Đáp án khảo sát hàm số

Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số ymxmx mx32)− (1)
32
1
(1) (
3
=−++
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

•
Tập xác định: D = R. . ymx mxm
2
(1) 2 3
′
=− + +−2
(1) đồng biến trên R
⇔

⇔
yx0,
′
≥∀ m 2≥

Câu 2. Cho hàm số (1) yx x mx
32

34=+ − −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(
.
;0−∞ )

•
m 3≤−

Câu 3. Cho hàm số
y
xmxmmx
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1=− ++ ++
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
+
∞


•
có yx mxmm
2

'6 6(2 1) 6( 1)=− ++ + mmm
22
(2 1) 4( ) 1 0
Δ
=
+− +=>
. Hàm số đồng biến trên các khoảng
xm
y
xm
'0
1
⎡
=
=⇔
⎢
=+
⎣
mm(;),( 1;)
−
∞++∞

Do đó: hàm số đồng biến trên
(2; )
+
∞
⇔
m 12
+
≤

⇔
m 1
≤


Câu 4. Cho hàm số
32
(1 2 ) (2 ) 2y x mx mx m
=
+− + − ++.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
(
)
0;
+
∞ .

•
Hàm đồng biến trên (0 ; )+∞ yx mx m
2
3(12)(22)
′
⇔+
0
=
−+−≥ với
x
0)(;∀∈ +∞

x
f
xm
x
x
2
23
()
41
2+
⇔= ≥
+
+
với
x
0)(;
∀
∈+∞

Ta có:
x
fx x
x
xx
x
2
2
2
2(6
() 0

3) 1 73
36
(4 1
0
12
)
+− −±
+−=⇔=
′
==⇔
+

Lập bảng biến thiên của hàm
f
x() trên (0; )
+
∞ , từ đó ta đi đến kết luận:

f
mm
173 373
12 8
⎛⎞
−+ +
≥⇔ ≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Câu 5. Cho hàm số
1
(1), (m là tham số).
42
23yx mx m=− − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

•
Ta có
32
'4 4 4( )
y
xmxxxm=− = −
+ ,
⇒
thoả mãn.
0m ≤
0,
′
≥∀yx
0m ≤
+ , có 3 nghiệm phân biệt:
0m >
0
′
=y
, 0, mm− .
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 0 1
≤

⇔< ≤m m . Vậy
(
]
;1m∈−∞
.

Trang 1
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Câu 6. Cho hàm số
mx
y
x
m
4
+
=
+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1
=
− .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng . (;1−∞ )

•
Tập xác định: D = R \ {–m}.
m
y
x
m

2
2
4
()
−
′
=
+
.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
⇔
y02
′
m2
<
⇔− < <
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
−
∞ thì ta phải có mm11
−
≥⇔ ≤− (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: . m21−< ≤−



KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Câu 7. Cho hàm số –2 (m là tham số) có đồ thị là (C

m
). yx x mxm
32
3=+ + +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

•
PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

⇔
xxmxm
32
3–20+++ = (1)
x
gx x x m
2
1
() 2 2 0 (2)
⎡
=−
⎢
=++−=
⎣
(C
m
) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x
⇔

PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
⇔

m
gm
30
(1) 3 0
Δ
⎧
′
=− >
⎨
−
=−≠
⎩

⇔
m 3
<


Câu 8. Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C
m
). yx mxm m x
322
(2 1) ( 3 2) 4=− + + − − + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

•
. yx mxmm
22
32(21)( 32
′
=− + + − − +
)
mm
2
3
(C
m
) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung
⇔
PT có 2 nghiệm trái
dấu
⇔
3(
⇔
.
y 0
′
=
2) 0−+< m12<<

32

1
(2 1) 3x−−
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
3
yxmx m=−+
Câu 9. Cho hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.

•
TXĐ: D = R ; . yx mx m
2
–2 2 –1
′
=+
Đồ thị (C
m
) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung
⇔
có 2 nghiệm phân
biệt cùng dấu
⇔

y 0
′
=

2
210
210
⎧
′
⎪
Δ= − + >
⎨
−>
⎪
⎩
mm
m
1
1
2
m
m
≠
⎧
⎪
⇔
⎨
>
⎪
⎩

Câu 10. Cho hàm số 2 (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).

32
3yx x mx=− − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng yx1=−.
Trang 2
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số


•
Ta có:
2
'3 6=−−
y
xxm.
Hàm số có CĐ, CT m phân bi
2
'3 6 0yxxm⇔= −−= có 2 nghiệ ệt
12
;
x
x
3>− (*) '93 0mm⇔Δ = + > ⇔
G ểm c trị
()
(
)
112
;; ;ABxyx

ọi hai đi ực là
2
h
y
o y
′
ta được: Thực hiện phép chia y c
11 2
'22
33 3 3
mm
yxy x
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−−++−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠


⇒
() ()
11 1 222
2
⎛⎞⎛
2
22
33
⎛⎞⎛⎞
−+ −+ +−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠

==22;
33
⎞
+−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎠
==
⎝
yyx y
m
x
m
xx
Phương trình đường th ực trị là
Δ
y
ẳng đi qua 2 điểm c
mm
⇒ :
2
22
33
mm
yx
⎛⎞⎛
=− + + −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞

⎟
⎠

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng
yx1
=
−
⇔
xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
ng son TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực t g hoặc trùng với đường thẳngrị so
yx1
=
−

23
21
m
m
⎛⎞
−+=⇔
⎜
⇔=−
⎟
(thỏa mãn)
n đường thẳ
32
B nằm trê
⎝⎠
TH2: Trung điểm I của A ng
yx1

=
−

() ()
212 1
2
11
⎛
12 12
2222
33
22
3.2 6
33
⎞ ⎛⎞
−
22
0
+++−=+−
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠
II
m
xx xx

Vậy các giá trị cần tìm củ

⎜⎟
++
⇔=−⇔ = −⇔
x
m
xy
y
y
x
−⇔=
mm
m
a m là:
3
0;
2
m
⎧
⎫
=
−
⎨
⎬
⎩⎭


Câu 11. Cho hàm số số) có đồ thị là (C
m
). yx mx m
32

34=− +
3
(m là tham
1) Khảo sát sự biế ẽ đồ thị hàm số khi m = 1. n thiên và v
2) Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

•
Ta có: yxmx
2
36
′
=− ;
x
y
x
m2
⎢
=
0
0
⎡
=
′
=⇔ . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m
≠
0.
⎣
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m ), B(2m; 0)

⇒

3
A
Bmm(2 ; 4 )=−
3
J
JG

: y = x
⇔

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m
3
)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d
A
Bd
I
d
⎧
⊥
⎨
∈
⎩

⇔

mm
mm

3
3
24 0
2
⎧
⎪
−
=
⎨
=
⎪
⎩
⇔

m
2
2
=±

âu 12. Cho hàm số yx mx m
32
331=− + − − .

C
1) Khảo sát sự biế thị của hàmn thiên và vẽ đồ số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d:
x
y8740+−=.
m2.

H m số có CĐ, CT PT có 2 nghiệm phân biệt
⇔
•
yxmx
2
36
′
=− +
; y
′
= =
xx00
⇔=∨
à
⇔
y 0
′
=

m 0
≠
.
Khi đó 2 điểm cực trị là:
AmBmmm
3
1), (2 ; 4 3 1)− −−(0; 3−
⇒

A
Bmm

3
(2 ;4 )



Trung điểm I của AB có toạ độ:
Im m m
3
(;2 3 1)
−
−
Đường thẳng d:
x
y8740
+
−= c (8; 1)u
=
−

. ó một VTCP
Trang 3
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

A và B đối xứng với nhau qua d
⇔

I
d
AB d
∈

⎧
⎨
⊥
⎩

⇔

3
8(2 3 1) 74 0
.0
mmm
AB u
⎧
+
−−−=
⎪
⎨
=
⎪
⎩


⇔
m 2
=


Câu 13. Cho hàm số (1). yx x mx
32
3=− +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d:
x
y–2 –5 0
=
.

