Luong giac chung minh bdt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (233.41 KB, 14 trang )
G.NTH
1
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22
=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+
+ tg . cotg = 1 (
2
k
) + 1 + cotg
2
=
)k(
sin
1
2
1.2. Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos
sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) =
)k
2
;(
tgtg1
tgtg
+
+ cotg( ) =
gcotgcot
1gcot.gcot
)k;(
1.3. Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos
2
- sin
2
= 2cos
2
- 1 = 1 - 2sin
2
+ tg2 =
)
2
k
4
(
tg1
tg2
2
+
+ cotg2 =
)
2
k
(
gcot2
1gcot
2
+ sin3 = 3sin - 4sin
3
+ cos3 = 4cos
3
- 3cos
+ tg3 =
3
k
6
(
tg31
tgtg3
3
3
+
)
1.4. Công thức hạ bậc
+ cos
2
=
2
2cos1 +
+ sin
2
=
2
2cos1
+ tg
2
=
+
2cos1
2cos1
)k
2
( +
1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos
2
+
+ cos - cos = - 2sin
22
sin
+
+ sin + sin = 2sin
22
cos
+
+ sin - sin = = - 2cos
2
sin
2
+
G.NTH
2
+ tg tg =
cos.cos
)sin(
)k
2
;( +
1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.sin =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(
2
1
++
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tan
2
t
1+tan
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x
4cos
3
t - 3cost
4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1
2cos
2
t - 1
2cos
2
t - 1 = cos2t
2
x1
x2
t
t
2
tan1
tan2
t
t
2
tan1
tan2
= tan2t
2
x1
x2
+
t
t
2
tan1
tan2
+
t
t
2
tan1
tan2
+
= sin2t
xy1
yx
+
tantan1
tantan
+
tantan1
tantan
+
= tan(+)
x
2
- 1
1
cos
1
2
1
cos
1
2
= tan
2
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2
+ cos
2
= 1
1) Phơng pháp:
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì đặt
=
=
cosy
sinx
với [0, 2]
b) Nếu thấy x
2
+ y
2
= r
2
(r > 0) thì đặt
=
=
cos
sin
ry
rx
với [0, 2]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng:
2
a(c+d) + b(c-d)
2
G.NTH
3
Giải:
Đặt
=
=
ub
ua
cos
sin
và
=
=
vcosd
vsinc
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)
2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S ++=
+=
(đpcm)
VD2: Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng:
2
25
b
1
b
a
1
a
2
2
2
2
2
2
++
+
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos
b
1
b
a
1
a
++
+=
++
+
= cos
4
+ sin
4
+
4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44
44
+
+
++=+
+
=
( )
4
sin.cos
1
1sincos
44
44
+
++
=
( )
[ ]
4
sin.cos
1
1sincos2sincos
44
2222
+
++
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin
16
12sin
2
1
1
4
2
=+=++
+
+
(đpcm)
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a
2
+b
2
=1
VD3: Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba
22
++++
Giải:
Biến đổi điều kiện: a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)
2
+ (b-2)
2
= 1
Đặt
+=
+=
+=
=
=
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b
sin1a
22
A
2)
6
2sin(22cos
2
1
2sin
2
3
22cos2sin3
===
(đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mãn :
712b5a ++
= 13
G.NTH
4
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt
=+
=
cosR1b
sinR1a
với R 0
222
R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
=++
=
+=
Ta có:
137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+++=++
R
13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5
R113cosR12sinR5
+=+==+
Từ đó (a-1)
2
+ (b+1)
2
= R
2
1 a
2
+ b
2
+ 2(b - a) - 1 (đpcm)
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị
1|cos|;1|sin|
1. Phơng pháp:
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi
=
=
b) Nếu thấy |x| m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi
=
=
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)
p
+ (1-x)
p
2
p
|x| 1 ; P 1.
