Các đề thi Đại số ĐHKHTN từ 2000 - 2007

Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. M là tập hợp các ma trận cấp n (n 1), thực, khả nghịch.
1. Chứng minh rằng M là nhóm đối với phép nhân ma trận.
2. C M cố định. Chứng minh rằng ánh xạ f : M M , f (A) = C 1 AC là
một đồng cấu nhóm. T×m Im f , Ker f (hay chøng minh r»ng f là đẳng cấu).
3. Chứng minh ràng ánh xạ f1 : M → R , f1 (A) = |A| lµ đồng cấu nhóm. Tìm
Im f1 , Ker f1 .
Câu II. Chứng minh rằng C là nhóm đối với phép nhân thông th-ờng. Xét các ánh xạ
f : C C , f (α) = α, g : C → C , g() = là đồng cấu nhóm, đơn cấu, toàn
cấu hay không? Tìm Im f , Ker f .
Câu III. Chứng minh rằng các phép biến đổi trực giao trên không gian Euclid E làm
thành một nhóm đối với phép nhân (phép hợp thành), ký hiệu G. Giả sử g G. Đặt
ánh xạ : G G, ϕ(f ) = g −1 f g. Chøng minh r»ng là đẳng cấu nhóm.
Câu IV. C[x] là vành. Đặt ¸nh x¹
ϕ : C [x] → C [x] ,
f (x) f (x)
(đ-ợc hiểu là a 0 + a1 x + ... + anxn).
1. Chứng minh rằng là đồng cÊu nhãm.
2. Chøng minh r»ng R[x] lµ vµnh con mµ không idean.
Câu V.
1. Chứng minh rằng các ma trận đối xứng cấp n lập thành nhóm aben đối với phép
cộng, ký hiƯu nhãm nµy lµ M .
2. Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f : M → M , f (A) = A (chuyển vị của A) là đồng
cấu nhóm. Tìm Im f , Ker f .
3. Chøng minh r»ng tËp M các ma trận đối xứng thực cấp n lập thành R-không gian
véc tơ (hay R-không gian véc tơ con của không gian các ma trận vuông cấp n).
4. T là ma trận khả nghịch (không nhất thiết đối xứng). Chứng minh rằng ánh xạ

f : M M , f (A) = T 1 AT là đồng cấu (tức là ánh xạ tuyến tính).

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2000
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Tìm hạng của hƯ vÐc t¬ a1 , a2 , a3 ∈ R3 theo tham sè a
a1 = (1, a, 1) ,
a2 = (1, 1, a) ,
a3 = (a, 1, 1) .
Tìm phần bï trùc tiÕp cña L = {a1, a2 , a3 } khi a = 2 hoặc a = 1.
Câu II. Biết R5 [x] là không gian các đa thức có bËc nhá h¬n 5. Cho f (x) = 1 + x 2 +
x3 + x4 . Chøng minh r»ng (1) và (2) là các cơ sở của nó
1. 1, x, x2 , x3 , x4 .
2. f (4) (x), f (3) (x), f (x), f (x), f (x).
T×m ma trËn chuyển cơ sở (1) sang (2). Tìm toạ độ của f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4
trong cơ sở (2).
Câu III. Phép biến đổi tuyến tính f trên không

3 0
1 0
A=
2 1

gian phức có ma trận là

0
1 .
0

có chéo hoá đ-ợc không? Có tồn tại phép biến đổi tuyến tính nghịch đảo f 1 ? Tìm véc
tơ riêng và giá trị riêng của f 1 .
Câu IV. Chứng minh rằng tập hợp các ma trận thực có dạng
A=

a b
2b a

.

với a, b ∈ R lËp thµnh vµnh con cđa vµnh Mat(2, R), hỏi nó có là idean không?

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2001
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Chứng minh rằng
1. Tập S1 các số phức có mô đun bằng 1 là một nhóm con của nhóm nhân các số phức
khác 0.
2. ánh xạ f : R S1 cho bởi f (x) = cos(x) + i sin(x) là một đồng cấu từ
nhóm cộng các số thực R vào S 1 .
Câu II.

