Đề cương ôn tập tốt nghiệp THPT môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.34 KB, 41 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM
________________________
TÀI LIỆU
ÔN THI TN THPT
MÔN TOÁN
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn - Phan Thanh Xuyên
Thẩm định: Nguyễn Ngọc Duyệt
Kon Tum, tháng 4 năm 2013
-1-
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU
• Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình Nâng cao, phần còn lại là phần dành
cho cả hai chương trình Cơ bản và Nâng cao.
• Các bài tập có dấu “*” là bài tập dành cho chương trình Nâng cao. Học sinh học
chương trình Cơ bản có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức. Các bài tập còn lại
là những bài tập dùng chung cho cả hai chương trình Nâng cao và Cơ bản.
• Ở mỗi chủ đề ngay từ đầu tài liệu có nêu lên các kiến thức cơ bản cần nhớ. Đây là
các kiến thức về lí thuyết có trong SGK, giáo viên có thể hệ thống hóa lại cho học sinh
trước khi đi vào phần bài tập. Trong luyện tập cần chú ý những kĩ năng cần đạt thông
qua việc chọn lựa các bài tập mà tài liệu đã cung cấp để ôn tập cho học sinh nhằm đáp
ứng các yêu cầu về kĩ năng .
-2-
PHẦN I : ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH
Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn
CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định lý về tính đơn điệu của hàm số.
- Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu
của đạo hàm của hàm số đó.
- Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản.
3. Bài tập:
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a)
4 2
1 1
3
4 2
y x x
= − +
; b)
1
1
1
y x
x
= − + +
−
; c)
2
2 3
2
x x
y
x
− −
=
−
;
d)
2
2y x x= −
; e)
2
( 1)( 2)y x x
= − +
; f)
2
1
4
y
x
=
−
.
Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a)
2 1y x x= −
; b)
2
3
x
x
y
e
−
=
;
c)
2
6y x x= − −
; d)
(ln 2)y x x= −
.
Bài 3: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
a)
3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m
= + + + − +
; b)
2
(3 2) 3
2
x m x
y
x
+ − −
=
−
.
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan sin , 0;
2
x x x
π
> ∈
÷
; b)
2
cos 1 ( 0)
2
x
x x> − ∀ ≠
;
c)
3
sin ( 0)
6
x
x x x> − ∀ >
; d)
1 1 ( 0)
2
x
x x+ < + ∀ >
.
Bài 5*: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
1 1 ( 0)
2 8
x x
x x+ − < + ∀ >
; b)
sin tan 2 , 0;
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
÷
.
____________________________
-3-
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định nghĩa cực trị của hàm số.
- Hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
- Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết cách tìm cực trị của hàm số.
- Xác định được giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm đã cho.
3. Bài tập:
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
4 2
2 3y x x
= − +
; b)
2
2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
; c)
2
3 4y x x
= − + +
d)
2
(1 )y x x= −
; e)
3y x x
= −
; f)
( 2)y x x
= +
.
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
ln
x
y
x
=
; b)
2
4y x x= −
; c)
cos siny x x
= −
;
d)
2
1
4
x
y
x
+
=
+
; e)
[ ]
2sin cos2 , 0;y x x x
π
= + ∈
; f)
sin 2 2y x x
= − +
.
Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
3 2
(2 ) 5y x m x m
= + + + −
đạt cực đại tại
2x
= −
.
Bài 4: Xác định
m
để hàm số
3 2
2
5
3
y x mx m x
= − + − +
÷
có cực trị tại
1x
=
. Khi đó hàm số
đạt cực đại hay cực tiểu tại
1x =
.
Bài 5: Tìm
m
để hàm số
2
2
4
x x m
y
x
− +
=
−
có cực đại và cực tiểu.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
2y ax bx= + +
. Xác định a và b biết hàm số đạt cực tiểu bằng -2 khi
2x =
.
Bài 7: Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số
3 2
( )f x x ax bx c= + + +
đạt cực trị bằng 0 tại
điểm
2x
= −
và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0).
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
, hàm số
( )
2 2
1x m
y
x m
− −
=
−
luôn luôn có cực đại,
cực tiểu.
Bài 9*: Với giá trị nào của k, hàm số
2
2 1y x k x= − + +
có cực tiểu.
+ Hướng dẫn:
Dùng qui tắc 2 của cực trị.
Bài 10*: Cho họ đường cong
( )
m
C
:
3 2 2 3
3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + − + −
(
m
là tham số).
a) Chứng tỏ
( )
m
C
luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu.
b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của
( )
m
C
.
+ Hướng dẫn:
a) Chứng tỏ y’= 0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
∈
¡
.
b) Biến đổi hàm số đã cho sang dạng: y = y’
( )
2( ) (1)
3 3
m
x m
x m C
+ − +
÷
-4-
Gọi
1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y
là hai điểm cực trị của
( )
m
C
.
Từ (1)
1 1
2 2
2( )
(2)
2( )
y x m
y x m
= − +
⇒
= − +
Từ (2) suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của
( )
m
C
là
2( ).y x m= − +
___________________________
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các khái niệm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một tập
hợp số.
- Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
3. Bài tập:
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a)
4
2
2 3
4
x
y x= − +
trên đoạn
[ ]
1 ;2−
; b)
2
2 3y x x= − + +
;
c)
2
4y x x= + −
; d)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
trên khoảng
(1; )
+∞
;
e)
2
ln(1 2 )y x x
= − −
trên đoạn
[ ]
2;0
−
; f)
1
4 1
x
y
x
= +
−
trên đoạn
[ ]
2;4
.
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a)
2
1y x x= −
; b)
1
2
1
y x
x
= + +
+
trên nửa khoảng
[
)
1;+∞
;
c)
2siny x x
= +
trên đoạn
;
2 2
π π
−
; d)
2sin sin 2y x x
= +
trên đoạn
3
0;
2
π
;
e)
2
(3 ) 1y x x= − +
trên đoạn
[ ]
0;2
; f)
( )
ln 2y x x
= −
trên đoạn
2
1;e
;
g)
3y x x= −
trên đoạn
[ ]
1;3−
.