•
Ta có yx x mx y x xm
32 2
3'36=− + ⇒= −+
Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
có hai nghiệm phân biệt y 0
′
=
mm93 0 3
Δ
′
⇔
=− >⇔ <
Ta có:
yxy mx
11 2 1
2
33 3 3
⎛⎞⎛ ⎞
′
=− + −+

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
m
Tại các điểm cực trị thì , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:
y 0
′
=

ymxm
21
2
33
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠

Như vậy đường thẳng
Δ
đi qua các điểm cực trị có phương trình ymx
21
2
33
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠
m
nên
Δ

có hệ số góc km
1
2
2
3
=−.
d:
x
y–2 –5 0= yx
15
22
⇔= −
⇒
d có hệ số góc k
2
1
2
=

Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d
⊥

Δ


⇒
kk m m
12
12
121

23
⎛⎞
=− ⇔ − =− ⇔ =
⎜⎟
⎝⎠
0

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là
I(1; –2). Ta thấy I
∈
d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0

Câu 14. Cho hàm số (1) có đồ thị là (C
m
). yx m x xm
32
3( 1) 9 2=− + ++−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: yx
1
2
= .

•
yx mx
2
'3 6( 1) 9=−++
m

2
'9( 1) 3.90
Δ
=+−> m (;1 3)(1 3;)
Hàm số có CĐ, CT
⇔
∈−∞− − ∪−+ +∞
⇔
Ta có
m
ymmxm
2
11
2( 2 2) 4 1
33
⎛⎞
+
′
=− − +−++
⎜⎟
⎝⎠
yx

A
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là
xy Bx y
11 2 2
(;),(; )
ymmxm
2

11
2( 2 2) 4 1⇒=− + − + +
, I là trung điểm của AB.
;
ymmxm
2
22
2( 2 2) 4 1
=
−+−++
và:
xx m
xx
12
12
2( 1)
.3
⎧
+= +
⎨
=
⎩
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
ymmxm
2
2( 2 2) 4 1
=
−+−++
Trang 4
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

A, B đối xứng qua (d): yx
1
2
=
⇔

A
Bd
I
d
⎧
⊥
⎨
∈
⎩

⇔
m 1
=
.

Câu 15. Cho hàm số mx , với m là tham số thực. xmxy −++−= 9)1(3
23
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1
=
m .
2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho
m
21

, xx 2
21
≤− xx .

•
Ta có .9)1(63'
2
++−= xmxy
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
⇔
PT 0'
=
y có hai nghiệm phân biệt
21
, xx

⇔ PT có hai nghiệm phân biệt là . 03)1(2
2
=++− xmx
21
, xx

⎢
⎢
⎣
⎡
−−<
+−>

⇔>−+=Δ⇔
31
31
03)1('
2
m
m
m
)1(
+ Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
=
+
=
+ xxmxx Khi đó:

()
(
)
41214442
2
21
2
2121
≤−+⇔≤−+⇔≤− mxxxxxx
(2)
m
2
(1)4 3⇔+≤⇔−≤≤m1

+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là
313 −−<≤− m và .131 ≤<+− m

Câu 16.
Cho hàm số , với m là tham số thực. yx mx mxm
32
(1 2 ) (2 ) 2=+− +− ++
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại m
x
x
1
,
2
sao cho xx
12
1
3
−
> .

•
Ta có: yx mx m
2
'3 (12 22)(=−+−+ )
Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt

y '0⇔=
x
x
12
,
(giả sử
x
x
12
<
)

m
mmmm
m
22
5
'(12) 3(2 )4 50
4
1
Δ
⎡
>
⎢
⇔=− − −= −−>⇔
⎢
<−
⎣
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm

x
x
12
, . Khi đó ta có:
m
xx
12
(1 2 )2
⎧
−
+=−
⎪
m
xx
12
3
2
3
−
⎪
=
⎩
⎨

()()

xx xx xx xx
2
12 12221
2

1
1
3
1
4
9
⇔=+−−>−>

mm mm m m
22
329 329
4(1 2 ) 4(2 ) 1 16 12 5 0
88
+−
−−>⇔ − −>⇔> ∨<⇔−

mm
329
1
8
+
>∨<− Kết hợp (*), ta suy ra

Câu 17.
Cho hàm số yxmx m
32
11
(1) 3(
33
=−−+−x2)+, với

m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2
=
.
2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại m
x
x
1
,
2
sao cho xx
12
21
+
= .

•
Ta có: yx m x m
2
2( 1) 3( 2)
′
=− −+ −
Trang 5
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
y 0
′

=
có hai nghiệm phân biệt
x
x
12
,

⇔
(luôn đúng với
∀
m) mm
2
05 7
Δ
′
>⇔ − + >
0
Khi đó ta có:
⇔

xx m
xx m
12
12
2( 1)
3( 2)
⎧
+= −
⎨
=−

⎩
()
xm
xxm
2
22
32
12 3( 2)
⎧
=−
⎪
⎨
−
=−
⎪
⎩


mm m
2
434
81690
4
−±
⇔+−=⇔=
.

Câu 18. Cho hàm số
x3
.

yxmx
32
4–
=+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x
x
1
,
2
thỏa
x
x
12
4=− .

•
. Ta có:
⇒
hàm số luôn có 2 cực trị yxmx
2
12 2 –3
′
=+
m
2
36 0,
Δ
′

=+>∀
m
x
x
12
,
.
Khi đó:
12
12
12
4
6
1
4
xx
m
xx
xx
⎧
⎪
=−
⎪
⎪
+=−
⎨
⎪
⎪
=−
⎪

⎩

9
2
m⇒=±
Câu hỏi tương tự:
a)
yx ; ĐS: x mx
32
31=+ + +xx
12
23+= m 105
=
− .

Câu 19. Cho hàm số
y
mxxmx
32
(2) 3=+ + +−5
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.

•
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
PT có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ ymxxm =
2
'3( 2) 6 0=+ ++

am
mm
mm m
m
mm
P
m
mm
S
m
2
(2)0
'93( 2)0
'23031
00
0
3( 2)
20 2
3
0
2
Δ
Δ
⎧
=+≠
⎪
=− + >
⎧
⎧

=− − + > − < <
⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔<⇔<⇔−
=>
⎨⎨⎨
+
⎪⎪⎪
+< <−
⎩
⎩
−
⎪
=>
⎪
+
⎩
m32<<−


Câu 20. Cho hàm số + (1) yx x
32
–3 2=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d:
yx32
=
− sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.

•
Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức
gxy x y(,) 3 2
=
−− ta có:

AA A A BB B B
gx y x y gx y x y( , )3 2 40;( , )3 260= − −=−< = − −=>

⇒
2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d:
yx32
=
−
.
Do đó MA + MB nhỏ nhất
⇔
3 điểm A, M, B thẳng hàng
⇔
M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB:
yx22=− +
Trang 6
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4
32
5

22 2
5
x
yx
yx
y
⎧
=
⎪
=−
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
=− +
⎩
⎪
=
⎪
⎩
⇒

42
;
55
M
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Câu 21. Cho hàm số (m là tham số) (1). yx mx mxm
32
(1 – 2 ) (2 – ) 2=+ + ++
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

•
yx mx mgx
2
32(12)2 (
′
=+− +−=
)
YCBT
⇔
phương trình có hai nghiệm phân biệt y 0
′
=
x
x
1
,
2
thỏa mãn: . xx
12
1<<

⇔

mm
gm
Sm
2
450
(1) 5 7 0
21
1
23
Δ
⎧
′
=−−>
⎪
⎪
=− + >
⎨
−
⎪
=<
⎪
⎩

⇔
m
57
45
<
< .

