137 Bài toán Tổ hợp trong các kì thi ĐH-CĐ từ 1997 đến 2011

Bài tập về : Tổ Hợp trong các đề thi ĐH-CĐ (Từ 1997 đ ến 2011 )
Sưu tầm & tổng hợp: L ộc Ph ú Đa -Việt Trì - Phú Thọ Tr:1
I.THÀNH LẬP SỐ TỪ CÁC SỐ CHO TRƯỚC
1) Các chữ số đôi một khác nhau
Bài 1
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5
Bài 6
Bài 7
Bài 8
Bài 9
Bài 10
Bài 11
Bài 12
Bài 13
Bài 14
Bài 15
2) Các chữ số có thể trùng nhau
Bài 16
Bài 17
www.VNMATH.com
Bi tp v : T Hp trong cỏc thi H-C (T 1997 n 2011 )
Su tm & tng hp: L c Ph ỳ a -Vit Trỡ - Phỳ Th Tr:2
Baứi 18
Baứi 19
Baứi 20
Baứi 22
Baứi 23
Baứi 25

Baứi 26
II. BAỉI TOAN CHOẽN
Baứi 28
Baứi 29
Baứi 30
Baứi 31
Baứi 32
Baứi 33
Baứi 34
Baứi 35
Baứi 36
Baứi 37
Baứi 38
Baứi 39
www.VNMATH.com
Bi tp v : T Hp trong cỏc thi H-C (T 1997 n 2011 )
Su tm & tng hp: L c Ph ỳ a -Vit Trỡ - Phỳ Th Tr:3
Baứi 40
Baứi 41
Baứi 42
Baứi 43
Baứi 44
Baứi 45
Baứi 46
Baứi 47
Baứi 48
III. CAC BAỉI TOAN VE NHề THệC NEWTON
Baứi 49
Baứi 50
Baứi 51

Baứi 51
Baứi 52
Baứi 53
Baứi 54
Baứi 55
www.VNMATH.com
Bài tập về : Tổ Hợp trong các đề thi ĐH-CĐ (Từ 1997 đ ến 2011 )
Sưu tầm & tổng hợp: L ộc Ph ú Đa -Việt Trì - Phú Thọ Tr:4
Baøi 56
Baøi 57
Baøi 58
Baøi 59
Baøi 60
Giaûi
Baøi 60
Baøi 61
Baøi 62
Giaûi
Baøi 63
Giaûi
Baøi 64
Baøi 65
Baøi 66
Giaûi
Baøi 67
Baøi 68
Baøi 69
www.VNMATH.com
Bi tp v : T Hp trong cỏc thi H-C (T 1997 n 2011 )
Su tm & tng hp: L c Ph ỳ a -Vit Trỡ - Phỳ Th Tr:5

Baứi 70
Baứi 71
Baứi 72
Baứi 73
Baứi 74
Baứi 75
Baứi 76
Baứi 77
Baứi 78
Baứi 79
Baứi 80
Baứi 81
Baứi 82
Baứi 83
Baứi 84
Baứi 85
Baứi 8 5 (Đề CT- khối A năm 2008)Cho khai triển
(1+2x)
n
= a
0
+a
1
x+ +a
n
x
n
,trong đó
*
n

và các hệ
số a
0
,a
1
, ,a
n
thoả mãn hệ thức
1
0
4096.
2 2
n
n
a
a
a
Tìm số lớn nhất trong các số
a
0
,a
1
, ,a
n
.
Baứi 86 (Đề CT- K B - 08)CMR
1
1 1
1 1 1 1
2

k k k
n n n
n
n C C C








( n,k là các số nguyên
dơng ,k
,
k
n
n C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Baứi 87 (Đề CT- K D - 08) Tìm số nguyên dơng n
thoả mãn hệ thức
1 2 2 1
2 2 2
2048
n
n n n
C C C


k

n
(C
www.VNMATH.com
Bi tp v : T Hp trong cỏc thi H-C (T 1997 n 2011 )
Su tm & tng hp: L c Ph ỳ a -Vit Trỡ - Phỳ Th Tr:6
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Baứi 88 (KA - 07)Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1

2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n




( n là số nguyên dơng,C
n
k
là số tổ hợp chập k của n
phần tử )
Baứi 89 . (KB - 07)Tìm hệ số của số hạng x
10
trong

khai triển nhị thức niutơn của (2 +x)
n
,biết :
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3
. ( 1) 2048
n n n n
n n n n
n n
n
C C C C
C



( n là số nguyên dơng,C
n
k
là số tổ hợp chập k của n
phần tử )
Baứi 90 . (DBKA - 07)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn
lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?
Baứi 91 . (DBKB - 07)Giải hệ phơng trình :
2 3
4 2
22
4 66
x y
y x
A C

A C







Baứi 92 (DBKB - 07)Tìm hệ số của x
8
trong khai
triển (x
2
+ 2)
n
biết

3 2 4
8 15 n N
n n n
A C C
Baứi 93 (DBKD - 07)Chứng minh rằng với mọi n
nguyên dơng ta luôn có
02 )1(
1210

n
n
n
nnn

CCCnnC
Baứi 94. (DBKD - 07)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có
thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số
gồm 4 chữ số khác nhau.
Baứi 95 (KA - 06)Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Niutơn của
7
4
1
n
x
x




