H
1

Nếu qs

W
α

chưa có cơ sở
đ
ể
bác bỏ H
0

Bác bỏ H
1

Các dạng bài thông dụng
Dạng 1. Đề nói “…là như nhau (không thay đổi, không khác nhau)”
H
0
: a = b
H
1
: a ≠ b
Nếu qs ∈ W
α
 bác bỏ H
0
 Kết luận: “… là khác nhau (thay đổi)”
Nếu qs

W
α
 chưa có cơ sở để bác bỏ H
0
 Kết luận: “chưa có cơ sở để bác bỏ … là khác nhau (thay
đổi)”

Dạng 2. Đề nói là “… có sự khác nhau (thay đổi)”
H
0
: a = b
H
1
: a ≠ b
Nếu qs ∈ W
α
 chấp nhận H
1
 Kết luận: “… có sự khác nhau (thay đổi)”
Nếu qs

W
α
 bác bỏ H
1
 Kết luận: “… k có sự khác nhau (thay đổi)”
Dạng 3. Đề nói là “…a > b (a<b)”
H
0
: a = b
H
1
: a > b (a<b)
Nếu qs ∈ W
α
 chấp nhận H
1

 Kết luận: “… a > b (a<b)”
Nếu qs

W
α
 bác bỏ H
1
 Kết luận: “k thể khẳng định a > b (a<b)”
Dạng 4. Đề nói là “… a không < b”  a ≥ b
H
0
: a ≥ b
H
1
: a < b
Nếu qs ∈ W
α
bác bỏ H
0
 Kết luận: “k thể khẳng định a không < b”
Nếu qs

W
α
 chưa có cơ sở để bác bỏ H
0
 Kết luận: “chưa có cơ sở để bác bỏ nhận định a không <
b”
5
KIỂM ĐỊNH X ~ N(μ, σ

2
)
Khi đã biết σ
2
Khi chưa biết σ
2
Kiểm định trung bình (μ)
Tiêu chuẩn KĐ:
)( n
X
U




)(
S
nX
T



H
o
: μ = μ
o
H
1
: μ ≠ μ
o

W
α
= (-∞,-U
α/2
)  (U
α/2
, +∞)
),(),(
)1(
2/
)1(
2/

 nn
ttW

H
o
: μ = μ
o
H
1
: μ > μ
o
W
α
= (U
α
, +∞) ),(
)1(


n
tW

H
o
: μ = μ
o
H
1
: μ < μ
o
W
α
= (-∞,-U
α
) ),(
)1( 

n
tW

Kiểm định phương sai (σ
2
) Kiểm định tỷ lệ tổng thể
Tiêu chuẩn KĐ:
2
2
2
)1(

o
Sn




Tiêu chuẩn KĐ:
N(0,1)~
)1(
)(
0
oo
pp
npf
U



H
o
:
22
o


H
1
:
22
o



),(),0(
)1(2
2
)1(2
2
1



nn
W


H
o
: p = p
o
H
1
: p ≠ p
o
),(),(
2/2/


UUW
H
o

:
22
o


H
1
:
22
o


),(
)1(2

n
W


H
o
: p = p
o
H
1
: p > p
o
),( 

UW

H
o
:
22
o


H
1
:
22
o


),0(
)1(2
1



n
W


H
o
: p = p
o
H
1

: p < p
o
),(

UW 
Kiểm định 2 trung bình
X
1
~ N(μ
1
,
2
1

) ; X
2
~ N(μ
2
,
2
2

)
Kiểm định 2 tỷ lệ
X
1
~ N(μ
1
,
2

1

) ; X
2
~ N(μ
2
,
2
2

)
TCKĐ: N(0,1)~
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XX
U



TCKĐ:
)

11
)(1(
21
21
nn
ff
ff
U



1
1
1
n
m
f  ;
2
2
2
n
m
f  ;
21
21
nn
mm
f




H
o
: μ
1
= μ
2
H
1
: μ
1
≠ μ
2
W
α
= (-∞,-U
α/2
)  (U
α/2
, +∞)
H
o
: p
1
= p
2
H
1
: p
1

≠ p
2
),(),(
2/2/


UUW
H
o
: μ
1
= μ
2
H
1
: μ
1
> μ
2
W
α
= (U
α
, +∞)
H
o
: p
1
= p
2

H
1
: p
1
> p
2
),( 

UW
H
o
: μ
1
= μ
2
H
1
: μ
1
< μ
2
W
α
= (-∞,-U
α
)
H
o
: p
1

= p
2
H
1
: p
1
< p
2
),(

UW 
Kiểm định phương sai hai tổng thể
X
1
~ N(
2
11
,


) , X
2
~ N(
2
22
,


)
Kiểm định tính độc lập của 2 biến định tính

1

:à ôc lâp
:àph thuôc
o
HXvYđ
HXvY u






Tiêu chuẩn kiểm định:
2
ij
2
,
(1)
ij
ij
n
n
nm




2( 1).( 1)
(;)
kh
W



 

Tiêu chuẩn kiểm định:
2
1
2
2
S
F
S

22
12
22
11 2
:
:
o
H
H
 
 










12
(1;1)
(;)
nn
Wf




22
12
22
11 2
:
:
o
H
H
 
 










12
(1;1)
1
(0; )
nn
Wf





Kiểm định biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
,
?
,
?
1
:óâ ôi chuân
:ôóâôi chuân
o
HXcphnph
H X kh ng c ph n ph







Tiêu chuẩn kiểm định:
2
2
3
4
(3)
[]
624
a
a
JB n



34
34
34
() ()
11
;
ii ii
ii
x
xn x xn
aa

nn
ss




2(2)
(;)W


 


22
12
22
11 2
:
:
o
H
H
 
 












12 12
(1;1) (1;1)
1
22
(0; ) ( ; )
nn nn
Wf f
 
 




/>c thông minh
ọ
H – Đừng là mọt sách
Lê H ng Sơn Anh 17 – – K49 FTU
hosolee1@
ồ KTĐN
gmail.com
6

Học thông minh – Đừng là mọt sách

Lê Hồng Sơn Anh 17 – KTĐN – K49 FTU 0166.8589.667


Mình sẽ cố gắng hết sức có thể để giải đáp mọi thắc mắc liên quan đến môn học XSTK này cho các bạn.
Các bạn liên lạc với mình qua:
- email
- facebook
Ngoài ra, trong năm học, cứ 2 tháng, mình sẽ mở lớp từ 20 – 25 người/ lớp ôn thi môn này. Nếu bạn nào
gặp khó khăn trong việc tự học, bạn có thể liên hệ với mình để đăng kí lớp học.
Chúc các bạn đạt kết quả cao trong môn học này ^^
7