Hệ pt đối xứng loại 1

ThS. on Vng Nguyờn
Trang
1

CHUYấN

H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) I

TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON

I. H i xng loi (kiu) I cú dng tng quỏt:
f(x, y) = 0
g(x,y) = 0
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
, trong ú
f(x, y) = f(y,x)
g(x,y) = g(y, x)
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ

Phng phỏp gii chung:

i) Bc 1: t iu kin (nu cú).
ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v
2
S 4P

.
iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P ri dựng Viet o tỡm x, y.

Chỳ ý:
i) Cn nh: x
2
+ y
2
= S
2
2P, x
3
+ y
3
= S
3
3SP.
ii) ụi khi ta phi t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv.
iii) Cú nhng h phng trỡnh tr thnh i xng loi I sau khi t n ph.

Vớ d 1. Gii h phng trỡnh
2 2

3 3
x y xy 30
x y 35
ỡ
ù + =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
.
GII
t
S x y, P xy
= + =
, iu kin
2
S 4P

. H phng trỡnh tr thnh:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35

S
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
=ù
ù
ù ù

ớ ớ
ổ ử
ù ù
- =
ữ
ỗ
ù ù
- =
ợ
ữ
ỗ
ù
ữ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ợ

S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ỡ ỡ ỡ ỡ
= + = = =
ù ù ù ù
ù ù ù ù

ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
= = = =
ù ù ù ù
ợ ợ ợ ợ
.

Vớ d 2. Gii h phng trỡnh
3 3
xy(x y) 2
x y 2
ỡ
- = -
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
.
GII
t

t y, S x t, P xt
= - = + =
, iu kin
2
S 4P.

H phng trỡnh tr thnh:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ỡ ỡ
+ = =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = - =
ù ù
ợ ợ
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ỡ ỡ ỡ
= = =
ù ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
= = = -

ù ù ù
ợ ợ ợ
.

Vớ d 3. Gii h phng trỡnh
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y
ỡ
ù
ù
+ + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ + + =
ù
ù
ù
ợ
.
GII

ThS. on Vng Nguyờn
Trang
2

iu kin
x 0,y 0
ạ ạ
.
H phng trỡnh tng ng vi:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ỡổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
+ + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ữ ữ
ữ ữỗ ỗ
ù
ố ứ ố ứ
ù

ớ
ùổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + + =
ữ ữ
ù
ỗ ỗ
ữ ữ
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ù
ợ

t
2
1 1 1 1
S x y ,P x y ,S 4P
x y x y
ổ ử ổ ử ổ ửổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= + + + = + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữỗ ỗ ỗ ỗ

ố ứ ố ứ ố ứố ứ
ta cú:
2
1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1S 2P 8
x y 4
x y
ỡổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
+ + + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ỡ ỡ
ữ ữ
= =ù
ù
ữ ữỗ ỗ
ù
ố ứ ố ứ
ù ù ù

ớ ớ ớ
ổ ửổ ử

ù ù ù
=- =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù ù ù
ợợ
+ + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ố ứố ứ
ù
ợ
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ỡ
ù
ù
+ =
ỡ

ù
=
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ
+ =
ù
ù
ù
ợ
.

Vớ d 4. Gii h phng trỡnh
2 2
x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
ỡ
ù
+ + =
ù
ù
ớ
ù
+ =

ù
ù
ợ
.
GII
iu kin
x, y 0

. t
t xy 0
=
, ta cú:
2
xy t
=
v
(2) x y 16 2t
ị + = -
.
Th vo (1), ta c:
2
t 32t 128 8 t t 4
- + = - =

Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù

ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = =
ù ù
ợ ợ
.




II. iu kin tham s h i xng loi (kiu) I cú nghim

Phng phỏp gii chung:

i) Bc 1: t iu kin (nu cú).
ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v
2
S 4P

(*).
iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m.

Chỳ ý:
Khi ta t n ph u = u(x), v = v(x) v S = u + v, P = uv thỡ nh tỡm chớnh xỏc iu kin u, v.


Vớ d 1 (trớch thi H khi D 2004). Tỡm iu kin m h phng trỡnh sau cú nghim thc:
x y 1

x x y y 1 3m
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ = -
ù
ù
ợ
.
GII
ThS. Đoàn Vương Nguyên
Trang
3

Điều kiện
x, y 0
³
ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
ì ì
ï ï
+ = + =
ï ï
ï ï

Û
í í
ï ï
+ = - + = -
ï ï
ï ï
î î

Đặt
S x y 0,P xy 0
= + ³ = ³
,
2
S 4P.
³
Hệ phương trình trở thành:
2
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
ì
ì
=
=
ï
ï
ï ï
Û
í í

ï ï
=- = -
ï ï
î
î
.
Từ điều kiện
2
S 0,P 0,S 4P
³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
x y xy m
x y xy 3m 9
ì
+ + =
ï
ï
í
ï
+ = -
ï
î

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
ì
ì
+ + =
+ + =
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = -
+ = -
ï ï
î
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.
³
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9

ì
+ =
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0
- + - =

S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2

2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
³ -
ê
Û Û £ Ú ³ +
ê
- ³
ê
ë
.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
x 4 y 1 4
x y 3m
ì
ï
- + - =
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm.
GIẢI

Đặt
u x 4 0,v y 1 0
= - ³ = - ³
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
ì
+ =
ï
ì
ï
+ =ï
ïï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của

2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không âm

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P 0
2
ì
ì
-
ï
ï
D ³
ï

ï
³
ï
ï
ï
ï
Û ³ Û Û £ £
í í
ï ï
-
ï ï
³
³
ï ï
ï ï
î
î
.

