Phương trình vô tỉ có chứa tham số

ThS. Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Đại
số

Trang
1

CHUN ĐỀ

SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ


I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Bài tốn:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực
x X
Ỵ
.

Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của
¡
.

Các bước giải tổng qt:

i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2:
min f(x) g(m) max f(x)
£ £

.

Chú ý:

i) Nếu bài tốn khơng hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem
f(x)
X D
=
(miền xác định của f(x)).
ii) Nếu hàm f(x) khơng đạt min hoặc max thì ta phải dùng giớ i hạn, ta có thể thay bước 2) bằng
bảng biến thiên (BBT) của f(x).
iii) Đố i với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải
dùng BBT.
4i) Đơi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t).

II. CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP

Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x m 2x 1
+ - = -
(1)
1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.

HƯỚNG DẪN GIẢI

(1)
2 2 2
1 1
x x

2 2
x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1.
ì ì
ï ï
ï ï
³ ³
ï ï
Û Û
í í
ï ï
ï ï
+ - = - = - + -
ï ï
ỵ ỵ

Đặt
2
y 3x 6x 1
= - + -
, với
1
x
2
³
ta có:
Bảng biến thiên
x
-¥

1

2
1
+¥

y 2

5
4

-¥

Dựa vào bả ng biến thiên, ta có:
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
2

1)
m 2
Ê
, 2)
5
m m 2
4
< =
, 3)
5
m 2
4

Ê <
.
Bi 2. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
1 1
x x x m
2 4
+ + + + =
(2) cú nghim thc.
HNG DN GII
t
2
1 1
t x 0 x t
4 4
= + = -
, (2) tr thnh:
2
2 2 2
1 1 1 1
t t t m t t m t m
4 4 4 2
ổ ử
ữ
ỗ
- + + + = + + = + =
ữ
ỗ
ữ
ữỗ
ố ứ

.
Do
2
1 1
t 0 t
2 4
ổ ử
ữ
ỗ
ị +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
nờn (2) cú nghim
1
m
4

.
Bi 3. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
2
2
m
16 x 4 0
16 x
- - - =
-

(3) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
2
t 16 x t (0; 4]
= - ị ẻ
, (3) tr thnh
2
m
t 4 0 t 4t m
t
- - = - =
.
Lp BBT ca hm s y = t
2
4t, ta cú
4 m 0
- Ê Ê
.

Chỳ ý:
Nu gii nh bi 2, ta s loi mt m = 0. Do ú nờn lp BBT trỏnh sai sút.

Bi 4. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
- +
- + =

+ -
(4) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
x 1
t t (0; ) \ {1}
x 2
-
= ị ẻ +Ơ
+
, (4) tr thnh
2
m
t 2 0 t 2t m
t
- + = + =
.
Lp BBT ca hm s y = t
2
+ 2t, ta cú
0 m 3
< ạ
.

Bi 5. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
4
2
x 1 m x 1 2 x 1 0
+ - - + - =

(5) cú nghim
thc.
HNG DN GII
iu kin:
x 1

.
+ x = 1: (5) vụ nghim.
+ x > 1:
4
4
x 1 x 1
(5) m 2 0
x 1 x 1
+ -
- + =
- +
.
t
4 4
x 1 2
t 1 t (1; )
x 1 x 1
+
= = + ị ẻ +Ơ
- -
, (5) tr thnh
2
m
t 2 0 t 2t m

t
- + = + =
.
Lp BBT ca hm s y = t
2
+ 2t, ta cú m > 3.

Bi 6. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
2
x 2x 3 x m
- - = +
(6)
1) cú nghim thc, 2) cú 2 nghim phõn bit.

HNG DN GII
Ta cú (6)
2
x 2x 3 x m.
- - - =

t
2
y x 2x 3 x, x 1 x 3
= - - - Ê -

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
3

2
2 2
x 1 x 1 x 2x 3
y' 1
x 2x 3 x 2x 3
- - - - -
ị = - =
- - - -
.
Bng bin thiờn
x
-Ơ
1 3
+Ơ

y +
y
+Ơ

1
-

1 3
Da vo b ng bin thiờn:
1)
3 m 1 m 1
- Ê < -
, 2) khụng cú m.

Bi 7. Bin lun theo m s nghim thc ca phng trỡnh
x 1 1 x m
+ + - =
(7).

HNG DN GII
Xột hm s
/
2
1 x 1 x
f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x)
2 1 x
- - +
= + + - ẻ - ị =
-
.
Bng bin thiờn
x
-Ơ
1 0 1
+Ơ

f(x) + 0
f(x) 2

2
-

2

Da vo b ng bin thiờn, ta cú:
+
m 2 m 2
< >
: (7) vụ nghim.
+ m = 2: (7) cú 1 nghim.
+
2 m 2
Ê <
: (7) cú 2 nghim phõn bit.