Bài 3: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m
2
. Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi
nhỏ nhất.
Bài 4: Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn có bán kính R thì hình vuông
là hình có chu vi lớn nhất.
Bài 5: Tìm kích thước hình trụ có thể tích V cho trước và có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Bài 6*: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a)
2
cos 2 sin cos 4y x x x= − +
; b)
2
2 ( 1)( 3)y x x x x= − − + −
;
c)
2
2
1
4 3
4
y x
x
= + − −
−
; c)
2
3 3y x x x x= + − − − +
.
________________________________
-5-
IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận xiên của đồ
thị hàm số.
- Công thức tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên y = ax + b.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Sử dụng kiến thức về giới hạn tìm được:
+ Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang,
+ Tiệm cận xiên, tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ.
3. Bài tập:
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
1 3
x
y
x
=
−
; b)
2
1
1
y
x
= +
−
;
c)
3
2 1
1
x
y
x
−
=
+
; d)
2
1
2 3
y
x x
=
+ −
.
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:
a)
2
3
1
1
y
x
= +
−
; b)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
;
c)
2
1
4
x
y
x
+
=
−
; d)
2
2
1
3 4
x x
y
x x
+ +
=
− −
.
Bài 3*: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
3
2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−
; b)
2
1y x x= + −
;
c)
3
3
1y x x= − +
; d)
2
1y x x
= − +
.
Bài 4*: Cho đường cong (C
m
):
2
x x m
y
x m
− + +
=
+
.
a) Xác định
m
để (C
m
) có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).
b) Gọi
( )
1
C
là đồ thị của hàm số khi
m
= 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ
điểm
M
tùy ý thuộc
( )
1
C
đến hai tiệm cận của
( )
1
C
không đổi.
Bài 5*: Biện luận theo
m
các đường tiệm cận của các họ đường cong sau:
a)
2
2
1
x mx m
y
x
+ − −
=
+
; b)
3
2
1
3 2
mx
y
x x
−
=
− +
.
_____________________________
V. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ, GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ,
SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các kiến thức để giải một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số (Phương trình tiếp
tuyến, biện luận số nghiệm số của phương trình bằng đồ thị, biện luận vị trí tương đối của
đường cong và đường thẳng, ).
2. Kĩ năng cần đạt:
-6-
- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
3 2
4 2
(a 0);
(a 0);
(c 0, ad-bc 0);
y ax bx cx d
y ax bx c
ax b
y
cx d
= + + + ≠
= + + ≠
+
= ≠ ≠
+
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
( am
≠
0) .
- Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm thuộc đồ thị của hàm số, tiếp tuyến
đi qua một điểm.
- Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình.
- Viết được phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung.
- Biện luận vị trí tương đối của đường cong và đường thẳng.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho hàm số
3
3 1y x x= − + +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng
9y x= −
.
c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình
3
3 0x x m− + =
.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
4 4y x x x= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ O lại cắt (C) tại điểm A khác O. Tìm tọa độ điểm A.
c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) với đường thẳng
y kx=
.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Định
m
để phương trình
3
2
3 2 0x x m
− + − =
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(
1−
;
2−
) và có hệ số góc k. Định k để (d) cắt (C) tại 3
điểm phân biệt A, M, N.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
y x mx= − +
. (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
= 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến song song đường thẳng
9 1y x= − +
.
c) Tìm
m
để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5: Cho hàm số
4 2
( 1)y x mx m= + − +
có đồ thị
( )
m
C
(m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
=
2−
.
b) Chứng minh rằng khi
m
thay đổi,
( )
m
C
luôn đi qua 2 điểm cố định
1 2
,M M
phân biệt.
c) Tìm các giá trị của
m
để các tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
1 2
, M M
vuông góc với nhau.
Bài 6: Cho hàm số
4
2
5
2 2
x
y mx= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
= 3.
b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A có hoành độ
1x =
. Chứng tỏ rằng (d ) lại cắt (C)
tại một điểm khác A.
c) Biện luận theo
m
cực trị của hàm số đã cho.
Bài 7: Cho hàm số
4 2
2 1 2 ( )
m
y x mx m C
= − + + −
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
= 2.
-7-
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ
3y = −
.
c) Xác định
m
sao cho
( )
m
C
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 8: Cho hàm số
3
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
, đường thẳng (d):
2y x m= +
luôn cắt (C) tại 2
điểm phân biệt M, N.
c) Xác định
m
sao cho đoạn MN ngắn nhất.
Bài 9: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
+
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua
(0;1)A
và có hệ số góc
m
. Biện luận theo
m
số giao điểm
của (C) và (d).
d) Gọi I là tâm đối xứng của (C). Tìm điểm
( )M C∈
sao cho đoạn IM ngắn nhất.
Bài 10: Cho hàm số
( 2) 3m x
y
x m
− +
=
+
có đồ thị
( )
m
C
.
a) Tùy theo các giá trị của
m
, khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b) Khi
m
= 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
c) Định k để phương trình
1 3 0k x x
+ + − =
có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 11: Cho hàm số
1
2
1
y
x
= −
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm trên (C) các điểm có tọa độ là
những số nguyên.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác
của góc phần tư thứ nhất.
c) Tìm trên (C) những điểm có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ
nhất.
Bài 12*: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua
( 2;0)A
−
.
c) Cho đường thẳng (d): y = m. Định m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB
⊥
(
O
là gốc tọa độ).
Bài 13*: Cho hàm số
1
1
y x
x
= − −
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C).
c) Cho đường thẳng (d):
2y x m= +
. Với giá trị nào của
m
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt A, B.
d) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB khi
m
biến thiên.
Bài 14*: Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
2
0x m x m− + =
.
-8-
c) Tìm hai điểm
, ( )A B C∈
và đối xứng nhau qua đường thẳng (d ):
1y x= −
.
Bài 15*: Cho hàm số
2
2 1
( )
1
m
x mx m
y C
mx
+ + −
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.
b) Xác định
m
sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của
( )
m
C
đi qua gốc tọa độ.
c) Biện luận theo tham số
h
số nghiệm của phương trình:
cos2 2(1 )cos 3 2 0 ( )t h t h t
π π
+ − + − = − < <
.
