Phương trình bậc 2 có chứa tham số

kinh nghiệm: Chủ đề tự chọn: Phương trình bậc hai có chứa tham số
Giáo Viên: Lê Văn Hoà Trường THCS Trần Cao Vân
1
kinh nghiệm: Chủ đề tự chọn: Phương trình bậc hai có chứa tham số

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ CHỨA THAM SỐ
I/ Đặt vấn đề:
Trong các kỳ thi học kỳ 2, thi vào lớp 10 hầu như dạng toán phương trình bậc hai
có chứa tham số luôn luôn có mặt, đề thi thường phong phú và đa dạng, nhưng trong
sách giáo khoa Toán 9, dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số thì quá ít,
học sinh hay lúng túng không biết trình bày như thế nào, thường trình bày thiếu căn
cứ, lập luận không chặt chẻ. Với những lý do trên, tôi chọn chủ đề phương trình bậc
hai có chứa tham số, nhằm giúp các em phần nào tháo gỡ được những khó khăn,
vướng mắc trong quá trình giải toán
II/ Cơ sở lý luận:
Một định hướng quan trọng của việc đổi mới giáo dục nước nhà là tăng cường hơn
nữa tính “phân hóa” trong giáo dục. Sự khẳng định này dựa trên cơ sở về sự tồn tại
khách quan những khác biệt của người học về thể chất, năng lực, tâm lý và những
yêu cầu điều kiện về kinh tế, xã hội, văn hóa của các vùng dân cư khác nhau. Vì vậy
dạy học tự chọn là một phần không thể thiếu của quá trình dạy học.
Kế hoạch giáo dục của trường THCS ban hành kèm theo Quyết định số
03/2002/QĐ-BGD&ĐT ngày 24/01/2002 của Bộ trưởng Bộ GD & ĐT. Dành 2 tiêt
trên tuần cho việc dạy học các chủ đề tự chọn. BộGD & ĐT cũng đã nêu: “…Đưa
vào các tiết tự chọn, một phần cho việc bám sát, nâng cao kiến thức, kĩ năng các
môn phân hoá, phần khác dành cho cung cấp một số nội dung kiến thức mới theo
nhu cầu của người học và nhu cầu của cộng đồng”
Như vậy việc dạy học tự chọn đã trở thành hình thức dạy có tính pháp qui, cần
được nghiên cứu và thực hiện rộng khắp ở tất cả các khối lớp ở trường THCS. Từ
những cơ sở đó, đề tài “ Phương trình bậc hai có chứa tham số” dành cho tự chọn
nâng cao được thai nhén và hình thành.
III/ Cơ sở thực tiễn:

1/ Về kiến thức:
- Kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa toán 9 để vận dụng giải dạng toán phương
trình bậc hai có chứa tham số là không nhiều gồm 2 đơn vị kiến thức cơ bản là:
+ Công thức nghiệm phương trình bậc hai.
+ Hệ thức Vi - Ét.
- Kiến thức hệ quả từ hai kiến thức cơ bản trên và kiến thức các lớp dưới để vận
dụng giải dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số là phong phú và phần
nhiều chưa được chứng minh, nên việc vận dụng những kiến thức đó vào giải toán
phương trình bậc hai có chứa tham số gặp không ít khó khăn chẳng hạn như:
+ Để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac
< 0
+ Để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi
ac< 0 v à b = 0.
+ Để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi
∆
> 0 và ac > 0
Giáo Viên: Lê Văn Hoà Trường THCS Trần Cao Vân
2
kinh nghiệm: Chủ đề tự chọn: Phương trình bậc hai có chứa tham số
+ Để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm cùng âm khi và chỉ khi
∆
> 0, ac > 0 và ab > 0