1. Chứng minh rằng mỗi không gian con L của không gian véc tơ hữu hạn chiều V
đều có bï tun tÝnh. PhÇn bï tun tÝnh cđa L cã duy nhất không?
2. Tìm số chiều, một cơ sở và phần bù tuyến tính của không gian con của không
gian R4 sinh bëi hƯ vÐc t¬ {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 =
(2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)}.
C©u III. XÐt ma trËn thùc



a d 0
A =  d b d .
0 −d c
1. NÕu ϕ lµ mét phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh trong kh«ng gian R 3 cã ma trận đối với cơ
sở chính tắc là A thì có chéo hoá đ-ợc không? Vì sao?
2. Với a = 3, b = 4, c = 5 vµ d = 2 h·y t×m ma trËn trùc giao Q sao cho
B = QT AQ là ma trận đ-ờng chéo.
Câu IV. Phép biến đổi tuyến tính gọi là luỹ linh bậc p nếu p là một số nguyên d-ơng
sao cho p1 = 0 và p = 0. Giả sử là mét phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh l linh bËc p
trong không gian véc tơ n-chiều V . Chứng minh rằng
1. Nếu x là một véc tơ sao cho p1 (x) = 0 thì hệ véc tơ
x, (x) , 2 (x) , ..., ϕp−1 (x)
®éc lËp tuyÕn tÝnh.
2. p ≤ n.
3. chỉ có một giá trị riêng = 0.
4. NÕu E − A lµ ma trËn cđa phÐp biến đổi đối với cơ sở nào đó thì ma trận A
khả nghịch (E là ma trận đơn vị).

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com

Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2001
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Chứng minh rằng tập O(n) các ma trận trực giao cấp n là một nhóm đối với phép
nhân ma trận.
2. Cho Q O(n), xét ánh xạ f : O(n) O(n) cho bởi f (A) = QT AQ trong đó
QT là chuyển vị của Q. Chứng minh rằng f là một đẳng cấu nhóm.
Câu II. Xét phép biến đổi tuyến tính : R3 → R3 cho bëi
ϕ (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3x2 + 4x3 , 4x1 − 7x2 + 8x3 , 6x1 − 7x2 + 7x3 ) .
1. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của .
2. Trong không gian véc tơ R3 có tồn tại hay không một cơ sở sao cho đối với cơ sở
đó ma trận của có dạng đ-ờng chéo.
Câu III. Trong kh«ng gian Euclid R4 xÐt kh«ng gian con L sinh bëi hƯ vÐc t¬
{(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} .
1. T×m cơ sở trực chuẩn của không gian con L và cơ sở trực chuẩn của phần bù trực
giao L.
2. Giả sử x = (4, 1, 3, 4). Tìm véc tơ y L và véc tơ z L sao cho x = y+z.
C©u IV.
1. Chøng minh r»ng hä

1, x − a, (x − a)2 , ..., (x − a)n−1

víi a R là một cơ

sở của không gian Rn [x] các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn n.
2. Tìm toạ độ của f (x) Rn [x] đối với cơ sở đó.
Câu V.

1. Giả sử f1 , f2 là các dạng tuyến tính trên K-không gian véc tơ V . Chứng minh
rằng ánh xạ : V × V → K cho bëi ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) là một dạng
song tuyến tính trên V . Tìm điều kiện cần và đủ để là dạng song tuyến tính đối
xứng.
2. Giả sử V là K-không gian véc tơ hữu hạn chiều. Chứng minh r»ng d¹ng song
tuyÕn tÝnh ϕ cã h¹ng b»ng 1 khi và chỉ khi = 0 và có hai dạng tuyÕn tÝnh f 1 ,
f2 sao cho ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) víi mäi x, y ∈ V .

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2002
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Giả sử h là một đồng cấu vành từ vành K vào vành K , vµ A lµ vµnh con cđa
vµnh G. Chøng minh r»ng h(A) lµ mét vµnh con cđa vµnh K .
2. Trên tập các số nguyên Z xét hai phép toán xác định bởi
ab =a+b1
a b = a + b − ab.
Chøng minh r»ng (Z, ⊕, ◦) lµ mét vành giao hoán có đơn vị.
Câu II. Trong không gian véc tơ R3 xét phép biến đổi tuyến tính g xác định bởi
g(u) = (8x y 5z, 2x + 3y + z, 4x − y − z) víi u = (x, y, z).
1. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của g.
2. Tìm một cơ sở cả không gian R 3 sao cho đối với cơ së ®ã ma trËn B cđa phÐp biÕn
®ỉi g cã các phần tử ở phía trên đ-ờng chéo chính bằng 0. Viết ma trận B.
Câu III. Trong không gian véc t¬ Euclide E xÐt hƯ vÐc t¬ {u1 , . . . , un}, vµ ma trËn
G = ((ui, uj ))nìn.