______________________________
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.
I. LŨY THỪA, LÔGARIT.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy
thừa với số mũ thực của một số thực dương.
- Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số
mũ thực.
- Khái niệm lôgarit cơ số a
( 0; 1)a a> ≠
của một số dương.
- Các tính chất của lôgarit.
- Các khái niệm về lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có
chứa lũy thừa.
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức
chứa lôgarit.
3. Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
(a > 0)
a a a
a a a
−
−
+
÷
+
÷
; b)
1 1
1
2 (2 )
2 2
y y
x x
− −
−
+ +
÷ ÷
;
c)
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
a b
b a
+ + +
÷
÷
; d)
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
−
−
− −
−
− +
;
Bài 2: So sánh các cặp số sau:
a)
3 2
4 à 4v
− −
; b)
3
4
5 à 7v
;
c)
1,4 2
1 1
à
2 2
v
÷ ÷
; d)
3 5
10 à 20v
.
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
-9-
a)
1
2
1 1
2 2
(1 ) 1
1
x x
A x x
x
−
−
− −
÷
= + +
+
với
0x >
;
b)
1
2
2
1
1
2
1
2( ) .( ) . 1
4
a b
B a b ab
b a
−
= + + −
÷
với
0ab >
;
c)
1 1
1
2 (2 ) .
2 2
y y
C x x
− −
−
= + +
÷ ÷
Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau :
a)
( )
1 3 2
4
log log 4.log 3
; b)
2 8
1
log 3 3log 5
2
4
−
;
c)
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
; d)
3 2
2ln 3log
ln log
a
a
a e
a e
+ − −
;
d)
7
5
1
log 2 .log7
log 7
+
÷
; e)
7 25
ln(3 2 2) 4ln( 2 1) ln( 2 1)
16 8
+ − + − −
.
Bài 5: Tính:
a)
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
A = − −
; b)
2 2
3 3
1
log 24 log 72
2
1
log 18 log 72
3
B
−
=
−
.
Bài 6: Tìm x biết:
a)
6 6 6 6
log 3log 2 0,5log 25 2log 3x = + −
;
b)
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x = − +
.
Bài 7:
a) Cho
10 2
log 2 ; b = log 7a =
. Tính
10
log 56
theo a và b;
b) Cho
2 3 7
log 3 ; log 5 ; log 2a b c= = =
. Tính
140
log 63
theo a, b, c.
Bài 8: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
18 2 18 2
log 6 log 6 2log 6.log 6+ =
;
b)
log .log
log
log log
a b
ab
a b
c c
c
c c
=
+
(a, b, c > 0 và
1c
≠
).
Bài 9: Biết
log
a
x
α
=
,
log
b
x
β
=
,
log
c
x
γ
=
và
1abc ≠
. Tính
log
abc
x
theo
, ,
α β γ
.
Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu x, y > 0, x
2
+ 4y
2
= 12xy thì lg( x + 2y)
−
2lg2 =
1
2
(lgx + lgy).
Bài 11: Cho
8
1
1 log
8
a
b
−
=
;
8
1
1 log
8
b
c
−
=
(a, b, c > 0 và khác 8). Chứng minh rằng
8
1
1 log
8
c
a
−
=
.
Bài 13:
Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông,
trong đó
1c b− ≠
và
1c b+ ≠
. Chứng minh rằng:
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
.
____________________________
II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.
-10-
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
- Dạng của đồ thị của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai
biểu thức chứa mũ và lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.
3. Bài tập:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
( )
2
3
a) log 6y x x
= + −
;
3
3
b) log
2
x
y
x
−
=
÷
+
; c)
log( 1 2)y x
= + −
;
d)
2
log ( 3) 1y x= − −
; e)
2
1
log ( 1) 2
y
x
=
+ −
; f)
1
3
log (3 9)
x
y
−
= −
.
Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
log( 3 2)y x x= − +
; b)
2
ln( 1)y x x= + +
; c)
( )
2 2
.ln 1y x x
= +
;
d)
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
; e)
2
1
2
x
x
y e= −
; f)
(1 ln )lny x x
= +
.
g)
( )
2
2
3 2 logy x x= −
h)
3
1
3 7
y
x
=
−
Bài 3:
a) Chứng minh rằng hàm số
2 2
3
x x
y
−
−
=
đồng biến trên
¡
.
b) Chứng minh rằng hàm số
1 1
2 2
log log ( 1)y x x= − +
nghịch biến trên tập các số thực dương.
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số:
a)
2
ln (2 1) ;y x= +
b)
cos
log 3 ;
x
y e x= + −
c)
1
2
log (4 1)
x
y
−
= −
; d)
2 1
ln
1
x
y
x
+
=
−
.
Bài 5: Cho hàm số y = e
x
sinx. Giải phương trình: y’’
−
y’
−
e
x
= 0.
Bài 6: Chứng minh rằng:
a) Hàm số
1
ln
1
y
x
=
+
thỏa mãn hệ thức
,
1
y
xy e+ =
.
b) Hàm số
2
cos
x
y e x=
thỏa mãn hệ thức
,, ,
4 5 0y y y
− + =
.
Bài 7*: Tìm các giới hạn sau:
a)
3
0
1
lim
2
x
x
e
x
→
−
b)
1
lim
x
x
xe x
→+∞
−
÷
; c)
0
ln(3 1)
lim
x
x
x
→
+
;
d)
0
ln(3 1) ln(2 1)
lim
x
x x
x
→
+ − +
; e)
0
ln(1 3 )
lim
sin 2
x
x
x
→
+
f)
2
0
1
lim
sin
x
x
e
x
→
−
.
______________________________
-11-
III. PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ ( đưa về lũy thừa cùng cơ số,
lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số).
- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình lôgarit ( đưa về lôgarit cùng cơ số,
mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số).
