Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH KON TUM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM
-1-
TÀI LIỆU
ÔN THI TN THPT
-2-
MÔN TOÁN
-3-
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn, Phan Thanh Xuyên, Lê Hồ Quý
-4-
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU
• Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình Nâng cao, phần còn lại là phần dành cho cả
hai chương trình Cơ bản và Nâng cao.
• Các bài tập có dấu “*” là bài tập dành cho chương trình Nâng cao. Học sinh học chương
trình Cơ bản có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức. Các bài tập còn lại là những
bài tập dùng chung cho cả hai chương trình Nâng cao và Cơ bản.
• Ở mỗi chủ đề ngay từ đầu tài liệu có nêu lên các kiến thức cơ bản cần nhớ. Đây là các kiến
thức về lí thuyết có trong SGK, giáo viên có thể hệ thống hóa lại cho học sinh trước khi đi
vào phần bài tập. Trong luyện tập cần chú ý những kĩ năng cần đạt thông qua việc chọn
lựa các bài tập mà tài liệu đã cung cấp để ôn tập cho học sinh nhằm đáp ứng các yêu cầu
về kĩ năng .
PHẦN I. GIẢI TÍCH
-5-
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn, Lê Hồ Quý
CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định lý về tính đơn điệu của hàm số.
- Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu

của đạo hàm của hàm số đó.
- Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản.
3. Bài tập:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số bằng phương pháp đạo hàm
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) ; b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
Bài 2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước
Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số
a) đồng biến trên
b)
nghịch biến
trên
c) đồng biến trên từng khoảng
xác định của nó.
Bài 4
*
. Tìm các giá trị của tham số
để hàm số
a) nghịch biến trên khoảng (Khối
A-2013);
b) đồng biến trên khoảng

4 2
1 1
3
4 2
y x x= − +
1
1
1
y x
x
= − + +
−
2
2 3
2
x x
y
x
− −
=
−
2
2y x x= −
2
( 1)( 2)y x x= − +
2
1
4
y
x

=
−
2 1y x x= −
2
3
x
x
y
e
−
=
2
6y x x= − −
(ln 2)y x x= −
3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m= + + + − +
;¡
3 2
3 ( 2) 3y mx x m x= − + − +
;¡
2
(3 2) 3
2
x m x
y
x
+ − −

=
−
m
3 2
3 3 1y x x mx= − + + −
(0; )+∞
3 2
4 6 (2 1) 1y mx x m x= − + − +
(0;2).
-6-
Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ; b) ;
c) ;
d) .
Bài 6*. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ; b) .
____________________________
tan sin , 0;
2
x x x
π
 
> ∈
 ÷
 
2
cos 1 ( 0)
2
x

x x> − ∀ ≠
3
sin ( 0)
6
x
x x x> − ∀ >
1 1 ( 0)
2
x
x x+ < + ∀ >
2
1 1 ( 0)
2 8
x x
x x+ − < + ∀ >
sin tan 2 , 0;
2
x x x x
π
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
-7-
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định nghĩa cực trị của hàm số.
- Hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
- Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số.
2. Kĩ năng cần đạt:

- Biết cách tìm cực trị của hàm số.
- Xác định được giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm đã cho.
3. Bài tập:
Tìm cực trị của các hàm số không chứa tham số
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) ; b) ;
c)
d) ;
e) ; f)
.
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ; f) .
Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị
Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để
hàm số đạt cực đại tại .
Bài 4. Xác định để hàm số có
cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực
đại hay cực tiểu tại .
Bài 5. Tìm để hàm số có cực đại và cực
tiểu.
Bài 6. Cho hàm số . Xác định a
và b biết hàm số đạt cực tiểu bằng -2 khi .
Bài 7. Xác định các hệ số a, b, c sao
cho hàm số đạt cực trị bằng 0 tại
điểm và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0).
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi giá trị

của , hàm số luôn luôn có cực đại, cực
tiểu.
Bài 9*. Với giá trị nào của k, hàm số
có cực tiểu.
Hướng dẫn:
Dùng qui tắc 2 để tìm cực trị.
4 2
2 3y x x= − +
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
2
3 4y x x= − + +
2
(1 )y x x= −
3y x x= −
( 2)y x x= +
ln
x
y
x
=
2
4y x x= −

cos siny x x= −
2
1
4
x
y
x
+
=
+
[ ]
2sin cos2 , 0;y x x x
π
= + ∈
sin 2 2y x x= − +
3 2
(2 ) 5y x m x m= + + + −
2x = −
m
3 2
2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 ÷
 
