Đề ôn tập kỳ 1 năm 2011-2012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.63 MB, 17 trang )
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[1]
ĐỀ 1
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
cos2 sin 2 cos 1 0
x x x
b)
2
3 2 cos cos 2 3 2 cos sin 0
x x x x
Câu 2. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1 1
6; 3 11, 1
n n
u u u n
.
Chứng minh rằng
1
3 11
, 1
2 2
n
n
u n
.
Câu 3. Cho cấp số cộng
n
u
có
17 33
33; 65
u u
. Hãy tìm công sai và số hạng tổng quát của cấp
số cộng đó.
Câu 4. Đội thanh niên xung kích của một trường THPT có 12 học sinh, 5 học sinh lớp A, 4 học sinh
lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, tính xác suất để 4 học sinh được chọn
thuộc không quá hai lớp.
Câu 5. Tính hệ số của số hạng chứa
31
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
40
2
1
x
x
thành đa thức.
Câu 6. Cho đường thẳng
: 2 3 0
x y
và đường tròn
2 2
: 1 2 4
C x y
Tìm ảnh của đường tròn
C
qua phép đối xứng trục có trục là đường thẳng
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
. Gọi
M
là điểm nằm trong tam giác
SCD
.
Tìm giao điểm của đường thẳng
BM
với mp
SAC
và xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
mp
ABM
.
ĐỀ 2
Câu 1. Giải các phương trình:
a)
2 2
6 sin sin cos cos 2
x x x x
b)
3 cos 5 2 sin 3 cos2 sin 0
x x x x
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
2
sin cos 3 cos
2 2
x x
y x
Câu 3. Cho cấp số cộng
n
u
có
4 97
101
u u
. Hãy tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số
đó.
Câu 4. Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển thành đa thức của
6
2
1
x x
.
Câu 5. Cho hai đường thẳng song song
1
d
và
2
d
. Trên
1
d
lấy 10 điểm phân biệt và trên
2
d
lấy
2
n n
điểm phân biệt. Tìm
n
biết có 2800 tam giác có đỉnh là 3 trong
10
n
điểm đã cho.
Câu 6. Cho điểm
2; 3
I
và đường thẳng
: 3 2 5 0
d x y
. Tìm ảnh
'
d
của
d
qua phép đối
xứng tâm
I
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[2]
Câu 7. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Gọi
I
là trung điểm của
AD
,
J
là điểm đối xứng
với
D
qua
C
,
K
là điểm đối xứng với
D
qua
B
. Tính diện tích thiết diện thu được khi cắt tứ diện
bởi
mp IJK
ĐỀ 3
Câu 1. Giải các phương trình
a)
2 2
1
cos 2 sin
2
x x
b)
1 2 sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
Câu 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số
cos 2 cos 2
4 4
y x x
Câu 3. Gieo một con súc sắc cân đối ba lần. Tính xác suất để có đúng hai lần xuất hiện mặt 6 chấm.
Câu 4. Tính tổng
0 1
1 1 1
1.2 2.3
1 2
n
n n n
S C C C
n n
.
Câu 5. Cho cấp số công
n
u
thỏa mãn
17 20
2 2
17 20
9
153
u u
u u
.
Tìm
1
u
và
d
.
Câu 6. Cho
: 3 3 0, 1;2 , 2;1
x y I v
. Tìm ảnh của
qua phép biến hình có được bằng
cách thực hiện liên tiếp
v
T
và Đ
I
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
. Gọi
O AC BD
;
,
I J
lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
,
SA SC
. Một mặt phẳng (P) đi qua
IJ
cắt
SB
tại
M
và cắt
SD
tại
N
. Chứng minh các đường thẳng
, ,
IJ MN SO
đồng qui.
ĐỀ 4
Câu 1. Giải các phương trình:
a)
2 2 2
sin 2 sin 4 sin 6
x x x
b)
2
2 cos 1 2 sin cos 2 sin sin 1
4
x x x x x
Câu 2. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi từ các số đã cho có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác
nhau, mỗi số có 6 chữ số phân biệt và tổng của 3 chữ số ở hàng đơn vị, chục, trăm bằng 8.
Câu 3. Cho khai triển
0 1
1 2
n
n
n
x a a x a x
. Biết các hệ số
0 1
, , ,
n
a a a
thỏa mãn
1 2
0
2
4096
2
2 2
n
n
a a a
a
.Tìm số lớn nhất trong các số
0 1
, , ,
n
a a a
.
Câu 4. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
u
và
1
2 5 , 1
n n
u u n
.
a) Chứng minh dãy số
n
v
, với
5
n n
v u
, là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó.
b) Xách định số hạng tổng quát của dãy số
n
u
.