2. Kĩ năng cần đạt:
- Giải được phương trình, bất phương trình mũ bằng các phương pháp: đưa về lũy thừa cùng
cơ số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit bằng các phương pháp: đưa về lôgarit
cùng cơ số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản.
3. Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
2
3 2
2 4
x x− +
=
; b)
−
=
÷
2
1
1
2
2
x
x
;
c)
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
=
÷
; d)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
4 2 6 0
x x
+ − =
; b) 25
x
−
6.5
x
+ 5 = 0;
c) 2
2x+2
−
9.2
x
+ 2 = 0 ; d) 3
x+2
−
3
2
−
x
−
24
= 0 ;
e) 4.9
x
+ 12
x
−
3.16
x
= 0 ; f)
( ) ( )
+ + − =
7 48 7 48 14
x x
.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) log
2
[x(x
−
1)] = 1; b) log
2
x + log
2
(x
−
1) = 1;
c) 2(log
3
x)
2
+ log
3
9x
−
5 = 0 ; d)
+ =
+ −
2 2
1 2
1
4 log 2 logx x
.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) log
3
x +log
9
x +log
27
x =11; b)
2 5
1 2log 5 log ( 2)
x
x
+
+ = +
;
c)
− + =
1 1
3 3
log x log x 2 0
; d) log
2
(2
x
+1).log
2
(2
x+1
+2) = 2.
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
3
2 4
x x− +
<
; b)
2
2 3
7 9
9 7
x −
≥
÷
;
c)
16 4 6 0
x x
− − ≤
; d)
3
3
3 2
x
x
<
−
.
Bài 6: Giải các bất phương trình sau:
a)
1
3
log ( 1) 2x + ≥ −
; b)
− ≤
4
3
log log 4
2
x
x
;
c)
2
0,2 0,2
log log 6 0x x− − ≥
; d)
ln(3 2) 2
x
e x− ≤
;
e)
2
2 2
log log 4 4 0x x
+ − ≥
; f)
4
2
1 log 1
1 log 4
x
x
−
≤
+
.
Bài 7*: Giải các bất phương trình sau:
-12-
a)
2
1 3
3
log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥
; b)
4 16
3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
;
c)
1
1 1
3 5 3 1
x x+
≤
+ −
; d)
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
.
Bài 8*: Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 1
2 8
1
0,5
8
x y
x y
−
− +
=
=
; b)
3
3 .2 972
log ( ) 2
x y
x y
=
− =
;
c)
5
ln ln ln6
.
x y
x y
e e e
+ =
=
;d)
2 2
1 1
3 3
10
log log 1
x y
x y
+ =
+ = −
;
e)
2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2log 3
y
y y
x
x x
+
− =
= +
; f)
2
1 log
64
y
y x
x
= +
=
.
Bài 9*: Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
log( ) 1 log8
log( ) log( ) log3
x y
x y x y
+ = +
+ − − =
; b)
log log
log4 log3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
=
=
;
c)
2 2 2
2
log log log
log ( ) log .log 0
x y xy
x y x y
= +
− + =
; d)
3 3
log log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 12
xy
xy
x y x y
= +
+ − − =
.
_____________________________
CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.
I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
- Các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
- Khái niệm về diện tích hình thang cong.
- Định nghĩa tích phân của một hàm số liên tục bằng công thức Niu - tơn – Lai- bơ - nit.
- Các tính chất của tích phân.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm.
- Tính được các tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần để tính tích phân.
3. Bài tập:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
( ) 3 2f x x x
x
= − +
; b)
3
1 1
( )f x
x x
= −
;
-13-
c)
( ) 3sin 2cos2 ;f x x x
= −
d)
( ) sin5 .cos3f x x x
=
;
e)
2
1
( ) 2f x x
x
= −
÷
; f)
2
2 2
( )
1
x x
f x
x
− +
=
−
;
2 2
1
g) ( ) ;
sin .cos
f x
x x
=
( )
h) ( ) 1 cos sin ;f x x x
= −
2
1 cos2
k) ( ) ;
cos
x
f x
x
−
=
2
1
) ( ) .
3 2
l f x
x x
=
− +
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
+
+ +
∫
2
2 1
;
1
x
dx
x x
b)
∫
2
(ln )
;
x
dx
x
c)
2
1
;
x
xe dx
+
∫
d)
2
1
x
dx
x−
∫
; e)
3
cos
sin
x
dx
x
∫
; f)
3
2 2
(1 )
x
dx
x−
∫
;
g)
2
1 tan
cos
x
dx
x
+
∫
; h)
1
x x
dx
e e
−
−
∫
; i)
(1 )
dx
x x−
∫
;
Bài 3: Tính các nguyên hàm sau:
a)
(1 2 )
x
x e dx−
∫
; b)
(2 1)lnx xdx−
∫
; c)
( 1)sinx xdx+
∫
;
d)
2
cos2x xdx
∫
; e)
2
lnx xdx
∫
; f)
( )
ln 1x x dx−
∫
.
Bài 4:
a) Chứng minh rằng hàm số
4 4
( ) sin cosF x x x
= +
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) =
sin 4x
−
trên
¡
.
b) Tìm một nguyên hàm
( )F x
của hàm số
( )f x
s 2inx cos x
= +
biết
1
3 2
F
π
= −
÷
.
Bài 5: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
3
2
cos
f(x)
sin
x
x
=
biết đồ thị của hàm số y = F(x) đi
qua điểm
π
M ;0
2
÷
.