1x =1x =
m

2
2
4
x x m
y
x
− +
=
−
3 2
2y ax bx= + +
2x
=
3 2
( )f x x ax bx c= + + +
2x
= −
m
( )
2 2
1x m
y
x m
− −
=
−
2
2 1y x k x= − + +
-8-
Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 10*. Tìm để hàm số có
cực đại, cực tiểu; đồng thời hai
điểm cực đại, cực tiểu của đồ
thị hàm số nằm về hai phía của trục
Hướng dẫn:
H/S có CĐ, CT và hai điểm CĐ,
CT nằm về hai phía của trục khi PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là

Bài 11*. Tìm để hàm số có
cực đại, cực tiểu; đồng thời
hai điểm cực đại, cực tiểu
của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Hướng dẫn:

H/S có CĐ, CT khi Khi đó, đồ
thị H/S có hai điểm CĐ, CT là
và
đối xứng qua đường thẳng khi Giải PT này tìm và đối chiếu ĐK .
Bài 12*. Tìm để hàm số có cực
đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm
cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Hướng dẫn:
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn
khi và chỉ khi PT có 2 nghiệm dương phân biệt, tức là

Bài 13*. Tìm để đồ thị hàm
số có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của
a) Một tam giác đều;
b) Một tam giác vuông (Khối A-

2012).
Hướng dẫn:

H/S có ba cực trị khi
Đồ thị H/S
có ba điểm
cực trị là
Ta luôn có nên
a) đều khi
b) vuông khi
Bài 14*. Tìm để hàm số chỉ có
một cực tiểu, không có cực đại.
Hướng dẫn:

Ta có
m
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
.Oy
2
' 2( 1) 3( 2).y mx m x m= − − + −
Oy
' 0y =
0
3( 2)
0
a m

c m
a m
= ≠


−

= <


m
3 2 3
3 1
2 2
y x mx m= − +
2
' 3 3 3 ( ).y x mx x x m= − = −
1
2
0
' 0
.
x
y
x m
=

= ⇔

=


1 2
0.x x m≠ ⇔ ≠
3
0;
2
m
A
 
 ÷
 
( ;0).B m
,A B
y x=
3
.
2
m
m=
m
0m ≠
m
3 2
(2 1) (2 ) 2y x m x m x= − − + − +
2
' 3 2(2 1) 2 .y x m x m= − − + −
' 0y =
' 0
0
0.

b
S
a
c
P
a


∆ >


= − >



= >


m
4 2 2
2( 1)y x m x m= − + +
3 2
' 4 4( 1) 4 ( 1).y x m x x x m= − + = − −
2
0
' 0
1.
x
y
x m

=

= ⇔

= +

1.m
> −
2 2 2
(0; ); ( 1; ( 1) ); ( 1; ( 1) ).A m B m m C m m− + − + + − +
AB AC
=
ABC∆
2 2 2
1 ( 1) 4( 1) AB BC m m m= ⇔ + + + = + ⇔
ABC
∆
4
. 0 ( 1) ( 1) 0 AB AC m m= ⇔ − + + + = ⇔
uuur uuur
m
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +
3 2 2
' 4 12 6( 1) 2 [2 6 3( 1)].y x mx m x x x mx m= + + + = + + +
2
0
' 0
( ) 2 6 3( 1) 0.
x

y
f x x mx m
=

= ⇔

= + + + =

2
' 9 6( 1).m m∆ = − +
-9-
H/S chỉ có một CT tại và không có CĐ khi chỉ đổi dấu một lần từ âm sang dương khi qua
Xét 2 trường hợp
• TH1. Lập BBT của H/S rồi dựa vào đó
mà kết luận.
• TH2. Khi đó, nếu thì H/S có cả CĐ và
CT hoặc
thay vào Lập BBT của H/S rồi dựa
vào đó mà kết luận.
Bài 15*. Tìm để hàm số có cực đại,
cực tiểu; đồng thời giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu cùng dấu.
Hướng dẫn: Đặt
• H/S có CĐ, CT khi PT
có 2 nghiệm phân biệt (1)
• Giá trị CĐ, CT cùng dấu khi đồ
thị H/S đã cho cắt trục tại 2 điểm
phân biệt, tức là PT
(2)
Kết hợp (1) và (2), ta suy ra kết quả.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Bài 16*. Cho họ đường cong :
(là tham số).
a) Chứng tỏ luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu.
b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của .
Hướng dẫn:
a) Chứng tỏ y’= 0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị .
b) Biến đổi hàm số đã cho sang
dạng: y = y’
Gọi là hai điểm
cực trị của .
Từ (1)
Từ (2) suy ra phương trình
của đường thẳng qua hai
điểm cực đại và cực tiểu của là
Lưu ý. PT đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị H/S
Chia đa thức cho ta được trong đó là
các nhị thức bậc nhất và lần lượt là
thương, số dư của phép chia nói trên.
Giả sử đồ thị H/S có điểm CĐ, CT là
Vì nên tọa độ các điểm CĐ, CT thỏa
mãn Đó chính là PT đường thẳng đi qua hai điểm CĐ, CT của đồ thị.
Bài 17
*
. Tìm để hàm số có cực đại, cực
tiểu; đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu
của đồ thị hàm số nằm về hai phía của
đường thẳng
0