Câu 22. Cho hàm số
322 3
33(1)
y
xmx m xm=− + − − +m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.

•
Ta có
22
36 3( 1
′
=− + −
yxmxm)
0
Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt 0
′
=
y
có 2 nhiệm phân biệt
22
21xmxm⇔− +−= 10,m
⇔
Δ= > ∀
Khi đó: điểm cực đại
A

m(1;22−−m) và điểm cực tiểu
B
mm(1;22)
+
−−
Ta có
2
322
2610
322
m
OA OB m m
m
⎡
=− +
=⇔++=⇔
⎢
=− −
⎢
⎣
.

Câu 23. Cho hàm số
2
(1) yx mx mxmm
32 23
33(1)=− + + − + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1
=
.

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
• . yxmx m
22
36 3(1
′
=− + + −
)
PT
y có
⇒
Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị 0
′
=
m10,
Δ
=> ∀
x
yxy
11 2 2
(;),(; )
.
Chia y cho y
′
ta được:
m
yx yxm
2
1
2
33

⎛⎞
′
=− +−+
⎜⎟
⎝⎠
m
m m

Khi đó: ;
yxm
2
11
2=−+ yxm
2
22
2
=
−+

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là
yxm
2
2 m
=
−+.

Câu 24. Cho hàm số 2 có đồ thị là (C
m
).
32

3yx x mx=− − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: . yx43=− +
Trang 7
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

• Ta có:
2
'3 6=−−
y
xxm.
Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt
2
'3 6 0yxxm⇔= −−=
12
;
x
x

'93 0 3mm
⇔
Δ= + > ⇔ >− (*)
Gọi hai điểm cực trị là
()
(
)
1212

;; ;ABxyyx

Thực hiện phép chia y cho y
′
ta được:
11 2
'22
33 3 3
mm
yxy x
⎛⎞⎛⎞⎛
=−−++−
⎜⎟⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠


⇒
() ()
11 1 222
22
22; 22
33 3
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛
−++− −+ +−
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
==

3
⎞
⎟
⎠
==
⎝
yyx yy
m
x
mm
xx
m

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d:
⇒
2
22
33
mm
yx
⎛⎞⎛
=− + + −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d:
yx43

=
−+

2
24
3
3
23
3
m
m
m
⎧
⎛⎞
−+=−
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
⎛⎞
⎪
−≠
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
⇔=
(thỏa mãn)

Câu 25. Cho hàm số 2 có đồ thị là (C
m
).
32
3yx x mx=− − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d:
x
y4–5 0
+
= một góc .
0
45
• Ta có:
2
'3 6=−−
y
xxm.
Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt
2
'3 6 0yxxm⇔= −−=
12
;
x
x

'93 0 3mm

⇔
Δ= + > ⇔ >− (*)
Gọi hai điểm cực trị là
()
(
)
1212
;; ;ABxyyx
Thực hiện phép chia y cho y
′
ta được:
11 2
'22
33 3 3
mm
yxy x
⎛⎞⎛⎞⎛
=−−++−
⎜⎟⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠


⇒
() ()
11 1 222
22
22; 22

33 3
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛
−++− −+ +−
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
==
3
⎞
⎟
⎠
==
⎝
yyx yy
m
x
mm
xx
m

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
Δ
:⇒
2
22
33
mm
yx
⎛⎞⎛
=− + + −
⎜⎟⎜

⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

Đặt
2
2
3
m
k
⎛
=− +
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
. Đường thẳng d:
x
y4–5 0
+
= có hệ số góc bằng
1
4
− .
Ta có:
3
39
11
1

1
5
10
44
4
tan 45
1
11 5
1
1
1
4
44 3
2
k
m
kk
k
k
kkk
m
⎡
⎡
⎡
=
=
−
+=−
+
⎢

⎢
⎢
=⇔ ⇔ ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
−
+=−+ =−
=
−
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣
⎣


Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là:
1
2
m
=
−


Câu 26. Cho hàm số (1) yx x m

32
3=+ +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 4
=
− .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
n
AOB
0
120= .
Trang 8
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

x
•
Ta có: ; yx
2
36
′
=+
xym
y
x ym
24
0
0
⎡
=
−⇒ = +
′

=⇔
⎢
=⇒=
⎣

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(
−
2 ; m + 4)

OA m OB m(0; ), ( 2; 4)==−+
J
JG JJG
. Để
n
AOB
0
120=
thì AOB
1
cos
2
=
−

()
()
m
mm
mm mm
mm

mm
22
2
22
40
(4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
2
32444
4( 4)
⎧
−< <
+
⇔=−⇔++=−+⇔
⎨
++=
⎩
++
0


m
m
m
40
12 2 3
12 2 3
3
3
⎧

−< <
−+
⎪
⇔⇔=
⎨
−±
=
⎪
⎩


Câu 27. Cho hàm số
3
(C
m
) yx mx m xm
322
–3 3( –1) –=+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 2
=
− .
2) Chứng minh rằng (C
m
) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định.

•
; yx mxm
22
36 3(1

′
=− + −
)
xm
y
xm
1
0
1
⎡
=
+
′
=⇔
⎢
=
−
⎣

Điểm cực đại
M
m(–1;2–3)m
chạy trên đường thẳng cố định:
1
23
x
t
y
t
=

−+
⎧
⎨
=
−
⎩

Điểm cực tiểu
N
m(1;2–+− m)
chạy trên đường thẳng cố định:
1
23
x
t
y
t
=+
⎧
⎨
=
−−
⎩


Câu 28. Cho hàm số yxmx
42
13
22
=−+ (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 3
=
.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.

•
. yxmxxxm
32
22 2(
′
=− = −
)
x
y
x
m
2
0
0
⎡
=
′
=⇔
⎢
=
⎣

Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại
⇔

PT y 0
′
=
có 1 nghiệm
⇔
m 0
≤


Câu 29. Cho hàm số
m
C().
422
() 2( 2) 5 5==+−+−+yfx x m xm m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
m
C()
tam giác vuông cân.

•
Ta có
()
3
2
0
44(2)0
2
=
⎡

′
=+−=⇔
⎢
=
−
⎣
x
fx x m x
x
m

Hàm số có CĐ, CT
⇔
PT fx() 0
′
=
có 3 nghiệm phân biệt
⇔
m 2
<
(*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là:
(
)
(
) ()
A
mm B mmC mm
2
0; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1−+ − − −− −

⇒

()
(
)
AB m m m AC m m m
22
2; 44, 2; 44= −−+ − =−−−+ −
J
JG JJJG

Do
Δ
ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi
Δ
ABC vuông tại A

⇔

()
1120.
3
=⇔−=−⇔= mmACAB (thoả (*))

Trang 9
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Câu 30. Cho hàm số
(

)
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+−+−+=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
• Ta có
()
3
2
0
44(2)0
2
=
⎡
′
=+−=⇔
⎢
=
−
⎣
x
fx x m x
x
m

Hàm số có CĐ, CT
⇔
PT có 3 nghiệm phân biệt
⇔
fx() 0
′
=
m 2
<
(*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là:
(
)
(
) ()
A
mm B mmC mm
2
0; 5 5 , 2 ;1 , 2 ;1−+ − − −− −

⇒

()
(
)
AB m m m AC m m m
22
2; 44, 2; 44=−−+− =−−−+−
J
JG JJJG

Do
Δ
ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi

A
0
60
=

⇔
A
1
cos
2
=

⇔

AB AC
AB AC
.1
2
.
=

 


⇔

3
32 −=m.
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
yx m x m
42
4( 1) 2 1
=
−−+−

Câu 31. Cho hàm số có đồ thị (C
m
) . yx mx m m
422
2=+ ++
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có một góc bằng .
0
120

•
Ta có ; yxm
3
44
′
=+
x

x

yxxm
x
m
2
0
04( )0
⎡
=
′
=⇔ + =⇔
⎢
=
±−
⎢
⎣
(m < 0)
Khi đó các điểm cực trị là:
(
)
(
)
A
mmB mmC mm
2
(0; ), ; , ;+− −−

A
Bmm

2
(;)
J
=−−
JG
;
A
Cm
2
(;=− − −m)
J
JJG
.
Δ
ABC cân tại A nên góc 120 chính là
D
l
A
.

l
A
120=
D
AB AC m m m
A
mm
AB AC
4
4

1. 1 .
cos
22
.
−− − +
⇔=−⇔ =−⇔ =−
−
1
2
J
JG JJJG
JJG JJJG


m loaïi
mm
mmmm mm
m
mm
4
444
4
3
0(
1
1
22 3 0
2
3
⎡

=
+
⎢
⇔=−⇒+=−⇔+=⇔
=−
⎢
−
⎢
⎣
)

Vậy
m
3
1
3
=− .