Chứng minh rằng hệ véc tơ {u1 , . . . , un} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi det G = 0.
Câu IV. Giả sử f là một dạng song tuyến tính hạng r trên K-không gian véc tơ V
n-chiều. Xét các tập con
Vr = y thuộc V : f (x, y) = 0 ®èi víi mäi x thuéc V

,

Vl = y thuéc V : f (y, x) = 0 ®èi víi mäi x thc V

.

Chøng minh rằng V r , Vl là các không gian con vµ dim V r = dim Vl = n − r.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2002
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Giả sử h là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm G , vµ H lµ nhãm con cđa nhãm
G. Chøng minh r»ng h(H) lµ mét nhãm con cđa nhãm G .
2. Xét ánh xạ f từ nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) vào nhóm nhân R các số
thực khác 0 xác định bởi f (A) = det A. Chứng minh rằng f là một toàn cấu.
Xác định nhóm con f (O(n)), với O(n) là nhóm các ma trận trực giao.
Câu II.
1. Giả sử L là một không gian con p-chiều của không gian véc tơ Euclide E n-chiều.
Chứng minh rằng tËp

L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, y L},
là một không gian con (n p)-chiều và E = L

L .

2. Xét không gian con L của không gian véc tơ Euclide R 4 sinh bởi hƯ vÐc t¬ u1 =
(1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, −2, 1). Xác định một cơ sở trực chuẩn
của không gian con L ∗.
C©u III. VÕt cđa ma trËn A cÊp n trên tr-ờng K là tổng các phần tử trên đ-ờng chéo
chính, đ-ợc ký hiệu là Tr(A). Chứng minh rằng
1. Tr(AB) = Tr(BA).
2. VÕt cña ma trËn cña mét phÐp biÕn đổi tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn
cơ sở của không gian.
Câu IV.
1. Hạng của ma trận A = (aij )mìn đ-ợc ký hiệu là r(A). Chứng minh rằng
r(A + B) ≤ r(A) + r(B).
2. TÝnh r(A) víi A = (min{i, j})m×n.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Chứng minh rằng tích các đồng cấu vành là một đồng cấu vành.
2. XÐt ®ång cÊu nhãm f : G → G . Chứng tỏ rằng nếu G là một nhóm giao hoán
thì Im(f ) cũng là một nhóm giao hoán.. Cho một ví dụ chứng tỏ điều ng-ợc lại

nói chung không đúng.
Câu II.
1. Giả sử L là không gian con của không gian vÐc t¬ R 3 sinh bëi hƯ vÐc t¬
{u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, 6, 1)} .
Với giá trị nào của tham số a thì véc tơ u = (7, −1, a) thuéc kh«ng gian con L.
2. Chøng minh r»ng trong không gian các hàm số thực liên tục C (a, b) hƯ vÐc t¬
{1, cos x, cos2 x, ..., cosn x} độc lập tuyến tính.
Câu III. Xét ma trận thùc ®èi xøng



3 2
0
A =  2 4 −2  .
0 −2 5
T×m ma trËn trùc giao Q sao cho Q T AQ là ma trận đ-ờng chéo. Viết ma trận đ-ờng
chéo đó.
Câu IV. Giả sử u là một véc tơ của không gian Euclid E.
1. Chứng minh rằng với mỗi véc tơ x thuộc E có thể biểu diễn duy nhất d-ới dạng
x = au + v trong đó vÐc t¬ v trùc giao víi vÐc t¬ u.
2. Cho E = R4 , u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1). TÝnh a vµ v.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2003
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I. Trong nhóm G xét ánh xạ h : G G xác định bëi h(a) = a −1, ∀a ∈ G.
Chøng minh r»ng ánh xạ h là một tự đẳng cấu khi và chỉ khi G là một nhóm Aben.
Câu II. Trong không gian véc tơ Euclide R4 xét không gian con L cho bởi hệ ph-ơng
trình