x
'y
x
0
.x
' 0
∆ ≤ ⇔
,y
' 0
∆ > ⇔
1 2
0x x≠ ≠
1
0x⇒ =
2
0x =
(0) 0 1,f m⇒ = ⇒ = −
'.y
,y
m
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
2

2
2 5 1
' .
( 1)
mx mx m
y
x
− − −
=
−
2 2
( ) 2 5 1, ' 6 .f x mx mx m m m= − − − ∆ = +
' 0y =
0
' 0
(1) 0
m
f
≠


⇔ ∆ >


≠

Ox
2
3 2 1 0mx mx m+ + + =
0

0
a ≠

⇔

∆ >

( )
m
C
3 2 2 3
3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + − + −
m
( )
m
C
( )
m
C
m∈¡
( )
2( ) (1)
3 3
m
x m
x m C
 
+ − +
 ÷
 

1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y
( )
m
C
1 1
2 2
2( )
(2)
2( )
y x m
y x m
= − +

⇒

= − +

( )
m
C
2( ).y x m= − +
3 2
( 0):y ax bx cx d a= + + + ≠
y
',y
'. ( ) ( ),y y q x r x= +
( ), ( )q x r x
1 1 2 2
( ; ), ( ; ).A x y B x y

1 2
'( ) '( ) 0y x y x= =
( ).y r x=
m
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=
+
: 2 1 0.d x y+ − =
-10-
Hướng dẫn:
H/S có CĐ, CT khi (*).
Giả sử đồ thị H/S có điểm CĐ, CT là
Khi đó, PT đường thẳng đi qua hai
điểm CĐ, CT là
Ta có
nằm về hai phía của đường thẳng
khi



Sử dụng định lí Viète và kết
hợp với điều kiện (*) suy ra kết quả cần tìm.
Lưu ý. a) Hai điểm và nằm về hai
phía của đường khi

b) PT đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của đồ thị H/S
Với H/S dạng thì
Khi ta có hay
Do đó, tọa độ các điểm CĐ, CT thỏa
mãn Đó chính là PT đường thẳng đi qua hai điểm CĐ, CT của đồ thị.
___________________________
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các khái niệm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một tập
hợp số.
- Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
3. Bài tập:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đạo hàm
2
2
2 3
' .
( 1)
x x m
y
x
+ + −
=
+
4m <
1 1 2 2
( ; ), ( ; ).A x y B x y

2 .y x m= +
1 1 2 2
2 , 2 .y x m y x m= + = +
,A B
d
1 1 2 2
(2 1)(2 1) 0x y x y+ − + − <
1 2
(4 1)(4 1) 0x m x m⇔ + − + − <
2
1 2 1 2
16 4( 1)( ) ( 1) 0.x x m x x m⇔ + − + + − <
AB
( , ) 0f x y =
1 1 2 2
( , ). ( , ) 0.f x y f x y <
2
( . 0) :
ax bx c
y a m
mx n
+ +
= ≠
+
u
y
v
=
2
' '

' .
u v v u
y
v
−
=
' 0y =
' 'u v v u
=
'
.
'
u u
v v
=
2
.
a b
y x
m m
= +
-11-
Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) trên đoạn ; b) ;
c*) (Khối B-2003)
d) trên khoảng ;
e) trên đoạn ; f)
trên đoạn .
Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm
số sau:

a) ;
b) trên nửa khoảng ;
c) trên đoạn ; d) trên đoạn
;
e) trên đoạn ; f)
trên đoạn ;
g) trên đoạn ; h*) trên đoạn
(Khối B-2004).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đổi biến
Bài 3*. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) ; b) ;
c) ; c)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số có chứa tham số
Bài 4. Tìm các giá trị của tham số m để
a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn bằng -2 (TN – 2012);
b*) Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn bằng 2.
Ứng dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số vào bài toán cực trị trong hình
học
Bài 5. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m
2
. Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất.
Bài 6. Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn có bán kính R thì hình vuông
là hình có chu vi lớn nhất.
Bài 7. Tìm kích thước hình trụ có thể tích V cho trước và có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
________________________________
4