Bài 6: Tính các tích phân sau:
a)
7
23
0
. 1x x dx+
∫
; b)
1
5
0
( 1)x x dx−
∫
; c)
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
;
d)
4
2
1
;
x
e dx
x
+
∫
e)
4
3
0
cos xdx
π
∫
; f)
1
0
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫
;
g)
−
+
∫
3
0
2
;
1
x
dx
x
2
2
0
h)
4
dx
x+
∫
; i)
4
4
6
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫
;
k)
3
2
0
5 6 ;x x dx
− +
∫
2
2
0
cos
l) ;
sin 5sin 6
xdx
x x
π
− +
∫
1
3 2
0
m) . 1 .x x dx−
∫
Bài 7: Tính các tích phân sau:
-14-
a)
2
2
1
ln(1 )x
dx
x
+
∫
; b)
1
(2 1)ln ;
e
x xdx−
∫
4
2
0
c) ;
cos
x
dx
x
π
∫
1
2
0
d)
( 1)
x
xe
dx
x +
∫
;
e)
1
0
ln(2 1)x x dx+
∫
; f)
1
2
0
( 2 )
x
x x e dx
−
−
∫
;
g)
2
0
sinx xdx
π
∫
; h)
3
2
4
ln(sin )
cos
x
dx
x
π
π
∫
;
Bài 8* : Tính các tích phân sau:
a)
2
0
1
1 cos
dx
x
π
+
∫
; b)
1
0
1 2
x
dx
+
∫
;
c)
π
2
0
sin 2
1 3cos
x
dx
x
+
∫
; d)
3
6
0
tan
cos2
x
dx
x
π
∫
;
e)
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
; f)
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
+
+
− +
∫
.
g)
3
2
0
sin
cos
x x
dx
x
π
∫
; h)
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
;
+ Hướng dẫn:
c) Đổi biến số: Đặt
1 3cost x= +
.
d) Đổi biến số: Đặt
tant x=
.
e) Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt
sin
1 cos
u x x
dx
dv
x
= +
=
+
.
f)
1 5 1 5
2
2 2
2
4 2
2
1 1
2
1
1
1
2
1
1
1
x
x
dx dx
x x
x
x
+ +
+
+
=
− +
− +
∫ ∫
. Đổi biến số: Đặt
1
t x
x
= −
.
g) Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt
2
sin
cos
u x
xdx
dv
x
=
=
.
h)
2 3 2 3
2 2 2
5 5
4 4
dx xdx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
. Đổi biến số: Đặt
2
4t x= +
.
________________________________
-15-
II. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Các công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích
phân.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhờ tích phân.
3. Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
6 5y x x= − +
,
1y x= −
;
b)
3
, 8, 0y x y x= − = =
;
c)
2 2
4, 2 , 3, 2y x y x x x x
= − = − − = − = −
;
d)
2
, , 1 ( 0, 1).
4
x
y y x y x y
= = = ≥ ≤
Bài 2 : Cho (P):
2
2 3y x x= − −
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (P) và trục hoành;
b) (P), trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm A( 4;5).
Bài 3 : Cho (P):
2
4 3y x x= − + −
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (P) và hai trục tọa độ;
b) (P), trục tung và tiếp tuyến của (P) tại điểm A( 3;0);
c) (P) và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm A( 3;0) và B(0; -3).
Bài 4 : Cho đường cong (C):
2 2
1
x
y
x
+
=
−
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (C) và hai trục tọa độ;
b) (C), trục tung, tiệm cận ngang và đường thẳng
2x = −
.
Bài 5 : Cho (P) :
2
3
2 2
x
y x= − − +
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (P) và đường thẳng
3
2
y =
;
b) (P), tiếp tuyến của (P) tại điểm
(1;0)A
và đường thẳng
2y =
.
Bài 6 : Tính diện tích của hình elip giới hạn bởi đường elip (E):
2 2
1
9 4
x y
+ =
.
Bài 7 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho khi
quay hình phẳng quanh trục hoành.
a) y = 0 , y = 2x – x
2
;
b) y = sin
2
x, y = 0, x = 0 , x =
π
;
c)
1
2 2
x
y x e=
, x = 1, x = 2, y = 0;
d) y = lnx, x = 1, x = 2, y = 0.
Bài 8 : Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P):
2
1y x= +
và (d):
2 4y x= +
. Tính thể tích
khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 9*: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho sau
khi quay hình phẳng quanh trục tung.
a)
( 1) 2, 0, 0, 3x y x y y
+ = = = =
;
b)
2
0, 2, 0x y y x− = = =
;
-16-
c)
2 3
( 0), 0, 1.y x y y x= ≥ = =
Bài 10*: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (P):
2
2y x x= −
và trục hoành. Tính thể
tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Oy.
Bài 11*: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
3 10, 1, ( 0)y x y y x x= − + = = >
. Tính
thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay (H) quanh trục Ox. (Hình (H) nằm ngoài
parabol
2
y x=
) .
+ Hướng dẫn:
Thể tích
2 4 4
2 2 2
1 2 1
56
( ) ( 3 10)
3
V x dx x dx dx
π
π π π
= + − + − =
∫ ∫ ∫
(đvtt).
Bài 12*: Xác định
0a >
sao cho diện tích S giới hạn bởi hai đường
2 2
4
4 2
1
a ax x
y
a
− −
=
+
và
2
4
1
x
y
a
=
+
có giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.
+ Hướng dẫn:
Tính được
3
4
9
1
a
S
a
=
+
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số
4 4 4
1, , ,
3 3 3
a a a
ta có:
4 4 4 12 3
4
4
4
4
1 1 4
3 3 3 27
27
a a a a a
a+ = + + + ≥ =
4
9 27
4
S⇒ ≤
. Dấu“=” xảy ra khi
4
4
1 3
3
a
a= ⇔ =
Vậy khi
4
3a =
thì S có giá trị lớn nhất là
4
9 27
4
.
______________________________
CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC
I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC, BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC, CÁC PHÉP
TOÁN, CĂN BẬC HAI, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
1. Kiến thức cần nhớ:
- Dạng đại số của số phức.
- Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp.
- Khái niệm căn bậc hai của số phức.
- Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực và có nghiệm phức.
- Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân và chia số phức.
- Biết tính căn bậc hai của số phức.
- Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (khi
0∆ <
).
- Giải được phương trình bậc hai với hệ số phức.
3. Bài tập:
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
-17-
a)
(2 4 )(3 5 ) (4 3 )i i i
+ − + −
; b)
2
(1 2 ) (2 3 )(3 2 )i i i− − − +
;
c)
3 4
5 3
2
i
i
i
−
+ −
+
; d) (4 + 5i)
1 2i
i
−
÷
−
2i ;
e)
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
; f)
2
1
1 4
(3 2 )
i
i
+ −
−
.