.
Biết rằng
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1.
n
n n n
C C C


( n nguyên dơng ,C
n
k

là số tổ hợp chập k của n phần
tử)
Baứi 96 (DBKA - 06)áp dụng khai triển nhị thức
Niutơn của (x
2
+x)
2
,chứng minh rằng
:
9 9 1 0 0
0 1
1 0 0 1 0 0
1 9 8 1 9 9
9 9 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 1
1 0 0 1 0 1 .
2 2
1 1
1 9 9 2 0 0 0 .
2 2
C C
C C

(
k
n
C
là các tổ hợp chập k của n phần tử).
Baứi 97 . (DBKA - 06)Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể
lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau
? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Baứi 98 . (KB - 06) Cho tập hợp A gồm n phần tử (
n

4).Biết rằng ,số tập con gồm 4 phần tử của A
bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A .Tìm

nk , ,2,1
sao cho số tập con gồm k phần tử của
A là lớn nhất .
Baứi 99 (DBKB - 06) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có
thể lập đợc bao nhiêu số chẵn ,mỗi số có 5 chữ số
khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ
đó đứng cạnh nhau?
Baứi 100 . (DBKB - 06) Cho hai đờng thẳng song
song d
1
và d
2
.Trên đờng thẳng d
1
có 10 điểm phân

biệt ,trên đờng thẳng d
2
có n điểm phân biệt ( n

2).Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm
đã cho .Tìm n.
Baứi 101 (KD - 06) Đội thanh niên xung kích của
một trờng phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học
sinh lớp A. 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần
chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh
này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn nh vậy.?
Baứi 102 (DBKD - 06) Một lớp học có 33 học sinh
,trong đó có 7 nữ .Cần chia lớp học thành 3 tổ ,tổ I có
10 học sinh,tổ II có 11 học sinh,tổ III có 12 học sinh
sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ .Hỏi có
bao nhiêu cách chia nh vậy?
Baứi 103 (DBKD - 06) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có
thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số
khác nhau mà mỗi số lập đợc đều nhỏ hơn 25000?
Baứi 104 . (KA - 05) Tìm số nguên dơng n sao cho





1 2 2 3 3 4
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2n 2n 1
2n 1

C 2.2C 3.2 C 4.2 C
(2n 1).2 C 2005
( C
n
k
là tổ hợp chập k của n phần tử ).
Baứi 105 (DBKA - 05)Tìm hệ số của x
7
trong khai
triển đa thức của (2-3x)
2n
,biết rằng:
1 3 5 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C C C C 1024.



Baứi 106 (DBKA - 05)Tìm

k 0,1,2, ,2005
sao
cho
k
2005
C
đạt giá trị lớn nhất.
( C
n
k

là tổ hợp chập k của n phần tử ).
Baứi 107 (KB - 05) Một đội thanh niên tình nguyện có
15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về
giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam
và 1 nữ.?
Baứi 108 (DBKB - 05)Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả
www.VNMATH.com
Bi tp v : T Hp trong cỏc thi H-C (T 1997 n 2011 )
Su tm & tng hp: L c Ph ỳ a -Vit Trỡ - Phỳ Th Tr:7
mãn đẳng thức: 2P
n
+ 6A
2
n
- P
n
A
2
n
= 12.
Baứi 109. (DBKB - 05)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9
có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 6
chữ số khác nhau và tông các chữ số hàng chục ,hàng
trăm ,hàng nghìn bằng 8 ?
Baứi 110 . (KD - 05) Tính giá trị của biểu thức
M =

n n
A A

,
n !
4 3
1
3
1



biết rằng
n n n n
C C C C


2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
( n là số nguyên dơng,A
n
k
là số chỉnh hợp chập k
của n phần tử và C
n
k
là số tổ hợp chập k của n phần
tử ).
Baứi 111 . (DBKD - 05)Một đội văn nghệ có 15
ngời gồm 10 nam và 5 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách
lập một nhóm đồng ca gồm 8 ngời ,biết rằng trong
nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ?

Baứi 112 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc
bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1,5?
Baứi 113 (CT-KA-04)Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
thành đa thức của
x ( x)
8
2
1 1



Baứi 114 (DB-KA-04)Cho tập A gồm n phần tử , n

7.Tìm n,biết rằng số tập hợp con gồm 7 phần tử
của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần
tử của tập A.
Baứi 115 (DB-KA-04)Cho tập A gồm n phần tử , n >
4.Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có
đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ.
Baứi 116 (CT-KB-04)Trong một môn học ,thầy giáo
có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó , 10câu
hỏi trung bình ,15 câu hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể
lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra ,mỗi đề gồm 5 câu
hỏi khác nhau ,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải
có đủ 3 loại câu hỏi (khó,trung bình ,dễ) và số câu
hỏi dễ không ít hơn 2?

