Tổng hợp Các bài Toán "Cực Tri" trong các Kì thi HSG - Môn Toán 9 THCS

Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
22
4
)1(
1
x
x
+
+
với
0

x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hoà năm học 1987 1988)
Bài 2. Cho P
zyxyxx
++

+
=
111
2
1
. Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá
trị dơng nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, toàn quốc năm học 1988 1989)
Bài 3. Cho A

1
)1(2
2
2
+
++
=
x
xx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các
giá trị tơng ứng của x.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1989 1990)
Bài 4. Cho hàm số
9612
22
+++=
xxxxy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng
ứng của x.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1990 1991)
Bài 5. Cho M
1815143
+++=
xxxx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị t-
ơng ứng của x.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1991 1992)
Bài 6. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với
mọi số thực x:
A =

.)3()2)(1(
2
mxxx
+++
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
1
78
2
2
+
++
=
x
xx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
18216
23
++=
xxx
, với
.1
2
1

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:

2
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
zyx
. Tìm giá trị lớn nhất
của xyz.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 10. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y
13
2
++=
xx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
4
24
2
++
xx
x

.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 1994 1995)
Bài 11. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:



=+
=++
4343
632
zyx
zyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = 2x + 3y 4z.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1994 1995)
1
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
22
yx
+
khi có
4
22
=+
xyyx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1995 1996)
Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn
nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1995 1996)

Bài 14. Cho biểu thức Q
1997321
1...111 xxxx
++++=
trong đó
1
x
,
2
x
,
3
x
,,
1997
x
là các biến số dơng và thoả mãn điều kiện
1...
1997321
=++++
xxxx
. Tìm giá trị lớn nhất của Q
và giá trị tơng ứng các biến của nó.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Toàn quốcnăm học 1996 1997)
Bài 15. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
yxM
+
++=
1

.
(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 16. Cho các số thực không âm
1
a
,
2
a
,
3
a
,
4
a
,
5
a
có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: A
.
54433221
aaaaaaaa
+++=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
bxax
A
))((
++

=
(với x > 0).
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
62
2
+=
xxy
với
1

x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
15
+=
xxA
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
442522
22
+++=
xxxxy
..
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xx
y

1
1
2
+

=
với 0 < x < 1.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
404208
22
++++=
xxxx
.
(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1998 1999)
Bài 23. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.4
21
22
xy
xy
yx
M
++
+
=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1998 1999)

Bài 24. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P
.
)(
1
)(
1
)(
1
333
yxzxzyzyx
+
+
+
+
+
=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
.1414
++=
xxxx
..
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
.200542425
22
++++=
yxxyyx
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1999 2000)

Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ
nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 5, TP. HCM năm học 2000 2001)
Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
abc
bacacbcba
M
3
))()((
+++
=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2001 2002)
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
x
x
y
2
4

=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2001 2002)
Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
5,2004232
++
xyxyx
.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) =
2
21
2
xx
x
+
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 31. Cho x, y thoả mãn điều kiện
1
22
=+
yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức:
.
66
yxM
+=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
.200233
22
+++
yxyxyx
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 33. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện:
1

=++
zyx
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức A =
.)1(
2
xyyzz
+++
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2003 2004)
Bài 34. Cho hai số thoả mãn đẳng thức:
4
4
1
8
2
22
=++
x
yx
. Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị
nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2003 2004)
Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
.
4224
yx
y
yx
x

+
+
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
3
1
3
2
2
+
++
x
x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2003 2004)
Bài 36. Tìm giá trị của x, y để biểu thức
463211426
2222
++++++++
yyxxyyxx
. Đạt giá trị
nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2003 2004)
Bài 37. Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
M
2005
=
xx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 2005)

Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
22
22
yxyx
yxyx
+
++
=
. Với x, y > 0.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B
2
9 xx
=
. Với
33

x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 2005)
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xx
+=
5413
. Với
.51

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2004 2005)

Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
34
2
+
+
=
x
x
y
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. Hải Phòng năm học 2004 2005)
3
Bài 41. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
c
c
b
b
a
a 411