2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0

3x + 2x2 + 2x3 + x4 = 0
 1

x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = 0
1. T×m số chiều và một cơ sở của phần bù trực giao L của không gian con L.
2. Cho véc tơ x = (7, 4, 1, 2). Tìm véc tơ y ∈ L, z ∈ L sao cho x = y + z.
Câu III. Xét ánh xạ tuyến tính g : R4 R3 đ-ợc cho bởi
g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 − 2x2 + x4 , x1 + x3 − x4 , 2x2 + x3 − 2x4 ).
1. T×m dim Ker g, dim Im g.
2. Víi giá trị nào của tham số a thì véc tơ y = (1, 2, a) thuộc không gian con
Im g.
Câu IV. Giả sử f là một phép biến đổi tuyến tÝnh luü linh bËc n (tøc lµ f n−1 = 0,
f n = 0) trong K-không gian véc tơ V . Chøng minh r»ng
1. NÕu x ∈ V : f k(x) = 0 thì hệ véc tơ {x, f (x), . . . , f k(x)} ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
2. n ≤ dim V .
3. NÕu n = dim V thì đa thức đặc tr-ng của phép biển đổi f cã d¹ng p(λ) =
(−1)nλn.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội

Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Giả sử (G, ) là một nhóm có hữu hạn phần tử, đơn vị e. Chứng minh rằng
1. Đối với mỗi phần tử a G tồn tại số nguyên k 1 sao cho a k = e (số nguyên
d-ơng nhỏ nhất có tính chất đó gọi là cấp của phần tử a).
2. Nếu a là phần tử cấp n thì A = {a, a2 , . . . , an} lµ mét nhãm con cđa nhãm
(G, ◦).
C©u II. XÐt ma trËn thùc




1 a b+c
A =  1 b a + c .
1 c a+b

1. Chứng tỏ ma trận A không khả nghịch.
2. Tính hạng của ma trận A theo giá trị của các tham số a, b, c.
Câu III. Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian véc tơ R3 ®-ỵc cho bëi
f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z).
1. Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng của f .
2. Phép biến đổi f có chéo hoá đ-ợc không? Vì sao? Tìm một cơ sở của không gian
R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận tam giác.
Câu IV. Chứng minh rằng tập con khác rỗng L của không gian véc tơ R n là một khôn
gian con khi và chỉ khi L là tập nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần nhất
trên R.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com

Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2004
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Giả sử X là một vành. Chứng minh rằng
1. Đối với mỗi số nguyªn n ≥ 0, tËp
nX =

a = nx = x + x + ... + x : x ∈ X
n lần

là một idean của vành X (với quy -ớc 0x = 0).
2. Các tập dạng nZ với n = 0, 1, 2, ... là tất cả các idean của vành số nguyên Z.
Câu II.
1. Trong không gian R4 xét không gian con L sinh bëi hƯ vÐc t¬
{u1 = (1, a, −1, −2) , u2 = (2, −1, a, 5) , u3 = (1, 10, −6, 1)} .
TÝnh dim L theo tham số a.
2. Giả sử hệ véc tơ {u1 , u2 , ..., un} là một cơ sở của K-không gian véc tơ V . Đặt
vk = uk + ... + un víi k = 1, 2, ..., n. Chøng minh r»ng hÖ {v1 , v2 , ..., vn} là
một cơ sở của không gian V .
Câu III. Phép biến đổi tuyến tính g trong không gian Euclid R 3 đ-ợc cho bởi
g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − 3x2 − x3 , −3x1 + x2 + x3 , −x1 + x2 + 5x3 ).
1. Chøng tá rằng g là một phép biến đổi đối xứng.
2. Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ Euclid R 3 là các véc tơ riêng của
g.
Câu IV. Giả sử f là một dạng song tuyến tính hạng k trên K-không gian véc tơ K n.
Xét các tập con
Vr = y ∈ Kn : f (x, y) = 0 ®èi víi mäi x ∈ K n ,