Câu 32. Cho hàm số 1 có đồ thị (C
m
) . yx mx m
42
2=− +−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

•

Ta có
x
yxmxxxm
x
m
32
2
0
44 4( )0
⎡
=
′
=− = −=⇔
⎢
=
⎣

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị
⇔
PT y 0
′
=
có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi y
′
x
đi qua các nghiệm đó . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là: m 0⇔>

()
(
)

Am B mmm Cmmm
22
(0; 1), ; 1 , ; 1−−−+− −+−
Trang 10
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số


ABC B A C B
Syyxxmm
2
1
.
2
=− −=
+
;
A
BAC m mBC m
4
,2== + =

ABC
m
AB AC BC m m m
Rmm
S
m
mm
4
3

2
1
( )2
11210
51
4
4
2
⎡
=
+
⎢
==⇔ =⇔−+=⇔
−
⎢
=
⎣
+

Câu hỏi tương tự:
a)
yx ĐS: mx
42
21=− + mm
15
1,
2
−+
==

Câu 33. Cho hàm số
4
có đồ thị (C
m
) . yx mx mm
42
22=− + +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

•
Ta có
3
2
0
'4 4 0
() 0
x
yxmx
gx x m
=
⎡
=− =⇔
⎢
=
−=

⎣

Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt'0y
⇔= 00
g
mm
⇔
Δ= > ⇔ > (*)
Với điều kiện (*), phương trình
y 0
′
=
có 3 nghiệm
123
;0;=− = =
x
mx x m. Hàm số đạt
cực trị tại
123
;;
x
xx
. Gọi
(
)
(
)
442 42
(0;2 )Amm; ; 2 ; ; 2+−+−−+BmmmmCmmmm là 3
điểm cực trị của (C

m
) .
Ta có: cân đỉnh A
224 2
;4AB AC m m BC m ABC==+ =⇒Δ
Gọi M là trung điểm của BC
M
mm m AMm m
42 2
(0; 2 )⇒−+⇒==
2

Vì
A
BC
Δ
cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

ABC
SAMBCmmmmm
5
25
2
11
. . . 4 4 4 16 16
22
Δ
= = =⇔ =⇔ = ⇔ =
5

Vậy
m
5
16= .
Câu hỏi tương tự:
a)
yx , S = 32 mx
422
2=− +1 ĐS:
m 2
=
±



KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Câu 34. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

•
PT hoành độ giao điểm của (1) và d: xxmx xxxm
32 2
311(3)0

+
++=⇔ ++=
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
⇔

9
,0
4
<
≠mm
Khi đó:
B
C
x
x, là các nghiệm của PT: xxm
2
30
+
+=
⇒

BC BC
x
xxx3; . m
+
=− =
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là
BB
kx x
2

1
36m
=
++ và tại C là
CC
kxx
2
2
36m
=
++
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau
⇔

kk
12
.1
=
−

⇔
mm
2
491−+=0

⇔

965 965
88
−+

=∨=
mm

Trang 11
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Câu 35. Cho hàm số + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): yx x
3
–3 1=
ymxm3
=
++.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.

•
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): xmxm
3
–
(3)––20
+
=

⇔

⇔
xxxm
2
(1)(–––2)0+=

xy
gx x x m
2
1( 3)
() 2 0
⎡
=− =
⎢
=
−− −=
⎣

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P
⇔

9
,0
4
>− ≠mm
Khi đó:
NP
x
x, là các nghiệm của PT: xxm
2
20
−
−−=
⇒

NP NP

xx xx m1; . 2
+
==−−
3

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là
N
kx
2
1
3
=
−
và tại P là
P
kx
2
2
33
=
−

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau
⇔
kk
12
.1
=
−
⇔

mm
2
9181++=0

⇔

322 322
33
−+ −−
=∨=
mm

Câu 36. Cho hàm số 4 (C) yx x
32
3=− +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.

•
PT đường thẳng (d): ykx(2=−)
)
+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
xx kx
32
34(2
−
+= −

⇔

⇔
xxx k
2
(2)( 2)0−−−−=
A
xx
gx x x k
2
2
() 2 0
⎡
==
⎢
=
−−−=
⎣

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N
⇔
PT gx() 0
=
có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

⇔

0
9
0

(2) 0
4
k
f
Δ>
⎧
⇔− < ≠
⎨
≠
⎩
(*)
+ Theo định lí Viet ta có:
⎨

1
2
MN
MN
xx
xx k
+=
⎧
=− −
⎩
MN
yx yx().() 1
′′
+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
⇔
=

−
22
(3 6 )(3 6 ) 1−−=−
MMNN
xxxx kk
2
91810


⇔

⇔

+
+=
322
3
k
−±
⇔=
yx=−
(thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số x
3
3 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
ymx(1)2 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d):
=
++ luôn cắt đồ thị (C) tại

một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

•
PT hoành độ giao điểm (1)
⇔
xxx m
2
(1)( 2 )+−−−=0
2)
x
xx m
2
10
20(
⎡
+=
⎢
−−− =
⎣
(1) luôn có 1 nghiệm
x
1=− ( )
⇒
(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
y 2=
Trang 12
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1
⇔

9
4
0
m
m
⎧
>−
⎪
⎨
⎪
≠
⎩
(*)
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc
⇔
'( ). '( ) 1
NP
yx yx
=
−
⇔
m
322
3
−±
=

(thoả (*))

Câu 38. Cho hàm số 1) ( m là tham số) (1). yx mx m x m
322 2
33(1)(=− + − − −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 0.
=

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
dương.

•
Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương, ta phải có:
(*)
CÑ CT
CÑ CT
coù cöïc trò
yy
xx
ay
(1) 2
.0
0, 0
.(0) 0
⎧
⎪
<
⎪
⎨

>
⎪
<
⎪
⎩
>
1) )
Trong đó: +
⇒
yx mx m x m
322 2
33(1)(=− + −− − yxmxm
22
36 3(1
′
=
−+ −
+
y
mm m
22
100,
Δ
′
=−+=>∀
+
CÑ
CT
x
mx

y
x
mx
1
0
1
⎡
=−=
′
=⇔
⎢
=+=
⎣

Suy ra: (*)
m
m
m
mmmm
m
222
2
10
10
31
(1)(3)(21)0
(1)0
⎧
−>
⎪

+>
⎪
⇔⇔
⎨
−−−−<
⎪
⎪
−−<
⎩
2
<<+


Câu 39. Cho hàm số
32
12
33
yxmxxm
=−−++ có đồ thị
m
C().
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn
m
C()
hơn 15.

