Đề thi HSG cấp trường năm học 2010-2011

ĐỀ THI SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN 9
Thời gian:120 phút ( không kể thời gian phát đề).
Năm học: 2010-2011.
Bài 1: ( 3 điểm)
a) Chứng minh rằng: 4
2n+2
- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên.
b) Tính 9
8
.2
8
–(18
4
-1). (18
4
+1).
Bài 2: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, biết :
2
4 3
1
x
C
x
+
=
+
Bài 3: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức A, biết
A =

6 3
4 2 3. 1 3− +
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BD, CE. Gọi H, K là hình chiếu của
B, C trên đường thẳng DE, Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC. Qua I vẽ đường
thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q. Chứng minh rằng:
S
BEC
+ S
BDC
= S
BHKC.
Bài 5:( 1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, độ dài cạnh BC = a , AC = b, AB = c. Chứng
minh rằng:
a/
sin sin sin
a b c
A B C
= =
b/ S
ABC
=
1
2
bc.sina
------Hết-----
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1: (3 đ)
a) + với n = 0 ta có: 4

2.0+2
-1 =15 chia hết cho 15
+ Giả sử(*) đúng với n = k (k thuộc N) nghĩa là :
4
2k+2
– 1chia hết cho 15
Ta phải chứng minh(*) đúng với n = k+1, nghĩa là
4
2k+2
– 1chia hết cho 15. Ta có:4
2(k+1) +2
-1 = 4
2
(4
2k+2
-1) + 15
Mà 4
2
(4
2k+2
-1) + 15 chia hết cho 15 . Vậy 4
2(k+1) +2
-1 chia hết cho 15
Vậy: 4
2n+2
- 1 chia hết cho 15, với mọi n là số tự nhiên.
b) Ta có 9
8
.2
8

–(18
4
-1). (18
4
+1) = 18
8
–(18
8
-1) = 1
Bài 2:(2điểm)Ta có:
( )
2 2
2 2
2
2
4 3 ( 1) ( 4 4)
1 1
x+2
= -1+ 1
1
x x x x
C
x x
x
+ − + + + +
= =
+ +
≥ −
+
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là -1 khi x + 2 = 0↔ x = -2.

Bài 3 : (2điểm)
A=
( ) ( ) ( )
6 3 3
3
6 3
4 2 3. 1 3 3 1 . 1 3 3 1 1 3 2− + = − + = − + =
Bài 4 (1,5 điểm)
Gọi I là trung điểm của ED
Vẽ EE’, I I’, DD’ vuông góc với AC.
Ta có: I I’ là đường trung bình của
hình thang EE’D’D nên: EE’+ DD’=2 I I’
Vậy:S
BEC
+ S
BDC
=
1
2
EE’.BC +
1
2
DD’.BC
=
1
2
BC(EE’+ DD’) = BC. I I’(1)
Qua I vẽ đường thẳng song song BC ; cắt BH và CK ở P và Q.
Ta có: BC. I I’ = S
BPQC

. Mặt khác ∆PIH = ∆QIK(c-g-c).
Suy ra: S
PIH
= S
QIK
. Do đó: S
BPQC
= S
BHKC
.Từ (1),(2),(3)
suy ra: S
BEC
+ S
BDC
= S
BHKC
.
Bài 5:(1,5 điểm)
a/ Dựng đường cao AH, ta có:
sinB = AH/AB; sinC = AH/AC
→ sinB/sinC=AH/AB:AH/AC = b/c
→ b/sinB = c/sinC (1).
Chứng minh tương tự ta có: a/sinA = b/sinB(2)
Từ (1),(2) suy ra: a/sinA = b/sinB = c/sinC
b/ Kẻ CH vuông góc AB, ta có:
CH = AC.sinA
Mà S
ABC
=
1

2
AB.CH =
1
2
AB.AC.sinA
Hay S
ABC
=
1
2
b.c.sinA
h
b
c
H
A
B
C
a
b
c
H
A
B
C
P
I'
I
D'E'
K

H
D
E
A
B
C
Q