Giải:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)
p
+ (1 - x)
p
= (1+cos)
p
+ (1-cos)
p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =
+
+
=
+
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:
2
23
13
2
23
22
+
+
xxx
Giải:
Từ đk 1 - x
2
0 |x| 1 nên
Đặt x = cos với 0
2
1 x
= sin. Khi đó ta có:
P=
2sin)2cos1(3sincos2cos321232
222
++=+=+ xxx
G.NTH
5
=
3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2 +
π
+α=+
α+α
2323 +≤≤−⇒ A
(®pcm)
VD3: Chøng minh r»ng:
[ ]
)(a)a()a(a 122221111
2332
−+≤−−+−+
Gi¶i:
Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn
§Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒
α=−
α
=+
α
=− sina1;
2
cos2a1;
2
sin2a1
2
(1)⇔
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33
αα
+≤
α
−
ααα
+
⇔
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
αα
+≤
α
+
αα
+
α
α
−
α
α
+
α
⇔
1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
≤α=
α
−
α
=
α
−
α
α
+
α
®óng ⇒ (®pcm)
VD4: Chøng minh r»ng: S =
(
)
(
)
21314
2332
≤−−+−− aaa)a(
Gi¶i:
Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn:
§Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒
2
a1−
= sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S=
)cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
α−α+α−α=α−α+α−α
=
2
4
3sin23cos3sin ≤
π
+α=α+α
⇒ (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng A =
(
)
211311
2222
≤−−−+−+− )b)(a(ababba
Gi¶i:
Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a
2
≥ 0 ; 1 - b
2
≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.
§Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈
ππ
−
2
;
2
Khi ®ã A =
)cos(3sincoscossin β+α−βα+βα
=
=
2
3
)(sin2)cos(
2
3
)sin(
2
1
2)cos(3)sin( ≤
π
−β+α=β+α−β+α=β+α−β+α
(®pcm)
VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
G.NTH
6
Giải:
Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos. Ta có:
A =
13342624522424
323
==++++ coscoscos)cos()cos()cos(
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A =
2
2 3 3 2 [0,2]a a a a +
Giải:
Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ]. Ta có:
A =
=+++ coscos)cos()cos()cos( 31313112
22
=
2
3
sin2cos
2
3
sin
2
1
2cos3sin
+=
=
(đpcm)
III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg
2
=
1
cos
1
tg
cos
1
2
2
2
=
)k( +
2
1) Phơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2
thì đặt x =
cos
1
với
2
3
,
2
;0
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức
22
mx
thì đặt x =
cos
m
với
2
3
,
2
;0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
+
Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
cos
1
với
2
3
,
2
;0
== tgtg1a
22
. Khi đó:
A =
2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a
2
+=+=+=
+
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 A =
2
2
a
1a125
9
1a
Giải:
G.NTH
7
Do |a| ≥ 1 nªn:
§Æt a =
αcos
1
víi α∈
π
π∪
π
2
3
,
2
;0
⇒
α=α=− tgtg1a
22
. Khi ®ã:
A =
2
2
a
1a125 −−
= (5-12tgα)cos
2
α = 5cos
2
α-12sinαcosα=
α−
α+
2sin6
2
)2cos1(5
=
+α+=
α−α+
13
5
arccos2cos
2
13
2
5
2sin
13
12
2cos
13
5
2
13
2
5
⇒ - 4 =
91.
2
13
2
5
13
5
arccos2cos
2
13
2
5
A)1(
2
13
2
5
=+≤
+α+=≤−+
(®pcm)
VD3: Chøng minh r»ng: A =
ab
1b1a
22
−+−
≤ 1
; 1a b∀ ≥
Gi¶i:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn .
§Æt a =
αcos
1
; b =
βcos
1
víi α∈
π
π∪
π
2
3
,
2
;0
. Khi ®ã ta cã:
A =
1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α
(®pcm)
VD4: Chøng minh r»ng: a +
22
1a
a
2
≥
−
1a∀ >
Gi¶i:
Do |a| > 1 nªn:
§Æt a =
αcos
1
víi α∈
α
=
α
α
=
−
⇒
π
sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
;0
22
. Khi ®ã:
a+
22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2
≥
α
=
αα
≥
α
+
α
=
−
(®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng
26xy31y41xy
22
≤+−+−
; 1x y∀ ≥
Gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc ⇔
)(
yy
y
xx
x
126
3
14
1
1
2
2
≤
+
−
+
−
Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x =
αcos
1
; y=
βcos
1
víi α, β∈
π
2
,0
.
