Các dạng hệ phương trình

Bài 6. Hệ phương trình
Giả sử
1
t(x,
y
,z, ,u,v) ,
n
f(x,
y
,z, ,u,v) là các hàm số của
các biến số x, y, v. Giải hệ phương trình
1
2
n
f (x, ,v) 0
f (x, ,v) 0
f (x, ,v) 0
=


=


=

(1)
tức là tìm tất cả các bộ có thứ tự
oo o
(x ,
y
, , v ) sao cho khi

thay vào (1) ta được các đẳng thức. Mỗi bộ đó được gọi là một
nghiệm của (1). Ta bảo rằng hệ phương trình
1
m
g
(x, ,v) 0

g
(x, ,v) 0
=




=

(2)
là hệ quả của hệ (1) nếu mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của
(2). Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu hệ nọ là hệ
quả của hệ kia và ngược lại. Ta có các khẳng định sau :
(a) Nếu trong hệ (1) ta đổi chỗ hai phương trình cho nhau thì ta
được hệ tương đương với (1)
(b) Nếu trong (1) ta thay một phương trình bởi phương trình
tương đương với nó thì hệ mới tương đương với (1)
(c) Nếu
tương đương với x = h(y, z, , v) thì hệ
1
f= 0
2
n

f0

f0
xh(
y
, ,
=




=


=

v)
tương đương với (1).
(d) Nếu là các số bất kì và
1
c , , c
n
0
1
c
≠
thì hệ
11 2 2 n n
2
n

c f c f c f 0
f0

f0
+++=


=




=



1
tương đương với (1).
Tính chất (c) là cơ sở của phép thế.
1. Hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Đó là hệ dạng
111
22
ax b
2
y
c
ax b
y
c
+=




+=


(2)
trong đó
ab ,
22
11
+≠0 .
22
22
ab0
+
≠
a) Nếu
1
22
ab
ab
≠
1
thì hệ (2) có nghiệm duy nhất mà có thể giải
bằng phếp thế
11
1
(c b
y

)
x
a
−
=
.
b) Nếu
11
22
abc
abc
=≠
1
2
thì (2) vô nghiệm.
c) Nếu
11
22
abc
abc
==
1
2
0 và a
1
≠
thì hệ có vô số nghiệm dạng
11
1
(c b y)

x,
y
a
−

=


, y tùy ý.
Ví dụ 1. Giải hệ
4x 2
y
3
x
y
4
+
=


+=

(3)
Từ phương trình thứ hai, y = 4
− 2x. Từ đó
(3)
⇔
4x 2
y
3

y
4x
+=


=−

⇔
4x 2(4 x) 3
y4x
+
−=


=−

⇔
2x 5
y
4x
=−


=−

⇔
5
x
2
5

y4
2

=−




=+


.
Đáp số :
513
,
22


−




.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận

2
2
2ax a
y

3
2x a
y
3


+=

+=


(4)
(4) ⇔
2
2ax a
y
3
2x 3 a
y


+=

=−


⇔
3a 3
2x 3 a
y

.
=


=
−


a) a ≠ 1 hệ vô nghiệm.
b) a = 1 hệ có vô số nghiệm dạng
3y
,y ,y
2

−

∈




R
.
Ví dụ 3. Giải và biện luận
ax (a 1)y 1
(a 1)x (5 3a)
y
0
+− =



+
−− =

(5)
(a) a = 0, (5)
⇔
y
1
x5
y
=
−


=

⇔
x5
y
1
=
−


=
−


(b) a

≠ 0, (5) ⇔
22
[1 (a 1)y]
x
1
(2a 5a 1)
y
aa
−−

=



1
−
+=−−

(6)
Dễ dàng thấy rằng với
(5 17)
a
8
±
=
hệ (6) vô nghiệm.
Với a
∉
(5 17) (5 17)
0, ,

88

−+



có nghiệm duy nhất
22
22
a4a5aa1
,.
2a 5a 1 2a 5a 1

−+ − −−

−+ −+

Đáp số :
{
(1, 5)}−− với a = 0
2
22
a4a5 a a1
,
2a 5a 1 2a 5a 1



−+ − −−




−+ −+


với
517
,
8
a0


±

∉

.