+ Để phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ
khi
∆
> 0, ac > 0 và ab < 0….
2/ Về học sinh:
- Rất lúng túng trước đề bài toán “Phương trình bậc hai có chứa tham số”, không
biết làm gì, bắt đầu từ đâu? Thậm chí không nắm được kiến thức cần và đủ để giải
dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số, nên không biết cách làm.
- Lập luận thì không chặt chẻ, suy luận thường thiếu căn cứ, không chính xác,
không nắm được phương pháp cơ bản để giải dạng toán phương trinh bậc hai có
chứa tham số. Không biết rút kinh nghiệm về bài toán vừa giải, nên rất lúng túng
trước những bài toán khác tương tự với bài toán vừa giải.
- Trình bày bài giải thường cẩu thả, không có căn cứ, lập luận thiếu chính xác, tuỳ
tiện không có cơ sở khoa học.
3/ Về giáo viên:
- Hiện nay giáo viên chúng ta cơ bản đủ chuẩn và trên chuẩn, được bồi dưỡng
thường xuyên theo chu kỳ, bên cạnh đó sách bổ trợ kiến thức thì không thiếu đủ loại:
Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài soạn, sách bài tập, sách chuẩn kiến thức,
sách nâng cao, … Vậy mà theo suy nghĩ chủ quan của tôi và một số giáo viên có
kinh nghiệm và tâm huyết nhận thấy giáo viên chúng ta còn có một số thiếu sót sau
đây:
- Nặng về cung cấp bài giảng, chưa chú trọng thật sự trong việc dạy cho học sinh
giải toán.
- Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán phương trình bậc hai
có chứa tham số khi tìm ra được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học
sinh cách tìm ra con đường giải, cách giải khác, cách giải tối ưu nhất.
- chưa chú ý khai thác bài toán vừa giải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo
của học sinh, thường chú ý đến số lượng hơn là chất lượng bài giải.

- Đối với lớp 9 nặng về luyện thi, thường chú trọng về mặt đề cao và coi nhẹ mặt
đảm bảo tính cơ bản.
* Qua thực tiễn đã nêu, việc xây dựng một chủ đề tự chọn nâng cao “Phương trình
bậc hai có chứa tham số” là hết sức cần thiết và thiết thực, nhằm góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học.
IV/ Nội dung nghiên cứu:
A/Mục tiêu của chủ đề :
1/Kiến thức:
- Giúp học sinh nắm vững các dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số và
phương pháp giải của từng dạng.
2/Kỹ năng:
- Giúp học sinh có:
* kỹ năng giải thành thạo các dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số
* kỹ năng tính toán chính xác
* kỹ năng lập luận lô gíc
* kỹ năng nhận dạng các dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số.
Giáo Viên: Lê Văn Hoà Trường THCS Trần Cao Vân
3
kinh nghiệm: Chủ đề tự chọn: Phương trình bậc hai có chứa tham số
3/Thái độ:
- Tạo cho học sinh có thái độ:
* Làm việc nghiêm túc, khoa học, yêu thích môn toán
* thấy được cái đẹp, thẩm mỹ toán trong dạng toán phương trình bậc hai có chứa
tham số.
B/ Kiến thức:
- Để giải được dạng toán phương trình bậc hai có chứa tham số cần nắm vững một
số kiến thức cụ thể sau:
1) Công thức giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0, với biệt thức Δ = b

2
- 4ac
- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= -b/2a
- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
2) Hệ thức Vi-Ét: Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
x
1
+ x
2
= -b/a và x
1
x
2
= c/a.
3) Đặt S = x
1
+ x
2
và P = x

1
x
2
thì x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình: x
2
- Sx + p = 0
4) Hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
, (a - b)
2
= a
2
-2ab + b
2

5) Bình phương của mọi số đều không âm
C/ Các dạng toán và phương pháp giải:
Dạng 1: Giải phương trình khi cho biết một giá trị của tham số.
Ví dụ: Giải các phương trình sau khi m = -2:
1/ x
2
+2(m +3)x +2m +5 =0

2/ x
2
- (m +2)x +2m = 0
3/ x
2
+2(m +2)x +2m +3 =0
4/ 2x
2
+8x +3m =0
Hướng dẫn :
1/ thế m = -2 vào phương trình x
2
+2(m +3)x +2m +5 =0
Ta được: x
2
+2(-2 +3)x +2(-2) +5 =0
x
2
+2x +1 =0
Và tiếp tục giải theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc áp dụng hằng
đẳng thức đáng nhớ đưa về giải phương trình tích .
Dạng 2 : Tìm tham số m khi cho biết một nghiệm của phương trình, tìm nghiêm
còn lại .
Ví dụ : Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn
lại :
1/ x
2
+x +3m =0
2/ x
2