•
YCBT
⇔

xmx
32
3
−−
xx
2
(1)(+
xm
12
0++= xxx
222
123
15++>
mx(13) 0− − =
x
gx x mx m
2
1
() (1 3 ) 2 3 0
⎡
=
⎢
3
m23)
−
(*) có 3 nghiệm phân biệt thỏa .
Ta có: (*)
⇔−
⇔

=
+− −− =
⎣

2
phân biệt khác 1 và thỏa .
xx
22
12
14+>
Do đó: YCBT
⇔
có 2 nghiệm gx() 0=
x
x
1
,

m 1⇔>
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
32
333yx mx x m2
=
−−++

Câu 40. Cho hàm số mx , trong đó
m
là tham số thực. xxy +−−= 93
23
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi 0

=
m .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm m
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

•
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
32
39−−+=x x x m 0
Trang 13
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Phương trình ⇔
32
39
x
xxm
−
−=− có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Đường thẳng
⇔
y
m=− đi qua điểm uốn của đồ thị (C)

.11 11mm⇔− =− ⇔ =

Câu 41. Cho hàm số 7 có đồ thị (C
m

), trong đó m là tham số thực. yx mx x
32
39=− +−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi 0
=
m .
2) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

•
Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: xmxx
32
3970
−
+−= (1)
Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là
x
xx
123
;; ta có:
x
xx m
123
3++=
Để
x
xx
123
;;

lập thành cấp số cộng thì
x
m
2
=
là nghiệm của phương trình (1)
⇒
mm
3
297−+−=0⇔
m
m
m
1
115
2
115
2
⎡
⎢
=
⎢
−+
⎢
=
⎢
⎢
−−
=
⎢

⎣

Thử lại ta có
m
115
2
−−
=
là giá trị cần tìm.

Câu 42. Cho hàm số
32
3
y
xmxm=− −x có đồ thị (C
m
), trong đó m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
m 1
=
.
2) Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng d: yx2
=
+ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
cấp số nhân.

•
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C

m
) và d:

()
(
)
32 32
32 31xmxmxx gxxmxmx−−=+⇔=−−+−=20

Đk cần
: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
123
;;
x
xx lần lượt lập thành cấp
số nhân. Khi đó ta có:
() ( )
(
)
(
)
12
gx xx xx xx=− − −
3

Suy ra:
123
12 23 13
123
3

1
2
xxx m
xx xx xx m
xxx
++=
⎧
⎪
++=−−
⎨
⎪
=
⎩
Vì
23
3
13 2 2 2
22x x x=⇒=⇒=xx nên ta có:
3
3
5
14 2.3
32 1
mmm−−=+ ⇔ =−
+

Đk đủ
: Với
3
5

32 1
=−
+
m , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
5
32 1
=−
+
yx mx m
32
2(=+ ++
m

Câu 43. Cho hàm số x3)4+ có đồ thị là (C
m
) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C
m
) tại yx4=+
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 82.

•
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d là:

xmxmx x xxmxm
32 2
2(3)44(2 2)0++++=+⇔+++=
Trang 14
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số


xy
gx x mx m
2
0( 4)
() 2 2 0(1)
⎡
==
⇔
⎢
=+ ++=
⎣
(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
(*)
mm
mm
m
gm
/2

1
20
2
(0) 2 0
Δ
⎧
⎧
≤− ∨ ≥
=−−>
⇔⇔
⎨⎨
≠−
=+≠
⎩
⎩
2
Khi đó: .
BC BC
xx mxxm2; . 2+=− =+
Mặt khác:
dKd
134
(,) 2
2
−+
==
. Do đó:

KBC
SBCdKdBCBC

2
1
8 2 . ( , ) 8 2 16 256
2
Δ
=⇔ =⇔=⇔ =

BC BC
xx yy
22
( ) ( ) 256⇔− +− =
BC B C
xx x x
22
( ) (( 4) ( 4)) 256⇔− + +−+ =

BC BC BC
xx xx xx
22
2( ) 256 ( ) 4 128⇔−=⇔+− =

mm mm m
22
1 137
4 4( 2) 128 34 0
2
±
⇔−+=⇔−−=⇔=
(thỏa (*)).
Vậy

m
1 137
2
±
=
.

Câu 44. Cho hàm số 4 có đồ thị là (C). yx x
32
3=− +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm
k
d
A
(1;0)
−
với hệ số góc k . Tìm để đường
k(∈
\
)
k
thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ
k
d
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

•
Ta có:
⇔

k
dykxk: =+
kx y k 0−+=
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d là:
hoặc
xx kxkx x k x
32 2
34 (1)(2) 0
⎡⎤
−+=+⇔+ −−=⇔=−
⎣⎦
1
x
k
2
(2)−=
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
k
d
k
k
0
9
⎧
>
⇔
⎨

≠
⎩

Khi đó các giao điểm là
(
)
(
)
A
B kkkkC kkkk(1;0), 2 ;3 , 2 ;3−−− ++.

k
k
BC k k d O BC d O d
k
2
2
21,(,)(,)
1
=+ = =
+


OBC
k
Skkkkk
k
23
2
1

2.11 11
2
1
Δ
= + =⇔ =⇔ =⇔ =
+
k1


Câu 45. Cho hàm số 2 có đồ thị là (C). yx x
32
3=− +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 .

•
Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng
Δ
qua E có dạng
ykx(1)
=
−
.
PT hoành độ giao điểm của (C) và
Δ
: xxx k
2
(1)( 22)0
−

−−−=

Δ
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
⇔
PT xx k
2
22 0
−
−−= có hai nghiệm phân biệt khác 1
Trang 15
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn


⇔
k 3>−

OAB
SdOABkk
1
(,). 3
2
Δ
=Δ=+
⇒
kk3+=2
⇔

k
k

1
13
⎡
=−
⎢
=− ±
⎣

Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT:
(
)
yx y x1; 1 3 ( 1)
=
−+ =−± − .

Câu 46. Cho hàm số có đồ thị (C
m
) yx mx
3
2=+ +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

•
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) với trục hoành:

xmx
3
20++= mx x
x
2
2
(0)
⇔
=− − ≠
Xét hàm số:
x
fx x f x x
x
x
x
3
2
22
22
() '() 2
22
−
+
=− − ⇒ =− + =

Ta có bảng biến thiên:
x
f
x()
′

f
x()
−∞
01
+
∞
0
+
+–
–3
−∞
+
∞
−
∞
−
∞

Đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất m 3
⇔
>− .

Câu 47. Cho hàm số
2
có đồ thị (C
m
)
yx mx mx

32
23(1)6
=−+ + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

•
m13 13−<<+

Câu 48. Cho hàm số 6 có đồ thị là (C). yx x x
32
69=− +−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. dymx m(): 2 4=−−

•
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
xxx mxm
32
696 24
−
+−= − −


⇔

⇔
xxxm

2
(2)( 41)0−−+−=
x
gx x x m
2
2
() 4 1 0
⎡
=
⎢
=
−+−=
⎣

(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt
⇔
PT gx() 0
=
có 2 nghiệm phân biệt khác 2
⇔

m 3>−

Câu 49. Cho hàm số . yx x
32
–3 1=+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (Δ): cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân
ymxm(2 1) –4 –1=−
biệt.

•
Phương trình hoành độ giao của (C) và (
Δ
): xx mxm
32
–
3–(2–1) 4 20
+
+=

⇔
xxxm
2
(2)(––2–1)0−=
x
fx x x m
2
2
() 2 1 0 (1)
⎡
=
⇔
⎢
=−− −=
⎣
2
thỏa mãn:
x
x

x
x
12
12
2
2
⎡
≠=
⎢
=≠
⎣
(
Δ
) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt
⇔
(1) phải có nghiệm
x
x
1
,
Trang 16
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số


⇔

b
a
f
0

2
2
0
(2) 0
Δ
Δ
⎡
⎧
=
⎪
⎢
⎨
⎢
−≠
⎪
⎩
⎢
⎢
⎧
>
⎨
⎢
=
⎩
⎣

⇔

m
m

m
850
1
2
2
850
21
⎡
⎧
+=
⎪
⎢
⎨
⎢
≠
⎪
⎩
⎢
⎧
⎢
+>
⎨
⎢
−+=
⎩
⎣
0

⇔

m
m
5
8
1
2
⎡
=
−
⎢
⎢
⎢
=
⎣

Vậy:
m
5
8
=− ; m
1
2
=
.