3
Chú ý. Đối với phương (1), nếu
11
12 21
22
ab
Daba
ab
b0
=
=−≠

thì (1) có nghiệm duy nhất
11
22
11
22
cb
cb
x
ab
ab
=
.
11
22
11
22
ac
ac
y
ab
ab
=
.
Ví dụ 4. Tìm các số a, b, c sao cho hệ
5a 7
y
15
ax b
y
c

+
=


+
=

(7)
Vô nghiệm, còn phương trình ax + by = c có nghiệm x = 4, y =
1.
Giải. Cần chọn a, b, c sao cho
ab c
vµ
5715
4a b c

=≠



+=


Có thể lấy a = 5, b = 7, c = 4.5 + 7 = 27.
Ví dụ 5. Tìm a sao cho mỗi nghiệm (x, y) của hệ
x
y
a
2x
y

3
+=


−
=

(8)
thỏa mãn điều kiện x > y.
Giải. (8)
⇔
3x a 3
3
y
2a 3
=+


=−

⇔
(a 3)
x
3
(2a 3)
y
3
+

=




−

=


.
Điều kiện x > y
⇔ a + 3 > 2a − 3 ⇔ a < 6.
2. Hệ phương trình đối xứng
Giả sử f(x, y), g(x, y) là các đa thức hai biến.
Hệ
f(x,
y
)0
g
(x,
y
)0
=


=

(9)

4
được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu f và g là các đa thức đối

xứng nghĩa là f(x, y) = f(y, x), g(x, y) = g(y, x) với mọi x, y ∈ R.
Hệ (9) được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu
f(x, y) = g(y, x) với mọi x, y.
2.1. Hệ đối xứng loại 1
Ví dụ 6. Giải hệ
22
x3x
yy
61
xy 12.


+
+=

=


(10)
Giải (10)
⇔
2
(x
y
)x
y
61
xy 12



++=

=


(11)
Đặt u = x + y, v = xy. Khi đó (11) có dạng
2
uv6
v12


1
+
=

=


⇔
2
u4
v12


9
=

=



và
(10) ⇔
x
y
7
x
y
12
x
y
7
x
y
12

+=



=



+=−



=





Khi đó x, y là các nghiệm của các phương trình bậc hai sau
.
2
t7t12++ =0
Đáp số (x, y) ∈ {(3, 4), (4, 3), (−3, −4), (−4, −3)}.
Chú ý. Đối với hệ đối xứng loại 1, ta thường đặt u = x + y và v
= xy để đến hệ đối với u, v.
Ví dụ 7. Giải hệ
33
3
x
y
5
x
y
6

+
=


=


(10)
(10) ⇔
()

(
)
{
}
33 33
(x,
y
)2,3,3,2∈ .
Ví dụ 8. Giải hệ
3333
xx
yy
17
xxyy0.


+
+=

++=


(11)
Đặt u = x + y, v = xy và sử dụng đẳng thức

5
33 3 3
x
y
(x

y
)3x
y
(x
y
)u 3uv+=+ − +=− .
7

Thay vào (11) ta có hệ
33
u3uvv1
uv0


−
+=

+=


⇔
17
uv
3
uv0

=
−




+
=


Từ đó, ta có
1
17
u
3
=
,
1
17
v
3
=−
,
2
17
u
3
=−
,
2
17
v
3
=
và

(11) ⇔
17
xy
3
17
xy
3

+=




=−


∨
17
xy
3
17
xy
3

+=−




=



(vô nghiệm)
Hệ đầu có hai nghiệm
51 12 51 51 51 12 51 51
,
66

++ −+


,
51 12 51 51 51 12 51 51
,
66

−+ ++


.
2.2. Hệ đối xứng loại 2
Ví dụ 8. Giải hệ
3
3
x5x
y
y
5
y
x


=
+


=
+


(1)
(1)
⇔
33
33
x
y
6(x
y
)
x
y
4(x
y
)

