tổng hợp 30 đề thi chọn học sinh giỏi khối 8 môn toán cấp huyện

ĐỀ BÀI:
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
− − + −
 
+ − +
 ÷
− + − − − + −
 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
1
2
x
=
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x

x x x x
 
− = +
 ÷
+ − + −
 
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
c)
2 3 5x
− + =
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng
vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận
tốc dự định đi của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối
xứng của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh
EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc
vào vị trí của điểm P.
d) Giả sử CP
⊥

BD và CP = 2,4 cm,
9
16
PD
PB
=
. Tính các cạnh của hình chữ
nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích:
4x
2
– 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x
2
– 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x
2

= (3 + 2x)(7 – 4x)
4x
2
+ 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
−
≠ ≠ ≠ ≠ ≠
0,5đ
a) Rút gọn P =
2 3
2 5
x
x
−
−
2đ
b)
1
2
x
=

1
2
x
⇔ =

hoặc
1
2
x
−
=

+)
1
2
x
=

⇒
… P =
1
2
+)
1
2
x
−
=

⇒
…P =
2
3
1đ
c) P =

2 3
2 5
x
x
−
−
=
2
1
5x
+
−
Ta có:
1 Z
∈
Vậy P
Z
∈
khi
2
5
Z
x
∈
−
⇒
x – 5
∈
Ư
(2)

Mà Ư
(2)
= { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2
⇒
x = 3 (TMĐK)
x – 5 = -1
⇒
x = 4 (KTMĐK)
x – 5 = 1
⇒
x = 6 (TMĐK)
x – 5 = 2
⇒
x = 7 (TMĐK)
KL: x
∈
{3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ
d) P =
2 3
2 5
x
x
−
−
=
2
1
5x
+

−
0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì
2
5x −
> 0
⇒
x – 5 > 0
⇔
x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
 
− = +
 ÷
+ − + −
 
( ) ( ) ( )
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x

x x x x
 
⇔ − = +
 ÷
 ÷
+ − + −
 
ĐK:
4; 1x x
≠ − ≠
⇔
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
⇔
3x.(x + 4) = 0
⇔
3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
⇔
148 169 186 199
1 2 3 4 0

25 23 21 19
x x x x− − − −
       
− + − + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
⇔
(123 – x)
1 1 1 1
25 23 21 19
 
+ + +
 ÷
 
= 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19
 
+ + +
 ÷
 
> 0
Nên 123 – x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c)
2 3 5x
− + =
Ta có:
2 0x x

− ≥ ∀
=>
2 3x
− +
> 0
nên
2 3 2 3x x
− + = − +
PT được viết dưới dạng:

2 3 5x
− + =
⇔
2x −
= 5 – 3
⇔

2x −
= 2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

3
( / )
1
10

3
3
x x
km h
=
(3
h
20
’
=
( )
1
3
3
h
) 0,25đ
Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

( )
3
5 /
10
x
km h
+
0,25đ
Theo đề bài ta có phơng trình:

3
5 .3

10
x
x
 
+ =
 ÷
 
0,5đ
⇔
x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự định là:
( )
3.150
45 /
10
km h=
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
 PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO
⇒
tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân
ở I nên góc IAE = góc IEA.
A
B

C
D
O
M
P
I
E
F
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ
c)
( )
MAF DBA g g
∆ ∆ −
:
nên
MF AD
FA AB
=
không đổi. (1đ)
d) Nếu
9
16
PD
PB
=
thì
9 , 16
9 16

PD PB
k PD k PB k
= = ⇒ = =
Nếu
CP BD
⊥
thì
( )
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
∆ ∆ − ⇒ =
:
1đ
do đó CP
2
= PB.PD
hay (2,4)
2
= 9.16 k
2
=> k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC
2
= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm) 0,5đ

Bài 5:
a) Ta có: 2009
2008
+ 2011
2010
= (2009
2008
+ 1) + ( 2011
2010
– 1)
Vì 2009
2008
+ 1 = (2009 + 1)(2009
2007
- …)
= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1)
2011
2010
- 1 = ( 2011 – 1)(2011
2009
+ …)
= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b)
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
(1)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
   
⇔ − + − ≥

 ÷  ÷
+ + + +
   
− −
⇔ + ≥
+ + + +
− −
⇔ ≥
+ + +
Vì
1; 1x y≥ ≥
=>
1xy
≥
=>
1 0xy
− ≥
=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a.
3 2
A n n n 1= − + −
là một số nguyên tố.
b.
4
4 3 2
n 16
C
n 4n 8n 16
−