Câu 50. Cho hàm số có đồ thị (C
m
).
32
32yx mx m=− +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

•
Để (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (C
m
) phải có 2 điểm cực trị

⇒
có 2 nghiệm phân biệt 0
′
=
y
22
33xm0
⇔
−= có 2 nghiệm phân biệt
⇔

0m ≠
Khi đó
'0
y
xm=⇔=±.
(C
m

) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt
⇔
y
CĐ
= 0 hoặc y
CT
= 0
Ta có: + (loại)
3
()0 2 2 0 0ym m m m−=⇔ + =⇔=
+
3
() 0 2 2 0 0 1ym m m m m
=
⇔− + = ⇔ = ∨ =±
Vậy:
1m =±

Câu 51. Cho hàm số có đồ thị là yx mx m
42
1
=− +−
(
)
m
C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8
=
.
2) Định m để đồ thị

(
cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
)
m
C
•
m
m
1
2
⎧
>
⎨
≠
⎩

Câu 52. Cho hàm số 1 có đồ thị là
()
42
21 2yx m x m=− + + +
(
)
m
C
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0
=
m .
2) Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số m
(

m
C
)
cộng.

•
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
(
)
42
21 21xmxm0
−
+++=
(1)
Đặt thì (1) trở thành:
2
,txt=≥0
(
)
2
() 2 1 2 1 0ft t m t m
=
−+++=.
Để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì
f
t() 0
=
phải có 2 nghiệm dương phân biệt

()
2
'0
1
210
2
0
210
m
m
Sm
m
Pm
⎧
Δ= >
⎧
>−
⎪
⎪
⇔= +>⇔
⎨⎨
⎪⎪
≠
⎩
=+>
⎩
(*)
Với (*), gọi là 2 nghiệm của
12

tt< ft() 0
=
, khi đó hoành độ giao điểm của (C
m
) với Ox lần
lượt là:
1221314
;
x
2
;;tx tx t=− =− = tx=

x
xxx
1234
,,, lập thành cấp số cộng
21 32 43 2
9
1
x
xxxxx t t
⇔
−=−=−⇔=

()
()
4
544
191 541
4

544
9
=
⎡
=+
⎡
⎢
⇔++ = +− ⇔ = +⇔ ⇔
⎢
⎢
−= +
=−
⎣
⎣
m
mm
mmmm mm
mm
m

Trang 17
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Vậy
4
4;
9
m
⎧⎫
=−

⎨⎬
⎩⎭

Câu hỏi tương tự đối với hàm số
yx m x m
42
2( 2) 2 3
=
−+ + − − ĐS: mm
13
3,
9
==−.

Câu 53. Cho hàm số có đồ thị là (C
m
), m là tham số. yx m x m
42
–(3 2) 3=++
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ y 1=−
hơn 2.

•
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và đường thẳng y 1
=

− :

⇔
xmxm
42
–(3 2) 3 1++=−xmxm
42
–
(3 2) 3 1 0
+
++=
⇔

x
xm
2
1
31(*
⎡
=±
⎢
=+
⎣
)
Đường thẳng cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
±
1 và nhỏ hơn 2

y 1=−

⇔

⇔

m
m
03 14
311
⎧
<+<
⎪
⎨
+≠
⎪
⎩
m
m
1
1
3
0
⎧
−< <
⎪
⎨
⎪
≠
⎩

Câu 54. Cho hàm số 1 có đồ thị là (C
m
), m là tham số.
()
42
21 2yx m x m=− + + +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.

•
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
(
)
42
21 21xmxm0
−
+++=
(1)
(
)
2
() 2 1 2 1 0ft t m t m
=
−+++=. Đặt thì (1) trở thành:
2
,txt=≥0

(C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

()
f
t⇔ có 2 nghiệm phân biệt sao cho:
12
,t t
12
12
03
03
tt
tt
=
<<
⎡
⎢
<
<≤
⎣


()
()
()
2
2
'0

'0
344 0
1
(0) 2 1 0 1
2
210
213
210
⎧
Δ= >
⎧
Δ= >
⎪
=− ≤
⎪
⎪
⇔=+= ⇔=−∨
⎨⎨
=+>
⎪⎪
=+<
⎩
⎪
=+>
⎩
m
m
fm
fm m m
Sm

Sm
Pm
≥

1
2
mm
=− ∨
Vậy: 1
≥
422
2
.

Câu 55. Cho hàm số
4
2xmx=− +mm+ (1), với m là tham số.
y
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1m
=

2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi
0m < .

•
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox:
(1)
4224
220xmxmm−++=

()
2
0t=≥ 0
Đặt tx , (1) trở thành :
224
22tmtmm
−
++= (2)
Ta có : và với mọi . Nên (2) có nghiệm dương
'2mΔ=− >0 0
2
2Sm=> 0m >

⇒
(1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt
⇒
đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai
điểm phân biệt.
Trang 18
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số


Câu 56. Cho hàm số
x
y
x
21
2
+
=

+
có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng đường thẳng d: yxm
=
−+ luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

•
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
x
m
x
21
2
+
=
−+
+


⇔

x
fx x mx m
2
2
() (4 ) 1 2 0(1)
⎧

≠−
⎨
=+− +− =
⎩
Do (1) có và
m
2
10
Δ
=+>
f
mm
2
(2) (2) (4 ).(2) 1 2 3 0,−=− +− −+− =−≠ ∀m
B

nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có: nên
AAB
ymxymx;=− =−
BA BA
AB x x y y m
2222
( ) ( ) 2( 12)=− +− = +
Suy ra AB ngắn nhất
⇔

A
B
2

nhỏ nhất
⇔
m 0
=
. Khi đó:
AB 24=
.
Câu hỏi tương tự đối với hàm số:
a)
2
1
x
y
x
−
=
−

ĐS: m = 2 b)
x
y
x
1
2
−
= ĐS: m
1
2
=

Câu 57. Cho hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)
−
I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N
sao cho I là trung điểm của đoạn MN.

•
Phương trình đường thẳng
(
)
:1dy kx 1
=
++
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N
3
1
1
−
⇔
=++

+
x
kx k
x
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
−
.

⇔
có 2 nghiệm phân biệt khác
2
() 2 4 0=+++=f x kx kx k 1
−


⇔

0
40 0
(1) 4 0
≠
⎧
⎪
Δ=− > ⇔ <
⎨
⎪
−=≠
⎩
k

kk
f
22
MN I
xx x+=−= ⇔ 0k
Mặt khác: I là trung điểm MN với
∀
<
1
.
y
kx k++
0
với
k
<
. Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là
=

Câu 58. Cho hàm số
24
1
x
y
x
+
=
−
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,
N sao cho 310MN = .

•
Phương trình đường thẳng (): ( 1) 1.dykx
=
−+
Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm
11 2 2
(; ),(; )
x
y x y phân biệt
sao cho
()
(a)
()
22
21 2 1
90−+−=xx yy

24
(1)
1
(1)1
+
⎧
=−+
⎪
−+
⎨

⎪
=−+
⎩
x
kx
x
ykx
1
(I). Ta có:
2
(2 3) 3 0
()
(1)1
kx k x k
I
ykx
⎧
−
−++=
⇔
⎨
=−+
⎩

Trang 19
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

(I) có hai nghiệm phân biệt
⇔
PT có hai nghiệm phân biệt.

