[VNMATH.COM]-3PP-GIAI-PTH.pdf

Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 1
LI NểI U

Tht khú m phõn bit mt cỏch rch rũi gia cỏc loi toỏn: i s, Gii tớch,
S hc, Hỡnh hc cng nh T hp. Tuy nhiờn, nu ủ ý trong thi gian qua, cỏc
bi toỏn thi hc sinh gii cỏc cp núi chung thỡ hu nh bi toỏn thuc loi no ủu
tn ti mt li gii thuc loi tng ng cho nú. Vỡ vy, nu nm ủc ý ny thỡ
v
ic ủnh hng tỡm li gii ca thớ sinh cng d dng hn. Trờn tinh thn ủú, Tụi
cng ủó chia cỏc phng phỏp gii phng trỡnh hm ra thnh ba dng: Phng
phỏp ủi s, Phng phỏp gii tớch v Phng phỏp s hc. Trong sỏng kin kinh
nghim ln ny, Tụi la chn ba phng phỏp tng ủi ph bin ca ủi s ủ
gii thiu ủú l: Chn giỏ tr ủc bit ca ủi s; Lp phng trỡnh, h phng
trỡnh ủ gii v Vn dng tớnh ủn ỏnh, ton ỏnh ca hm s cng nh vic
xem tp xỏc ủnh, tp giỏ tr ca hm s mt khớa cnh khỏc.
Theo Tụi, ủi vi mt hc sinh gii, vic trỡnh by li li gii ca mt bi toỏn
khi ủó bit cỏch gii khụng phi l vn ủ khú. Vỡ vy, ủ bi vit khụng quỏ di
T
ụi ch ủa ra cỏch phõn tớch tỡm li gii m khụng trỡnh by li gii chi tit.
Mc dự rt nghiờm tỳc, c gng trong quỏ trỡnh lm sỏng kin kinh nghim
ny nhng khú trỏnh khi thiu sút rt mong s gúp ý ca ủng nghip.
Pleiku, Thỏng 03 nm 2011.
Ngi vit.

Hunh Thanh Luõn.
www.VNMATH.com

Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 2
NI DUNG CC PHNG PHP

Phng phỏp I: CHN GI TR C BIT CA I S.

Trc tiờn hóy xem cỏch tỡm li gii ca cỏc bi toỏn sau:
Bi toỏn 1: Tỡm hm s
(
)
: 0; ,
f
+

tha món ủiu kin sau:
( )
( ) ( ) ( )
1
1
2
3 3
, , 0
f
f xy f x f f y f x y
y x

=






= + >






(1)

Phõn tớch tỡm li gii:
Trong tớnh cht ủ cho cú cha phộp toỏn nhõn v thng gia hai ủi s nờn
ta s th chn mt ủi s bng ủn v ca phộp nhõn.
Ch
n
1
y
=
ta ủc mt tớnh cht ca hm:
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 1 , 0
f x f f x f f x
x

= + >


(2)
Nh vy ta cú nhu cu tớnh
(
)
(
)
3 , 1
f f
.
T tớnh cht (2) ca hm s, khi chn ủi s ln lt l
3
v
1
ta ủc:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 3 1 . 3
1 1 . 3 1
f f f f
f f f f

= +

= +





T ủú ta tớnh ủc
( ) ( )
1
1 3
2
f f
= =
.
Do ủú tớnh cht (2) tr thnh:
( ) ( ) ( )
1 1 3 3
, 0 , 0
2 2
f x f x f x f f x x
x x

= + > = >


(3)
Theo tớnh cht (3) thỡ tớnh cht (1) ca hm s tr thnh:
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 , , 0 2 2 2 , , 0
f xy f x f y x y f xy f x f y x y
= > = >
(4)
nhỡn cho d ta ủt
(
)
(
)
(
)
0; 2 , 0
x f x x

+ = >
g: ;g

. Khi ủú hm
(
)
y g x
=
cú cỏc tớnh cht sau:
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
, , 0
3
, 0
1 3 1
g xy g x g y x y
g g x x
x
g g
= >