2
2 3
4
x
y x= − +
[ ]
1 ;2−
2
2 3y x x= − + +
2
4y x x= + −
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
(1; )+∞
2
ln(1 2 )y x x= − −
[ ]
2;0−
1
4 1
x
y
x

= +
−
[ ]
2;4
2
1y x x= −
1
2
1
y x
x
= + +
+
[
)
1;+∞
2siny x x= +
;
2 2
π π
 
−
 
 
2sin sin 2y x x= +
3
0;
2
π
 

 
 
2
(3 ) 1y x x= − +
[ ]
0;2
( )
ln 2y x x= −
2
1;e
 
 
3y x x= −
[ ]
1;3−
2
ln x
y
x
=
3
[1; ]e
2
cos 2 sin cos 4y x x x= − +
2
2 ( 1)( 3)y x x x x= − − + −
2
2
1
4 3

4
y x
x
= + − −
−
2
3 3 .y x x x x= + − − −
2
( )
1
x m m
f x
x
− +
=
+
[ ]
0;1
2
1
x m
y
x
−
=
+
[0;1]
-12-
IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:

- Các khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận xiên của đồ
thị hàm số.
- Công thức tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên y = ax + b.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Sử dụng kiến thức về giới hạn tìm được:
+ Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang,
+ Tiệm cận xiên, tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ.
3. Bài tập:
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
-13-
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận đứng và
ngang của đồ thị các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Bài 3*. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
Bài 4. Tìm để đồ thị hàm số có tiệm cận
đứng, tiệm cận ngang; đồng thời các đường
tiệm cận đó cùng với hai trục tọa độ tạo

thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
Bài 5*. Tìm để đồ thị hàm số có tiệm
cận xiên cùng với hai trục tọa độ tạo
thành một tam giác có diện tích bằng
4.
Bài 6*. Tìm để góc giữa hai tiệm
cận của đồ thị hàm số bằng
Bài 7*. Cho đường cong
(C
m
): .
a) Xác định để (C
m
) có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).
b) Gọi là đồ thị của hàm số khi = 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ
điểm tùy ý thuộc đến hai tiệm cận của không đổi.
Bài 8*. Biện luận theo các đường tiệm cận của các họ đường cong sau:
a) ; b) .
_____________________________
2
1 3
x
y
x
=
−
2
1
1
y

x
= +
−
3
2 1
1
x
y
x
−
=
+
2
1
2 3
y
x x
=
+ −
2
3
1
1
y
x
= +
−
2 1
1
x

y
x
+
=
−
2
1
4
x
y
x
+
=
−
2
2
1
3 4
x x
y
x x
+ +
=
− −
3
2
1
1
x x
y

x
+ −
=
−
2
1y x x= + −
3
3
1y x x= − +
2
1y x x= − +
m
2
1
x m
y
mx
+
=
−
m
2
2 3 2
1
x mx m
y
x
+ + −
=
−

m
2 2
(3 2) 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
0
45 .
2
x x m
y
x m
− + +
=
+
m
( )
1
C
m
M
( )
1
C
( )
1

C
m
2
2
1
x mx m
y
x
+ − −
=
+
3
2
1
3 2
mx
y
x x
−
=
− +
-14-
V. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ, GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ,
SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các kiến thức để giải một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số (Phương trình tiếp
tuyến, biện luận số nghiệm số của phương trình bằng đồ thị, biện luận vị trí tương đối của
đường cong và đường thẳng, ).
2. Kĩ năng cần đạt:

- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

( am0) .
- Các phép biến đổi đồ
thị: Từ đồ thị của hàm số suy ra
đồ thị của hàm số:
+
3 2
4 2
(a 0);
(a 0);
(c 0, ad-bc 0);
y ax bx cx d
y ax bx c
ax b
y
cx d
= + + + ≠
= + + ≠
+
= ≠ ≠
+
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
≠