=
− + +
có giá trị là một số nguyên.
c. D = n
4
+ 4
n
là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc
≠
0.
a. Chứng minh: a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc =0
b. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
= +
+ − + − + −
Bài 3:
a. Giải phương trình:
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
x a x c x b x c
1
b a b c a b a c
− − − −
+ =
− − − −
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x
2
- y
2
+ 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường
thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh :
AOD BOC
S S
∆ ∆
=
b. Chứng minh: OE = OF.
c. Chứng minh:
1 1 2
AB CD EF
+ =
d. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi
diện tích tam giác DEF.
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x

2
+ a chia hết cho 3x + 2
b) 3x
2
+ ax + 27 chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
1999a b c
ab 1999a 1999 bc b 1999 ac c 1
+ +
+ + + + + +
Câu 3: Cho abc
≠
0 và a + b+ c
≠
0 giải phương trình:
a b x a c x b c x 4x
1
c b a a b c
+ − + − + −
+ + + =
+ +
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là AB các
hình vuông AMCD, BMEF.
a. Chứng minh AE vuông góc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng.
c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn
thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển
động trên đoạn thẳng AB cố định.

Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 2
a b a b
P
ab
ab b ab a
+
= + −
+ −
a. Rút gọn P.
b. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a
2
+ 3b
2
= 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a. (n
2
+ n -1)
2
– 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
b. Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: x
4

+ x
2
+ 6x – 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
2
= y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của
tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn
thẳng AH.
a. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR
là hình thoi?
b. Chứng minh AQ = OM.
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
d. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL.
Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào?
Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a
3
+ b
3
) – 3(a
2
+ b
2
)
Câu 2: Chứng minh rằng:
a b c

1, 1
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1
+ + =
biết abc = 1.
2
*
4 2
n n 1
2, (n N )
n n 1
+ +
∈
+ +
không là phân số tối giản.
Câu 3: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20
= + + + +
− − + − + − + − +
a. Tìm điều kiện để P xác định.
b. Rút gọn P.
c. Tính giá trị của P biết a
3
- a
2
+ 2 = 0
Câu 4
*

: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x
2n
+ x
n
+1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB
tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
a. Chứng minh: tam giác EMC cân.
b. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và
đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
Câu 1:
Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −

Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình:
a,
1
a b x+ −
=
1
a
+
1
b
+
1
x
(x là ẩn số)
b,
2
2
( )(1 )b c a
x a
− +
+
+
2
2
( )(1 )c a b
x b
− +
+

+
2
2
( )(1 )a b c
x c
− +
+
= 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
+
+
=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +
Câu 4:
Chứng minh phương trình:

2x
2
– 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5:
Cho
∆
ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc b, (x-y)
3
+(y-z)
3
+ (z-x)
3
Câu 2:
Cho A =
2 2
2
(1 )
1
x x
x

−
+
:
3 3
1 1
( )( )
1 1
x x
x x
x x
 
− +
+ −
 
− +
 
a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= -
1
2
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P =
2
( 10)

x
x +
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 <
a
a b+
+
b
b c+
+
c
c a+
< 2
b, Cho x,y
≠
0 CMR:
2
2
x
y
+
2
2
y
x
≥

x
y
+

y
x
Câu 5:
Cho
ABCV
đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc
ACMV
b, CMR: AM
⊥
AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR
MNPV
đều.
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x
2
– 4x + 4 = 25
b)
4
1004
1x
1986
21x
1990
17x
=
+
+
−

+
−
c) 4
x
– 12.2
x
+ 32 = 0

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tính giá trị của biểu thức:
xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222
+
+
+

+
+
=
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta
thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm
5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được
một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực
tâm. a) Tính tổng
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
++
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC
và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng:
4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2
≥
++
++
.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
• Bài 1 (3 điểm):

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1
điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1
điểm )
c) 4
x
– 12.2
x
+32 = 0
⇔
2
x
.2
x
– 4.2
x
– 8.2
x
+ 4.8 = 0
( 0,25điểm )

⇔
2
x
(2
x
– 4) – 8(2
x
– 4) = 0
⇔

(2
x
– 8)(2
x
– 4) = 0
( 0,25điểm )

⇔
(2
x
– 2
3
)(2
x
–2
2
) = 0
⇔
2
x
–2
3
= 0 hoặc 2
x
–2
2
= 0
( 0,25điểm )

⇔

2
x
= 2
3
hoặc 2
x
= 2
2

⇔
x = 3; x = 2
( 0,25điểm )

• Bài 2 (1,5 điểm ):
0
z
1
y
1
x
1
=++
0xzyzxy0
xyz
xzyzxy
=++⇒=
++
⇒
⇒
yz = –xy–xz