= >





= =


Ta cú:
( ) ( ) ( )
2
3 3
. , 0 1 , 0 1, 0
g x g x g x g x x g x x
x x

= > = > = >





Vỡ hm nhõn tớnh luụn nhn giỏ tr khụng õm.
n ủõy ta ủó tỡm ra li gii cho bi toỏn.
Lu ý: Dự hm
(
)
y g x
=

nhõn tớnh nhng ta khụng suy ra ủc l hm ly tha vỡ
ta ch
a cú tớnh liờn tc ca nú.
Bi toỏn 2: Tỡm hm s
: ,
f


tha
( )
(
)
( ) ( )
2
2
2
2 , ,f x y x yf x f y x y
= +



(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
T tớnh cht ca hm s m ủ cho ta s ngh ủn vic th chn hai ủi s
bng nhau. Khi ủú ta ủc tớnh cht sau.
( ) ( )
2
0 ,f f x x x
=

(2)
Nh vy ta cú nhu cu tớnh
(
)
0
f
.
Theo tớnh ch
t (2) ta cú:
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 1 0 0
f f f f
= = =


hoặc
(
)
1: 0 0
TH f
=

www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 4
T tớnh cht (2) ta ủc
(
)
, .
f x x x
=


(
)
2: 0 1
TH f
=

Theo tớnh cht (2) thỡ vi mi s thc bt k
x
thỡ
( )
2
1
f x x
=


tc
(
)
1.

f x x
=

Ta cn lu ý rng kt qu ta tỡm ủc trờn cha xỏc ủnh hm s vỡ vi mi
phn t no ủú ca tp xỏc ủnh ta vn cha xỏc ủnh ủc nh ca nú. Khi gp
trng hp ny ta gii quyt nh sau:
u tiờn ta th xem hai hm s
(
)
( )
1,
1,
f x x x
f x x x
= +


=


cú phi l nghim ca
phng trỡnh hay khụng. Nu chỳng l nghim thỡ ta s ủi chng minh hoc
(
)
1,f x x x
= +

hoc
(
)

1,f x x x
=

bng phn chng. Tc gi s tn
ti hai s
,
a b
sao cho
(
)
( )
1
1
f a a
f b b
= +



=


ri ủi tỡm mõu thun. Cũn nu thy hm s
no khụng ph
i l nghim thỡ ta s chng minh khụng xy ra trng hp tng
ng. Vớ d trong bi ny hm
(
)
1,f x x x
=

khụng l nghim nờn ta s
chng minh
(
)
1,f x x x


bng phn chng. Tht vy, gi s
(
)
: 1
t f t t
=

ta cú:
T tớnh cht (1) chn
0
x t
y
=


=

thỡ ta ủc
(
)
2 2
1

f t t
= +
, cũn chn
0
x
y t
=


=

thỡ ta li
cú
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 1 4 1
f t t f t t t t t
= + = + = +


.
Suy ra
2 2
1 4 1 0
t t t t
+ = + =

Nh
vy :
(
)
1 0 0 1
f
= =
(mõu thun).
n ủõy ta ủó tỡm ra li gii cho bi toỏn.
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 5
Bi toỏn 3: Tỡm hm s
: ,
f


tha
( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
2 , ,f x y f x f x y yf y x y
+ = + +

(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
T tớnh cht ca hm s m ủ cho ta s ngh ủn vic th chn hai ủi s ủi
nhau. Khi ủú ta ủc cỏc tớnh cht sau.
Trong (1) nu chn
x t
y t
=


=

vi
t
bt k thỡ
( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
0 ,f f t f t tf t t
=

. (2)
Cũn nu chn
x t
y t
=

=

vi
t
bt k thỡ
( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
0 ,f f t f t tf t t
= +

(3)
T ủú suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
, , 0
tf t tf t t f t f t t
= =

(4)
V do

ủú cỏc tớnh cht (2), (3) ủc vit li.
( )
(
)
( ) ( )
2
2
0 , 0
f f t tf t t
= +
(5)
Ta cn tớnh
(
)
0
f
. Vỡ tớnh cht (5) ch ủỳng vi
0
t

nờn ủ tớnh
(
)
0
f
ta s bin
ủi (5) nh sau.
( ) ( )
( )
( )