Câu 5. Cho đường tròn
;
O R
cố định,
I
là điểm nằm bên ngoài đường tròn sao cho
2
OI R
,
A
là
một điểm thay đổi trên đường tròn
;
O R
. Phân giác trong của góc
IOA
cắt
IA
tại
M
. Chứng minh
điểm
M
thuộc một đường tròn cố định khi
A
di động trên đường tròn
;
O R
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[3]
Câu 6. Cho hai hình bình hành
ABCD
và
ABEF
nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi
O
và
'
O
lần lượt là tâm các hình bình hành
ABCD
và
ABEF
.
a) Chứng minh :
'/ / , '/ /
OO ADF OO BCE
.
b) Gọi
,
M N
lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABD
và
ABE
. Chứng minh:
/ /
MN CEF
.
ĐỀ 5
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
sin 3 3 cos 3 2 sin 2
x x x
b)
3 3
2 3 2
cos 3 .cos sin 3 .sin
8
x x x x
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
1 sin
2 cos
x
y
x
Câu 3. Một hộp đứng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp
đó.Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
Câu 4. Với
n
là số nguyên dương, gọi
3 3
n
a
là hệ số của
3 3
n
x
trong khai triển thành đa thức của
3 2
2 2
n
x x x
. Tìm
n
để
3 3
26
n
a n
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
n
u
có
2 5
4 9
45
66
u u
u u
. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
đó.
Câu 6. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn
2 2
1
: 1 2 4
C x y
và
2 2
2
: 1 3 9
C x y
.
Câu 7. Cho tứ diện
ABCD
,
M
và
N
là hai điểm lần lượt trên
AC
và
AD
,
O
là một điểm bên
trong tam giác
BCD
. Tìm giao điểm của
MN
và
ABO
;
AO
và
BMN
.
ĐỀ 6
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
cos sin 2
4
x x
b)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn của hàm số
2
4 sin 2 sin 2
4
y x x
.
Câu 3. Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển thành đa thức của
9 8
2
1 3 1 2
x x x x
Câu 4. Từ các số 0, 1, 2,…,7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số
khác nhau.
Câu 5. Cho số
, ,
a b c
là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh rằng
2
2 2 2 2
a b b c ab bc
Câu 6. Cho hai đường tròn
, '
O O
có bán kính khác nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại
A
. Từ
A
vẽ hai tia
AM
và
'
AM
vuông góc với nhau,
, ' '
M O M O
và
'
A
là giao điểm thứ hai của
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[4]
'
O
và đường nối tâm
'
OO
. Chứng minh
'
MM
đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn
O
và
'
O
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
I
là điểm thuộc
SO
sao cho
2
SI IO
. Tìm giao điểm
M
của
SC
với
ABI
và chứng minh
M
là trung điểm của
SC
.
ĐỀ 7
Câu 1. Giải các phương trình sau
a)
cos 3 .tan 5 sin 7
x x x
b)
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2 cos 1
x
x
x
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số đó chia hết cho 5.
Câu 3. Cho dãy số
2010
1;2; ,2010
k
k
u C k
( trong đó kí hiệu
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử). Tìm số hạng lớn nhất của dãy số trên.
Câu 4. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
2
2
1
n
n
u
n
. Viết 5 số hạng đầu của dãy và số
9
41
là số hạng
thứ mấy của dãy?
Câu 5. Tìm
x
trong cấp số cộng 1, 6, 11,…biết
1 6 11 970
x
.
Câu 6. Tìm phép tịnh tiến có phương vuông góc với đường thẳng
: 1 0
x y
, biết ảnh của
: 2 3 0
d x y
là
' : 2 5 0
d x y
.
Câu 7. Cho tứ diện
ABCD
và điểm
M
nằm giữa hai điểm
A
và
B
. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua
M
song song với hai đường thẳng
AC
và
BD
. Giả sử (P) cắt các cạnh
,
AD DC
và
CB
lần lượt tại
,
P Q
.
a) Tứ giác
MNPQ
là hình gì?
b) Trong trường hợp
AC BD
, hãy xác định vị trí của
M
sao cho
MNPQ
là hình thoi.
ĐỀ 8
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
2 2
1 2 2 sin 0
1 cot
x
x
b)
1 cos cos2 cos 3 0
x x x
Câu 2. Cho
0 ,
2
x y
và
2 2
sin sin sin
x y x y
. Chứng minh:
2
x y
.
Câu 3. Chứng minh:
1 2 3
3
3 3 ,3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
mỗi số có 4 chữ số phân biệt, là một số chẵn và nhỏ hơn 2158 .