( 0,25điểm )
x
2
+2yz = x
2
+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
( 0,25điểm )

Tương tự: y
2
+2xz = (y–x)(y–z) ; z
2
+2xy = (z–x)(z–y)
( 0,25điểm )
Do đó:
)yz)(xz(
xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A
−−
+
−−
+
−−
=

( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5
điểm )
• Bài 3 (1,5 điểm):
Gọi
abcd
là số phải tìm a, b, c, d
∈
N,
090
≠≤≤
a,d,c,b,a

(0,25điểm)

Ta có:
2
kabcd
=


2
m)3d)(5c)(3b)(1a(
=++++

2
kabcd
=

2
m1353abcd

=+

(0,25điểm)
Do đó: m
2
–k
2
= 1353

⇒
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 m = 37
k = 56 k = 4
(0,25điểm)
Kết luận đúng
abcd
= 3136
(0,25điểm)

• Bài 4 (4 điểm) :
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
a)
'AA
'HA
BC'.AA.
2

1
BC'.HA.
2
1
S
S
ABC
HBC
==
;
(0,25điểm)
Tương tự:
'CC
'HC
S
S
ABC
HAB
=
;
'BB
'HB
S
S
ABC
HAC
=

(0,25điểm)

1
S
S
S
S
S
S
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC
=++=++

(0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
với k, m
∈
N,
100mk31
<<<

(0,25điểm)

⇔
⇔
⇒
⇔
hoặc
hoặc

AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
===

(0,5điểm )

AM.IC.BNCM.AN.BI
1
BI
IC
.

AC
AB
AI
IC
.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI
=⇒
===

c)Vẽ Cx
⊥
CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
(0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
(0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD
≤
BC + CD

(0,25điểm)
-
∆
BAD vuông tại A nên: AB
2
+AD
2
= BD
2


⇒
AB
2
+ AD
2

≤
(BC+CD)
2

(0,25điểm)
AB
2
+ 4CC’
2

≤
(BC+AC)
2

4CC’
2

≤
(BC+AC)
2
– AB
2

Tương tự: 4AA’
2

≤
(AB+AC)
2
– BC
2
4BB’
2

≤
(AB+BC)
2
– AC
2

(0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’
2
+ BB’

2
+ CC’
2
)
≤
(AB+BC+AC)
2



4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2
≥
++
++

(0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra
⇔
BC = AC, AC = AB, AB = BC
⇔
AB = AC =BC

⇔
∆
ABC đều)
Câu 1: (4,0 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x
2
– 7x + 2; b) a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
+ − −
= − −
− − + −
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
(0,5điểm )
(0,5điểm )

⇔
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :

9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
.
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E,
F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC
2
.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1
a 2,0
3x
2
– 7x + 2 = 3x
2
– 6x – x + 2 = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1). 0,5
b 2,0
a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1) = ax
2
+ a – a
2
x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1). 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ : 1,0

2
2
2 3
2 0
4 0 0
2 0 2
3
3 0
2 0
x
x x
x x
x
x x
x x

− ≠

− ≠ ≠


 
+ ≠ ⇔ ≠ ±
 
 
≠
− ≠




− ≠

2 2 2 2 2 2
2 2 3
2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )
( ) : ( ) .
2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
+ − − + + − − −
= − − = =
− − + − − + −
1,0
2
4 8 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
+ −
=
− + −
0,5
2
4 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3
x x x x x
x x x x
+ −

= =
− + − −
0,25
Vậy với
0, 2, 3x x x
≠ ≠ ± ≠
thì
2
4x
3
A
x
=
−
. 0,25
b 1,0
Với
2
4
0, 3, 2: 0 0
3
x
x x x A
x
≠ ≠ ≠ ± > ⇔ >
−
0,25
3 0x
⇔ − >
0,25

3( )x TMDKXD
⇔ >
0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
c 1,0
7 4
7 4
7 4
x
x
x
− =

− = ⇔

− = −

0,5
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD
=

⇔

=

0,25
Với x = 11 thì A =

121
2
0,25
Bài 3 5,0
a 2,5
9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔
(9x
2
– 18x + 9) + (y
2
– 6y + 9) + 2(z
2
+ 2z + 1) = 0 1,0
⇔
9(x - 1)
2
+ (y - 3)
2
+ 2 (z + 1)
2
= 0 (*) 0,5
Do :
2 2 2

( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z− ≥ − ≥ + ≥
0,5
Nên : (*)
⇔
x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
Từ :
ayz+bxz+cxy
0 0
a b c
x y z xyz
+ + = ⇔ =
0,5
⇔
ayz + bxz + cxy = 0 0,25
Ta có :
2
1 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
+ + = ⇔ + + =
0,5
2 2 2
2 2 2
2( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
⇔ + + + + + =
0,5