Baứi 117 . (DB-KB-04)Biết rằng (2 +x )
100
= a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+ +a
100
x
100
.Chứng minh rằng , a
2
<a
3
.
với giá trị nào của k thì a
k
< a
k+1

990 k
?
Baứi 118 (DB-KB-04)Giả sử (1 +2x)
n
=
a

0
+a
1
x+a
n
x
n
.Biết rằng a
0
+a
1
+a
2
++a
n
= 729.
Tìm n và số lớn nhất trong các số
a
0
,a
1
,a
2
,,a
n
.
Baứi 119 . (CT-KD-04) Tìm các số hạng không chứa
x trong khai triển nhị thức Niutơn của
7
4

3
1







x
x
với x > 0.
Baứi 120 (DB-KD-04)Biết rằng trong khai triển nhị
thức Niutơn của
n
x
x







1
tổng các hệ số của hai số
hạng đầu tiên bằng 24 ,tính tổng các hệ số của các số
hạng chứa x
k
với k > 0 và chứng minh rằng tổng này

là một số chính phơng.
Baứi 121 . (DB-KD-04)Có bao nhiêu số tự nhiên
thoả mãn đồng thời ba điều kiện sau : gồm đúng 4
chữ số đôi một khác nhau ; là số chẵn ;nhỏ hơn 2158
?
Baứi 122 (CT-KA-03)Tìm hệ số của số hạng x
8
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x







5
3
1
.
Biết rằng
)( 37
3
1
4

nCC
n
n
n
n
( n là số nguyên dơng ,x >0, C
n
k
là số tổ hợp chập k
của n phần tử ).
Baứi 123 . (CT-KA-03) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có
thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6
chữ số kác nhau và chữ số 2 đứngcạnh chữ số 3 ?
Baứi 124 (DB -KA-03)Có bao nhiêu số tự nhiên chia
hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau ?
Baứi 125 (CT -KB-03)Cho n là số nguyên dơng .Tính
tổng
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0

n
CCC
n
nnn

( C
n
k
là tổ hợp chập k của n phần tử).
Baứi 126 (DB -KB-03)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể
lập đợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số và
thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác
nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ
hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
Baứi 127 . (DB -KB-03)Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ
và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học
sinh nữ phải nhỏ hơn 4.Hỏi có bao nhiêu cách chọn
nh vậy?
Baứi 128 (CT -KD-03) Với n là số nguyên dơng, gọi
a
3n-3
là hệ số của x

3n-3
trong khai triển thành đa thức
của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n-3
= 26n.
Baứi 129 (DB -KD-03) Từ 9 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8
có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi
số gồm 7 chữ số khác nhau.
Baứi 130 (DB -KD-03) Tìm số tự nhiên n thoả mãn :
www.VNMATH.com
Bi tp v : T Hp trong cỏc thi H-C (T 1997 n 2011 )
Su tm & tng hp: L c Ph ỳ a -Vit Trỡ - Phỳ Th Tr:8
1002
333222

n
nnnn
n
nn
CCCCCC
( C
n
k
là tổ hợp chập k của n phần tử)

Baứi 131 (CT -KA-02)Cho khai triển nhị thức :















1
1 1 1
0 1
2 3 2 2 3
1 1
1
1
2 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2
n n n
x x x x x
n n
n n

x x x
n n
n n
C C
. C C
(
n là số nguyên dơng).Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C
và số hạng thứ t bằng 20n,tìm n và x.
Baứi 132 (DB -KA-02)Giả sử n kà số nguyên dơng và
(1+x)
n
=a
0
+a
1
x++a
n
x
n
. Biết rằng tồn tại số k nguyên
dơng (1
1 nk
)sao cho
,
2492
11

kkk
aaa
hãy tính n.
Baứi 133 (CT -KB-02)Cho đa giác đều A
1
A
2
A
2n
(n

2, n nguyên ) nội tiếp đờng tròn (0) . Biết răng
số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm
A
1,
A
2
,,A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có
các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
,A
2
,A
2n
, tìm n.
Baứi 134 (DB -KB-02)Tìm số n nguyên dơng thoả
mãn bất phơng trình

92
23
nCA
n
nn


(A
n
k
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C
n
k
là số
tổ hợp chập k của n phần tử ).
Baứi 135 (CT -KD-02)Tìm số nguyên dơng n sao cho
243242
210

n
n
n
nnn
CCCC
Baứi 136 (DB -KD-02)Gọi a
1
,a
2
,a
3

,,a
11
là các hệ số
trong khai triển sau
(x+1)
10
(x+2) = x
11
+a
1
x
10
+a
2
x
9
+ + a
11
. Hãy
tìm hệ số a
5
.
Baứi 137 (DB -KD-02)Đội tuyển học sinh giỏi của một
trờng gồm 18 em,trong đó có 7 học sinh khối 12 ,6
học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 .Hỏi có bao
nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trai hè sao
cho mỗi khối có ít nhất 1 em đợc chọn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
www.VNMATH.com