Đề thi HSG cấp huyện năm học 2011-2012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HÀ TRUNG Năm học 2011-2012
Môn thi: Toán. Thời gian: 150 phút
Câu 1: (3,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a. (3
2 2 3)(3 2 2 3)
− +
b.
2 5 24
12
+ −
c.
( )
12 2 14 2 13 12 2 11 11 13
 
+ + − + +
 ÷
 
d.
2 2
os
1
1 cot 1
Sin x C x
gx Tgx
+ −
+ +
Câu 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P=
( )
2
3 3

:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
− +
 
−
−
 ÷
+
 ÷
−
− +
 
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tính giá trị của biểu thức P khi x=5-2
6
; y=5+2
6
c. Chứng minh 0
1P
≤ <
Câu 3: (2,5 điểm)
a. Chứng minh rằng 2a
4
+1
≥
2a

3
+a
2
b. Cho x>y và x.y = 1. Chứng minh rằng
2 2
2 2
x y
x y
+
≥
−
Câu 4: (3,0 điểm)
a. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 luôn là một số chính phương
b. Giải phương trình
15 3 6x x
− + − =
.
Câu 5: ( 3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy P trên cạnh AB và
Q trên cạnh AC sao cho
·
PMQ
=60
0
a. Chứng minh
·
·
BPM CMQ
=
.
b. Chứng minh tam giác MBP đồng dạng với tam giác QCM và PB.CQ có giá trị không đổi khi

P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC.
c. Kẻ MH
⊥
PQ. Chứng minh
MBP
∆
đồng dạng với
QMP
∆
;
QCM
∆
đồng dạng với
QMP
∆
.
d. Chứng minh độ dài MH không đổi khi P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho
·
PMQ
=60
0
Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH (H
∈
BC) và HC = 2HB. Đường thẳng qua
C vuông góc với AC và đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt nhau tại D. Gọi K là hình
chiếu vuông góc của D trên BC.
a. Chứng minh 3DK.AH = BC.BK
b. Tam giác DHC là tam giác gì?
Câu 7: (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

2 2
1 1
1 1
x y
 
 
− −
 ÷
 ÷
 
 
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HÀ TRUNG Năm học 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu Nội dung Điểm
Câu 1:
(3,5 đ)
a. (3
2 2 3)(3 2 2 3)
− +
=
( )
2
3 2
-
( )
2
2 3
=18 - 12 = 6

0,5
b.
2 5 24
12
+ −
=
( )
2
2 3 2
2 3 2 1
2
2 3 2 3
+ −
+ −
= =
1,0
c.
( )
12 2 14 2 13 12 2 11 11 13
 
+ + − + +
 ÷
 
=
=
( )
2 2
12 2 ( 13 1) ( 11 1) 11 13
 
+ + − + +

 ÷
 
=
(
)
( )
12 2 13 2 11 1 11 13
+ + − − +
=
(
)
( )
2
( 13 1) 11 1 11 13
+ − − +
=
( ) ( )
13 1 11 1 11 13
+ − − +
=
( ) ( )
13 11 11 13
− +
=13-11=2
0.25
0.25
0,25
0,25
d.
2 2

os
1
1 cot 1
Sin x C x
gx Tgx
+ −
+ +
=
2 2
os
1
cos sinx
1 1
sinx cos
Sin x c x
x
x
+ −
+ +
=
=
3 3
os
1
sinx cos sinx cos
Sin x C x
x x
+ −
+ +
=

2 2
( cos )(sin sin cos os )
1
sinx cos
Sinx x x x x c x
x
+ − +
−
+
=
2 2
sin sin cos os 1 sin cosx x x c x x x
− + − = −
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2:
(3,0 đ)
a. (1,25đ): ĐKXĐ x; y
0
≥
; x
≠
y
P=
( )
2
3 3
:

x y xy
x y
x y
y x
x y x y
− +
 
−
−
 ÷
+
 ÷
−
− +
 
=
=
( )( ) ( )( ) 2
:
( )( )
x y x y x y x xy y x xy y xy
x y x y x y x y
 
− + − + + − + +
−
 ÷
 ÷
− − + +
 
=

:
x xy y x xy y
x y
x y x y
 
+ + − +
+ −
 ÷
 ÷
+ +
 
=
2
.
x xy y x xy y x y
x y x xy y
+ + − − − +
+ − +
=
.
xy x y
x y x xy y
+
+ − +
=
xy
x xy y
− +
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
b. (0.5 đ): x=5-2
6
=
( )
2
3 2
−
y=5+2
6
=
( )
2
3 2
+
̃
P=
3 2
5 2 6 5 2 6 1
−
− + + −
=
1
9
0,25
0,25
c. (1,25đ): Ta có x; y
0 0xy

≥  ≥
(1)

( )
2
x xy y x y xy
− + = − +
Ta có x
≠
y
̃
( )
2
x y
−
>0 ;
0xy
≥
̃
( )
2
x y xy
− +
>0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
xy
x xy y
− +
0
≥

hay P
≥
0 (*)
Xét P-1 =
xy
x xy y
− +
-1=
xy x y xy
x xy y
− − +
− +
=
=
2
2 ( )xy x y x y
x xy y x xy y
− − − −
=
− + − +
Ta có -
( )
2
x y
−
<0 (vì x
≠
y) (3)
Từ (2) và (3) suy ra
2

( )x y
x xy y
− −
− +
<0 hay P-1<0
⇔
P<1
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3:
(2,5đ)
a. (1,25 đ):
Xét 2a
4
+1 -(2a
3
+a
2
) = a
4
-2a
2
+ 1 + a
4
-2a
3
+ a