( )
( )
2
2 2
2 2
0 , 0 0 , 0 0 0
2 4 4
t t t
f t f t f t f

= =



V do ủú vi mi s thc bt k
0
t

thỡ
( ) ( )
(
)
( )
2
0
0
f t
f t tf t
f t t
=

= +

=



n ủõy, ging nh ủó lu ý phn trc ta s th v nhn thy c hai
hm
(
)
(
)
0, ,f x x f x x x
= =
và

ủu l nghim ca phng trỡnh nờn ta s
chn cỏch chng minh sau.
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 6
Gi s
(
)
( )

0
0:
f a
ab
f b b
=




=


.
Theo tớnh cht (1) nu chn
x a
y b
=


=

thỡ ta cú
( )
(
)
( )
2
2
0

f a b b f a b a b
+ = + = +

v do ủú
( )
2
2
2
a b b
a b b a b
a b b
+ =

+ = =

+ =


Cng li t (1) nu chn
2
x b
y a b
=


= =

thỡ
( )
(

)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 2 2 3
3 0 3 3 3 0
f b f b f b bf b b bf b
f b b f b b b b b
= =
= = = = ><

Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii.
Bi toỏn 4: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4 , ,f f x y f x y yf x x y
+ = +

(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
Do trong tớnh cht ca hm m gi thit cho cú dng vi phõn cp 2
(
)
(
)
{
}
f f x y
+ nờn ta th chn ủi s sao cho hai s hng
(
)
(
)
f f x y
+
v
(
)
2
f x y


trit tiờu.
Ta thy
( ) ( )
2 2

1
2
f x y x y y x f x

+ = =

, nờn vi
t
l mt s thc tựy
ý theo tớnh ch
t (1) chn
( )
2
1
2
x t
y x f x
=




=



ta ủc
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm
Huúnh Thanh Lu©n

Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©n

Trang 7
( ) ( )
(
)
( )
2
2
0
2 0
f t
t f t f t
f t t
=

 
− = ⇒

 
=



Cách giải quyết khi gặp tình huống này ta ñã biết.
Gi
ả sử:
(
)

( )
2
0
0:
f a
ab
f b b
=


∃ ≠

=


. Từ tính chất (1) của hàm số
*) Nếu chọn
x a
y b
=


=

thì có
(
)
(
)
(

)
(
)
2
4
f f a b f a b bf a
+ = − +
(
)
2 2
0
f a b b
⇒ − = ≠

(
)
(
)
2
2 2
f a b a b
⇒ − = −
(
)
2
2 2 2
2
a b b a b
⇒ − = → =

T
ức ta có tính chất sau: Nếu
( )
( )
2
0
0
ab
f a
f b b

≠

=


=

thì
2
2
a b
=
(2)
*) Nếu chọn
2
x a
y b
=



=

thì có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 8
f f a b f a b bf a
+ = − +
(
)
2 0
f b
⇒ =

Suy ra
(
)
( )
( )
2
. 2 0
2 0

b b
f b
f b b

≠

=


=

theo (2) ta có
( )
2
1
2 2 .
2
b b b
= ⇒ =

www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 8
Nh vy ta li ủc tớnh cht mi ca hm s ủó cho
( )
2

1 1 1
2 2 4
1
0,
2
f
f x x


= =






=


.
*) C
ng li t (1) nu chn
1
2
0
x
y

=

=

thỡ
( )
1 1 1
0
2 4
2
f f



= ><






=f
Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii.
Bi toỏn 5: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,f f x y f x f y f x f y xy x y
= +


(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
Cng cú nhn xột tng t bi toỏn 4, tuy nhiờn vi gi thit ny Ta khụng
ch
n ủc giỏ tr ca ủi s lm cho hai s hng no ủú trit tiờu ủc nờn Ta ch
cú th chn ủ xut hin cỏc s hng ủc bit, ri sau ủú tỡm cỏch tớnh giỏ tr hm
tng ng ủ chuyn v dng vi phõn cp 1.
Chn hai ủi s bng nhau:
( )
(
)
( )
2
2
0 ,f f f x x x

=



. (2)
Cn tớnh
(
)
0
f
. t
(
)
0
f a
=
Ta ghi li tớnh cht (2)
( ) ( )
2
2
,f a f x x x
=