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a)
(3 4 ) (1 2 )(4 )i z i i
+ = + +
; b)
3 (2 ) (1 ) 4z i iz i
− = + +
;
c) (
z
+ i)
5
3 4
i
i
÷
+
= 1- i ; d)
3
1
2
z i
i
i
−
+ =
+
.
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a)
2
4 8 0x x− + =
; b)
2
6 12 0x x
+ + =
; c)
3
8 0x
− =
;
d)
4
16 0x + =
; e)
4 2
2 3 5 0x x
+ − =
.
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2 7
(1 ) 4 (2 )i i i i− − − +
; b)
( )
2
1 3 .(1 )i i
− + +
;
c)
2
1
2 (4 )
1
i
i i
i
−
− −
÷
+
; d)
3 2
1
i i
i i
− +
−
+
.
Bài 5: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng
điều kiện sau:
a)
1 2z i
− + =
; b)
3 4 z z i
= − +
;
c)
1
z i−
là số ảo; d)
1
z i
z i
−
=
+
.
Bài 6: Tìm các số thực
,x y
sao cho:
a)
3 2 1 (2 )x yi y x i
+ = + + −
; b)
2 1 ( 2 5)x y x y i
+ − = + −
.
Bài 7: Tìm hai số thực b và c sao cho phương trình
2
0x bx c
+ + =
có một nghiệm là
1 2x i
= +
.
Bài 8: Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z)
3 2
0z az bz c+ + + =
nhận
1z i
= +
và
2z =
là hai nghiệm của phương trình.
Bài 9: Cho số phức
3 2i 3 2i
z
2 3i 2 3i
− + +
= −
− +
. Chứng tỏ rằng:
z z=
.
Bài 10: Chứng minh rằng:
100 98 96
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 )i i i i
+ = + − +
.
+ Hướng dẫn:
100 98 96
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 )i i i i+ − + + +
96 4 2
96 2 96
(1 ) 3(1 ) 4 (1 ) 4
= (1 ) 3(2 ) 4 (2 ) 4 (1 ) .0 0.
i i i i
i i i i i
= + + − + +
+ − + = + =
Bài 11:
a) Tìm các số thực a, b để có phân tích:
3 2 2
3 3 63 ( 3)( )z z z z z az b+ + − = − + +
.
b) Giải phương trình
3 2
3 3 63 0z z z
+ + − =
.
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số phức
1z ≠
, ta có:
10
2 9
1
1
1
z
z z z
z
−
+ + + + =
−
.
+ Hướng dẫn:
Do
2 9 2 3 10 2 9 10
(1 )( 1) (1 ) 1z z z z z z z z z z z z+ + + + − = + + + + − + + + + = −
.
-18-
Khi
1z ≠
, chia cả hai vế cho
1z −
ta được đẳng thức cần chứng minh.
Bài 13*: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
, 9, 3 4 , 5 12 , 7 24i i i i− − + − +
.
Bài 14*: Cho z
1
, z
2
là hai nghiệm phương trình
2
(3 ) 2(1 2 ) 4 3 0i z i z i+ − + + − =
. Tính
2 2
1 2
z z
+
.
Bài 15
*
: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a)
2
(3 4 ) 5 1 0.z i z i− + + − =
b)
2
(4 ) 5(1 ) 0z i z i− + + + =
.
c)
2
4 3
1 0
2
z
z z z− + + + =
. ( Đặt ẩn phụ
1
w z
z
= −
)
d)
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + − =
. ( Đặt ẩn phụ
2
3 6t z z= + +
)
Bài 16*:
a) Giải phương trình:
2 2
( ) (3 ) 4 3 0.z i z i z i
+ − + + + =
b) Tìm số phức
B
để phương trình bậc hai
2
3 0z Bz i+ + =
có tổng bình phương hai nghiệm
bằng 8.
Bài 17*: Giải hệ phương trình hai ẩn phức sau:
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +
+ = −
Bài 18*: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
1
3
z
z
−
=
−
và
2
2
z i
z i
−
=
+
.
+ Hướng dẫn:
Nếu viết
( , )z x iy x y= + ∈¡
thì
1
1
3
z
z
−
=
−
2x⇔ =
Khi đó
2
2
4 ( 2)
2
2 2
4 ( 1)
y
z i
y
z i
y
+ −
−
= = ⇔ = −
+
+ +
. Vậy
2 2 .z i= −
____________________________________
II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG.
(Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao)
1. Kiến thức cần nhớ:
- Dạng lượng giác của số phức.
- Định lý về nhân và chia các số phức dưới dạng lượng giác.
- Công thức Moa-vrơ và ứng dụng.
2. Kĩ năng cần đạt:
- Biết cách nhân, chia các số phức dưới dạng lượng giác.
- Biết cách biểu diễn
cos3 , sin 3
α α
, qua
cos
α
và
sin
α
.
3. Bài tập:
Bài 1*: Viết sang dạng lượng giác các số phức sau:
a)
−
2 +
2 3i
; b)
1 3
1
i
i
+
−
; c)
( )
2
1 3 (1 )i i− +
;
d)
( )
3
cos sin 1 3
3 3
i i
π π
− +
÷
; e)
3
cos sin
4 4
i
π π
−
f)
sin cos
8 8
i
π π
− −
.
-19-
Bài 2*: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
( )
( )
3
4
1 3i i
− +
; b)
5
3
(1 )
( 3 )
i
i
+
+
;
c)
3
1 3
1
i
i
i
+
+
÷
−
; d)
( )
4
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
− +
÷
.
Bài 3*: Tìm môđun và acgumen của số phức
2
3 1
1 (1 )
2 2
z i i
= + + −
÷
.
+ Hướng dẫn:
Ta có:
3 1
1 1 cos sin 2cos cos sin
2 2 6 6 12 12 12
i i i
π π π π π
+ + = + + = +
÷
(1)
và
1 2 cos sin
4 4
i i
π π
− = − + −
÷ ÷
2
(1 ) 2 cos sin
2 2
i i
π π
⇒ − = − + −
÷ ÷
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
5 5
4cos cos sin
12 12 12
z i
π π π
= − + −
÷ ÷
.