2 2 2
2 2 2
2 1
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
+ +
⇔ + + + =
0,5
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
dfcm
a b c
⇔ + + =
0,25
Bài 4 6,0
O
F
E
K
H
C
A
D
B
0,25
a 2,0
Ta có : BE
⊥

AC (gt); DF
⊥
AC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh :
( )BEO DFO g c g
∆ = ∆ − −
0,5
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có:
·
·
·
·
ABC ADC HBC KDC= ⇒ =
0,5
Chứng minh :
( )CBH CDK g g
∆ ∆ −
:
1,0
. .
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
⇒ = ⇒ =
0,5
b, 1,75
Chứng minh :

AF ( )D AKC g g
∆ ∆ −
:
0,25
AF
. A .
AK
AD AK F AC
AD AC
⇒ = ⇒ =
0,25
Chứng minh :
( )CFD AHC g g
∆ ∆ −
:
0,25
CF AH
CD AC
⇒ =
0,25
Mà : CD = AB
. .
CF AH
AB AH CF AC
AB AC
⇒ = ⇒ =
0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2

(đfcm).
0,25
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
.
b) x
4
+ 2010x
2
+ 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− − − −
+ + + =
.
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
− + − − + −
=
− − − − + −
.
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2010x 2680
A
x 1
+
=
+
.
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,
AB sao cho:
·
·

·
·
·
·
AFE BFD, BDF CDE, CED AEF
= = =
.
a) Chứng minh rằng:
·
·
BDF BAC
=
.
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
=
( )
3
3 3 3
x y z x y z
 

 
+ + − − +
 
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
 
+ + + + + + + − + − +
 
=
( )
( )
2
y z 3x 3xy 3yz 3zx
+ + + +
= 3
( ) ( ) ( )
y z x x y z x y
+ + + +
 
 
= 3
( ) ( ) ( )
x y y z z x+ + +
.
b) x

4
+ 2010x
2
+ 2009x + 2010 =
( ) ( )
4 2
x x 2010x 2010x 2010
− + + +
=
( )
( ) ( )
2 2
x x 1 x x 1 2010 x x 1
− + + + + +
=
( ) ( )
2 2
x x 1 x x 2010
+ + − +
.
Bài 2:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− − − −
+ + + =
x 241 x 220 x 195 x 166
1 2 3 4 0
17 19 21 23
− − − −

⇔ − + − + − + − =
x 258 x 258 x 258 x 258
0
17 19 21 23
− − − −
⇔ + + + =
( )
1 1 1 1
x 258 0
17 19 21 23
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
x 258
⇔ =
Bài 3:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
− + − − + −
=
− − − − + −
.
ĐKXĐ:

x 2009; x 2010
≠ ≠
.
Đặt a = x – 2010 (a
≠
0), ta có hệ thức:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
a 1 a 1 a a
19
49
a 1 a 1 a a
+ − + +
=
+ + + +

2
2
a a 1 19
3a 3a 1 49
+ +
⇔ =
+ +
2 2
49a 49a 49 57a 57a 19⇔ + + = + +

2
8a 8a 30 0⇔ + − =
( ) ( ) ( )
2
2
2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0⇔ + − = ⇔ − + =

3
a
2
5
a
2

=

⇔


= −


(thoả ĐK)
Suy ra x =
4023
2
hoặc x =
4015
2
(thoả ĐK)

Vậy x =
4023
2
và x =
4015
2
là giá trị cần tìm.
Bài 4:
2
2010x 2680
A
x 1
+
=
+

=
2 2 2
2 2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x 1 x 1
− − + + + +
= − + ≥ −
+ +

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì
µ

µ
$
o
E A F 90
= = =
)
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
giác của
·
BAC
.
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất
⇔
AD nhỏ nhất
⇔
D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
a) Đặt
·
·
·
·
·
·
AFE BFD , BDF CDE , CED AEF
= = ω = = α = = β
.
Ta có

·
0
BAC 180
+β + ω=
(*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau
tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
⇒
·
·
·
o
OFD OED ODF 90
+ + =
(1)
Ta có
·
·
·
o
OFD OED ODF 270
+ ω+ +β+ + α =
(2)
(1) & (2)
⇒
o
180
α + β + ω =
(**)
(*) & (**)

⇒
·
·
BAC BDF
= α =
.
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
µ
B
= β
,
µ
C
= ω
E
F
A
B
C
D
O
A
B
C
F
D
E
α
β
ω