2
=
=(a
2
- 1)
2
+ (a
2
-a)
2
Ta có (a
2
- 1)
2

≥
0 và (a
2
-a)
2
≥
0
a R
∀ ∈
̃
2a
4
+1 -(2a
3
+a

2
)
≥
0
⇔
2a
4
+1
≥
2a
3
+a
2
0,25
0,25
0,5
0,25
b. (1,25 đ) Cho x>y và x.y = 1. Chứng minh rằng
2 2
2 2
x y
x y
+
≥
−
Ta có x.y =1
̃
( )
2
2 2

2x y xy
x y
x y x y
− +
+
=
− −
=
2
x y
x y
− +
−
Vì x>y nên x-y>0
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có
2
x y
x y
− +
−
2 2
≥
Vậy
2 2
2 2
x y
x y
+
≥
−

0,5
0,25
0,25
0,25
Câu 4:
(3,0 đ)
a. (1,5 đ)
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n; n+1; n+2; n+3
Ta có n(n+1)( n+2)( n+3)+1 = (n
2
+3n)(n
2
+3n+2) +1
= (n
2
+3n+1-1)(n
2
+3n+1+1) +1
=(n
2
+3n+1)
2
-1 +1=(n
2
+3n+1)
2
Vậy tích của 4 số tự nhiên cộng thêm 1 là số chính phương
0,25
0,25
0,5

0,25
0,25
b.(1,5 đ)
15 3 6x x
− + − =
ĐKXĐ: x
≤
3
0,25
15 3 6x x
− + − =
⇔
15-x+3-x+2
(15 )(3 )x x
− −
=36
⇔
2
(15 )(3 )x x
− −
=2x+18
⇔
(15-x)(3-x)=(x+9)
2
⇔
45-18x+x
2
=x
2
+18x+81

⇔
36x=-36
⇔
x=-1 (Thỏa mãn đkxd)
Vậy PT có nghiệm x=-1
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
C©u 5:
(3,5 đ)
a. (1,0 đ) Ta cã
·
·
0 0
60 180BMP CMQ
+ + =
̃
·
·
0
120CMQ BMP
= −
Trong
BPM
∆
cã
µ
B

=60
0
nªn
·
·
0
120BPM BMP
= −
Suy ra
·
·
BPM CMQ
=
0,25
0,25
0,25
0,25
b. (1,0đ) Xét hai tam giác BPM và CMQ có
·
·
BPM CMQ
=
và
µ
µ
B C
=
nên
∆
MBP đồng dạng với

∆
QCM, suy ra
MB BP
CQ CM
=
̃
BP.CQ=MB.CM=
2
4
BC
(vì theo gt ta có MB=MC=
2
BC
)
Vì
∆
ABC đều đã cho nên BC có độ dài không đổi, vậy tích MB.CM không
đổi
0,25
0,25
0,25
0,25
c. (1,0 đ) Do
∆
MBP đồng dạng với
∆
QCM
̃
BP MP
CM QM

=
̃
BP MP
BM QM
=
̃
BP MB
MP QM
=
Hai tam giác MBP và QMP có
·
·
0
60PBM PMQ
= =
và
BP MB
MP MQ
=
nên hai tam giác MBP và QMP đồng dạng
Ta có hai tam giác MBP và QCM đồng dạng
Nên hai tam giác QMP và QCM đồng dạng
0,25
0,25
0,25
0,25
d. (0,5 đ) Từ câu c ta có
·
·
BPM QPM

=
hay PM là phân giác của góc BPQ nên
MH=ME
(ME là đường cao của tam giác BPM)
ME có độ dài không đổi nên MH có độ dài không đổi.
0,25
0,25
H
F
E
M
A
B
C
P
Q
Cõu 6:
(3,0 )
a. (1,5 ) Xột

ABH v

BDK cú
ã
ã
0
90BAH ABH
+ =
ã
ã

0
90DBH ABH
+ =

ã
BAH
=
ã
DBH


ABH ng dng vi

BDK

AH BH
BK DK
=
Ta cú HC = 2 HB

BH =
1
3
BC

3
AH BC
BK DK
=

3DK.AH = BC.BK (1)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b. (1,5 ) C/m

ABCH ng dng vi

CKD

2
AH HC BC
CK KD KD
= =

AH.KD = HC.CK (2)
T (1) v (2) suy ra BK .BC=3HC.CK

. 2 .
.
3 3
BK BC CK BC
HC CK
= =

BK=2CK
Ta cú HC =2BH

BH=HK=KC

K l trung im ca HC

KD l ng trung trc ca on thng HC


DH C cõn ti D
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 7:
(1,5 )
Ta cú: A=
2 2
1 1
1 1
x y



ữ
ữ


=

2 2
2 2
( 1)( 1)x y
x y

=
2 2
( 1)( 1)( 1)( 1)x x y y
x y
+ +
=
2 2
( 1)( )( 1)( )x y y x
x y
+ +
=
( 1)( 1)x y
xy
+ +
=
1 2
1
xy x y
xy xy
+ + +
= +
Ta cú x+y
2 xy

(x+y)
2

4xy

1

4xy

1
4
xy

Du "=" xy ra khi x=y=
1
2
Vy A

1+2.4=9
Du "=" xy ra khi x=y=
1
2
Vy giỏ tr nh nht ca biu thc A l 9 khi x=y=
1
2
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

Ghi chỳ: - Thí sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa,điểm thành phần giám khảo tự
phân chia trên cơ sở điểm thành phần của đáp án.
- Đối với bài hình nếu thí sinh không vẽ hình thì không đợc tính điểm.
H
K
D
A
B
C