+

+

=
. Với
.51

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2005 2006)
Bài 42. Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình:
0
12
4612
2
22
=++
m
mmxx

)0( >m
. Tìm m
để biểu thức A
3
2
3
1
xx
+=
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
A
xx
+=
5413
. Với

.51

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 43. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B
2
25 xx
=
. Với
.55

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 44. Cho
04)(4)(3
2233
=++++++
yxyxyx
và
0.
>
yx
. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
M
yx
11
+=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Bình Định năm học 2005 2006)
Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A

22
2
5
22
+++=
xxxx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
6
44
++

=
yx
yx
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y
54183
22
++++=
xxxx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 47. Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xy
yx
4
51
22

+
+
=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2010 2011)
Bài 48. Cho
1
22
=+
yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
)2)(2( yx

.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Nghi Lộc, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 2010)
Bài 49. Cho hai số dơng
x
,
y
thỏa mãn điều kiện:
2011
2010
=+
yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S =
yx .2010
12010
+

.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Hà Tỉnh năm học 2009 2010)
Bài 50. a) Cho hai bộ số (a
1
; a
2
) và (b
1
; b
2
) bất kì.
Chứng minh rằng:
))(().(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
bbaababa
+++
b) Cho
0,

yx
và

1
22
=+
yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
33
yx
+=
.
(Đề thi HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 2010)
Bài 51. Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:





=+
=+++
622
36432
222
2222
dba
dcba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2222
dcba
+++
.
4

(Đề thi HSG Toán 9, Huyện Quỳ Hợp, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 2010)
Bài 52. Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A =
y
y
x
x
2
1

+

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2007 2008)
B. Hớng dẩn Giải:
Bài 1. Ta có: A =
1
1
2
1
21
2
1
21
2)21(
)1(
1
2
242
2
42
242

22
4









+
=
++
=
++
++
=
+
+
x
x
xx
x
xx
xxx
x
x
.
Mặt khác:

[ ] [ ]
222222242444
)1(
2
1
)1()1(
2
1
)21()21(
2
1
)22(
2
1
1 xxxxxxxxx
+++=++++=+=+
Do đó A
2
1

.
Bài 2. Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau:
Với
*
, Nba

. Chứng minh rằng:
ba
11

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
1
+=
ab
.
Chứng minh:
Ta có:
ba
11

đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
b
1
phải đạt giá trị lớn nhất nhng nhỏ hơn
a
1
. Từ đó suy ra
b
phải nhỏ nhất nhng phải lớn hơn
a
.
Mặt khác: Vì
*
, Nba

nên chỉ có thể
1
+=
ab
(đpcm)

Giải:
Ta có: P
zyxyxxzyxyxx
++







+







=
++

+
=
111
2
1111
2
1
.

áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
zyx
++
1
phả lớn nhất
và






+








yxx
11
2
1
phải nhỏ nhất nhng lớn hơn
zyx
++
1
.

+








yxx
11
2
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
yx
+
1
đạt giá trị dơng lớn nhất và
x
1
2
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất nhng lớn hơn
yx
+
1
.
Do vậy có
x
1
2
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
3
=
x
.
Khi đó
6
11
2
1
=
x
và
yx
+

1
6
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
47
==+
yyx
.
Khi đó
42
1
7
1
6
111
2
1
==






+

yxx
và
zyx
++

1
42
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
3643
==++
zzyx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
1806
1
43
1
42
1
=
.
Bài 3. Ta có: A
1
1
)1(
1
1
)12()1(
1

222
1
)1(2
2
2
2
22
2
2
2
2

+
+
+=
+
++++
=
+
++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx

x
xx
.
Mặt khác: A
3
1
)1(
3
1
)12()1(3
1
222
1
)1(2
2
2
2
22
2
2
2
2

+

=
+
++
=
+

++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán.
Bài 4. Ta có:
31)3()1(9612
2222
+=+=+++=
xxxxxxxxy
5