( )y f x=
( ) ;y f x=
-15-
+
- Sự tương giao của đồ thị hàm số và
đường thẳng:
+ Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình;
+ Biện luận theo tham số số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng.
- Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
+ Tại một điểm cho trước;
+ Biết hệ số góc cho trước;
+ Đi qua một điểm.
- Viết được phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung.
- Tìm các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó thỏa mãn một tính chất cho trước.
3. Bài tập:
Bài 1. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C) biết tiếp tuyến song song đường
thẳng .
c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận
theo số nghiệm của phương trình
.
Bài 2. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số.
b) Tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ O lại cắt (C) tại điểm A khác O. Tìm tọa độ điểm A.
c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) với đường thẳng .
Bài 3. Cho hàm số .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số.
b) Định để phương trình có 4
nghiệm phân biệt.
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(;) và có hệ số góc k. Định k để (d) cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt A, M, N.
Bài 4. Cho hàm số . (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số khi = 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) sao cho tiếp tuyến song song
đường thẳng .
c) Tìm để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5* (Khối A-2010). Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số.
b) Tìm để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
thỏa mãn điều kiện
Bài 6. Cho hàm số có đồ thị (m là
tham số).
( )
.y f x=
3
3 1y x x= − + +
9y x= −
m
3
3 0x x m− + =
3 2
4 4y x x x= − +

y kx=
3 2
3 2y x x= − +
m
3
2
3 2 0x x m− + − =
1−
2−
3 2
y x mx= − +
m
9 1y x= − +
m
3 2
- 2 (1- ) .y x x m x m= + +
m
( )C
1
,x
2 3
,x x
2 2 2
1 2 3
4.x x x+ + <
4 2
( 1)y x mx m= + − +
( )
m
C

-16-
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi = .
b) Chứng minh rằng khi thay đổi, luôn đi qua 2 điểm cố định phân biệt.
c) Tìm các giá trị của để các tiếp tuyến
của tại vuông góc với nhau.
Bài 7. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số khi = 3.
b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A có hoành độ . Chứng tỏ rằng (d ) lại cắt (C)
tại một điểm khác A.
c) Biện luận theo cực trị của hàm số đã cho.
Bài 8. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị (C) của hàm số khi = 2.
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ .
c) Xác định sao chocắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 9* (Khối B-2009). Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm số.
b) Tìm để phương trình có đúng 6
nghiệm thực phân biệt.
Bài 10. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị
của , đường thẳng (d): luôn cắt (C)
tại 2 điểm phân biệt M, N.
c) Xác định sao cho đoạn MN ngắn nhất.
Bài 11* (Khối B-2010). Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

của hàm số.
b) Tìm để đường thẳng cắt tại
hai điểm phân biệt sao cho
tam giác có diện tích bằng ( là gốc tọa độ).
Bài 12. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Gọi (d) là đường thẳng đi quavà có hệ số góc . Biện luận theo số giao điểm của (C)
và (d).
d) Gọi I là tâm đối xứng của (C). Tìm
điểm sao cho đoạn IM ngắn nhất.
Bài 13* (Khối D-2007). Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
của hàm số.
b) Tìm tọa độ điểm thuộc biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục tại
và tam giác có diện tích
bằng ( là gốc tọa độ).
Bài 14. Cho hàm số có đồ thị .
m
2−
m
( )
m
C
1 2
,M M
m
( )
m

C
1 2
, M M
4
2
5
2 2
x
y mx= − +
m
1x =
m
4 2
2 1 2 ( )
m
y x mx m C= − + + −
m
3y = −
m
( )
m
C
4 2
2 4 .y x x= −
m
2 2
2x x m− =
3
1
x

y
x
+
=
+
m
2y x m= +
m
2 1
.
1
x
y
x
+
=
+
m
( ): 2d y x m= − +
( )C
,A B
OAB
3
O
2 2
1
x
y
x
+

=
−
(0;1)A
mm
( )M C∈
2
.
1
x
y
x
=
+
M
( ),C
( )C
M
,Ox Oy
,A B
OAB
[ ]
2sin cos2 , 0;y x x x
π
= + ∈
O
( 2) 3m x
y
x m
− +
=

+
( )
m
C
-17-
a) Tùy theo các giá trị của , khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b) Khi = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
c) Định k để phương trình có 2
nghiệm phân biệt.
Bài 15. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số. Tìm trên (C) các
điểm có tọa độ là những số nguyên.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ nhất.
c) Tìm trên (C) những điểm có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ
nhất.
Bài 16*. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến đi qua .
c) Cho đường thẳng (d): y = m. Định m
để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho ( là gốc tọa độ).
Bài 17*. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số.
b) Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C).
c) Cho đường thẳng (d):. Với giá trị
nào của thì (d) cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt A, B.
d) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB khi biến thiên.
Bài 18*. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo
số nghiệm của phương trình: .
c) Tìm hai điểm và đối xứng nhau qua
đường thẳng (d ): .
Bài 19*. Cho hàm số .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C) của hàm số khi .
b) Xác định sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của đi qua gốc tọa độ.
c) Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình:
.
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.
I. LŨY THỪA, LÔGARIT.
1. Kiến thức cần nhớ:
m
m
1 3 0k x x+ + − =
1
2
1
y
x
= −
+
2
1