(3)
T tớnh cht (3) ta cú:
( ) ( )
( )
2

2 2 2
2
2 2 4 2 2
*) 0 ,
0
*)
2
x f a a f x x a x
a
x a f a a a a a a
a
= = =

=

= = =


=



Ta d
ủoỏn rng
0
a
=
.
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 9
Cng li t (3),
(
)
2
2 2 4 2
x a f a a a

= =

, cn tớnh
(
)
2
f a
. Vỡ
(
)
(
)
(
)
2
f a f f a
= nờn t (1) ta chn
0

x a
y
=


=

. Khi ủú,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 3
0 0
f f a f a f f a f f a a a a
= + = +

Suy ra
(
)

2
2 3 4 2
0
0
2
a a a a a
a
a
a

+ = +


=

=



=



.
Nh vy, (3) ủc vit li, vi mi s thc x bt k thỡ
( )
(
)
( )
2

2
f x x
f x x
f x x
=
=


=



.
Cỏch x lý tớnh cht ny ủó tng ủi quen thuc. Do ta nhn thy hm
(
)
,f x x x
=

khụng l nghim ca phng trỡnh nờn Ta lm theo hng.
Gi
s
(
)
0 0 0
: .
x f x x
=

T (1) cú:

( )
( ) ( )
0
0 0
0 0
0
*) .
0
0
*)
x x
f x x
y
x
f x f x
y x
=

=

=

=

=

=


Suy ra

(
)
0 0 0
0
x x x
= =
. Vi nhng tớnh cht ủó tỡm ra thỡ ta cú th tỡm
ủc li gii cho bi toỏn.
Tng kt:
Mt cỏch tng t nh vic bin ủi khi gii Phng trỡnh s m Ta ủó
quen thuc, nhm chuyn ủiu kin ca gi thit thnh cỏc ủiu kin ủn gin hn,
thỡ trong gi
i Phng trỡnh hm, vic la chn cỏc bin s phự hp vi mc ủớch t
tớnh cht ca hm m ủ cho Ta thu ủc cỏc tớnh cht khỏc ca hm ủn gin hn
m cú li trong vic tỡm ra hm s.
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm
Huúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©n

Trang 10
Hai ñịnh hướng chính cho Ta chọn ñối số, một là: chọn ñối số sao cho xuất
hiện các giá trị hàm có thể tính ñược; hai là: xuất hiện các số hạng có thể triệt tiêu
nhau. Lưu ý rằng việc lựa chọn phải có tính kế thừa, tức là việc chọn ñối số sau
phải lưu ý dùng kết quả ñã chọn trước.

www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 11
Phng phỏp II: LP PHNG TRèNH H PHNG TRèNH.

Chc khụng cn phi chỳ thớch thờm gỡ vỡ phng phỏp gii bi toỏn bng
cỏch lp phng trỡnh v h phng trỡnh ủó ủc lm quen vi ngi hc toỏn t
l
p 9, Ta hóy xem phng phỏp ủú ỏp dng trong loi toỏn ny nh th no qua cỏc
bi toỏn sau:
Bi toỏn 6: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2
) ,
) 1 1,
1
) , 0
i f x f x x
ii f x f x x

f x
iii f x
x x
=
+ = +

=


.



Phõn tớch tỡm li gii:
Ta tớnh
1
, 1;0
t
f t
t
+




.theo
(
)
f t
bng hai cỏch.

(
)
( )
( )
( )
( )
1
2
2 2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
: 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
:
1 1 1 1 1
f t
t
C f f f
t t t t
f t f t
t
f f f
t t

t
t t t
C f
t
t t t t t
t t t t t
+

= + = + = +


+ +




+ +
+
+ + +

= = = = =




+ + + + +


Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii.
Bi toỏn 7: Tỡm hm s

: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
, ,f x y x f x y f y x y
=


(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
Trc tiờn ta s dựng phng phỏp I ủ chuyn tớnh cht ca hm m ủ cho
thnh cỏc tớnh cht d dựng.
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm
Huúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©n

Trang 12
Trong (1),
(
)