Vậy
z
có môđun là
4cos
12
π
, acgumen là
5
12
π
−
.
Bài 4*: Cho
( ) ( )
6 2 6 2 .z i= + + −
a) Viết
2
z
dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a) suy ra dạng lượng giác của
z
.
Bài 5*: Giải phương trình
2
(cos sin ) sin .cos 0z i z i
α α α α
− + + =
, trong đó
α
là số thực cho
trước.
Bài 6*: Với số nguyên dương n nào, số phức
n
3
1 3
i
i
−
÷
−
là số thực, là số ảo?
+ Hướng dẫn:
Chuyển số phức
3
1 3
i
i
−
−
sang dạng lượng giác, sau đó áp dụng công thức Moa-vrơ đối với số
phức
n
3
1 3
i
i
−
÷
−
.
Bài 7*: Xét các số phức :
1
1 2 3
2
6 2, 2 2 ,
z
z i z i z
z
= − = − − =
.
a) Viết
1 2 3
, , z z z
dưới dạng lượng giác.
b) Từ câu a), hãy tính
7
cos
12
π
và
7
sin
12
π
.
Bài 8*: Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp
sau :
a)
3z =
và một acgumen của
iz
là
5
4
π
.
b)
1
3
z =
và một acgumen của
1
z
i
+
là
3
4
π
−
.
-20-
+ Hướng dẫn:
a) Một acgumen của
iz
là
5
4
π
thì một acgumen của
iz
z
z
=
là
5 3
4 2 4
π π π
− =
.
Vậy
3 3
3 cos sin
4 4
z i
π π
= +
÷
. Từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là
3 3
3 cos sin
8 8
i
π π
+
÷
và
11 11
3 cos sin
8 8
i
π π
+
÷
.
b) Gọi
ϕ
là một acgumen của
z
thì
ϕ
−
là một acgumen của
z
. Do một acgumen của
1 i
+
là
4
π
nên một acgumen của
1
z
i+
là
4
π
ϕ
− −
. Vậy theo giả thiết,
3
2 ( )
4 4
k k
π π
ϕ π
− − = − + ∈¢
, từ đó
2 ( )
2
l l
π
ϕ π
= + ∈¢
. Suy ra
1
cos sin
3 2 2
z i
π π
= +
÷
. Vậy dạng lượng giác của các căn bậc hai
của
z
là
3
cos sin
3 4 4
i
π π
+
÷
và
3 5 5
cos sin
3 4 4
i
π π
+
÷
.
____________________________________
-21-
PHẦN II : HÌNH HỌC
Biên soạn: Phan Thanh Xuyên
CHỦ ĐỀ 1:
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I. Kiến thức cần nhớ:
- Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B, chiều cao là h:
=
V Bh
- Thể tích khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao là h:
1
3
=
V Bh
- Thể tích khối lập phương cạnh a:
3
=
V a
- Thể tích khối hộp chữ nhật có cạnh là a, b, c:
V abc
=
- Cho hình chóp SABC, M, N, P tương ứng nằm trên SA, SB, SC khi đó:
.
.
. .
=
S MNP
S ABC
V SM SN SP
V SA SB SC
II. Kĩ năng cần đạt:
- Vẽ được hình.
- Vận dụng được các kiến thức đã học của hình không gian trong giải toán.
- Tính thể tích của khối đa diện đặc biệt: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối hộp chữ
nhật.
- Vận dụng lí thuyết tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ (đáy là tam giác, tứ giác).
- Tính được tỉ số thể tích của hai khối chóp.
III. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc biết rằng OA =
a
;
2
=
OB a
;
OC =
3a
.
1) Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC), chứng minh H là trực tâp tam giác ABC.
2) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
3) Tính thể tích tứ diện OABC, suy ra diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với
đáy. D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết rằng AB = a, BC =
2a
, SA =
3a
.
1) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ADE).
2) Tính diện tích tam giác ADE
3) Tính thể tích khối chóp ABCDE.
Hướng dẫn (ý 3):
Cách 1: Lập tỉ số thể tích
.
.
.
S ADE
S ABC
V SD SE
V SB SC
=
. Suy ra
.S ADE ABCDE
V V
⇒
Cách 2: Tính trực tiếp theo công thức
1
.
3
ABCDE BCED
V SE S
=
Bài 3: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh đáy là
3a
.
(Xem ví dụ 2 trang 25 sgk 12 nâng cao, bài tập 1 trang 25 sgk 12 chuẩn)
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên
của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy góc
0
60
.
1) Chứng minh tam giác SAC đều.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và tính cosin của góc hợp bởi giữa mặt bên
với đáy.
-22-
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB,
SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết AB = a,
SB' 2
SB 3
=
. Tính thể tích của khối chóp S.B’C’D’.
Hướng dẫn:
- Chứng minh B’D’ //BD và C’ là trung điểm của SC.
- Phân tích
. . . ' ' ' . ' '
2. ; 2.= =
S ABCD S ABC S AB C D S AB C
V V V V
- Lập tỉ số thể tích của hai khối chóp suy ra thể tích cần tính.
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a, AA’ = a. Tính thể tích
khối tứ diện ACB’D’.
Hướng dẫn:
-
' ' ' ' ' ' '
2 1
4. . . ' . . . ' . . . '
3 3
ACB D ABCDA B C D ABCA
V V V AB AD AA AB AD AA AB AD AA= − = − =
Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, M là
trung điểm cạnh CC’, cạnh đáy BC = a
2
và AA’= a. Tính thể tích của khối tứ diện A’MBC.
Hướng dẫn:
Cách 1: - Diện tích tam giác BCM:
2
' '
1 2
4 4
BCM BCC B
a
S S
= =
- Gọi H là trung điểm BC, chứng minh :
( )
2
' ' ,
2
a
AH BCC B AH
⊥ =
- Khi đó
' ' '
1
.