Câu 5. Cho dãy số xác định bởi
1 1
2, 2
n n
u u u
. Chứng minh
n
u
là dãy bị chặn.
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
Câu 6. Tìm cấp số cộng có 5 số hạng, biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của chúng là
165.
Câu 7. Cho điểm
1;2
I
và
: 3 2 6 0
d x y
. Hãy viết PT
'
d
là ảnh của
d
qua
, 2
I
V
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[5]
Câu 8. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
O
là giao điểm của hai đường chéo. Hãy xác định thiết diện của
hình chóp cắt bởi
mp
đi qua
O
song song với
SA
và
CD
.
ĐỀ 9
Câu 1. Giải phương trình:
2 2
3
4 sin 3 cos2 1 2 cos
2 4
x
x x
Câu 2. Tìm GT nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
2
sin 4 sin 3
y x x
Câu 3. Cho tập
A
có
n
phần tử
7
n
. Tìm
n
biết số tập con gồm 7 phần tử của
A
bằng 2 lần số tập
con gồm hai phần tử của
A
.
Câu 4. Tính tổng
0 2 4 2
2 2 2 2
1 1 1
3 5 2 1
n
n n n n
S C C C C
n
Câu 5. Cho dãy số có số hạng tổng quát
1 2 , 1,2
n
u n n
Tính tổng
1 2
1 1 1
n
n
S
u u u
.
Câu 6. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng
thêm 1 thì ba số thu được cùng theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Câu 7. Cho hai đường thẳng
: 5 7 0, ' : 5 13 0
d x y d x y
. Tìm phép đối xứng trục biến
d
thành
'
d
.
Câu 8. Cho tứ diện
SABC
có
,
D E
lần lượt là trung điểm của
,
AC BC
và
G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Mặt phẳng
qua
AC
cắt
,
SE SB
lần lượt tại
,
M N
. Một mặt phăng
qua
BC
cắt
,
SD SA
lần lượt tại
,
P Q
.
a) Gọi
;
I AM DN J BP EQ
. Chứng minh bốn điểm
, , ,
S I J G
thẳng hàng.
b) Giả sử
,
AN DM K BQ EP L
. Chứng minh ba điểm
, ,
S K L
thẳng hàng.
ĐỀ 10
Câu 1. Giải phương trình:
a)
2 2 sin cos 1
12
x x
b)
2
5 sin 2 3 1 sin tan
x x x
Câu 2. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
2 5
n
u n
. Chứng minh
n
u
là một cấp số cộng
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Câu 3. Tìm số nguyên dương
n
thỏa mãn
0 1 2 10
2 1 2 1 2 1 2 1
4
n
n n n n
C C C C
Câu 4. Gieo ba con xúc xắc cân đối .Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện của ba con xúc xắc bằng
9.
Câu 5. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
2
1 1
1
, 2 1, 1
2
n n
u u u n
.
Chứng minh:
1
2
cos , 1
3
n
n
u n
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[6]
Câu 6. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
là trung điểm của
SB
,
G
là trọng tâm tam giác
SAD
. Tìm giao điểm
I
của
GM
với
mp ABCD
, chứng minh
, ,
C D I
thẳng hàng và
2
IC ID
.
ĐỀ 11
Câu 1. Giải phương trình
a)
2 2
cos 3 .cos 2 cos 0
x x x
b)
2
2
3 cos2 1
tan 3 tan
2
cos
x
x x
x
Câu 2. Timg GTNN của
1 1
, 0
sin cos 2
y x
x x
Câu 3. Cho dãy số
n
u
thỏa mãn
2
1 2
5 3
n
u u u n n
.
Chứng tỏ
n
u
là một cấp số cộng, tìm
1
u
và
d
.
Câu 4. Tìm
1
u
và
q
của CSN biết
1 2 3
4 5 6
13
351
u u u
u u u
Câu 5. Có hai hộp bi. Hộp I có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp II có 6 bi xanh và 4 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên ra
mỗi hộp một viên bi . Tìm xác suất để được ít nhất một viên bi đỏ.
Câu 6. Cho đường tròn
;
O R
và điểm
I
cố định khác
O
. Một điểm
M
thay đổi trên đường tròn.
Tia phân giác của góc
MOI
cắt
IM
tại
N
. Tìm quĩ tích điểm
N
.
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng đi qua trung điểm
M
của cạnh
AB
, song song với
BD
và
SA
.