(
)
3 2
0 ,y f x x f x x
= → = ∀ ∈
ℝ
và do ñó tính chất (1) cũng có
thể viết.
(
)
(
)
(
)
3 3 3 3
, ,f x y f x f y x y
− = − ∀ ∈
ℝ

hay
(
)
(
)
(
)
, ,f x y f x f y x y
− = − ∀ ∈
ℝ
(2)

Trong (2),
(
)
(
)
(
)
0 0; 0 ,x y f x f y f y y
= → = = → − = − ∀ ∈
ℝ
và do ñó (2) ñược
viết
(
)
(
)
(
)
, ,f x y f x f y x y
+ = + ∀ ∈
ℝ
(3)
Hàm có tính cộng tính nên ta dễ dàng có ñược
(
)
(
)
, ,f kx kf x x k
= ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℚ

.
Bây giờ ta tổng kết lại các tính chất của hàm ñã tìm ñược:
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
3 2
, ,
,
, ,
, ,
f x y x f x y f y x y
f x x f x x
f x y f x f y x y
f kx kf x x k

+ = + ∀ ∈


= ∀ ∈


+ = + ∀ ∈



= ∀ ∈ ∀ ∈




ℝ
ℝ
ℝ
ℝ ℚ

Với những tính chất ñó ta có thể tính
( ) ( )
(
)
3 3
1 1
f x x− + + theo
(
)
f x
bằng hai
cách như sau (việc lựa chọn biểu thức ñối số là
(
)
(
)
3 3
1 1

x x
− + +
sẽ ñược giải thích
khi xem xong hai cách tính).
Cách 1:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 2
1 1 2 6 2 6 2 6 ,f x x f x x f x f x x f x f x x
− + + = + = + = + ∀ ∈
ℝ

Cách 2:
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3 3 3 2 2
2 2
2

1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 4 1 ,
f x x f x f x x f x x f x
x f x f x f x f x f x xf x
− + + = − + + = − − + + +
= − − + + + = + + ∀ ∈
   
   
ℝ

www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 13
T ủú ta cú:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 6 2 2 4 1 ,x f x f x x f x xf x

+ = + +


(
)
(
)
1 ,f x f x x
=


Ta
ủó tỡm ủc li gii cho bi toỏn.
Lu ý: Vic la chn biu thc ủi s ủ tớnh nh trong hai vớ d trờn xut phỏt t
cỏc tớnh cht ca hm s m ta cú.
Bi toỏn 8: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
2 4
1 2 ,x f x f x x x x
+ =

(1)

Phõn tớch tỡm li gii:
Tớnh cht (1) cú th vit
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4
1 1 2 1 1 ,x f x f x x x x
+ =

(2)
Nh vy, vi mi s thc bt k
x
ta cú h.
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2 4
1 2
1 1 2 1 1
x f x f x x x

x f x f x x x

+ =


+ =



nh thc ca h:
( )
( )( )
( )
( )( )( )
2
2 2 2 2 2
2
1
1 1 ; 1 1 1
1 1
f x
x
D x x x x D x x x x x
x
= = + = +


Suy ra,
(
)

2 2
1 , : 1 0
f x x x x x
=

.
Nu gi
,
a b
l hai nghim ca pt
2
1 0
x x
=
. Khi ủú ta cú:
(
)
(
)
2
1 , ,
f x x x a b
= .
xỏc ủnh giỏ tr ca hm ti
,
a b
ta thay nú vo lp h ủ gii. Lu ý dựng ủnh
lý Viete.
(
)

(
)
( ) ( )
2 4
2 4
2
2
x a a f a f b a a
x b b f b f a b b

= + =


= + =



www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 14
H cú
x y
D D D
= =
nờn nghim ca h chớnh l nghim ca phng trỡnh
( ) ( )

(
)
( )
2 4
4 2
,
2
2
f a
a f a f b a a
f b a a a


=


+ =

=




Bi toỏn
ủó tỡm ủc li gii.

n ủõy chc ta s ủt cõu hi l nu h ta lp cú ủnh thc
0
D
=

, hay
núi cỏch khỏc l ta khụng thu thờm ủc tớnh cht no mi khi tin hnh ủi
bin thỡ vn ủ s gii quyt ra sao? Hóy tỡm hiu chỳng qua cỏc bi toỏn tip.