Bi 8. Tỡm iu kin m phng trỡnh
2
x 9 x x 9x m
+ - = - + +
(8) cú nghim thc.
HNG DN GII
2 2
2 2
0 x 9
x 9 x 0
(8)
(9x x ) 2 9x x 9 m.
9 2 9x x 9x x m
ỡ
ỡ
ù
Ê Êù
+ -
ù

ù
ù

ớ ớ
ù ù
- - + - + =
+ - = - +
ù ù
ợ
ù
ợ

t
2
x (9 x) 9
t 9x x 0 t , x [0; 9]
2 2
+ -
= - ị Ê Ê = " ẻ
, ta cú (8) tr thnh:
2
t 2t 9 m
- + + =
.
Lp BBT ca hm s
2
y t 2t 9
= - + +
trờn [0 ; 9/2] ta cú
9

m 10
4
- Ê Ê
.

Bi 9. Tỡm iu kin m phng trỡnh
x 4 x 4 x x 4 m
+ - + + - =
(9) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
2
t x 4 0 x t 4.
= - ị = +
Ta cú (9) tr thnh:
2 2 2
t 4t 4 t 4 t m t 2t 6 m.
+ + + + + = + + =

Lp BBT ca hm s
2
y t 2t 6, t 0
= + +
ta cú
m 6

.

Bi 10. Tỡm iu kin m phng trỡnh

x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ - + - - =
(10) cú
nghim thc.
HNG DN GII

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
4

t
2
t x 9 0 x t 9
= - = +
. Ta cú (10) tr thnh:
2
2 2
t 9 m
t 6t 9 t 6t 9
6
+ +
+ + + - + =
(
)
2

6 t 3 t 3 t 9 m
+ + - = + +

2
2
t 12t 9 m, t 3 (*)
t 27 m, 0 t 3 (**)
ộ
- + - =
ờ

ờ
- + = Ê <
ờ
ở

+ Lp BBT ca hm s
2
y t 12t 9,t 3
= - + -
ta suy ra (*) cú nghim thc
m 27
Ê
.
+ Do
2
18 t 27 27, t [0; 3)
< - + Ê " ẻ
nờn (**) cú nghim thc
18 m 27

< Ê
.
Vy vi
m 27
Ê
thỡ (10) cú nghim thc.

Bi 11. Tỡm m phng trỡnh
x 1 3 x (x 1)(3 x) m
- + - - - - =
(11) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
t x 1 3 x 0
= - + - ị

2
t 2 2 x 1. 3 x 2 t 2.
= + - - ị

Mt khỏc
2
t 2 2 x 1. 3 x 2 [(x 1) (3 x)] 4 2 t 2.
= + - - Ê + - + - = ị Ê Ê

Ta cú (11) tr thnh:
2
2
t 2 1

t m t t 1 m.
2 2
-
- = - + + =

Lp BBT ca hm s
2
1
y t t 1, t 2; 2
2
ộ ự
= - + + ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
ta cú
1 m 2
Ê Ê
.
Chỳ ý: Nờn lp BBT ca
t x 1 3 x
= - + -
tỡm min giỏ tr t.

Bi 12. Tỡm m phng trỡnh
1 x 8 x (1 x)(8 x) m
+ + - + + - =
cú nghim thc.
ỏp s:
9 6 2
3 m

2
+
Ê Ê
.

Bi 13. Tỡm m phng trỡnh
4
4 4
x 4x m x 4x m 6
+ + + + + =
(13) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
4
4
t x 4x m 0.
= + +
Ta cú:
(13)
4
2 4 4
t t 6 0 t 2 x 4x m 2 x 4x 16 m
+ - = = + + = - - + =
.
Lp BBT ca hm s
4
y x 4x 16
= - - +
trờn

Ă
ta cú
m 19
Ê
.

Bi 14. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
3
2 2
1 x 2 1 x m
- + - =
(14)
1) cú nghim thc duy nht, 2) cú nghim thc.
HNG DN GII

1) Nhn thy nu x
0
l nghim ca (14) thỡ x
0
cng l nghim ca (14).
Suy ra
0 0 0
x x x 0
= - =
l nghim duy nht ca (14).
Th x
0
= 0 vo (14) ta c m = 3. Th li ta thy (14) cú nghim duy nht.
Vy m = 3.
2) t

6
2
t 1 x 0 t 1
= - ị Ê Ê
. Ta cú (14) tr thnh
3 2
t 2t m
+ =
.
Lp BBT ca hm s
3 2
y t 2t
= +
trờn [0 ; 1] ta suy ra
0 m 3
Ê Ê
.