G.NTH
8
Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos)
26
Ta có: S sin + cos
+=++ cos5sin)cos)(sin34(
2222
2 2 2 2
(1 5 )(sin cos ) 26
+ + =
(đpcm)
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg
2
=
2
cos
1
1. Phơng pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x
2
) thì đặt x = tg với
2
,
2
b) Nếu x R và bài toán chứa (x
2
+m
2
) thì đặt x = mtg với
2
,
2
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S =
1
1
4
1
3
32
3
2
+
+ )x(
x
x
x
Giải:
Đặt x = tg với
2
,
2
=+
cos
x
1
1
2
, khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tg.cos - 4tg
3
.cos
3
| = |3sin - 4sin
3
| = |sin3| 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
22
42
)a21(
a12a83
+
++
Giải:
Đặt a
2
= tg với
22
,
thì ta có: A =
22
42
)tg1(
tg3tg43
+
++
=
+=
+
++
22222
222
4224
cossin2)cos(sin3
)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 -
3
2
0
2
2
2sin
3A
2
1
3
2
5
2
2sin
22
=
==
Với
= 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với
=
4
a =
2
1
thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22
++
+
a, b R
Giải:
G.NTH
9
Đặt a = tg, b = tg. Khi đó
)tg)(tg(
)tgtg)(tgtg(
)b)(a(
)ab)(ba(
++
+
=
++
+
2222
11
1
11
1
=
+
cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos
22
=
[ ]
2
1
2
2
1
+=++ )(sin)cos()sin(
(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng:
c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
++
++
+
++
Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg. Khi đó bất đẳng thức
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222
++
++
+
++
+
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
|sin(-)|+|sin(-)| |sin(-)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)|
|sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)|
|sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng:
0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >+++
Giải:
(1)
1
d
b
1
a
c
1
ab
cd
d
b
1
a
c
1
1
1
)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab
+
+
+
+
+
++
+
++
Đặt tg
2
=
a
c
, tg
2
=
b
d
với ,
2
,0
Biến đổi bất đẳng thức
1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1
2222
22
22
22
+=
++
+
++
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 =
b
d
a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1a
|1a|4a6
2
2
+
+
G.NTH
10
Giải:
Đặt a = tg
2
. Khi đó A =
1
2
tg
1
2
tg
.4
2
tg1
2
tg2
.3
1
2
tg
|1
2
tg
|4
2
tg6
2
2
22
2
+
+
+
=
+
+
A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A
2
= (3sin + 4 |cos|)
2
(3
2
+ 4
2
)(sin
2
+ cos
2
) = 25 A 5
Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
|cos|
3
sin
=
thì MaxA = 5
V. Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Phơng pháp:
a) Nếu
=+++
>
12
0
222
xyzzyx
z;y;x
thì
===
Ccosz;Bcosy;Acosx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
b) Nếu
=++
>
xyzzyx
z;y;x 0
thì
===
tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
c) Nếu
=++
>
1zxyzxy
0z,y;x
thì
===
===
2
C
tgz;
2
B
tgy;
2
A
tgx
);0(C;B;A
gCcotz;gBcoty;gAcotx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
++++
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
; y = tg
2
; z = tg
2
với , ,
2
,0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
tg
2
+ tg
2
tg
2
+ tg
2
tg
2
= 1
G.NTH
11
tg
2
+
2
tg
2
tg
= 1 -
2
tg
tg
2
2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1