⇔

2
(2 3) 3 0 ( )−−++=kx k x k b
3
0, .
8
kk
≠<
Ta biến đổi (a) trở thành: (c)
() ()
22
22
21 21 21
(1 ) 90 (1 ) 4 90
⎡⎤
+−=⇔+ +−=
⎣⎦
k x x k x x x x
Theo định lí Viet cho (b) ta có:
12 12
23 3
,
kk
xx xx
kk
,
−
+

+= =
thế vào (c) ta có phương
trình:
32 2
827830(3)(831)kkk k kk++−=⇔+ +−=0

341 34
3; ;
16 16
−+ −−
⇔=− = =
kk k
1
.
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.

Câu 59. Cho hàm số
22
1
x
y
x
−
=
+
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng (d):
yx2 m
=

+ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
5=AB .

•
PT hoành độ giao điểm:
22
2
1
−
=+
+
x
x
m
x

⇔
xmxm x
2
2  20( 1)
+
++= ≠− (1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
x
x
1
,
2

khác –1

⇔
(2)
mm
2
8160−−>
Khi đó ta có:
12
12
2
2
2
m
xx
m
xx
⎧
+=−
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩
. Gọi
(
)

(
)
A
xx m Bxx m
11 22
;2 , ;2 ++.
AB
2
= 5
⇔

⇔

22
12 12
()4()xx xx−+−=5 1
2
12 12
()4xxx x
+
−=
⇔
mm
2
8200−−=

⇔
(thoả (2))
m
m

10
2
⎡
=
⎢
=−
⎣
Vậy: .
mm10; 2==−

Câu 60. Cho hàm số
x
y
x
m
+
1
−
= (1).
m 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
=
.
yx2
2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d):
=
+ cắt đồ thị hàm số (1) tại
hai điểm A và B sao cho AB 22= .

•
PT hoành độ giao điểm:

xm
x
x
xm
xmxm
2
1
2
(1)210 (*)
⎧
≠−
−
=+⇔
⎨
+
++ + +=
⎩
m

d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
−


m m
mm
xm
m
m

2
0
323 323
630
1
1
Δ
⎧
⎧
⎧
>
<− ∨ >+
−−>
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
≠−
≠−
≠−
⎩
⎩
⎩
(**)
Khi đó gọi
x
x
12
, là các nghiệm của (*), ta có
xx m
xx m
12

12
(1
.21
⎧
)
+
=− +
⎨
=+
⎩

Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là
Ax x Bx x
11 22
(; 2),(; 2)
+
+
.
Trang 20
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

Suy ra AB x x x x x x m m
22 2 2
12 12 12
2( ) 2 ( ) 4 2( 6 3)
⎡⎤
=−= +− = −−
⎣⎦
Theo giả thiết ta được
m

mm mm
m
22
1
2( 6 3) 8 6 7 0
7
⎡
=
−
−−=⇔−−=⇔
⎢
=
⎣

Kết hợp với điều kiện (**) ta được
m 7
=
là giá trị cần tìm.

Câu 61. Cho hàm số
21
1
x
y
x
−
=
−
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để đường thẳng d: yxm
=
+ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ΔOAB
vuông tại O.

•
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: xmx m x
2
(3)1 0, 1
+
−+−= ≠ (*)
(*) có và (*) không có nghiệm x = 1.
mm m
2
250,
Δ
=−+>∀∈R

⇒
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là
AB
x
x, . Theo định lí Viét:
AB
AB
x
xm
x
xm
3

.1
⎧
+=−
⎨
=−
⎩

Khi đó:
()(
AA BB
)
A
x x m Bx x m;,;++
vuông tại O thì
OAB
Δ
(
)
(
)
AB A B
OA OB x x x m x m.0=⇔ + + + =
J
JG JJG
0

(
)
202
2

−=⇔=+++⇔ mmxxmxx
BABA

Vậy: m = –2.

Câu 62. Cho hàm số:
x
y
x
2
2
+
=
−
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh
của (C) và thỏa .
AA
BB
xym
xym
0
0
⎧
−+=
⎨
−+=
⎩

•
Ta có:
AA AA
BB BB
xym yxm
A
Bdyxm
xym yxm
0
,():
0
⎧⎧
−+= =+
⇔⇒∈=
⎨⎨
−+= =+
⎩⎩
+


⇒
A, B là giao điểm của (C) và (d). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

x
xm fxxmxm x
x
2
2
() ( 3) (2 2) 0( 2)
2

+
+= ⇔ = + − − += ≠
−
(*).
(*) có
⇒
(d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. mm
2
2170,
Δ
=++>∀m
Và
AB
f
x1. (2) 4 0 2=−<⇒ <<x hoặc
B
A
x
x2
<
< (đpcm).




KSHS 04: TIẾP TUYẾN

Câu 63. Cho hàm số 2(1) (m là tham số). )2()21(
23
++−+−+= mxmxmxy

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:
07
=
+
+ yx

góc
α
, biết
26
1
cos
=
α
.
Trang 21
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn


•
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có VTPT nk⇒
1
(; 1)
=
−
G

Đường thẳng d có VTPT
n

2
(1;1)=
G
.
Ta có
k
nn
k
kk
nn
k
k
12
2
2
12
3
.
11
2
cos 12 26 12 0
2
.
26
21
3
α
⎡
=
⎢

−
=⇔= ⇔−+=⇔
⎢
⎢
+
=
⎣
GG
GG

YCBT thoả mãn
⇔
ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

y
y
3
2
2
3
⎡
′
=
⎢
⎢
′
⎢
=
⎣

⇔

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−+−+
=−+−+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx

⇔

⇔


⎢
⎢
⎣
⎡

≥Δ
≥Δ
0
0
2
/
1
/
⎢
⎢
⎣
⎡
≥−−
≥−−
034
0128
2
2
mm
mm

⇔

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≥−≤

≥−≤
1;
4
3
2
1
;
4
1
mm
mm

⇔

4
1
−≤m hoặc
2
1
≥m

Câu 64. Cho hàm số 1 có đồ thị (C). yx x
32
3=− +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với
nhau và độ dài đoạn AB = 42.

•
Giả sử thuộc (C), với Aaa a Bbb b

32 32
(; 3 1), (; 3 1)−+ −+ ab
≠
.
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

⇔
ya yb() ()
′′
=
aabbab ab abab
2222
3636 2()0()( 2)−= −⇔−− −=⇔− +−=0

⇔
. Vì nên ab b a20 2+−=⇔=− ab≠
aaa21
≠
−⇔ ≠
Ta có:
AB ba b b a a ba b a b a
232 322 233 22
()(31 31) ()( 3( ))= −+− +−+ −= −+−− −
2


ba ba abba baba
2
23
()()3()3()()

⎡⎤
=−+−+ −−−+
⎣⎦

ba ba ba ab
2
222
()()()33.2
⎡⎤
=−+− −+−
⎣⎦

ba ba ba ab
2
222
()()() 6
⎡⎤
=−+− +−−
⎣⎦

ba ba ab
22 2
()()(2)=−+−−−
2
AB b a ab a a a
22222
( )1(2 ) (22) 1( 2 2)
⎡⎤⎡ ⎤
=− +−− =− + −−
⎣⎦⎣ ⎦

aa aaa
2
22 242
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10
⎡⎤
⎡⎤ ⎡ ⎤
=− +−− =− −−−+
⎢⎥
⎣⎦ ⎣ ⎦
⎣⎦
aaa
642
4( 1) 24( 1) 40( 1)=−− −+ −




Mà
AB nên 42= aaa
642
4( 1) 24( 1) 40( 1) 32−− −+ −=
0
(*)
aa a
64 2
( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0⇔− − − + − −=
Đặt
ta . Khi đó (*) trở thành: t
2
(1),=− >

tt
⇒

t t tt t
32 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4−+−=⇔− −+=⇔=
ab
a
ab
2
31
(1) 4
13
⎡
=⇒=−
−=⇔
⎢
=− ⇒ =
⎣
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là:
A
B(3;1), ( 1; 3)
−
−
.