Bi toỏn 9: Tỡm hm s
{
}
: \ 2 ,
f


tha
( )
2 5
3, 2
2
x
f f x x
x


+ =




Phõn tớch tỡm li gii:

u tiờn ta s chun húa, tc lm cho v phi bng
0

.
( ) ( )
2 5 2 5 3 3
3, 2 0, 2
2 2 2 2
x x
f f x x f f x x
x x


+ = + =




Nu xột hm mi
( ) ( )
3
, 2
2
g x f x x
=
thỡ hm ny cú tớnh cht:
( )
2 5
0, 2
2
x
g g x x
x

+ =




Ta lu ý l dóy
1
1
2
2 5
, 1
2
n
n
n
x x
x
x n
x
+
=




=

tun hon chu k
0
2
n
=
nờn ta khụng thu
ủc tớnh cht mi ca hm t vic ủi bin. Lỳc ny ta cn hng ủng thc hin
nhiờn sau:
[ ]
1
0
2
a b a a b
+ = =
.
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 15
Do ủú,
( )
2 5
0, 2
2
x
g g x x

x


+ =




( ) ( )
1 2 5
, 2
2 2
x
g x g x g x
x


= +






Ta s chng minh
( ) ( )
1 2 5
, 2
2 2
x

g x g x g x
x


= +






( ) ( )
1 2 5
, 2
2 2
x
g x k x k x
x


= +





,
vi
(
)

y k x
=
l hm s tựy ý xỏc ủnh trờn
{
}
\ 2

.
Tht vy.
|

Ta ch vic chn hm
(
)
(
)
, 2
k x g x x
=

|


( ) ( ) ( )
2 5 1 2 5 1 2 5
2,
2 2 2 2 2
x x x
x g x g k x k k k x
x x x

=






( ) ( )
2 5
2
2
x
k x k g x
x


= =




Th mt bi toỏn na ủ tỡm cõu tr li.
Bi toỏn 10: Tỡm hm s
{
}
: \ 1;0 ,
f

tha
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0, 1;0
f x f x f x x

+ + =
,
trong ủú
( )
1
, 1
1
x x
x


=
+

Phõn tớch tỡm li gii:
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 16
Cng tng t nh bi toỏn 9, dóy s tng ng ủõy
( )
1
1
1
, 1
n n
x x
x x n

+
=



=


l
tun hon chu k
0

3
n
=
, nờn Ta cng khụng gii bi ny bng phng phỏp lp h.
Hóy dựng ủng thc sau:
( )
1
0 2
3
a b c a a b c
+ + = =

Khi ủú,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0, 1;0
f x f x f x x

+ + =

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
2 , 1;0
3
f x f x f x f x x


=


( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
2 , 1;0
3
f x g x g x g x x


=


trong ủú
(

)
y g x
=
l hm s tựy ý xỏc ủnh trờn
{
}
\ 1;0


.
Hóy chng minh ủiu tng ủng th hai ủ hiu cỏch chn hng ủng thc.

www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 17
Phng phỏp III: VN DNG TNH N NH, TON NH CA
HM S; VIT LI TP XC NH, TP GI TR CA HM S
DI DNG KHC.

Trong loi ny ta s tỡm nhng tớnh cht ca hm m cú th tr li hai cõu hi
sau:
*) Cú hay khụng s
a
sao cho
(
)

f a b
=
vi s
b
ta mun no ủú?
*) Mt s thc bt k cú th biu din nh th no thụng qua cỏc giỏ tr ca hm?