ĐỀ 12
Câu 1. Giải phương trình:
a)
4 4
cos sin cos 4 0
x x x
b)
4 cos 4 cos 4 1 1 cos 3 1 0
x x x
Câu 2. Giải bất phương trình hai ẩn
,
n k N
:
2
5
3
60
!
k
n
n
P
A
n k
Câu 3. Một tổ có 4 nam và 4 nữ.Cần phải chia thành hai nhóm
A
và
B
với số lượng bằng nhau
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia mà trong mỗi nhóm số nam bằng số nữ?
b) Giả sử việc chia là ngẫu nhiên. Tính xác suất sao cho có một nhóm số nam nhiều hơn số nữ?
Câu 4. Dãy số
n
u
được xác định bởi
1 1
1, 3 1, 1
n n
u u u n
.
Chứng minh
n
u
là dãy tăng bằng phương pháp qui nạp.
Câu 5. Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết
1 5
3 4
7
11
u u
u u
Câu 6. Cho hình chóp
.
S ABCD
có các tam giác
,
SAD ABC
cân tại
A
. Gọi
,
AE AF
là các đường
phân giác trong của các tam giác
,
SAD ABC
. Chứng minh :
/ /
EF SAD
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[7]
ĐỀ 13
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
3 sin 3 2cos 3 3
x x
b)
1 tan 1 sin 2 1 tan
x x x
Câu 2. Biến đổi tổng sau thành tích
1 cos sin tan
A x x x
Câu 3. Tron kì thi, bạn bình phải trả lời 10 câu hỏi được chọn ngẫu nhiên ( trả lời đúng một câu được
một điểm, không đúng được không điểm) trong số 20 câu hỏi. Biết rằng bình chỉ có thể trả lời được 12
câu. Tính xác suất sao cho
a) Bình đạt loại giỏi ( đạt 9 điểm trở lên)
b) Bình không đạt yêu cầu ( 4 điểm trở xuống ).
Câu 4. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
15
1
2 x
x
.
Câu 5. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết số hạng thứ 2 là 16 và tổng của 3 số hạng
đầu là 56.
Câu 6. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
là trung điểm của
SB
,
G
là
trọng tâm tam giác
SAD
. Tìm các giao điểm
, ,
I J K
theo thứ tự của
GM
và
ABCD
;
AD
và
OMG
;
SA
và
OMG
đồng thời tính các tỉ số
, ,
IA JA KA
IM JD KS
.
ĐỀ 14
Câu 1. Giải các phương trình:
a)
2 2
4 sin 7 cos 3sin 2 6 cos2 1
x x x x
b)
3 3
sin cos cos
x x x
Câu 2. Phân phối ngẫu nhiên ba viên bi được đánh số 1, 2, 3 vào ba cái hộp cũng được đánh số 1, 2, 3.
Tính xác suất sao cho:
a) Không hộp nào rỗng
b) Hộp thứ nhất không có bi nào
c) Ba hộp đều có bi nhưng số thứ tự của bi không trùng với số thứ tự của hộp.
Câu 3. Dùng phương pháp qui nạp chứng minh rằng:
1 5 (4 3) 2 1
n
S n n n
Câu 4. Tìm một CSN có 5 số hạng biết
3 1
4 2
16
9
16
27
u u
u u
Câu 5. Cho tam giác
ABC
có hai đỉnh
,
B C
cố định còn đỉnh
A
chạy trên một đường tròn
;
O R
cố
định không có điểm chung với đường thẳng
BC
. Tìm quĩ tích trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
Câu 6. Cho tứ diện
ABCD
có
,
I J
lần lượt là các điểm nằm trong tam giác
ABC
và
ABD
,
M
là
điểm tùy ý trên
CD
. Tìm giao điểm của
IJ
và
ABM
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[8]
ĐỀ 15
Câu 1. Giải phương trình:
2
2 cos 3 sin2 1 3 sin 3 cos
x x x x
Câu 2. Tìm GTNN và GTLN của hàm số
cos2 sin 1
y x x
với
[ ; ]
6 2
x
Câu 3. Từ các số
0,1,2,3,4
lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó chữ số 1 có mặt
đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
Câu 4. Tìm số hạng nguyên trong khai triển
7
3
4
5
2
Câu 5. Một hội trường có 10 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn mỗi dãy ghế trước 20 chỗ
ngồi và dãy sau cùng có 280 chỗ ngồi. Hỏi hội trường có bao nhiêu chỗ ngồi?
Câu 6. Cho đường tròn
2 2
: 1 2 4
C x y
. Tìm ảnh của
C
qua phép đồng dạng có được
bằng cách thực hiên
, 2
I
V
và
D
với
1;2 , : 3 0
I y
Câu 7. Cho hình chóp
.