1
x x
y
x
− −
=
+
( 2;0)A −
OA OB⊥
O
1
1
y x
x
= − −
−
2y x m= +
m
m
2
1
x
y
x
=
−
m
2
0x m x m− + =
, ( )A B C∈

1y x= −
2
2 1
( )
1
m
x mx m
y C
mx
+ + −
=
+
1m =
m
( )
m
C
h
cos2 2(1 )cos 3 2 0 ( )t h t h t
π π
+ − + − = − < <
-18-
- Các khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy
thừa với số mũ thực của một số thực dương.
- Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số
mũ thực.
- Khái niệm lôgarit cơ số a của một số
dương.
- Các tính chất của lôgarit.
- Các khái niệm về lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa
lũy thừa.
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa
lôgarit.
3. Bài tập:
Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) ;
b) ;
c)
;
d) .
Bài 2. Rút gọn
các biểu thức sau:
a) với ;

b) với ;
c)
So sánh các lũy thừa
Bài 3. Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các cặp số sau:
a) ;
b) ;
c) ; d) ;
e) và f) và
g) và h) và
Tính các biểu thức chứa lôgarit
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau :
a) ; b) ;

( 0; 1)a a> ≠
4 1 2

3 3 3
1 3 1

4 4 4
(a > 0)
a a a
A
a a a
−
−
 
+
 ÷
 
=
 
+
 ÷
 
1 1
1
2 (2 )
2 2
y y
B x x
− −
−

 
   
= + +
 
 ÷  ÷
   
 
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
C a b
b a
 
 
= + + +
 ÷
 ÷
 
 
1 9 1 3

4 4 2 2
1 5 1 1

4 4 2 2
a a b b
D
a a b b

−
−
− −
= −
− +
1

2
1 1

2 2
(1 ) 1

1
x x
A x x
x
−
−
 
− −
 ÷
 
= + +
+
0x
>
1
2
2

1
1
2
1
2( ) .( ) . 1
4
a b
B a b ab
b a
−
 
 
 
= + + −
 ÷
 
 
 
0ab >
1 1
1
2 (2 ) .
2 2
y y
C x x
− −
−
 
   
= + +

 
 ÷  ÷
   
 
 
3 2
4 à 4v
− −
3
4
5 à 7v
1,4 2
1 1
à
2 2
v
   
 ÷  ÷
   
3 5
10 à 20v
5
11
12
−
 
 ÷
 
5
13

;
12
 
 ÷
 
0,3
8
1,5
2 ;
13 12−
12 11;−
1
5 3−
1
.
7 5−
( )
1 3 2
4
log log 4.log 3
2 8
1
log 3 3log 5
2
4
−
-19-
c) ; d)
;

d) ; e) .
Bài 5. Tính:
a) ;
b) .
Bài 6. Tìm x biết:
a) ;
b) .
Tính lôgarit của một số theo các lôgarit cho trước
Bài 7.
a) Cho . Tính theo a và b;
b) Cho
. Tính theo a, b, c.
Bài 8. Biết , , và . Tính theo .
Chứng minh các đẳng thức chứa lôgarit
Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ;
b) (a, b,
c > 0 và );
c)
Bài 10. Chứng minh
rằng: Nếu x, y > 0, x
2
+
4y
2
= 12xy thì lg( x + 2y) 2lg2 =(lgx + lgy).
Bài 11. Cho ; (a, b, c > 0 và khác 8). Chứng
minh rằng .
Bài 12.

Cho a, b là độ dài hai
cạnh góc vuông, c là độ dài
cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó và . Chứng minh rằng:.
____________________________
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
3 2
2ln 3log
ln log
a
a
a e
a e
+ − −
7
5
1
log 2 .log7
log 7
 
+
 ÷

 
7 25
ln(3 2 2) 4ln( 2 1) ln( 2 1)
16 8
+ − + − −
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
A = − −
2 2
3 3
1
log 24 log 72
2
1
log 18 log 72
3
B
−
=
−
6 6 6 6
log 3log 2 0,5log 25 2log 3x = + −
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x = − +

10 2
log 2 ; b = log 7a =
10
log 56
2 3 7
log 3 ; log 5 ; log 2a b c= = =
140
log 63
log
a
x
α
=log
b
x
β
=
log
c
x
γ
=
1abc ≠
log
abc
x
, ,
α β γ
18 2 18 2
log 6 log 6 2log 6.log 6+ =

log .log
log
log log
a b
ab
a b
c c
c
c c
=
+
1c
≠
2
1 1 1 ( 1)
(0 1, 0).
log log log 2log
n
a a
a a
n n
a b
b b b b
+
+ + + = < ≠ >
−
1
2
8
1