+= +


−= −



⇔
22
22
(x
y
)(x 2x
yy
6) 0
(x
y
)(x x
yy
4) 0

+
−+−=


−
++−=



⇔
x
y
0
x
y

0,
+=


−=

(2) ∨
22
xx
yy
6
xy0,


−
+=

−=


(3) ∨
2
xy0
xx
yy
4,
+=




+
+=


(4)
∨
22
22
xx
yy
6
xx
yy
4

−
+=


+
+=


(5)
Hệ (2), (3), (4) cho tập hợp nghiệm là M =
{
}
(0, 0), ( 2, 2), ( 6, 6±±±∓

6

(5) ⇔
22
x
y
5
xy 1


+=

=−


⇔
42
1
x
y
y
5
y
10

=−



−
+=


⇔
1
x
y
52
y
2

=−



±

=±


1
⇔
2
521
521
2
±
x
y

=



±


=−


∨
2
x
52
521
y
2

=−

±



±
=


1

Đáp số : Tập nghiệm là
2 5 21 2 5 21
M,,,
22

521 521





±±

∪−−




±±






.
Ví dụ 9. Giải hệ
2
2
x
y
1
y
x1


.
+
=


+
=


(6)
(6) ⇔
2
22
xy1
x
yy
x0

+=


−+−=


⇔
2
xy1
(x
y
)(x

y
1) 0


+=

−
+− =


⇔
2
x
y
1
x
y
0


+=

−=


∨
2
x
y
1

x
y
1


+=

+=



⇔ ∨
2
xy
xx1
=



+−=


0
2
y
1x
xx
=−




0
−
=



⇔ (x, y) ∈
1515
(0,1), (1,0), , .
22


−± −±





Ví dụ 10. Giải hệ
3
3
xaxb
y
y
bx a
y
,

=+



=+


(7)
với 2b > a > 0.
Giải. Đây là hệ đối xứng loại hai. Có thể giải như sau :

7
(7) ⇔
33
33
x
y
a(x
y
)b(x
y
)
x
y
a(x
y
)b(x
y
)

+
=+++



−
=−−−


⇔
22
22
(x
y
)(x x
yy
ab
(x
)0
y
)(x x
yy
ab

+−+−


−++−


)0
−=
+=

Từ đó ta có 4 hệ sau
(a)
x
y
0
x
y
0
+=


−=

(b)
22
xy0
xx
yy
ab
+=



+
+=−


(c)
22

xx
yy
ab
xy0


−
+=+

−=



(d)
22
22
xx
yy
ab
xx
yy
ab.
+
−

=


=



−+
++

Giải a) thu được nghiệm (0, 0).
(b)
⇔ ⇔
22
yx
2x x a b
=−



−=−


2
yx
xa
=−



b
=
−


(8)

Từ đó nếu a − b < 0 thì (8) vô nghiệm,
nếu a − b ≥ 0 thì (8) có nghiệm
(x, y)
∈
()
(
)
{
}
ab, ab, ab,ab−− − −− −
(c) ⇔
2
yx
xa
=



b
=
+


⇔ (x, y) ∈
()()
{
}
ab,ab, b++ +ab, a−+−
(d) ⇔
22

x
y
a
xy b


+=

=−


⇔
2
(x
y
)a2b
xy b


0
+
=− <

=−


hệ vô nghiệm.
Vậy nếu a
− b ≥ 0 thì hệ (7) có các nghiệm
(0, 0),

()
, ab,ab++
(
)
ab, ab
−
+− +,
(
)
ab, ab
−
−−,
()
ab,ab−− −.
nếu a − b < 0 thì hệ có các nghiệm
(0, 0),
()
ab,ab++,
(
)
ab, ab
−
+− +.

8
2.3. Hệ thuần nhất : có dạng
22
1111
22
222

ax b
2
y
cx
y
d
ax b
y
cx
y
d,

++=


++=


(9)
có thể giải bằng cách nhân phương trình đầu với
, phương
trình thứ hai với rồi trừ vế với vế để làm triệt tiêu vế phải (ở
đây phải coi rằng
2
d
1
d
dd
12
0).

≠

Ví dụ 11. Giải hệ
22
22
3x 2x
yy
11
x2x
y
3
y
17.

+
+=


+=


(10)
Giải. (10)
⇒
22
22
51x 34x
y
17
y

187
11x 22x
y
33
y
187

++=


++=


⇒
22
10x 3x
y
4
y
0
+
−=
(11)
Vì y = 0 không thỏa mãn (10) với mọi x nên từ (11) ta có
2
xx
34
yy

+−=



0
⇔
0,8
x
y
0, 5.
−

=



Do đó
(10)
⇔
22
22
x
0,8
y
x2x
y
3
y
17
x
0, 5
y

x2x
y
3
y
17.