Bi 15. Chng t rng phng trỡnh
2
3x 1
2x 1 mx
2x 1
-
= - +
-
(15) luụn cú nghim thc vi mi
giỏ tr ca m.
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
5

HNG DN GII
2
2
1
1
2x 1 0
x x
2
2
(15)
3x 1
3x 23x 2x
2x 1 mx
m
mx
2x 1
2x 1
2x 1
ỡ
ỡ
ù
ù
ỡ
ù ù
- >ù
> >

ù ù
ù
ù ù
ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
-

ù ù ù
- - =
ù ù ù
=
=
ù ù ù
ù
ợ -
ù ù
ù
ù
ợ -
ợ -
.
Xột hm s
/
3x 2 1 3x 1
f(x) , x f (x)
2
2x 1 (2x 1) 2x 1
- -

= > ị =
- - -
.
Mt khỏc
x
3x 2
lim
2x 1
đ+Ơ
-
= +Ơ
-
,
1
x
2
3x 2
lim
2x 1
+
đ
-
= -Ơ
-
.
Suy ra hm s f(x) cú tp giỏ tr l
Ă
. Vy (15) luụn cú nghim thc vi mi m.

Bi 16. Tỡm m phng trỡnh

x 1
(x 3)(x 1) 4(x 3) m
x 3
+
- + + - =
-
(16) cú nghim thc.
HNG DN GII
iu kin
x 1
0 x 1 x 3
x 3
+
Ê - >
-
.
+ Vi
x 1
Ê -
:
(16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m
- + - - + =
.
t
t (x 3)(x 1) 0, x 1
= - + " Ê -
, (16) tr thnh
2
t 4t m
- =

m 4
ị -
.
+ Vi
x 3
>
:
(16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0
- + + - + = ị
.
Vy
m 4
-
.

Bi 17. Tỡm m phng trỡnh
3
3
1 x 1 x m
- + + =
(17) cú nghim thc.
HNG DN GII
Xột hm s
3
3
/
2 2
3 3
1 1 1
f(x) 1 x 1 x f (x)

3
(1 x) (1 x)
ộ ự
ờ ỳ
= - + + ị = -
ờ ỳ
+ -
ờ ỳ
ở ỷ

/ 2 2
3 3
f (x) 0 (1 x) (1 x) x 0 f(0) 2
ị = + = + = ị =
.
(
)
33
3
2 2 2
3 3
3
2 2 2
x x
3 3
1 x 1 x (1 x) 1 x (1 x)
lim f(x) lim
(1 x) 1 x (1 x)
đƠ đƠ
ộ ự

- + + - - - + -
ờ ỳ
ở ỷ
=
ộ ự
- - - + -
ờ ỳ
ở ỷ

2 2
x
3
3 3
2
2
lim 0
1 1 1
x 1 1 1
x x
x
đƠ
= =
ộ ự
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
ữ ữ
ỗ ỗ
- - - + +
ữ ữ
ỗ ỗ

ờ ỳ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.
Suy ra tp giỏ tr ca f(x) l (0; 2]. Vy
0 m 2
< Ê
.

Bi 18 (trớch thi H khi B 2004). Tỡm iu kin ca m phng trỡnh:
(
)
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
+ - - + = - + + - -
(18) cú nghim thc.

HNG DN GII
t
2 2
t 1 x 1 x , 1 x 1
= + - - - Ê Ê

(
)
2 2

2 2
x 1 x 1 x
t' 0 x 0
1 x . 1 x
+ + -
ị = = =
+ -

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
6

t( 1) 2, t(0) 0 t 0; 2 , x 1; 1 .
ộ ự
ộ ự
= = ị ẻ " ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ

(18) tr thnh
2
2
t t 2
m(t 2) 2 t t m
t 2
- + +
+ = - + =

+
.
Xột hm s
2 2
2
t t 2 t 4t
y y ' 0, t 0; 2
t 2
(t 2)
- + + - -
ộ ự
= ị = Ê " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
+
+
.
Bng bin thiờn
x
-Ơ
0
2

+Ơ

y 0
y 1

2 1
-

Da vo b ng bin thiờn, (18) cú nghim thc
2 1 m 1.
- Ê Ê


Bi 19. Bin lun theo m s nghim thc ca phng trỡnh
2
m x 2 x m
+ = +
(19).
HNG DN GII
(19)
(
)
(
)
2 2
2
x
m x 2 1 x m do x 2 1 0, x
x 2 1
+ - = = + - > " ẻ
+ -
Ă
.
Xột hm s
2
x
y

x 2 1
=
+ -

(
)
2
2
2
2
2
x
x 2 1
x 2
y'
x 2 1
+ - -
+
ị =
+ -
(
)
2
2
2 2
2 x 2
0 x 2
x 2 x 2 1
- +
= = =