1 log
8
a
b
−
=
8
1
1 log
8
b
c
−
=
8
1
1 log
8
c
a
−
=
1c b− ≠ 1c b+ ≠
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
-20-
II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

1. Kiến thức cần nhớ:
- Các khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
- Dạng của đồ thị của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu
thức chứa mũ và lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.
3. Bài tập:
Tìm tập xác định của các hàm số lũy thừa và hàm số lôgarit
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) b)
c)
d)
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
; ;

c) ;
d) ;
e) ; f) .
2 2
( 5 6) ;y x x
−
= − +
4 2 3
( 2 1) ;y x x= − +
1
3 2
4

( 3 2 ) ;y x x x= + +
1
2
5
( 6) .y x x
−
= + −
( )
2
3
a) log 6y x x= + −
3
3
b) log
2
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
log( 1 2)y x= + −
2
log ( 3) 1y x= − −
2
1
log ( 1) 2

y
x
=
+ −
1
3
log (3 9)
x
y
−
= −
-21-
Tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) ; b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
g)
h)
Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số:
a)

b)
c) ;
d) .
Xét sự biến thiên của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 5.
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến

trên .
b) Chứng minh rằng
hàm số nghịch biến trên tập các số thực dương.
Giải phương trình, chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm
Bài 6. Cho hàm số y = e
x
sinx. Giải phương trình: y’’ y’ e
x
= 0.
Bài 7. Chứng minh rằng:
a) Hàm số thỏa mãn hệ thức ;
b) Hàm số thỏa mãn hệ thức
c) Hàm số thỏa mãn hệ thức
d) Hàm số thỏa mãn hệ
thức
e) Hàm số thỏa mãn
hệ thức
Tính giới hạn của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 8*. Tìm các giới hạn sau:
a)
b) ;
c) ;
d) ;
e)
f) ;
2
log( 3 2)y x x= − +
2
ln( 1)y x x= + +
( )

2 2
.ln 1y x x= +
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
2
1
2
x
x
y e= −
(1 ln )lny x x= +
( )
2
2
3 2 logy x x= −
3
1
3 7
y
x
=
−

2
ln (2 1) ;y x= +
cos
log 3 ;
x
y e x= + −
1
2
log (4 1)
x
y
−
= −
2 1
ln
1
x
y
x
+
=
−
2 2
3
x x
y
−
−
=
¡

1 1
2 2
log log ( 1)y x x= − +
−−
1
ln
1
y
x
=
+
,
1
y
xy e+ =
1
1 ln
y
x x
=
+ +
' ( ln 1);xy y y x= −
1 ln
(1 ln )
x
y
x x
+
=
−

2 2 2
2 ' 1;x y x y= +
2
( 1)( 2014)
x
y x e= + +
2
2
2
' ( 1);
1
x
xy
y e x
x
= + +
+
2
cos
x
y e x=
,, ,
4 5 0;y y y− + =
3
0
1
lim
2
x
x

e
x
→
−
1
lim
x
x
xe x
→+∞
 
−
 ÷
 
0
ln(3 1)
lim
x
x
x
→
+
0
ln(3 1) ln(2 1)
lim
x
x x
x
→
+ − +

0
ln(1 3 )
lim
sin 2
x
x
x
→
+
2
0
1
lim
sin
x
x
e
x
→
−
-22-
g) h)
______________________________
III. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ ( đưa về lũy thừa cùng cơ số,
lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số).
- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình lôgarit ( đưa về lôgarit cùng cơ số, mũ
hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số).

2. Kĩ năng cần đạt:
- Giải được phương trình, bất phương trình mũ bằng các phương pháp: đưa về lũy thừa cùng
cơ số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit bằng các phương pháp: đưa về lôgarit cùng
cơ số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản.
3. Bài tập:
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) ; b) ;
c) ;
d) ;
e)
f)
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) log
2
[x(x1)] = 1; b) log
2
x + log
2
(x1) = 1;
c) log
3
x +log
9
x +log
27
x =11;
d)

e) f) (D-2011)
Bài 3. Giải các bất phương trình sau
a) ; b) ;
c) ;
d) ;
e) ; f) ( B-2006)
cos cos3
2
0
cos2
lim ;
x x
x
e x
x
−
→
−
0
ln(sin cos )
lim .
x
x x
x
→
+
2
3 2
2 4
x x− +