S ABCD
,
M
là một điểm trên cạnh
BC
,
N
là một điểm trên cạnh
SD
a) Tìm giao điểm
I
của
BN
và
SAC
và giao điểm
J
của
MN
và
SAC
b) Gọi
K DM AC
. Chứng minh
, ,
S K J
thẳng hàng.
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
BCN
.
I- CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1) Công thức lượng giác cơ bản:
2 2 2 2
2 2
sin cos 1 1
sin cos 1;tan ;cot ;1 tan ;1 cot
cos sin
cos sin
x x
x x x x x x
x x
x x
2) Công thức cộng:
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
tan tan
tan
1 tan tan
tan tan
tan
1 tan tan
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
3) Công thức nhân đôi:
2 2 2 2
sin 2 2 sin cos ;cos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
x x x x x x x x
2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
.
4) Công thức hạ bậc:
2 2 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2
sin ;cos ; tan
2 2 1 cos2
x x x
x x x
x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[9]
5) Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
sin sin [cos cos ]
2
1
sin cos [sin sin ]
2
1
cos cos [cos cos ]
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin cos ; sinx-siny=2cos sin
2 2 2 2
cos cos 2 cos cos ; cosx-cosy=-2sin sin .
2 2 2 2
x y x y x y x y
x y
x y x y x y x y
x y
II-PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
1) Phương trình lương giác cơ bản:
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k
cos cos 2
u v u v k
tan tan
u v u v k
cot cot
u v u v k
2) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
2
.sin .sin 0
a x b x c
. Đặt
sin , 1
t x t
2
.cos .cos 0
a x b x c
. Đặt
cos , 1
t x t
2
.tan . tan 0
a x b x c
. Đặt
tan
t x
2
.cot .cot 0
a x b x c
. Đặt
cot
t x
3) Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x
:
2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos 0 .
sin cos
a x b x c a b
a b c
x x
a b a b a b
Đặt :
2 2 2 2
cos , s
a b
in
a b a b
, ta được PT:
2 2
sin
c
x
a b
đây là PTLG cơ bản.
ĐK có nghiệm là :
2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
.
4) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với
sin
x
và
cos
x
:
2 2 2 2 2
sin sin cos cos 0 0
a x b x x c x a b c
Cách giải: Chia hai vế cho
2
cos
x
( với
cos 0)
x
ta được PT:
2
.tan . tan 0
a x b x c
.
Tổng quát: Phương trình đẳng cấp bậc n
1
0 1
sin sin cos sin cos cos 0
n n n k k n
k n
a x a x x a x x a x
Cách giải: Chia hai vế cho
cos
n
x
( với
cos 0)
x
ta được
PT:
1
0 1 1
tan tan tan 0
n n
n n
a x a x a x a
.
5) Phương trình đối xứng:
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[10]
Cách giải: Đặt
sin cos 2 sin 2
4
t x x x t
Và
2
1
sin cos
2
t
x x
.
Chú ý: PT
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
.
Đặt
sin cos 2 sin 2
4
t x x x t
.
I- Đưa về một hàm số lượng giác.
Giải phương trình:
1)
6 6
2 sin cos sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
2)
2 2
cos 3 cos2 cos 0
x x x
3)
cos 3 cos2 cos 1 0
x x x
4)
2
5 sin 2 3 1 sin tan
x x x
5)
2
tan 4 sin 2
sin 2
cotx x x
x
6) Tìm nghiệm thuộc
0;2
của phương trình:
cos 3 sin 3
5 sin cos2 3
1 2 sin
x x
x x
x
7)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
.
8)
3 tan 1 sin 2cos 5 sin 3 cos
x x x x x
II- Đưa về phương trình tích:
Giải phương trình:
1)
1 sin cos sin 2 cos2 0
x x x x
2)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
3)
2
1 2sin cos 1 sin cos
x x x x
4)
2 cos 1 2 sin cos sin 2 sin
x x x x x
5)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
6)
sin 2 cos2 3 sin cos 2 0
x x x x
7)
3 2
2
3 1 sin
3 tan tan 8 cos 0
4 2
cos
x
x
x x
x
8)
3 3
sin cos cos2 .tan .tan
4 4
x x x x x
.
9)
1 1 7
4 sin
sin 4
3
sin
2
x
x
x
10)
1 1
2 sin 3 2 cos 3
sin cos
x x
x x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[11]
III-Phương trình đẳng cấp:
Giải phương trinh
1)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x x x x x x
2)
3 3
2 sin 4 cos 3sin
x x x
3)
3
sin .sin 2 sin 3 6 cos
x x x x
4)
3
sin 2 sin
4
x x
5)
3
sin 4 sin cos 0
x x x
6)
3 3
4 sin cos cos 3 sin
x x x x
7)
3 3 2
4 sin 3 cos 3 sin sin cos 0
x x x x x
III- Đưa về phương trình bậc nhất theo
sin ,cos
x x
:
2 2
sin cos 0
a x b x c a b
.