12
A BCM BCC B
V AH S= =
Cách 2: - Gọi I là điểm đối xứng với A qua C khi đó
' ' '
1 1 1
' .
2 2 6
A BCM A BCI A ABC ABC
V V V A A S
= = =
Bài 8*: Cho lăng trụ đứng đáy là tam giác đều cạnh a, biết rằng AB’ vuông góc với BC’. Tính
thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’.
Hướng dẫn:
- Gọi E đối xứng với A’ qua B’, chứng minh tam giác C’BE vuông cân tại B.
- Tính BE suy ra BB’.
- Tính diện tích đáy A’B’C’ suy ra thể tích cần tính.
Bài 9*: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC = 2a và
·
BAC = α
, đỉnh A’ của đáy trên cách đều ba điểm A, B, C và cạnh bên tạo với mặt đáy góc
0
60
.
1) Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và
α
.
Hướng dẫn:
- Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh A’G vuông góc với
đáy, suy ra BC
( )
AA'G⊥
suy ra BCC’B’ là hình chữ nhật
- Gọi I là trung điểm BC, tính BI suy ra AI suy ra diện tích tam giác ABC.
- Dựa vào tam giác AA’G tính A’G suy ra thể tích khối lăng trụ.
________________________________
CHỦ ĐỀ 2:
MẶT CẦU, MẶT TRÒN XOAY
I. Kiến thức cần nhớ:
- Khái niệm mặt tròn xoay, mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
- Diện tích xung quanh của hình nón:
π
=
S Rl
-23-
- Thể tích khối nón:
2
1 1
3 3
π
= =
V Bh R h
- Diện tích xung quanh của hình trụ:
2
π
=
S Rl
- Thể tích khối trụ:
2
π
= = =
V Bh Bl R h
- Diện tích mặt cầu:
2
4
π
=
S R
- Thể tích khối cầu:
3
4
3
π
=
V R
- Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
II. Kĩ năng cần đạt:
- Tính được diện tích xung quanh của, hình nón, hình trụ, mặt cầu.
- Tính được thể tích của khối nón, khối trụ, khối cầu.
- Xác định được giao của mặt nón, mặt trụ, mặt cầu với mặt phẳng.
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp.
III. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
1) Tính diện tích xung quanh của hình trụ .
2) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Tính diện tích
thiết diện.
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là
R 3
.
1) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
2) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục
của hình trụ bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 3 : Một hình nón có chiều cao bằng a góc ở đỉnh là
0
90
. Tính diện tích xung quanh của hình
nón, thể tích khối nón tương ứng.
Bài 4 : Một hình nón có chiều cao bằng 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
1) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó .
2) Một thiết diện đi qua đỉnh, cách tâm của đáy là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó .
Bài 5 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
1) Tìm chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD).
2) Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là A, đường tròn đáy ngoại tiếp tam
giác BCD.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và (SAB) bằng
0
30
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2) Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Hướng dẫn:
Ý 1: - Lập luận SA là đường cao của hình chóp, góc
·
30
o
BSC
=
từ đó suy ra SA
Ý 2: - Gọi I là trung điểm SC, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính mặt cầu là:
1
R= SC
2
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
6
. O là tâm
của hình vuông ABCD và
·
0
60=ASO
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Hướng dẫn ( ý 2):
Cách 1:
-24-
- Chứng minh SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, suy ra tâm mặt cầu
nằm trên SO.
- Trong tam giác SAC kẻ trung trực của SA cắt SO tại I, I chính là tâm mặt cầu, tính ra
bán kính R = IS.
Cách 2:
Gọi I là điểm đối xứng với S qua O, chứng minh I cách đều các đỉnh của hình chóp,
suy ra I là tâm mặt cầu, bán kính là IS.
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B, AB = a, cạnh SA
vuông góc với đáy. Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là a.
1) Tính SA và thể tích khối chóp S.ABC .
2) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình chóp S.ABC và mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn (ý 2):
- Gọi I là trung điểm SC, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, suy ra bán
kính SI = a.
- Tính thể tích khối cầu trừ đi thể tích khối chóp tương ứng.
Bài 9*: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC vuông tại A, AC = b, góc
·
0
ACB 30
=
.
Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ một góc
0
60 .
1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo b.
2) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’.
Hướng dẫn:
- Từ giả thiết ta tính được AB, BC, lập luận góc
·
0
CBC' 60
=
suy ra CC’.
- Tính được diện tích tam giác vuông ABC suy ra thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’.
- Gọi I là tâm hình chữ nhật CBB’C’, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng
trụ, bán kính mặt cầu R =
1
'
2
BC
.
_________________________________
CHỦ ĐỀ 3:
VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Tọa độ điểm, tọa độ véc tơ.
- Tọa độ điểm:
( ; ; ) yj+zk
⇔ = +
uuuur r r r
M x y z OM xi
.
- Tọa độ véc tơ:
( ; ; ) y j+zk
= ⇔ = +
r r r r r
a x y z a xi
2. Các phép toán véc tơ: (Tổng, hiệu, trang 72 sgk chương trình nâng cao, trang 64 sgk
chương trình chuẩn.)
3. Tích vô hướng của hai véc tơ. Cho
( ; ; ), ( '; '; ')
= =
r r
a x y z b x y z
khi đó:
-
. ' ' '
= + +
r r
a b xx yy zz
-
2 2 2
= + +
r
a x y z
-
Gọi
.
( ; ) cos
.
ϕ ϕ
= ⇒ =
r r
r r
r r
a b
a b
a b
.
4. Liên hệ giữa tọa độ điểm, tọa độ véc tơ.
Cho
( ; ; ), ( '; '; ')M x y z N x y z
khi đó
-
( )
' ; ' ; '
= − − −
uuuur
MN x x y y z z
-
( ) ( ) ( )
2 2 2
' ' '
= − + − + −
MN x x y y z z
5. Phương trình mặt cầu.
-Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R có PT:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
− + − + − =
x a y b z c R
- PT:
2 2 2
2 2 2 0
+ + + + + + =
x y z ax by cz d
là PT mặt cầu nếu:
2 2 2
0
+ + − >
a b c d
-25-