–mx +3m =0
3/ mx
2
-2(m +1)x+5m +6 =0
Hướng dẫn :
1/ Thế x =2 vào phương trình x
2
+x +3m =0
Ta được 2
2
+2 +3m =0
4 +2 +3m =0
Giáo Viên: Lê Văn Hoà Trường THCS Trần Cao Vân
4
kinh nghiệm: Chủ đề tự chọn: Phương trình bậc hai có chứa tham số
3m = -6 => m = -2
Vậy m = -2 thì phương trình có một nghiệm bằng 2.
Nghiệm còn lại là:
Theo hệ thức Vi-Ét ta có x
1
+ x
2
= -b/a hay 2 +x
2
=-1/1 =-1 =>x
2
=-3
(hoặc x
1
x

1
=c/a, hay thế m =-2 vào phương trình và tiến hành theo công thức
nghiệm)
Dạng3: :Tìm m để phương trình có nghệm kép. Tìm nghiệm kép đó:
Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó .
1/ x
2
-2mx -3m +4 =0
2/ (1 +m)x
2
-2mx +m-1 =0
3/ 4x
2
-2mx +m -1 =0
Hướng dẫn :
1/ Lập Δ hoặc Δ’ = b’ – ac = m
2
+ 3m – 4
Để phương trình có nghiệm kép khì Δ’ = 0
Hay m
2
+3m-4=0, phương trình có dạng a+b+c=0, nên phương trình có 2 nghiệm
là: m
1
= 1, m
2
= c/a =-4
Vậy m = 1, -4 thì phương trình có nghiệm kép.
(nếu phương trình không có dạng a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 thì ta lập Δ giải theo
công thức nghiệm của phương trình bậc 2)

Nghiệm kép đó là : x
1
= x
2
= -b’/a = m/1 = m
-/ m = 1 => x
1
= x
2
= 1
-/ m = -4 => x
1
= x
2
= -4
2/Trường hợp bài 2 hệ số a có chứa tham số. Ta cần phân biệt:
- Tìm m để phương trình có nghiệm kép khì : a ≠ 0 và Δ = 0
- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thì xãy ra 2 trường hợp:
+ trường hợp 1: a ≠ 0, Δ = 0
+ trường hợp 2: hệ số a = 0 và b ≠ 0 thì nghiệm sẽ là x = -c/b ≠ 0
Hướng dẫn bài 2:
Lập Δ‘ = b’
2
– ac = m
2
– (1+m)(m-2)
= m
2
– m + 2 – m
2

+ 2m
Giáo Viên: Lê Văn Hoà Trường THCS Trần Cao Vân
5
kinh nghiệm: Chủ đề tự chọn: Phương trình bậc hai có chứa tham số
= m + 2
Để phương trình có nghiệm kép khì a ≠ 0 và Δ‘ = 0
-/ a ≠ 0 hay 1 + m ≠ 0 => m ≠ -1
-/ Δ = 0 hay m+2 = 0 => m = -2 (thỏa mãn để a ≠ 0). Vậy m = -2 thì phương trình
có nghiệm kép.
Dạng 4: Tìm m để phương trình có nghiệm:
Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
1/ mx
2
+ 2(m+1)x + m – 2 = 0
2/ (m-1)x
2
– 2mx + m +2 = 0
Hướng dẫn:
1/ Lập Δ‘ = b’
2
– ac = (m+1)
2
– m(m-2)
= m
2
+ 2m +1 – m
2
+2m
= 4m + 1
Để phương trình có nghiệm khì Δ‘≥ 0

Hay 4m + 1 ≥ 0  4m ≥ -1  m ≥ -1/4
Vậy m ≥ -1/4 thì phương trình có nghiệm
Dạng 5: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
1/ x
2
+ x – m + 2 = 0
2/ (m – 3)x
2
– 2x -1 = 0
Bài 1: trường hợp a = 1, nên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khì Δ > 0
Bài 2: trường hợp a có chứa tham số, nên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
khì a ≠ 0 và Δ > 0
Hướng dẫn:
Lập Δ‘ = b’
2
– ac = 1 + m -3 = m – 2
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khì a ≠ 0 và Δ‘>0
-) a ≠ 0 hay m – 3 ≠ 0 => m ≠ 3
-) Δ‘ > 0 hay m – 2 > 0 => m > 2
Vậy m > 2 và m ≠ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Dạng 6: Tìm m để phương trình không có nghiệm:
Giáo Viên: Lê Văn Hoà Trường THCS Trần Cao Vân
6