=
−
 
=
 ÷
 
2
1
1
2
2
x
x
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
 
=
 ÷
 
10 5
10 15
16 0,125.8

x x
x x
+ +
− −
=
1 1
1 1
2 .(0,5) 4 ;
x
x x x x− + +
=
2 3
3 3
1
9 27 81 .
3
x
x x x
−
+
 
=
 ÷
 
−−
2 1
8
1 1
log ( 2) log 3 5;
6 3

x x− − = −
2 3 4 20
log log log log ;x x x x+ + =
( )
2
2 1
2
log (8 ) log 1 1 2 0x x x− + + + − − =
2
3
2 4
x x− +
<
2
2 3
7 9
9 7
x −
 
≥
 ÷
 
1
3
log ( 1) 2x + ≥ −
ln(3 2) 2
x
e x− ≤
2
1 3

3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥
2
5 5 5
log (4 144) 4log 2 1 log (2 1)
x x−
+ − < + +
-23-
Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) ; b) 25
x
6.5
x
+ 5 = 0;
c) 2
2x+2
9.2
x
+ 2 = 0 ; d) 3
x+2
3
2x
24

= 0 ;
e) 4.9
x
+ 12
x

3.16
x
= 0 ;
f)
g) ; h)
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)
2(log
3
x)
2
+ log
3
9x 5 = 0; b) (CĐ-2008)
c) ; d) ;
e) log
2
(2
x
+1).log
2
(2
x+1
+2) = 2; f)
g) ; h) (A-
2008).
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:
a) ; b) ;
c) ;
d) .

Bài 6. Giải các bất phương trình sau:
a) ; b) ;
c) ;
d) .
e) ;f)
Phương pháp đưa về phương trình tích
Bài 7. Giải các phương trình sau
a) b)
c) d) (D-
2010).
Phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa
Bài 8. Giải các phương trình sau
a) b)
c)
d)
Hệ phương trình mũ và lôgarit
Bài 9*. Giải các hệ phương trình sau:
a) ; b) ;
4 2 6 0
x x
+ − =
−
−−−−
−
1
3
1
2
5.2 3.2 17 0;
x

x
x
−
+
+
+ − =
( ) ( )
+ + − =7 48 7 48 14
x x
( ) ( )
3
3 5 16. 3 5 2 .
x x
x+
+ + − =
−
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + =
+ =
+ −
2 2
1 2
1
4 log 2 logx x
− + =
1 1
3 3
log x log x 2 0
2 2

4 4 4
2log ( ) 3 log ( 1) 2log 4.x x x x− + − − =
2 5
1 2log 5 log ( 2)
x
x
+
+ = +
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
16 4 6 0
x x
− − ≤
3
3
3 2
x
x
<
−
1
1 1
3 5 3 1
x x+
≤

+ −
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
2
0,2 0,2
log log 6 0x x− − ≥
2
2 2
log log 4 4 0x x+ − ≥
− ≤
4
3
log log 4
2
x
x
4
2
1 log 1
1 log 4
x
x

−
≤
+
4 16
3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
2
1 4
4
log (4 16)log (4 1) 3.
x x+
− − > −
5 3
3
log ( 2)log 2log ( 2);x x x− = −
2
9 3 3
2log log .log ( 2 1 1);x x x= + −
2 2
2
2 4.2 2 4 0;
x x x x x+ −
− − + =
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x+ + + + + −
+ = +
2

1 2 1
5 2 10.8 ;
x x x x− − +
=
lg 5
5 lg
3
10 ;
x
x
x
+
+
=
2
log
3 2;
x
x+ =
3
log ( 5)
2 4.
x
x
+
= +
2 1
2 8
1
0,5

8
x y
x y
−
− +

=


=


3
3 .2 972
log ( ) 2
x y
x y

=


− =


-24-
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
Bài 10*. Giải các hệ phương trình sau:

a) ; b) ;
c)
d)
_____________________________
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.
I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.
1. Kiến thức cần nhớ:
5
ln ln ln6
.
x y
x y
e e e
+ =


=

2 2
1 1
3 3
10
log log 1
x y
x y

+ =


+ = −



2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2log 3
y
y y
x
x x
+

− =


= +


2
1 log
64
y
y x
x
= +


=


2 2
log( ) 1 log8
log( ) log( ) log3
x y
x y x y

+ = +

+ − − =

log log
log4 log3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y

=


=


2 2 2
2
log log log
log ( ) log .log 0
x y xy
x y x y


= +


− + =


3 3
log log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 12.
xy
xy
x y x y

= +


+ − − =


-25-