=−






++=




=






++=




Hệ đầu cho
4
x
3
5
y
.
3

=


=±


∓



Hệ sau cho
x1
y
2.
=±


=±


9
Đáp số :
45
,
33

−


,
45
,
33

−




, (1, 2) và (−1, −2).
Ví dụ 12. Giải hệ
22
xx
yy
4
xx
yy
2



+
+=

++=


(12)
Từ phương trình thứ hai của (12) ta có x + y = 2
− xy.
Từ đó
22
x2x
2
yy
4x
y
(x
y
)++=−+ . Do đó (12) có dạng
22
22
xxyy 4
x
2
y
6x
y
4(x
y

)

++=


++ =+


(13)
(13) ⇒ 5xy =
2
(x
y
) ⇒
x
y
0
x
y
5.
=


=


Từ đó ta có hai hệ
a)
xy 0
x

y
2x
y
=


+=−

⇒
x0
y
2
=


=

∨
x2
y
0
=


=


b)
xy 5
x

y
2x
y
=

+=−


⇒
2
5
x
y
y
3
y
50

=



+
+=

(vô nghiệm).
Thử lại, ta có tập nghiệm {(0, 2), (2, 0)}.
2.4. Hệ không đối xứng
Đối với hệ không đối xứng nói chung không có cách đặc biệt
nào cho tất cả mọi loại. Ta phải dựa vào tính đặc thù của mỗi loại.

Ví dụ 13. Giải hệ
22
22
3x 2
y
3x 3
y
3
4,5x 3
y
3x 8
y
7

+−+=


+−+=


(13)
Từ mỗi phương trình không thể dễ dàng tính x theo y hoặc y
theo x. Tuy nhiên nếu nhân phương trình đầu với 3, phương trình
thứ hai với 2 rồi trừ cho nhau ta được
y + 3x = 5.

10
Sau khi thay y = 5 − 3x vào phương trình đầu ta được phương
trình bậc hai đối x. Sau khi giải ta dược x = 2 và
12

7
=x . Từ đó,
nghiệm của (13) là (2,
−1),
12 1
,
77

−

.

Ví dụ 14. Giải hệ
22 2
23
x
y
2x
y
0
2x 4x 3
y
0

−+=


−++=



(14)
Chú ý rằng y ≠ 0 và nếu y = 0 thì −2x = 0 và do đó 3 = 0 vô lí.
(14) ⇒
2
22
2
23
y0
11 1
(x
y
)2x
yy
yy
y
2(x 2x 1) 1 y
≠




−+=−





−+=−−


⇒
2
4
2
23
11
y
xy
y
y
2(x 1) 1
y

−


−=





−=−−


⇒
4
3
1
y

0
1
y
0

−≥


−
−≥



⇒
1
y
1
y
1
−≤ ≤


≤−

⇒ y = −1
Từ đó, (14)
⇒
22
22
x2xy0

2x 4x 3
y
0
y1

−+=


−
++ =

=−

⇔
2
2
x2x10
2x 4x 2 0
y1

−+=


−
+=

=−

⇔
⇔

2
(x 1) 0
y1


−=

=−


x1
y
1.
=
=−




Thử lại (1, −1) là nghiệm.
Ví dụ 15. Giải hệ

11
22
22
32y
1
x
xy1
4x

x
y
22.
y

+=

+−



++ =


(15)
Giải. Đặt
22
sx
y
1,=+−
x
t
y
=
ta có
32
1
2t
s14t 22


+=



++ =

⇔
32
1
st
s214t

+
=



=
−

⇒
2
2t 13t 21 0
s214t


−
+=

=−



⇒
⇒ ∨
t3,5
t3
s214

=



=



=−

t
t3,5
s7
=


=

t3
s9.
=



=


Từ đó ta có hai hệ
a)
22
x
y
17
x
3, 5
y

+−=


=


⇒
2
53
y
8
4
x3,5
y

=




=

⇒
32
y
53
78
x
53

=±




=±



b)
22
x
y
19
x
3
y


+−=
=




⇒
22
x
y
10
x3y


+
=

=


⇒
2
y
1
x3
y


=


=


⇒
y
1
x3
=±


=±

.

Thử lại, ta có tập nghiệm
7 8 32 7 8 3532
(3, 1), ( 3, 1), , , ,
53
53 53



−− − −









.
Ví dụ 16. Giải hệ
33
33
2x y 2x y
81
y
2x 182
2x y 2x y
1
.
y
2x 182

++
+=



−−

+=


(16)
Giải. Tập xác định x
≠ 0, y ≠ 0. Quy đồng mẫu số ta đi đến

12
3
3
81x
y
(2xy)2xy
91
x
y
(2x y) 2x y
91

++=




−−=


⇔
4/3
4/3
81x
y
(2x y)
91
x
y
(2x y)

91

+=




−=


(17)
Vì x, y
≠ 0 nên 2x − y ≠ 0. Từ đó và (17) ta có
4/3
2x y
81
2x y
+

=

−

⇔
2x y
27.
2x y
+
=
±

−

Khi đó đi đến giải hai hệ sau :
a)
4/3
2x y
27
2x y
x
y
(2x y)
91
+

=

−



−=


⇒
4/3 2
7y
x
13
yy
13 13


=



 

=
 

 

⇒
x6,5
y
14
=
±


=
±


Thử lại ta có tập nghiệm
{(7, 13), (−7, −13), (6,5 ; 14), (−6,5 ; −14)}.
Ví dụ 17.
22 22
22 22
23

xy xy
51
51
xy xy
x 2y 18.