Vl = y ∈ Kn : f (y, x) = 0 ®èi víi mäi x ∈ K n .
Chøng minh r»ng V r , Vl là các không gian con và dim V r = dim Vl = n − k.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Trong nhóm G xét ánh xạ f : G G cho bởi f (x) = x 2 víi mäi x ∈ G.
1. Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của nhãm G khi vµ chØ khi G lµ nhãm
aben.
2. Cho một ví dụ sao cho f là tự đẳng cấu vµ mét vÝ dơ sao cho f lµ mét tõ đồng
cấu những không phải là tự đẳng cấu.
Câu II. Xét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh h : R4 → R3 x¸c ®Þnh bëi: víi u = (x 1 , x2 , x3 , x4 ) th×
h (u) = (x1 + ax2 − x3 + 2x4 , 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 , x1 + 10x2 − 6x3 + x4 )
1. Xác định dim Im h, dim Ker h theo tham số a.
2. Với a = 3, với giá trị nào của b thì véc tơ u = (1, 2, b) thuéc Im h.
C©u III. XÐt ma trËn thùc




1 2 2
A =  2 1 2 .
2 2 1

1. T×m các giá trị riêng, véc tơ riêng của A.

2. Tìm ma trËn trùc giao Q sao cho B = Q T AQ là ma trận đ-ờng chéo. Viết ma
trận B.
Câu IV.
1. Giả sử F là một không gian con của K-không gian véc tơ n-chiều V . Chứng minh
rằng nếu dim F < n thì trong không gian V có c¬ së {u1 , u2 , .., un} sao cho
ui ∈ F , i = 1, 2, .., n.
2. Chøng minh rằng đối với mỗi dạng tuyến tính trên không gian véc tơ Euclid hữu
hạn chiều E tồn tại duy nhÊt mét vÐc t¬ u ∈ E sao cho
ϕ (x) = (u .x) víi mäi x ∈ E.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2005
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Xét đồng cấu vµnh f : K → K . Chøng minh r»ng
1. Nếu A là một vành con của vành K thì f (A) lµ mét vµnh con cđa K .
2. NÕu B là một idean của vành K thì f 1 (B) là một idean của vành K.
Câu II.
1. Xác định số chiều của không gian nghiệm N của hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần
nhất sau đây theo tham số a
x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0,
2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0.
2. Với a = 3, tìm cơ së trùc giao cđa phÇn bï trùc giao N cđa N trong không gain
véc tơ Euclid R4 .
Câu III. Xét ma trËn thùc




8 −1 −5
1 .
A =  −2 3
4 1 1
1. Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng của A.
2. Tìm một một ma trận tam giác đồng dạng với ma trận A.
Câu IV. Xét dạng toàn ph-ơng trên không gian véc tơ Euclid Rn cho bởi
n

(x) =

aij xixj

,

x = (x1 , x2 , .., xn) .

i,j=1

Chứng minh rằng
1. Nếu dạng xác định d-ơng thì aii > 0 víi mäi i = 1, 2, .., n.
2. Dạng xác định d-ơng khi và chỉ khi tồn tại ma trận khả nghịch S sao cho
(aij )nìn = S T S.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com

Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt 1
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I.
1. Chứng minh rằng giao các idean của một vành là một idean.
2. Giả sử S là tập con khác rỗng của vành K giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng
tập
n

(S) =

x=

aisi : si ∈ S, ai ∈ K, i = 1, 2, .., n
i=1

là idean nhỏ nhất chứa tập S.
Câu II. XÐt phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh f : R3 → R3 cho bëi
f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + ax2 + x3 , 2x1 + ax2 + bx3 , −x1 + (b − 1) x3 )
1. Với giá trị nào của các tham số a, b thì f là một tự đẳng cấu.
2. Tìm dim Im f , dim Ker f víi a = b = 1.
Câu III. Xét ma trận đối xứng thực



1 2 2
A = 2 1 2 .
2 2 1

1. Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng của A.
2. Dạng toàn ph-ơng trên không gian véc tơ Euclid R 3 cho bëi
ω (x) =

x1 x2 x3

A

x1 x2 x3

T

,

x=

x1 x2 x3

.