2
tg
2
tg
=
+
=
+
=++
=
++
=
+
+
=
+
2222222222
tgtg
S =
)zyx(3
z
1
y
1
x
1
++++
= cotg
2
+ cotg
2
+ cotg
2
-3
+
+
2
tg
2
tg
2
tg
S =
+
+
+
+
222
2
222222
tgtgtgtggcottggcottggcot
S = 2(cotg+cotg+cotg) -
+
+
222
2 tgtgtg
S = (cotg+cotg-2tg
2
) + (cotg+cotg-2tg
2
) +(cotg+cotg-2tg
2
)
Để ý rằng: cotg + cotg =
)cos()cos(
sin
sin.sin
sin
sin.sin
)sin(
+
=
=
+ 2
2
2
0
2
tg2gcotgcot
2
tg2
2
cos2
2
cos
2
sin4
cos1
sin2
)cos(1
sin2
2
+
=
=
+
=
+
T đó suy ra S 0. Với x = y = z =
3
1
thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
)z1)(y1()x1(
xyz4
z1
z
y1
y
x1
x
222222
=
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x
2
+ y
2
+ z
2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
; y = tg
2
; z = tg
2
với , ,
2
,0
Khi đó tg =
2
x1
x2
; tg =
2
y1
y2
; tg =
2
z1
z2
và đẳng thức ở giả thiết
2
x1
x2
+
2
y1
y2
+
2
z1
z2
=
)z1)(y1()x1(
xyz8
222
tg+tg+tg = tg.tg.tg
G.NTH
12
⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔
βα−
β+α
tg.tg1
tgtg
= - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ)
Do α, β, γ ∈
π
2
,0
nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:
tg
2
α
tg
2
β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg
2
α
= 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c:
(x
2
+ y
2
+ z
2
) - (xy + yz + zx) =
2
1
[ ]
0)xz()zy()yx(
222
≥−+−+−
⇒ S = x
2
+ y
2
+ z
2
≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z =
3
1
th× MinS = 1
VD3: Cho
=++
>
1zyx
0z,y,x
. Chøng minh r»ng: S =
4
9
xyz
z
zxy
y
yzx
x
≤
+
+
+
+
+
Gi¶i:
§Æt
2
tg
x
yz α
=
;
2
tg
y
xz β
=
;
2
tg
z
xy γ
=
víi α, β, γ ∈
π
2
,0
Do
x
yz
.
z
xy
.
z
xy
.
y
zx
y
zx
.
x
yz
++
= x + y + z = 1
nªn tg
2
α
tg
2
β
+ tg
2
β
tg
2
γ
+ tg
2
γ
tg
2
α
= 1
⇔ tg
γ
+
β
22
= cotg
2
α
⇔ tg
γ
+
β
22
= tg
α
−
π
22
⇔
2
β
+
2
γ
=
2
π
-
2
α
⇔
π=γ+β+α⇔
π
=
γ+β+α
22
S =
2
3
1
xyz
z2
1
zxy
y2
1
yzx
x2
2
1
xyz
z
zxy
y
yzx
x
+
−
+
+
−
+
+
−
+
=
+
+
+
+
+
=
2
3
z
xy
1
z
xy
1
y
zx
1
y
zx
1
x
yz
1
x
yz
1
2
1
2
3
xyz
xyz
zxy
zxy
yzx
yzx
2
1
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=+
+
−
+
+
−
+
−
−
=
2
1
(cos + cosβ + cosγ) +
2
3
=
( )
[ ]
2
3
1
2
1
+β+α−βα−β+α )sinsincos(cos.coscos
G.NTH
13
( )
4
9
2
3
4
3
2
3
coscos)sin(sin
2
1
)1cos(cos
2
1
2
1
22
2
=+=+
++++
(đpcm)
3. Các bài toán đa ra trắc nghiệm
Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của
2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em
chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau:
Bài 1:Cho a
2
+ b
2
= 1. CMR: | 20a
3
- 15a + 36b - 48b
3
| 13.
Bài 2:Cho (a-2)
2
+ (b-1)
2
= 5. CMR: 2a + b 10.
Bài 3:Cho
=+
2ba
0b;a
CMR: a
4
+ b
4
a
3
+ b
3
Bài 4:Cho a; b ; c 1 CMR:
c
1
c
b
1
b
a
1
a
a
1
c
c
1
b
b
1
a
Bài 5:Cho
=+++
>
1xyz2zyx
0z;y;x
222
CMR:
a) xyz
8
1
b) xy + yz + zx
4
3
c) x
2
+ y
2
+ z
2
4
3
d) xy + yz + zx 2xyz +
2
1
e)
3
z1
z1
y1
y1
x1
x1
+
+
+
+
+
Bài 6:CMR:
ab1
2
b1
1
a1
1
22
+
+
+
+
a, b (0, 1]
Bài 7:CMR: (a
2
+ 2)(b
2
+ 2)(c
2
+ 2) 9 (ab + bc + ca) a, b, c > 0
Bài 8:Cho
2
33
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
222
+
+
=++
>
Bài 9:Cho
2
3
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR
xyzzyx
0z,y,x
222
+
+
+
+
+
=++
>
G.NTH
14
Bµi 10: Cho
222222
z1
z2
y1
y2
x1
x2
z1
1
y1
1
x1
1
:CMR
1zxyzxy
0z,y,x
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
=++
>