++ −
+

=

−

+− −


+=

7
7
(18)
Giải. Điều kiện
22
22
x
y
0
x
y
0

y0

+
≠


−
≥

≠

⇔ |x| ≥ |y| > 0
Phương trình đầu cho ta
22 22
x
y
x
y
57
+−
=
⇒
3x
y
4
=±

Từ đó ta có hai hệ

13

a)
33
3x
y
4
x2
y
18

=



+=

⇔
3
3x
y
4
59x 32.18

=



=

⇔
3

3
9
x4
59
9
y3
59

=




=



b)
33
3x
y
4
x2
y
18

=−

+=




⇔
3
3x
y
4
5x 32.8

=−



=

⇔
3
3
x1,8
y
31,8

=


=−



Thử lại, ta có 2 nghiệm

44
99
4,3
59 59



,
()
33
41,8, 31,8− .
Ví dụ 18. Giải hệ
|x
y
|x
y
a
|x
y
|x
y
b
+
=−+


−
=++

(19)

Giải. a) Nếu x
≥ −y và x ≥ y ta có
x
y
x
y
a
x
y
x
y
b
+=−+


−=++

⇔
a
y
2
b
2

=




=

−


⇒ a = −b
mà x
≥ −y và x ≥ y
x
≥
|a|
2
,
a
y
2
=
.
b) Nếu x
≤ −y, x ≥ y thì
x
y
x
y
a
x
y
x
y
b
−−=−+



−=++

⇔
a
x
2
b
y
2

=
−




=
−



Với điều kiện y
≤ x ≤ −y ta phải có b ≥ |a|
c) Nếu x ≥ −y, x ≤ y thì

14
x
y
x

y
a
y
xx
y
b
+=−+


−=++

⇔
a
y
2
b
x
2

=




=
−



Với điều kiện −y ≤ x ≤ y phải có

ab
22
a
2
−
≤− ≤ ⇒ a ≥ |b|.
d) Nếu x
≤ −y, x ≤ y thì
x
y
x
y
y
xx
y
b
−− = −


−=++

⇔
a
x
2
b
y
2

=

−




=
−


⇒ a = b
Từ điều kiện x ≤ −y và x ≤ y nên a = b ≥ 0. Khi đó
a
x
2
=− ,
aa
y
22
−≤≤

Kết luận : với a = −b, x ≥
|a|
2
,
a
y
2
=
,
với a ≥ |b|, x =

b
2
−
,
a
y
,
2
=

với b ≥ |a|,
a
x,
2
=−

b
y
2
=
− ,
với a = b
≥ 0,
a
2
=−x,

aa
y
.

22
−
≤≤
Ví dụ 19. Giải hệ
22
422242 2
xy y xy x 18xy
x
2
yy
x
y
x 208x
y

++ +=


++ +=


(20)
Giải.
a) Nếu (x, y) là nghiệm của (20) và xy = 0 thì x = y = 0.
b) Nếu xy
≠ 0 thì chia phương trình đầu cho xy còn phương
trình sau cho
x
22
y

, ta nhận được

15
22
22
11
xy18
xy
11
x
y
208
xy

+++=




+++=


(21)
Đặt u =
1
x
x
+
, v =
1

y
y
+
. Khi đó (21) có dạng
22
uv18
u v 212
+=



+=


⇔ (u, v) ∈ {(4, 14), (14, 4)}.
Thay vào ta có hai hệ
1
x4
x
1
y
14
y

+=




+=



và
1
x1
x
1
4
y
4.
y

+
=




+
=



Giải hai hệ trên kết hợp với nghiệm (0, 0) ta được 9 nghiệm :
(0, 0),
()
23,743++, (2 3, 7 4 3),+− (2 3, 7 4 3)−+,
(2 3, 7 4 3)−−, (7 4 3, 2 3)++, (7 4 3, 2 3),+−
(7 4 3, 2 3),−+ (7 4 3, 2 3)−−.

16