bài tập đạo hàm có hướng dẫn

BÀI TẬP ĐẠO HÀM
Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =
2x 1−
tại x
0
= 5
Giải: Tập xác định D =
1
x : x
2
 
≥
 
 
• Với
∆
x là số gia của x
0
= 5 sao cho 5+
∆
x
∈
∆
thì
•
∆
y =
2(5 x) 1+ ∆ −
-
10 1−
• Ta có:

y
x
∆
∆
=
9 2 x 9
x
+ ∆ −
∆
Khi đó: y’(5)=
x 0
y
lim
x
∆ →
∆
∆
=
( ) ( )
( )
x 0
9 2 x 3 9 2 x 3
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ − + ∆ +
∆ + ∆ +
• =
( )
x 0

9 2 x 9
lim
x 9 2 x 3
∆ →
+ ∆ −
∆ + ∆ +
=
( )
x 0
2
lim
9 2 x 3
∆ →
+ ∆ +
=
1
3
Bài 2 : Chứng minh hàm số
x
y
x 1
=
+
liên tục tại x
0
= 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm
đó.
HD: Chú ý định nghĩa:
x
=

x ,neáu x 0
-x ,neáu x<0
≥



Cho x
0
= 0 một số gia
∆
x
∆
y = f(x
0
+
∆
x) –f(x
0
) = f(
∆
x) –f(0) =
x
x 1
∆
∆ +
y
x
∆
∆
=

( )
x
x x 1
∆
∆ ∆ +
• Khi
∆
x
→
0
+
( thì
∆
x > 0) Ta có:
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
=
( )
x 0
x
lim
x x 1
+
∆ →

∆
∆ ∆ +
=
( )
x 0
1
lim
x 1
+
∆ →
∆ +
=1
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =
2
x ,
,

− ≥


neáu x 0
x neáu x<0
a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0 b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không
? Tại sao?
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,n
,n

− ≥





2
eáu x 0
-x eáu x<0
không có đạo hàm tại x = 0.
Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?
Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =
2
(x 1) ,
,
2
neáu x 0
(x+1) neáu x<0

− ≥




không có đạo hàm tại x
0
= 0,
nhưng liên tục tại đó.
HD:a) f(0) = (0-1)
2
= 1;
x 0

y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
= -2;
x 0
y
lim
x
−
∆ →
∆
∆
= 2
⇒
x 0
y
lim
x
+
∆ →
∆
∆
≠
x 0
y
lim

x
−
∆ →
∆
∆

⇒
hàm số không có
đạo hàm tại x
0
= 0
1
1
b) Vì
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=1;
x 0
lim f (x)
−
∆ →
=1; f(0) = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
∆ →
=

x 0
lim f (x)
−
∆ →
= f(0) = 1
⇒
hàm số liên tục tại x
0
= 0
Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =
cos x,
sin x
Neáu x 0
Neáu x<0
≥


−

a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =
4
π
HD:a) Vì
x 0
lim f (x)
+
→
=
x 0

lim cos x
+
→
=1 và
x 0
lim f (x)
−
→
=
x 0
lim( sin x)
−
→
−
= 0; f(0) = cos0 = 1
⇒
x 0
lim f (x)
+
→
≠
x 0
lim f (x)
−
→
⇒
hàm số không liên tục tại x
0
= 0 (hàm số gián đoạn tại x
0

= 0)
Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = (
2
x
-3x+3)(
2
x
+2x-1); Đs: y’ = 4x
3
-3x
2
– 8x+ 9
2. y = (
3
x
-3x+2)(
4
x
+
2
x
-1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x
3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =
( )
2
3x x 1
x
 
