Chứng minh BĐT bằng ĐHàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.66 KB, 4 trang )
Chứng minh Bất đẳng thức bằng đạo hàm
1- Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
Sin x< x và tan x > x nếu 0< x< 90
Bài 1: Chứng minh rằng
6
3
x
x
<
xx
<
sin
với
0
>
x
Giải
Ta hớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức
chứng minh
<
>
xx
x
xx
sin
6
sin
3
với
0
>
x
Ta chứng minh
xx
<
sin
với
0
>
x
Xét
( )
xf
=
xsin
-
x
,
( )
00
=
f
( )
xf
,
=
1cos
x
<0
( )
xf
nghịch biến
( )
xf
<
( )
0f
với
0
>
x
xsin
-
x
<o
xx
<
sin
(1)
Ta chứng minh
6
3
x
x
<
xsin
Xét
( )
6
sin
3
x
xxxf
+=
( )
xf
,
=
2
1cos
2
x
x
+
=
( )
xg
( )
0sin
,
>+=
xxxg
với mọi
x
>0
( )
xg
đồng biến
( )
xg
>
( )
0g
=0
với
0
>
x
hay
( )
xf
,
>0 với
0
>
x
( )
xf
đồng biến
( )
xf
>
( )
0f
=0 với
0
>
x
0
6
sin
3
>+
x
xx
6
3
x
x
<
xsin
với
0
>
x
(2)
Từ (1),(2)
6
3
x
x
<
xx
<
sin
với
0
>
x
đpcm.
Bài 2: Chứng minh rằng sin x >
x2
với
2
0
<<
x
Giải
Hớng dẫn : Xét hàm số f(x) =
x
xsin
với
2
0
<<
x
Bài 3 : CM :
xxx 2tansin
+
2
0
<<
x
Cm :
0
2
3
tan
2
1
sin
+
x
xx
2
;0
x
CM : x sinx + cos x > 1 với
2
0
<<
x
Bài 4 Cho
4
3
0
<
, Chứng minh rằng
3
1
.2
2
>+
Giải
HD: Xét hàm số
( )
2
1
2
x
xxf
+=
trên
4
3
;0
,
Bài 5: Chứng minh rằng với
10
3
+<<<
aba
thì
( )
( ) ( )
[ ]
( )
ba
baa
b
ba
baa
++
+++
<<
+
+
3
3
3
3
3
1.2
.211
.2
.2.
.
Giải
Xét hàm số
( )
( )
bx
bxx
xf
+
+
=
3
3
.2
.2
với
10
+<<<
axa
Ta có
( )
33
bbf
=
và
( )
( )
( )
0
.2
.2
2
3
2
3
,
+
=
bx
bx
xf
( )
xf
đồng biến
( )
( )
( )
1
3
+<<
afbfaf
với
10
+<<<
axa
( )
( ) ( )
[ ]
( )
ba
baa
b
ba
baa
++
+++
<<
+
+
3
3
3
3
3
1.2
.211
.2
.2.
.
đpcm.
Bài 6: ( Đề thi thử ĐH Quảng Xơng I)
Cho
2
0
<<<
ba
Chứng minh rằng
bbaa sin.sin.
>
( )
ab coscos.2
Giải
Yêu cầu bài toán
aaa cos2sin.
+
>
bbb cos.2sin.
+
Xét hàm số
( )
xf
=
xxx cos.2sin.
+
với 0<
2
<
x
Bài 7: Chứng minh rằng
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4
<
Giải
Xét hàm số
( )
x
x
xf
tan
=
với
4
0
<<
x
Ta có
( )
0
2cos.2
2sin.2
22
,
>
=
xx
xx
xf
( vì ta đã có
tansin
<<
nếu
2
0
<<
)
hàm số
( )
xf
là đồng biến trên
2
0
<<
x
với 5<6 thì
( )
5f
<
( )
6f
<
180
6
180
5
ff
, tức là
180
6
180
6
tan
180
5
180
5
tan
<
00
6tan.55tan.6
<
( 2)
chứng minh tơng tự ta cũng có
00
10tan.99tan.10
<
(3)
Nhân từng vế (2) và (3) ta suy ra
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4
<
đpcm.