Giải phương trinh:
1)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
2)
1 2 sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
3)
3
sin cos sin 2 3 cos 3 2 cos 4 sin
x x x x x x
4)
3 cos 5 2 sin 3 cos2 sin 0
x x x x
5)
2
2 3 cos 2 sin
2 4
1
2 cos 1
x
x
x
6)Tìm nghiệm trong khoảng
0;
của phương trình:
2 2
3
4 sin 3 cos2 1 2 cos
2 4
x
x x
7)
2
2 cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cos
x x x x x
8)
3
3 sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3
x x x
9) Cho phương trình:
2 sin cos 1
sin 2 cos 3
x x
a
x x
a) Giải PT khi
1
3
a
b) Tìm
a
để phưng trình có nghiệm.
10) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
sin 1 cos 1
sin cos 2
x k x
y
x x
( k là tham số thực).
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[12]
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I - HÌNH HỌC 11
PHÉP BIẾN HÌNH
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho
2;4
v
, điểm M ( 1; -3), đường thẳng d:
3 5 0
x y
, đường
tròn (C ):
2 2
2 6 6 0
x y x y
a) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép tònh tiến theo
v
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho M là ảnh của N qua phép tònh tiến theo
v
c) Viết pt đường thẳng d’là ảnh của d qua phép tònh tiến theo
v
d) Viết pt đường tròn
1
C
là ảnh của (C ) qua phép tònh tiến theo
v
e) Tìm vectơ
u
cùng phương với
v
sao cho phép tònh tiến theo
u
biến d thành đường thẳng
đi
qua A(0;2)
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I( 2;1), M ( 3; -2), đường thẳng d:
4 2 0
x y
, đường
tròn (C ):
2 2
8 2 1 0
x y x y
a) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đx tâm O
b) Tìm tọa độ điểm M’’ là ảnh của M qua phép đx tâm I
c) Viết pt đường thẳng
1
d
và
2
d
lần lượt là ảnh của d qua phép đx tâm O, qua phép đx tâm I
d) Viết pt đường tròn
1
C
và
2
C
lần lượt là ảnh của (C ) qua phép đx tâm O, qua phép đx tâm I
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
: 2 0
x y
, đường thẳng d:
2 1 0
x y
, điểm
M ( 1; -2), đường tròn (C ):
2 2
4 6 4 0
x y x y
a) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đx trục Ox
b) Tìm tọa độ điểm M’’ là ảnh của M qua phép đx trục d
c) Viết pt đường thẳng
1
và
2
lần lượt là ảnh của
qua phép đx trục Ox, qua phép đx trục d
d) Viết pt đường tròn
1
C
và
2
C
lần lượt là ảnh của (C ) qua phép đx trục Oy, qua phép đx trục d
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(-1;2), điểm M ( 2; -2), đường thẳng
:
4 0
x y
và
đường tròn (C ):
2 2
1 3 16
x y
a) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép vò tự tâm O tỷ số k = 2
b) Tìm tọa độ điểm M’’ là ảnh của M qua phép vò tự tâm I tỷ số k = -3
c) Viết pt đường thẳng
1
và
2
lần lượt là ảnh của
qua phép vò tự tâm O tỷ số
1
3
k
, qua
phép vò tự tâm I tỷ số
1
2
k
,
d) Viết pt đường tròn
1
C
và
2
C
lần lượt là ảnh của (C ) qua phép vò tự tâm O tỷ số
2
k
, qua
phép vò tự tâm I tỷ số
3
k
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, điểm M ( -2; -2), đường thẳng d:
4 0
x y
và đường tròn (C ):
2 2
1 1 16
x y
a) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép tònh tiến theo
3;5
v
và phép vò tự tâm O tỷ số
1
2
k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[13]
b) Tìm tọa độ điểm N là ảnh của M qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép vò tự tâm O tỷ số
1
3
k
và phép đx trục Oy
c) Viết pt đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép đx tâm O và phép vò tự tâm O tỷ số
1
2
k
d) Viết pt đường tròn
'
C
là ảnh của (C ) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép đx qua đường thẳng d và phép đx tâm O.
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M thành điểm M’( 2x - 1 ; -2y +
3 ). Chứng minh F là một phép đồng dạng.
Bài 7: Cho đường tròn ( C ) và hai điểm cố đònh phân biệt trên (C ). Một điểm M di động trên
đường tròn (trừ hai điểm A, B). Chứng minh tập hợp các điểm N sao cho AMBN là hình bình hành
cũng nằm trên một đường tròn xác đònh.