+ −

 ÷
 
Giải: y’ =
( )
2
3x ' x 1
x
 
+ −
 ÷
 
+
( )
2
3x x 1 '
x
 
+ −
 ÷
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 ÷
 

=
2 1
3x
x
2 x
 
 
+
 ÷
 ÷
 
 
=
( )
2
2
3 x 1
x
 
− + −
 ÷
 
+
1 3x
x x 2 x
+
3. y =
( )
1
x 1 1

x
 
+ −
 ÷
 
4. y =
( )
(
)
3
2
3
x 2 1 x 3x+ + +
5. y = (
2
x
-1)(
2
x
-4)(
2
x
-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x
6. y = (1+
x
)(1+
2x
)(1+
3x
)

7. y =
1 x
1 2x
+
+
8. y =
3
3
1 2x
1 2x
−
+
9. y =
x 1
x 1
+
−
; Đs:-
3
1
(x 1)(x 1)+ −
10.y =
2
2
1 x
1 x
−
+
; Đs:-
2 2 3

2x
(1 x )(1 x )− +
11.y = cos
2
1 x
1 x
 
−
 ÷
 ÷
+
 
; Đs:
2
1 1 x
sin 2
x(1 x ) 1 x
 
−
 ÷
 ÷
+ +
 
12.y = (1+sin
2
x)
4
; Đs:
2 3
(1 sin x) sin 2x+

13.y =sin
2
(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x
2
2
14.y =
sin x cos x
sin x cos x
−
+
; Đs:
2
2
(sin x cos x)+
15.y =
2
sin 3x
sin x.cos x
518) y = f(x) =
x
1 cos x−
; y’ =
( )
2
1 cos x x sin x
1 cos x
− −
−
519) y = f(x) =
tan x

x
; y’ =
2 2
x sin x cosx
x cos x
−
522) y = f(x) =
sin x
1 cos x+
; y’ =
1
1 cos x+
523) y = f(x) =
x
sin x cos x+
; y’ =
sin x cos x x(sin x cos x)
1 sin 2x
+ + −
+
526) y = f(x) =
4
1
tan x
4
; y’ = tan
3
x.
2
1

cos x
527) y = f(x) = cosx
3
1
cos x
3
−
; y’ = -sin
3
x
528) y = f(x) = 3sin
2
x –sin
3
x; y’ =
3
sin 2x(2 sin x)
2
−
529) y = f(x) =
1
3
tan
3
x –tanx + x; y’ = tan
4
x
535) y = f(x) = tan
x 1
2

+
; y’ =
2
1
x 1
2cos
2
+
539) y = f(x) = cos
3
4x; y’ = -12cos
2
4x.sin4x
544) y = f(x) =
1
1 tan x
x
 
+ +
 ÷
 
; y’ =
2
2 2
x 1
1 1
2x cos x 1 tan x
x x
−
   

+ + +
 ÷  ÷
   
672) y = f(x) = 3cos
2
x –cos
3
x; y’ =
3
2
sin2x(cosx-2)
682) y = f(x) =
2
2sin x
cos2x
; y’ =
2
2sin 2x
cos 2x
684) y = f(x) =
x x
tan cot
2 2
x
+
; y’ =
2 2
2(x cos x sin x)
x sin x
+

−
685) y = f(x) =
2
x x
sin cot
3 2
; y’ =
1 x 2x
cot sin
3 2 3
2
1 x
sin
2 2
−
….
689) y = f(x) =
2 4
1 tan x tan x+ +
; y’ =
2
2 2 4
tan x(1 2tan x)
cos x 1 tan x tan x
+
+ +
694) y = f(x) =
6 8
1 1
sin 3x sin 3x

18 24
−
; y’ = sin
5
3xcos
3
3x
705) y = f(x) = cosx.
(
)
2
1 sin x+
; y’ =
3
2
2sin x
1 sin x
−
+
706) y = f(x) = 0.4
2
2x 1
cos sin 0.8x
2
+
 