Bi toỏn 11: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
(
)
2 , ,f f x y x f f y x x y
+ = +

(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
T gi thit Ta nhn thy nu tn ti s
(
)
: 0

a f a
=
, thỡ trong (1) vi vic
ch
n
x a
=
ta cú:
(
)
(
)
(
)
2 ,f y a f f y a y
= +


(
)
(
)
(
)
,f y a a f f y a y
= +


(
)

(
)
(
)
,f f y a f y a a y
=




,
y


ủt
(
)
x f y a
=
thỡ ta ủc:
(
)
.
f x x a
=

Vn ủ bõy gi l liu cú s
a
nh ủó yờu cu. Hn na, vic ủt
(

)
,x f y a y
=


liu ủó quột ht cỏc giỏ tr trong tp xỏc ủnh ca hm. Hai
thc mc ủú s ủc gii quyt nu hm l ton ỏnh.
V
i s thc
y
bt k ta cn tỡm
(
)
: .
x f x y
=



s dng ủc gi thit ca bi toỏn ta s tỡm
x
hai dng.
Dng 1:
(
)
x f

= +

www.VNMATH.com

Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 18
Khi ủú ta cú
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2f x f f f f

= + = +

(
)
(
)
( )
2
0
f f y
f

+ =


=


Cần chọn , :


Hay
(
)
0
2
?
y f



=



=

, dng ny khụng chn ủc

.
Dng 2:
(
)
x f

=

Khi ủú,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
f x f f f f

= = +
( )
( )
( )
(
)
( )

0
2
2
0
f y
f f y
f
f








+ =
=



+ =



=

Cần chọn , :

Bi toỏn ủó tỡm ra ủc li gii.
Du hiu 1: Nu trong ủng thc th hin tớnh cht ca hm m tn ti bin ủc
l
p khụng phi l ủi s ca hm thỡ cú kh nng hm l song ỏnh.
Bi toỏn 12: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
2
, ,f x f y xf x y x y
+ = +

(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
T (1) chn
0
x
=
ta ủc
(
)
(

)
,f f y y y
=


(2)
Hm s cú tớnh cht (2) d dng chng minh l mt song ỏnh.
Xột s
(
)
: 0.
a f a
=
(tớnh ton ỏnh ca hm s)
T (1) Ta cú:
( )
0
*) 0 .
x
f a
y a
=

=

=


www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 19
( )
( )
2 2
*) 0 0.
0
x a
f a a f a a a a a
y
=

+ = = + = =

=


(
)
(
)
2
*) 0 ,y f x xf x x
= =


Suy ra, v

i mi s thc
x
thỡ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
.
f x xf x f f x f x
= =
,
vỡ
(
)
(
)
x f f x
=
( ) ( )
(
)
( )
(

)
(
)
2
.f x f f x f f x= =
( )
(
)
2
2
x f x
= , vỡ tớnh ủn ỏnh ca hm
(
)
f x x
=

Vic gii quyt vn ủ ny s khụng nhc li ti ủõy.

Du hiu 2: Nu
(
)
(
)
= +

,f f x ax b x thỡ
f
l song ỏnh.
Bi toỏn 13: Tỡm hm s

: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
(
)
2 , ,f x f y f x x f y x y
= + +



Phõn tớch tỡm li gii:
Trong (1) nu chn
0
y
=
ta ủc.
(
)
(
)
2 ,f x a f x x a x
= + +

, ủõy ta ký hiu
(
)
0
f a
=

(
)
(
)
2 ,f x a f x x a x
= +


iu ny cú ngha l vi mi s thc
t
luụn tn ti
(
)
(
)
, : 2 .
u v f u f v t
=

Hay tp xỏc ủnh
(
)

(
)
{
}
=

2 : ,f x f y x y . Do vy m ta bt ủu t:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, : 2
x y f f x f y f f x f y f y
=


(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
f f x f y f x f y f y f f x f y f x
= + + = +
Nh vy yờu cu ủt ra l phi tớnh
(
)
(
)
(
)
.
f f x f y
Ta cú:
www.VNMATH.com

Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
f f x f y f f x f x f y
= + +
Yờu cu tip theo l tớnh
(
)
(
)
f f x
.