Bài 8 Chứng minh rằng
x
x
xx
x
<
+
<
1
2
2
với
0
>
x
Giải
Do
0
>
x
nên
x
x
xx
x
<
+
<
1
2
2
1
1
1
2
1
<
+
<
x
x
,
0
>
x
Hớng dẫn học sinh đa về chứng minh
<
+
>
+
1
1
1
2
1
1
1
x
x
x
Đặt
( )
1
2
1
1
+
+
=
x
x
xg
0
>
x
,
( )
00
=
g
( )
( )
0
1
1
1
2
1
3
,
>
+
=
x
xg
, với
0
>
x
hàm số đồng biến với
Bài 9: Chứng minh rằng :
( )
2
2
2
4
1sin
+
xx
với
2
0
<<
x
Giải
Yêu cầu bài toán
( )
2
2
2
4
1sin
xx
Xét hàm số
( )
xf
=
( )
2
2
sin
xx
với
2
0
<<
x
.
Ta có
( )
xf
,
=-2
( )
0.2cos.sin
3
3
>+
xxx
với
2
0
<<
x
( )
xxx cos.sin.2.2
3
3
>
x
x
x
33
sin
cos1
>
do các vế đều dơng
3
cos
sin
x
x
x
<
0
cos
sin
3
>
x
x
x
( )
0cos.sin
3
1
>
xxx
đặt
( )
xg
=
( )
xxx
3
1
cos.sin
,
( ) ( ) ( )
1sin.cos
3
1
cos
2
3
4
3
2
,
+=
xxxxg
,
( )
00
,
=
g
( ) ( )
xxxg
2
3
2
,,
sin.cos
9
4
=
với
2
0
<<
x
( ) ( )
0
,,,,
gxg
>
= 0 với
2
0
<<
x
( )
xg
,
đồng biến
2
;0
( )
xg
,
>
( )
0
,
g
( )
xg
đồng biến
2
;0
.
( )
xg
>
( )
0g
( )
xf
đồng biến
2
;0
( )
xf
2
2
4
1
2
1
2
=
=
f
với
2
;0
x
Do đó
( )
2
2
sin
xx
2
4
1
Hay
( )
2
2
2
4
1sin
+
xx
2
;0
x
đpcm.
Bài 10: Cho a,b,c>0 và
1
222
=++
cba
chứng minh rằng
2
3.3
222222
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(1)
Giải
Từ giả thiết
222
1 acb
=+
,
222
1 bac
=+
và
222
1 cba
=+
1123cos2cos6cos4cos17
22
+++++
thay vào (1) ta có
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
222222222
111111 cc
c
bb
b
aa
a
c
c
b
b
a
a
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
2
3.3
( do a, b ,c đều dơng )
Xét hàm số
( ) ( )
xxxxxf
+==
3
1
,
( )
1;0
x
( )
1.3
2,
+=
xxf
( )
xf
,
>0
3
1
;0x
và
( )
xf
,
<0
1;
3
1
x
0<
( )
xf
3.3
2
3
1
=
f
( )
2
3.31
xf
Do đó 0<
( )
33
2
1
2
aa
( )
2
33
1
1
2
aa
( )
2
2
2
.
2
33
1
a
aa
a
Tơng tự
( )
2
2
2
.
2
3.3
1
b
bb
b
( )
2
2
2
.
2
33
1
c
cc
c
Do đó
2
33
222222
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
đpcm.
.Bài 11: Cho
3;8;6
. Chứng minh rằng với mọi x
1
ta có
++
xxx
24
Bài 12: Cho
60
<<<
. Chứng minh rằng :
6
6
sin
sin
3
3
>
HD: Xét hàm số
x
x
x
xf
sin
6
)(
3
=
với 0< x <
2- Sử dụng bảng biến thiên
Bài 13 : Cho a và b không âm và a + b = 1. Chứng minh với mọi số nguyên d-
ơng n ta có :
1
2
1
+
n
nn
ba
HD : Xét hàm số f(x) =
nn
xx )1(
+
với
10
x
Bài 14 : Chứng minh với mọi
ta có
Bài 15: Cho p, q là hai số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng với mọi :
2
0
ta có :
qp
qp
qp
qp
qp
+
+
)(
cossin
Bài 16 : Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2 . Chứng minh rằng
)1(22
)1()2(
>
nnn
nnn
Bài 17 : Cm tan 55
o
> 1,4 và
20
7
20sin
3
1
0
<<