β
ω
α
s
⇒
AEF
∆

DBF
∆

DEC
∆

ABC
∆
⇒
BD BA 5 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8 8 8
CD CA 7 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8 8 8
AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24
AF AC 7
   
= = = = =
   
   
   

= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
   
   
= − = − − =
   
= =
   
   
CD BD 3⇒ − =
(3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4)
⇒
BD = 2,5
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
5
+ x +1
b) x
4
+ 4
c) x
x
- 3x + 4
x
-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
22

2
12
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b
aab
a
A
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab và 2a > b > 0
Tính:
22
4 ba
ab
P
−
=
Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trờn BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ

N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại
F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ∆ ABC
để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

5
2n+1
+ 2
n+4
+ 2
n+1
chia hết cho 23.
s
s
Bài 1: (2 điểm)
a) Phõn tớch thành thừa số:
3333
)( cbacba −−−++
b) Rỳt gọn:
933193
451272
23
23
−+−
+−−

xxx
xxx
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
nnnA 36)7(
223
−−=
chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mỡnh thỡ
mỏy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và
máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng
làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B.
Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước.
b) Giải phương trỡnh:
aaxax 322
=−−+
(a là hằng số).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên
nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với
AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M,
N.
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC.
c) Chứng minh: gúc MIN = 90
0
.
d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng số:
    
0 sè n
09 0019 99224
9 sè 2-n
là số chính phương. (
2
≥
n
).
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x
+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x
+ + +
Bài 2: (2điểm) Giải phương trình:
1.
2
3 2 1 0x x x
− + + − =
2.
( )
2 2 2
2
2 2

2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(
9)
111
≥++
cba
3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x
+ + + + +

cho đa thức
2
10 21x x
+ +
.
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao
AH (H
∈
BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ
dài đoạn BE theo

m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác
BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
B ià
1
Câu
N ộ i dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 đ i ể m)
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x
+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x
= + +
0.5
0,5

1.2
(1,25 đ i ể m)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x
+ + + = + + + + +
0,25
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + − + + +
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x
= + + − + + + + = + + − +
0,25
2.
2,0
2.1
2
3 2 1 0x x x
− + + − =
(1)
+ Nếu
1x
≥
: (1)
( )
2
1 0 1x x

⇔ − = ⇔ =
(thỏa mãn điều kiện
1x
≥
).
+ Nếu
1x
<
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x
⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =

1; 3x x
⇔ = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1

8 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +
 ÷  ÷  ÷ ÷
      
(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
0x
≠
(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x
 
       
⇔ + + + + − + = +
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
( ) ( )
2
2 2

2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x
   
⇔ + − + = + ⇔ + =
 ÷  ÷
   
0 8x hay x
⇔ = = −
và
0x
≠
.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
= −
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1 Ta có:
A=
111)
111
)((
++++++++=++++
b

c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
cba
cba
=
)()()(3
c
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
++++++
Mà:
2

≥+
x
y
y
x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223
=+++≥
Vậy A
9
≥
0,5
0,5
3.2 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + + ≠ − ≠ −
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2

( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t
= − + + = − +
Do đó khi chia
2
2 1993t t
− +
cho t ta có số d là 1993
0,5
0,5
4
4,0
4.1 + Hai tam giác ADC và BEC
có:
Góc C chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác
vuông CDE và CAB đồng
dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
·
·
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
·

0
45AEB
=
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m
= =
1,0
0,5
4.2
Ta có:
1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= × = ×
(do
BEC ADC
∆ ∆
:
)
mà
2AD AH
=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE

AB
= × = × = =
(do
ABH CBA
∆ ∆
:
)
Do đó
BHM BEC
∆ ∆
:
(c.g.c), suy ra:
·
·
·
0 0
135 45BHM BEC AHM
= = ⇒ =
0,5
0,5
0,5
4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD

ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =
:
0,5
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
0,5
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

)()()()()()(
222
babacacacbcbcba −++−++−+
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và
0
111
=++
cba
Rút gọn biểu thức:
abccabbca
N
2
1
2
1
2

1
222
+
+
+
+
+
=
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
22
++−−+= yxxyyxM
b) Giải phương trình:
01)5,5()5,4(
44
=−−+− yy
Bài 3: (2điểm)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15
phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút
rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km.
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF
vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
34553
22
=+ yx
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
4
x 4
+

( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 3 x 4 x 5 24
+ + + + −
b. Giải phương trình:
4 2
x 30x 31x 30 0
− + − =
c. Cho
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
+ + =
+ + +

Câu2.

Cho biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 
= + + − +
 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết |x| =
1
2
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME
⊥
AB, MF
⊥
AD.
a. Chứng minh:

DE CF
=