Trong (1) vi vic chn
(
)
0
x f y
=
ta ủc
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 2 ,f f f y f y f y y
= + +

, tc
(
)
(
)
(
)
,f f x f x a x
= +

Cui cựng ta ủó tớnh ủc
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 , ,f f x f y f x f y a x y
= +




Vỡ tp
(
)
(
)
{
}
=

2 : ,f x f y x y nờn t ủú ta suy ra
(
)

= +

,f x x a x .
Bi toỏn ủó tỡm ra li gii.
Bi toỏn 14: Tỡm hm s
(
)
(
)
: 0; 0; ,
f
+ +
tha
(
)
(
)
(
)
(
)
, , 0
xf xf y f f y x y
= >
(1)
Phõn tớch tỡm li gii:
Tớnh cht (1) ủc vit li
( )
( )
( )

( )
(
)
(
)
( )
( )
, , 0 , , 0
f f y
xf xf y f f y x y x x y
f xf y
= > = >

Tc ta cú
( )
(
)
( )
0; : , 0
f u
u v
f v


+ = >



.
Tng t bi trc ta li bt ủu:

(
)
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
( )
1
, 0: . .
f y f y
x y f f f x f f y f x
f x f x f x

> = =



Cn tớnh
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
a
f f y f
f y f y

= = , ủõy ta kớ hiu
(
)
1
a f
=
.
Nh
vy cui cựng ta tớnh ủc
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 21
(
)
( )
( )
( )
, , 0
f y
a
f x y
f y
f x
f x

= >

Suy ra
( )
, 0.
a
f x x
x
= >
Bi toỏn ủó tỡm ra li gii.
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 22
MT S BI TP T LUYN

Bi toỏn 15: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
, ,xf y yf x x y f x f y x y
+ = +



Bi toỏn 16: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,f x yf x f f x xf y x y
+ = +

Bi toỏn 17: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1
) , ,
) 0
i f x f y f y f x y x y
ii f

+ =
là tập hữu hạn.


Bi toỏn 18: Tỡm hm s
*
: ,

f

tha
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
) 1 1
1 1 1
) ; , : 0
)
i f
ii f f f x y xy x y
x y x y
iii x y f x y xyf x f y
=




= + +



+




+ + =

Bi toỏn 19: Tỡm hm s
f
tha mt trong cỏc tớnh cht sau:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 5 4 3,
1
2 1, 1
1
a f x xf x x x
x
b xf x f x
x
+ = +


+ =

+



( )

3 3
, 1
1 1
x x
c f f x x
x x
+

+ =

+


( ) ( )
1
1 , 0;1
x
d f x f x x
x


+ = +



www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 23
Bi toỏn 20: Tỡm hm s
: ,
f


tha
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2
, ,f xf x f y f x y x y
+ = +



Bi toỏn 21: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
1, ,f x f y f f y xf y f x x y
= + +



Bi toỏn 22: Tỡm hm s
(
)
(
)
: 0; 0; ,
f
+ +
tha
(
)
( ) ( )
( )
. , , 0
f x
f yf y f f x x y
y

= >



Bi toỏn 23: Tỡm hm s
: ,
f


tha
( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
2 , ,f x f y f y xf y f x x y
+ = + +





Bi toỏn 24: Tỡm hm s
: ,
f


tha
(

)
(
)
(
)
, ,f xf y x xy f x x y
+ = +



www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Trang 24
KT LUN

Cỏc phng phỏp vit trong sỏng kin ny Tụi ủó dựng ging dy cho ủi
tuyn hc sinh gii Toỏn ca trng THPT chuyờn Hựng Vng nm 2011. a s
cỏc em hi
u bi, vn dng ủc phng phỏp v t ủú t tin hn khi gp cỏc bi
toỏn v phng trỡnh hm. Hu ht cỏc em ủu gii quyt ủc cỏc bi toỏn phng
trỡnh hm trong cỏc k thi chn ủi tuyn ca trng v k thi hc sinh gii cp
Tnh va qua.
www.VNMATH.com
Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân

Trang 25
TI LIU THAM KHO

1. Nguyn Vn Mu, Phng trỡnh hm, NXB Giỏo dc nm 1999.
2. Nguyn Trng Tun, Mt s bi toỏn hm s qua cỏc k thi Olimpic, Nh xut
b
n Giỏo dc nm 2004.
3. B.J. Venkatachala, Functional Equations - A problem Solving Approach,
PRISM 2002.
4. Conhiagghin , Cỏc ủ vụ ủch Toỏn cỏc nc, Nh xut bn Hi phũng 1993.
5. Cỏc tp chớ Kvant, Toỏn hc v tui tr, t liu Internet.






www.VNMATH.com