Bài 8: Cho đường tròn ( C ) và (C’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (C
) ở M và cắt (C’) ở N sao cho M là trung điểm của AN.
Bài 9: Cho hai đường tròn
;
O R
và
';3
O R
. Tìm các phép vò tự biến đường tròn
;
O R
thành
đường tròn
';3
O R
.
O'
O
Bài 10: Cho hai điểm
2;1 ; B 8;4
A
. Tìm tọa độ tâm vò tự của hai đường tròn
;2
A
và
;4
B
.
Bài 11: Cho hcn ABCD. Gọi O là tâm đx của nó; E, F, G, H, I, J lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Bài 12: CMR: phép tònh tiến theo
0
v
là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đx qua hai
trục song song với nhau.
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
PHẦN I : ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
§1) Giao tuyến của hai mặt phẳng
1) Cho hình chóp SABCD , đáy là tứ giác ABCD trong đó AB,CD không song song .
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) ;(SAC) và (SBD)
2) Cho tứ diện ABCD , M là một điểm trong tam giác ACD . I,J là hai điểm
trên cạnh BC và BaD sao cho IJ và CD không song song .
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD)
3) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình bình tâm O . M,N,P lần lượt là trung
điểm của BC,CD,SO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP)
với các mặt phẳng (SAB) , (SAD) , (SBC) và (SCD)
§2) Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
1) Cho tứ diện ABCD , gọi M và N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và AC
Sao cho MN cắt BC . Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD)
2) Cho hình chóp SABCD , trên cạnh SC lấy M.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM)
b) Nếu AB và CD không song song , chứng minh AB, CD, MN đồng qui
3) Cho hình chóp SABCD , M là một điểm trên cạnh bên SC
a) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD)
b) N là một điểm trên cạnh BC, Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mp(AMN)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[14]
§3) Thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng
1) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB và SC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN)
c) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMN)
2) Cho hình chóp S.ABCD ,M là một điểm trong tam giác SCD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
c) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (ABM)
3) Cho tứ diện ABCD , I, J lần lượt là trung diểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy
điểm K sao cho BK=2KD
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD và mặt phẳng (IJK). Chứng minh DE=DC
b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD và mặt phẳng (IJK) . Chứng minh FA=2FD
c) Chứng minh FK // IJ
4) Cho hình chóp SABCD , M,N lần lượt là các điểm trên cạnh BC và SD
a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC)
b) DM cắt AC tại K . Chứng minh S,K ,J thẳng hàng
c) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (BCN)
PHẦN II : QUAN HỆ SONG SONG
§1) CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
1) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình bình hành . G , G' lần lượt là trọng tâm
tam giác SAB ,SCD .
a) Chứng minh rằng: GG' // BC ; b) GG' // (SAD)
c) Gọi N là điểm trên AC sao cho AC/AN = 1/3.Chứng minh rằng: GN // (SCD)
2) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q là các điểm lần lượt
là các điểm nằm BC,SC,AD ,SD sao cho MN // SB,NP // CD, MQ // CD
a) Chứng minh rằng: PQ // SA
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ , Chứng minh rằng: SK // AD // BC
c) Dựng Qx // SC, Qy // SB .Tìm giao điểm của Qx với (SAB) ,của Qy với (SCD)
3) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M,N lần lượt là
Trung điểm của SA, SD .
a) Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC)
b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và ON, Chứng minh rằng: PQ // (SBC)
§2) GIAO ĐIỂM, GIAO TUYẾN , THIẾT DIỆN
(Các bài toán tổng hợp)
1) Cho hình chóp SABCD , M,N là hai điểm trên cạnh AB, CD ,(P) là mp qua M,N
Và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của mp(P)với mp(SAB) và mp(SAC)
b) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mp(P)
c) Tìm điều kiện của M,N để thiết diện là hình thang
2) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình thang , đáy lớn là AB=2a,AD=a, AB=b. mặt
bên SAD là tam giác đều .mp(P) đi qua M trên cạnh AB và song song với SA và BC
mp(P) cắt CD,SC,SB lần lượt tại N,Q,R
a) Chứng minh MNQR là hình thang cân.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[15]
b)Tính diện tích thiết diện theo a,b,vàx=AM (0<x<b).
Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trò lớn nhất .
c) Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NP
3) Từ bốn đỉnh của hình bành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều.