−
 ÷
 
; y’ = -0.8

2x 1
cos sin 0.8x
2
+
 
−
 ÷
 
2x 1
sin cos0.8x
2
+
 
+
 ÷
 
3
3
713) y = f(x) =
2
1
1 sin x+
; y’ =
( )
3
2
sin 2x
2 1 sin x
−
+

721) y = f(x) = sin
2
x.sinx
2
; y’ =2sinx(xsinx.cosx
2
+cosx.sinx
2
)
722) y = f(x) =
2cos x
cos2x
; y’ =
2sin x
cos2x cos 2x
BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG
1.Tìm đạo hàm của hàm số: y =
x
cot2x Giải: y’ = (
x
)cot2x+
x
(cot2x)’ =
1
2 x
cot2x
2
2 x
sin 2x
−

2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin
2
xcosx+cos
2
x
y’ = 2(sin
2
x)’cosx+3(sin
2
x)(cosx)’+(cos
2
x)’
= 6sinxcos
2
x-3sin
3
x-2cosxsinx =sinx(6cos
2
x-3sin
2
x-2cosx)
3. Cho hàm số : y =
2
x
x x 1+ +
Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R
y’ =
2
2
2

2x 1
x x 1 x.
2 x x 1
x x 1
+
+ + −
+ +
+ +
=
( )
2
3
2
2(x x 1) x(2x 1)
x x 1
+ + − +
+ +
=…
Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) y = sin
6
x + cos
6
x +3sin
2
xcos
2
x;
HD:
Cách 1: y = (sin

2
x)
3
+(cos
2
x)
3
+3sin
2
xcos
2
x= (sin
2
x+cos
2
x)(sin
4
x-sin
2
xcos
2
x+cos
4
x)
+3sin
2
xcos
2
x
= [(sin

2
x)
2
+[(cos
2
x)
2
+2sin
2
xcos
2
x-3sin
2
xcos
2
x] +3sin
2
xcos
2
x
=[(sin
2
x+cos
2
x)
2
-3sin
2
xcos
2

x] +3sin
2
xcos
2
x
= 1
⇒
y’ = 0 (đpcm)
Cách 2:
y’ = 6sin
5
x.(sinx)’ +6cos
5
x.(cosx)’+3[(sin
2
x)’.cos
2
x+sin
2
x(cos
2
x)’]
= 6sin
5
x.cosx -6cos
5
x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos
2
x+sin
2

x.2cosx.(cosx)’]
= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos
4
x) + 3[2sinx.cosx. cos
2
x-sin
2
x.2cosx.sinx]
= 6sinx.cosx(sin
4
x-cos
4
x) + 6sinx.cosx(cos
2
x – sin
2
x)
b) y = cos
2
x
3
π
 
−
 ÷
 
+cos
2

x
3
π
 
+
 ÷
 
+cos
2
2
x
3
π
 
−
 ÷
 
+cos
2
2
x
3
π
 
−
 ÷
 
-2sin
2
x.

Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos
2
(4x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos
2
(6x-1)
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)
Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình :
a) y =
2
2x x−
; y
3
y"+1 = 0. b) y = e
4x
+2e
-x
; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e
2x
sin5x; y"-4y'+29y
= 0
4
4
d) y =
3
x
[cos(lnx)+sin(lnx)];
2
x

y"-5xy'+10y = 0. e) y =
(
)
2
2
x x 1+ +
; (1+
2
x
)y"+xy'-4y
= 0
Bài : Cho hàm số
y= f(x) = 2x
2
+ 16 cosx – cos2x.
1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(
π
). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0.
Bài : Cho hàm số y = f(x) =
x 1
2
−
cos
2
x
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0
Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:
f(x) = 3x+
60
x

3
64
x
−
+5; b) f(x) =
sin 3x
3
+cosx-
3
cos3x
sin x
3
 
+
 ÷
 
Giải:
f’(x) = 3
2
60
x
−
+
2
6
64.3x
x
== 3
2
60

x
−
+
4
64.3
x
== 3
2 4
20 64
1
x x
 
− +
 ÷
 
f’(x) = 0
⇔
2 4
20 64
1
x x
 
− +
 ÷
 
= 0
⇔
x
4
-20x

2
+64 = 0 (x
≠
0)
⇔
…
{ }
2; 4± ±
5
5