T×m một cơ sở trực chuẩn của không gian R 3 là cơ sở chính tắc của . Viết dạng
chính tắc của t-ơng ứng với cơ sở đó.
Câu IV. Giả sử E là không gian véc tơ Euclid n-chiều.
1. Chứng minh r»ng nÕu {u1 , u2 , .., un} lµ một cơ sở trực chuẩn của E thì mỗi véc
tơ x thuộc E đều có thể biểu diễn d-ới dạng
n

x=

(x.ui) ui.

i=1

2. Giả sử L, M là các không gian con cđa E vµ dim L < dim M . Ch-ng minh rằng
tồn tại véc tơ u M , u = 0 sao cho (u.y) = 0 víi mäi y ∈ L.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 đợt 2
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Xét vành đa thức R[x] ẩn x hệ số thực. Chứng minh rằng
1. Đối với mỗi đa thức f (x) thuộc R[x] tËp
f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]}
lµ mét idean của vành R[x].
2. Đối với mỗi idean I = {0} của vành R [x] tồn tại duy nhất đa thøc d¹ng chuÈn
p (x) sao cho I = p (x) R [x].
Câu II. Trong không gian Euclid R 4 xét hƯ vÐc t¬
u1 = (1, a, 2, 1)

,

u2 = (1, 1, b, 0)

,

u3 = (1, b, 2, 1) .

1. Víi những giá trị nào của các tham số a, b thì hệ {u 1 , u2 , u3 } độc lập tuyến tính,
phụ thuộc tuyến tính.
2. Tìm một cơ sở của phần bù trực giao L của không gian con L sinh bëi hƯ
{u1 , u2 , u3 } víi a = b = 1.
Câu III. Xét phép biến đổi tuyến tính f trong không gian véc tơ R3 xác ®Þnh bëi
f ((x, y, z)) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) .
1. Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng cđa f , cđa f n, n > 0.
2. T×m một cơ sở của không gian R 3 sao cho ma trận B của f đối với cơ sở đó là ma
trận tam giác. Viết ma trận B.
Câu IV. Xét dạng song tuyến tính g trên K-không gian véc tơ n-chiều V thoả mÃn điều
kiện g(x, x) = với mọi x thuéc V . Chøng minh r»ng
1. g(x, y) = −g(y, x) víi mäi x, y thuéc V .
2. NÕu g không suy biến thì mỗi véc tơ u thuộc V , v = {0}, luôn luôn tồn tại véc t¬
v thuéc V sao cho g(u, v) = 1.

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com


Shared by www.webcaohoc.com
Đại học Quốc gia Hà Nội
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2007 đợt 1
Môn thi cơ bản: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I. Phần tư a thc nhãm (G, ◦, e) gäi lµ cã cấp hữu hạn p nếu p là số nguyên
d-ơng nhỏ nhÊt sao cho a p = e. Gi¶ sư G là một tập hợp hữu hạn có n phần tử. Chứng
minh rằng

q

1. Mỗi phần tử a thuộc nhóm (G, , e) đều có cấp hữu hạn.

2. Với mọi a, b thuộc nhóm (G, , e) các phần tử a b và b a có cấp bằng nhau.
Câu II.

g

1. Xác định số chiều của không gian nghiệm N 0 của hệ ph-ơng trình tuyến tính thuần
nhất sau đây theo tham sè thùc a

n

x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0,
2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0.

2. Cho a = 3, tìm phần bù trực tiếp của N0 trong không gian véc tơ R4 .
Câu III. Trong không gian véc tơ Euclid R3 xét phép biến đổi tuyến tính f cho bëi

h

f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −2x2 + 5x3 ) .

1. Chøng minh r»ng f lµ phép biến đổi đối xứng.
2. Tìm cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ Eucild R 3 là các véc tơ riêng của f và
cho biết ma trận của f đối với cơ sở đó.

n

Câu IV. Xét dạng song tuyến tính không suy biến g trên K-không gian véc tơ n-chiều
V . Giả sử rằng dạng song tuyến tính g1 trên không gian véc tơ con r-chiều F cho bëi

g1 (x, y) = g(x, ) víi mäi x, y thuộc F là một dạng không suy biến. Xét tập
F = {x ∈ V : g (x, y) = 0 víi mäi y ∈ F } .

a

Chøng minh r»ng
1. F là một không gian con và F F = {0}.

2. V = F ⊕ F .

Feel Free to contact us @ www.webcaohoc.com