Ax,By,Cz,.Dt không nằm trong mp(ACD) mp(P) cắt bốn đường thẳng tại A', B',C',D'
a) Chứng minh rằng: (Ax,By) // (Cz,Dt)
b) Chứng minh rằng: A'B'C'D' là hình bình hành
c) Chứng minh rằng: AA' +CC'=BB'+DD'
4) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình bình hành tâm O .Gọi E là trung điểm của SB
Tam giác ACE đều và AC=OD =a .mp(P) di động song song với (ACE) và qua điểm I
trên OD ,(P) cắt AD,CD,SC,SB,SA lần lượt tại M,N,Q,R,J
a) Nhận xét về tam giác QRJ và tứ giác MNQJ
b) Tìm tập hợp giao điểm của MQ và NJ khi I di độngtrên OD
c) Tính diện tích của đa giác MNQRJ theo a và x=DI. Tìm x để diện tích ấy lớn nhất
5) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình thoi cạnh a . SA=SB=a,SC=SD=a
3
.Gọi E,F
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,M là một điểm trên cạnh BC
a) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (MEF). Thiết diện là hình gì?
b) Đặt BM=x (0<x<a) .Tính FM ,tính diện tích thiết diện theo avà x
6) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình thang với đáy lớn AB . M la một điểm thuộc
giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) , của (SAB) và (SCD).
b) Tìm giao điểm P,Q của SC vàSD với mặt phẳng (MAB) .
c) Chứng minh rằng: PQ // AB
d) Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (MAB)
7) Cho hình chóp SABCD , đáy là hình bình hành. Gọi H,K,I lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC .
a) Chứng minh rằng: (HKI) // (ABCD)
b) Tìm giao điểm J của SA với (HKI). Chứng minh HKIJ là hình bình hành
c) Gọi M là điểm trên cạnh BC .Tìm thiết diện tạo bởi hình chóp với mp(HKM)
8) Cho tứ diện ABCD . M là trung điểm cạnh AD, N là một điểm trên cạnh BC
Gọi mp(P) chứa đường thẳng MN và song song với CD
a) Tìm thiết diện tạo bởi tứ diện với mp(P)
b) Xác đònh vò trí của N trên cạnh BC sao cho thiết diện là hình bình hành
9) Cho tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
P là một điểm trên cạnh AD
a) Tìm thiết diện tạo bởi tứ diện với mp(MNP)
b) Trên các đường thẳng CM và AD lấy hai điểm H,K sao cho HK // BN . Tính HK
10) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' .
a) Chứng minh rằng: (BDA' ) // (B'D'C)
b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua trọng tâm G và G' của hai tam giác BDA' và B'D'C
c) Chứng minh G và G' chia đoạn thẳng AC' thành ba phần bằng nhau
11) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,B'C' và DD'
a) Chứng minh rằng: (MNP) // (AB'D') và (BDC' )
b) Tìm thiết diện tạo bởi hình hộp và (MNP)
c) Dựng các điểm I,J trên AC' và B'D' sao cho IJ // A'D
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BỘ ĐỀ ƠN THI HỌC KÌ I-LỚP 11
Biên soạn: Nguyễn Viết Thuật _ Trường THPT Châu Thành-BRVT
[16]
12) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB'A' ,
ACC'A' là các hình vuông . Gọi I,J là tâm của các mặt bên nói trên ,O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC
a) Chứng minh rằng: IJ // (ABC)
b)Tìm thiếtdiện tạo hình lăngtrụ và (OIJ).Chứng minh thiếtdiện là hìnhthang. Tính diệntích
13) Cho hình chóp SABCD , đáy có AB cắt CD tại E , AD cắt BC tại F ,AC cắtø BD tại G .
mp(P) cắt SA,SB,SC tại A',B', C' .
a) Tìm giao điểm D' của SD với (P)
b) Tìm điều kiện của mp(P) để A'B' // C'D'
c) Với điều kiện nào của mp(P) thì A'B'C'D' là hình bình hành .
Chứng minh rằng khi đó thì
SA' SC' SB' SD'
+ = +
SA SC SB SD
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Filename: Dê cuong on tâp -11.doc
Directory: D:\LOP 12\DÊ cuong10-11-12
Template: C:\Documents and Settings\Thuat\Application
Data\Microsoft\Templates\Normal.dot
Title: ĐỀ 1
Subject:
Author: User
Keywords:
Comments:
Creation Date: 11/11/2009 8:24:00 AM
Change Number: 71
Last Saved On: 1/5/2010 6:32:00 PM
Last Saved By: PC
Total Editing Time: 498 Minutes
Last Printed On: 12/4/2011 12:51:00 AM
As of Last Complete Printing
Number of Pages: 16
Number of Words: 5.496 (approx.)
Number of Characters: 31.331 (approx.)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