Trang 22
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

Câu 65. Cho hàm số (C). yxx
3
3=−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt yx=−
với đồ thị (C).

•
Các điểm cần tìm là: A(2; –2) và B(–2; 2).

Câu 66. Cho hàm số 2 (C). yx x
32
3=− + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ
thị (C).

•
Gọi .
∈(;2) ()Mm d
PT đường thẳng
Δ
đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : ykxm()2
=
−+

Δ
là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ PT sau có nghiệm (*).

xx kxm
x x k
32
2
32( )2(1
36 (
⎧
⎪
−+ −= − +
⎨
−+=
⎪
⎩
)
2)
0
Thay (2) và (1) ta được:
xmxmx x xmx
32 2
23(1)6 40(2)2(31)2
⎡⎤
−++−=⇔− −−+=
⎣⎦

⇔

=
⎡
⎢
=−−+=

⎣
2
2
() 2 (3 1) 2 0 (3)
x
fx x m x
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
⇔
hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt
(3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔
⎧
Δ>
<
−>
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
≠
⎩
⎪
≠
⎩
5
0
1
3
(2) 0
2
m hoÆc m

f
m
.
Vậy từ các điểm M(m; 2)
∈
(d): y = 2 với
⎧
<
−>
⎪
⎨
⎪
≠
⎩
5
1
3
2
m hoÆc m
m
có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
đến (C).

Câu 67. Cho hàm số yfx mx m x mx
32
1
() ( 1) (4 3 ) 1
3
== +−+−+ có đồ thị là (C
m

).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (C
m
) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà
tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d):
x
y230
+
−=.

•
(d) có hệ số góc
1
2
−
⇒
tiếp tuyến có hệ số góc
k 2
=
. Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:

fx (1) mx m x m mx m x m
22
'( ) 2 2( 1) (4 3 ) 2 2( 1) 2 3 0=⇔ + − + − =⇔ + − +− =
YCBT
⇔
(1) có đúng một nghiệm âm.
+ Nếu thì (1)
m 0=

x
x22⇔− =− ⇔ =1 (loại)
+ Nếu thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là
m 0≠
m
x hay x=
m
23
1
−
=

Do đó để (1) có một nghiệm âm thì
m
m
m
m
0
23
0
2
3
⎡
<
−
⎢
<⇔
⎢
>
⎢

⎣

Vậy
m hay m
2
0
3
<> .

Trang 23
101 Khảo sát hàm số Ths : Lê Minh Phấn

Câu 68. Cho hàm số
()()
yx x
22
1. 1=+ −

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho điểm
A
a(;0)
. Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).

•
Ta có . yx x
42
21=− +
Phương trình đường thẳng d đi qua
A

a(;0)
và có hệ số góc k : ykxa()
=
−
d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm:
x
xkx
I
xxk
42
3
21(
()
44
⎧
a)
−
+= −
⎪
⎨
−=
⎪
⎩

Ta có:
k
I
A

x
2
0
() ( )
10
⎧
=
⇔
⎨
−=
⎩
hoặc
xx k
B
fx x ax
2
2
4( 1)
()
() 3 4 1 0 (1)
⎧
⎪
−=
⎨
=−+=
⎪
⎩

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là
dy

1
:0
=
.
+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải
có 2 nghiệm phân biệt
x
k(;)
với
x
1
≠
± , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân
biệt kh c
1±
0
á
⇔

f (1
Δ
⎧
′
a
2
43
) 0
=
−
±≠

>
⎨
⎩

⇔

a a
33
11
22
−≠ <−

≠ >hoÆc

Câu 69. Cho hàm số . yfx x x
42
() 2==−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối
với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.

•
Ta có:
f
xx
3
'( ) 4 4=−x
b

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là

AB
kfaa akfbb
33
'( ) 4 4 , '( ) 4 4
=
=− = =−
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

y faxa fa y fax fa afa()( ) () () () ()
′′
=−+⇔=+−
′
′
b
22
1)0++−=
b
2
10

y fbxb fb y fbx fb bfb()( ) () () () ()
′′
=−+⇔=+−
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:
(1)
33
AB
k k a a = 4b ab44 )(= ⇔ −
b≠
aab

2
b a b a4(−⇔−
Vì A và B phân biệt nên
a , do đó (1)
⇔

+
+−=
aabb
aa
22
42
10
32
++−=
≠⇔
−+ =−
(2)
Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

aabb
bb
fa af a fb
22
42
10
32
() () ()
⎧
⎧

⎪⎪
++−=
⇔
⎨⎨
+
−=
⎪
⎪
⎩
⎩
ab
bf b
()
()
′′
−
ab(;) (1;1)
Giải hệ này ta được nghiệm là
=
−
hoặc
ab(;) (1;1)
=
−
, hai nghiệm này tương
ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là
(1;1)
−
−
và

(1; 1)
−

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

aabb
aab
22
10
1;
⎧
++−=
⎨
≠± ≠
⎩

Câu 70. Cho hàm số
2
2
x
y
x
=
+
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Trang 24
Ths : Lê Minh Phấn 101 Khảo sát hàm số

•
Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a 2
≠
− thuộc (C) có phương trình:

a
yxa xaya
a
a
22
2
42
() 4(2)2
2
(2)
=−+⇔−++
+
+
0=
)

Tâm đối xứng của (C) là . Ta có:
(
I 2;2−

aaa
dId
a

aa
42
82 82 82
(, ) 2 2
22 2
16 ( 2) 2.4.( 2)
+++
=≤=
+
++ +
=

lớn nhất khi
dId(, )
a
a
a
2
0
(2)4
4
⎡
=
+=⇔
⎢
=
−
⎣
.
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến

yx
=
và
yx8
=
+
.

Câu 71. Cho hàm số
x
y
x
2
23
+
=
+
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

•
Gọi
x
y
00
(;)
là toạ độ của tiếp điểm
⇒

yx
x
0
2
0
1
() 0
(2 3)
−
′
=
<
+


Δ
OAB cân tại O nên tiếp tuyến
Δ
song song với đường thẳng yx
=
− (vì tiếp tuyến có hệ số
góc âm). Nghĩa là:
yx
x
0
2
0
1
() 1
(2 3)

−
′
==−
xy
xy
00
⎡
+

⇒

00
11
20
=
−⇒
⎢
=
=
−⇒
⎢
⎣
=

+ Với
⇒

Δ
: (loại) xy
00

1; 1=− =
yxy1(1)
−=− + ⇔ =−
x
2
+ Với
⇒

Δ
: (nhận) xy
00
2; 0=− =
yxyx0(2)−=−+ ⇔=−−
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
yx2
=
−−
.

Câu 72. Cho hàm số y =
1
12
−
−
x
x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.

•
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại
M
xy C
00
(;)()∈ cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA B4O
=
.
Do
Δ
OAB vuông tại O nên
OB
A
OA
1
tan
4
=
=
⇒
Hệ số góc của d bằng
1
4
hoặc
1
4
− .
Hệ số góc của d là
yx

xx
0
22
00
111
() 0
4
(1) (1)
′
=− < ⇒− =−
−−

⇔

xy
xy
00
00
3
1( )
2
5
3( )
2
⎡
=− =
⎢
⎢
⎢
==

⎣

Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là:
yx yx
yx yx
13 1
(1)
42 4
15 1
(3)
42 4
⎡⎡
5
4
13
4
=
−++ =−+
⎢⎢
⇔
⎢⎢
⎢⎢
=
−−+ =−+
⎣⎣
.

Câu 73. Cho hàm số
x
y

x
23
2
−
=
−
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Trang 25