+ + -
.
Gii hn
x x x
2
x
lim y lim lim y 1.
2 1
x 1
x
x
đƠ đƠ đƠ
= ị =
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ -ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ

Bng bin thiờn
x
-Ơ

2

-

2

+Ơ

y 0 + 0
y 1
2


2
-
1
Da vo b ng bin thiờn, ta cú
+
m 2 m 2
< - >
: (19) vụ nghim.
+
1 m 1 m 2
- Ê Ê =
: (19) cú 1 nghim.
+
2 m 1 1 m 2
- < < - < <
: (19) cú 2 nghim phõn bit.

Bi toỏn 20. Tỡm m phng trỡnh
2

2x x 3 mx m
- - = +
(20) cú nghim thc
x 1
ạ -
.

HNG DN GII
iu kin
2
3
2x x 3 0 x 1 x (x 1)
2
- - < - ạ -
.
Ta cú (20)
2
2x x 3
m
x 1
- -
=
+
.
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
7

Lp BBT ca hm s
2
2x x 3
y
x 1
- -
=
+
ta suy ra
m 2 0 m 2
< - Ê <
.


Bi 21. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc duy nht:
3
4
x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m
+ - + - - - =
(21).
HNG DN GII
Nhn thy x
0
l nghim ca (21) thỡ 1 x
0
cng l nghim ca (21). T ú, (21) cú nghim duy
nht thỡ
3
0 0 0
1

x 1 x x m m m 0 m 1
2
= - = ị = = =
.
t
2
4
t 1
t x 1 x 0, 0 x 1 x(1 x)
2
-
= + - Ê Ê ị - =
.
(21) tr thnh
2 2 3
2(t 1) mt t m m
- = + - -
.
+ m = 0:
2 2
1 1
(21) 2(t 1) t t 2 x(1 x) x
2 2
- = = - = =
(nhn).
+ m = 1:
2 2 2
(21) 2(t 1) t t 2 2(t 1) (t 1)(t 2)
- = + - - = - +

2 2
3 2
t 1
t 1
t 1
2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2)
t 3t 2t 6 0
ộ
=
ờ
ỡ
ù
ù
ờ
ỡ
>
ù

ớ
ù
ờ
ù
- + = - +
ớ
ù ờ
ợ
ù
+ - - =
ờ
ù

ởợ

2
x 0
t 1
x(1 x) 0
t 1
1
t 1
x
1
t 2
2
x(1 x)
(t 3)(t 2) 0
2
x 1
ộ
=
ộ
ờ
=
ộ
- =
ộ
ờ
ờ
=
ờ
ờ

ờ
ỡ
ờ
ờ
>
ù
=
ù ờ
ờ
ờ
ờ
=
ớ
- =
ờ
ờ
ờ
ở
ờ
ù
+ - =
ở
=
ờ
ù
ờởợ
ở
(loi).
+
m 1

= -
:
2
(21) 2(t 1) (t 1)(2 t)
- = + -

3 2
0 t 2
1
t 2 x
t 3t 2t 6 0
2
ỡ
Ê Ê
ù
ù
= =
ớ
ù
- - + =
ù
ợ
(nhn).
Vy
m 0 m 1
= = -
.

Bi 22. Tỡm m phng trỡnh
2

x x x 1 m
+ - + =
(22) cú nghim thc.
HNG DN GII
iu kin
2 2
x x x 1 0 x x 1 x x
+ - + - + - " ẻ
Ă
.
Xột hm s
2
2 /
2
2 x x 1 2x 1
f(x) x x x 1 f (x) 0, x
2 x x 1
- + + -
= + - + ị = > " ẻ
- +
Ă
.
Gii hn
(
)
2
x x
lim f(x) lim x x x 1
đ+Ơ đ+Ơ
= + - + = +Ơ

2
x x x
2
x 1 x 1
lim f(x) lim lim
1 1
x x x 1
x x 1
x
x
đ-Ơ đ-Ơ đ-Ơ
- -
= =
- - +
- - +

x x
2 2
1
x(1 )
x 1 1
x
lim lim
2
1 1 1 1
x x 1 x 1 1
x xx x
đ-Ơ đ-Ơ
-

-
= = =
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ - + + - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
8

2
1 2
f(x) , x x x x 1 , x
2 2
ị > " ẻ ị + - + > " ẻ
Ă Ă
.
Vy (22) cú nghim thc
2
m .

2
>