ThS. Đoàn Vương Nguyên
Trang
4

Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
ì
ï + + + =
ï

í
ï
+ + =
ï
î
có nghiệm thực.
GIẢI
2 22 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
(x 4x)(y 4y) m
ì
ì
ï + + + =
ï + + + =
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + =
+ + =
ï ï
î
î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0,v (y 2) 0

= + ³ = + ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = - = +
ï ï
î î
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
³ Û - £ £
í
ï
ï

³
ï
ï
î
.


BÀI TẬP


Giải các hệ phương trình sau

1.
2 2
x y xy 5
x y xy 7
ì
+ + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= =

ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
2.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ì
ï + + =
ï
í
ï
+ + = -
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 3 x 3
y 1
y 3 y 3
ì ì
ì
ï ï
= - = = -
ï

ï ï
ï ï ï
Ú Ú
í í í
ï ï ï
= -
= - =
ï ï ï
î
ï ï
î î
.
3.
3 3
x y 2xy 2
x y 8
ì
+ + =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
. Đáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
ì ì
= =

ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
4.
3 3
x y 7
xy(x y) 2
ì
ï - =
ï
í
ï
- =
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= - =
ï ï
ï ï
Ú
í í

ï ï
= - =
ï ï
î î
.
5.
2 2
x y 2xy 5
x y xy 7
ì
- + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
. Đáp số:
1 37 1 37
x x
x 2 x 1
4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
ì ì
ï ï
- +

ï ï
= =
ï ï
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
- - - +
ï ï ï ï
î î
= =
ï ï
ï ï
ï ï
î î
.
6.
2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y

ì
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
í
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 1
7 3 5 7 3 5
x x
2 2
7 3 5 7 3 5
y y
y 1 y 1
2 2
ì ì ì ì
= - = -
ï ï ï ï
- +
ï ï ï ï
= =

ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
= - = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
ThS. on Vng Nguyờn
Trang
5

7.
x y y x 30
x x y y 35
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù

ợ
. ỏp s:
x 4 x 9
y 9 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
8.
x y 7
1
y x
xy
x xy y xy 78
ỡ
ù
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
ù

+ =
ù
ù
ợ
(chỳ ý iu kin x, y > 0). ỏp s:
x 4 x 9
y 9 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
9.
(
)
2 2
3 3
3
3
2(x y) 3 x y xy
x y 6
ỡ
ù
+ = +

ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 8 x 64
y 64 y 8
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
10. Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4
ỡ
ù + + =
ù
ớ

ù
+ + =
ù
ợ
. Chng minh
8 8
x, y,z
3 3
- Ê Ê
.
HNG DN GII
H phng trỡnh
2 2 2 2 2
x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
ỡ ỡ
ù + = - ù + - = -
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ + = + + =
ù ù
ợ ợ

2 2
(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4
ỡ
ù + - - + = -

ù

ớ
ù
+ + =
ù
ợ
2 2
(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4
ỡ
ù + + + + - =
ù

ớ
ù
+ + =
ù
ợ

2 2
x y 4 z x y 4 z
xy (z 2) xy (z 2)
ỡ ỡ
+ = - + = - -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù

= - = +
ù ù
ợ ợ
.
Do x, y, z l nghim ca h nờn:
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2)
8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2)
3 3
ộ
- -
ờ
+ - Ê Ê
ờ
- - +
ờ
ở
.
i vai trũ x, y, z ta c
8 8
x, y,z
3 3
- Ê Ê
.
11.
x y

1 1 1
16 16 2
x y 1
ỡ
ù
ổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
+ =
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ớ
ố ứ ố ứ
ù
ù
+ =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
1
x
2
1

y
2
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
.
12.
sin (x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
p +
ỡ
ù =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ

HNG DN GII
Cỏch 1:
sin (x y)
2 2 2 2
2 2
sin (x y) 0 x y (1)
2 1
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2)
2(x y ) 1
p +
ỡ
ỡ ỡ
p + = + ẻ
ù =
ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
+ = + =
+ =
ù ù ù
ợ ợ
ợ
Z

2
2 2
2

1 2 2
x x
1
2 2 2
(2) x y 2 x y 2
1
2
2 2
y
y
2
2 2
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù
Ê - Ê Ê
ù
ù
ù
ù
ù
+ = ị ị ị - Ê + Ê
ớ ớ
ù ù
ù ù
Ê
- Ê Ê

ù ù
ù ù
ợ
ù
ợ
.
x y 0
(1)
x y 1
ộ
+ =
ờ
ị
ờ
+ =
ờ
ở
th vo (2) gii.
ThS. Đoàn Vương Nguyên
Trang
6

Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành:
sin S
2
2
S
2 1
4P 2S 1

2(S 2P) 1
p
ì
ì
Î
ï =
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
= -
- =
ï ï
î
î
Z
.
Từ điều kiện
2
S 4P
³
ta suy ra kết quả tương tự.
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
1 1 1 1
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
y y y y
2 2 2 2

ì ì ì ì
ï ï ï ï
ï ï ï ï
= = - = = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
ï ï ï ï
= = - = - =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.


Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu

1. Tìm m để hệ phương trình
2 2
x xy y m 6
2x xy 2y m
ì
ï + + = +
ï
í
ï
+ + =
ï

î
có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
2 2
2 2 2
3x m 6 3x 6 m m 3
m 21
x 4x m x 4x 3x 6
ì ì
é
ï = + ï - = = -
ï ï
ê
Û Þ
í í
ê
ï ï
=
+ = + = -
ê
ï ï
ë
î î
.
+ m = – 3:
2 2 2
x xy y 3 (x y) xy 3
2(x y) xy 3 2(x y) xy 3
ì ì

ï + + = ï + - =
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = - + + = -
ï ï
î î

x y 0 x y 2 x 3 x 3 x 1
xy 3 xy 1 y 1
y 3 y 3
ì ì
ì ì ì
ï ï
+ = + = - = = - = -
ï ï ï
ï ï
ï ï ï ï ï
Û Ú Û Ú Ú
í í í í í
ï ï ï ï ï
= - = = -
= - =
ï ï ï ï ï
î î î
ï ï
î î
(loại).
+ m = 21:

2 2 2
x xy y 27 (x y) xy 27
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
ì ì
ï + + = ï + - =
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = + + =
ï ï
î î

x y 8 x y 6 x 3
xy 37 xy 9 y 3
ì ì ì
+ = - + = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Ú Û
í í í
ï ï ï
= = =
ï ï ï
î î î
(nhận).
Vậy m = 21.
2. Tìm m để hệ phương trình:
2 2
x xy y m 1

x y xy m
ì
+ + = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm thực x > 0, y > 0.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2
x xy y m 1
(x y) xy m 1
xy(x y) mx y xy m
ì
ì
+ + = +
+ + = +
ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ =+ =
ï ï
î
î

x y 1 x y m
xy m xy 1
ì ì
+ = + =
ï ï
ï ï
Û Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
Hệ có nghiệm thực dương
2
m 0
1
0 m m 2
1 4m m 4
4
ì
>
ï
ï
Û Û < £ Ú ³
í
ï
³ Ú ³
ï
î

.
Vậy
1
0 m m 2
4
< £ Ú ³
.
ThS. on Vng Nguyờn
Trang
7

3. Tỡm m h phng trỡnh
x y m
x y xy m
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
cú nghim thc.
HNG DN GII
(
)
2

2
x y m
x y m
x y m
m m
x y xy m
xy
x y 3 xy m
3
ỡ
ù
ỡ
+ =
ỡ
ù
+ =
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
-
ù ù ù
+ - =
=
+ - =

ù ù ù
ù
ợ
ù
ù
ợ
ù
ợ
.
Suy ra
x, y
l nghim (khụng õm) ca phng trỡnh
2
2
m m
t mt 0
3
-
- + =
(*).
H cú nghim

(*) cú 2 nghim khụng õm
/ 2
2
0 m 4m 0
m 0
S 0 m 0
1 m 4
P 0 m m 0

ỡ
ỡ
ù
ù
D - Ê
ùù
ộ
=
ù
ù
ù ù
ờ

ớ ớ
ờ
ù ù
Ê Ê
ờ
ù ù
ở
-
ù ù
ù ù
ợ
ợ
.
Vy
m 0 1 m 4
= Ê Ê
.

4. Tỡm m h phng trỡnh
2 2
2
x y 2(1 m)
(x y) 4
ỡ
ù + = +
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
cú ỳng 2 nghim thc phõn bit.
HNG DN GII
2 2 2
2 2
x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)
(x y) 4 (x y) 4
ỡ ỡ
ù + = + ù + - = +
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = + =
ù ù
ợ ợ
xy 1 m xy 1 m
x y 2 x y 2

ỡ ỡ
= - = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = + = -
ù ù
ợ ợ
.
H cú ỳng 2 nghim thc phõn bit khi
(
)
2
2 4(1 m) m 0
= - =
.
5. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
ù
+ = + -
ù

ợ
. Tỡm m P = xy nh nht.
HNG DN GII
t
S x y, P xy
= + =
, iu kin
2
S 4P.


2 2 2 2 2
x y 2m 1 S 2m 1
x y m 2m 3 S 2P m 2m 3
ỡ ỡ
+ = - = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = + - - = + -
ù ù
ợ ợ

2 2
2
S 2m 1
S 2m 1
3

(2m 1) 2P m 2m 3
P m 3m 2
2
ỡ
= -
ù
ỡ
ù
= -ù
ùù

ớ ớ
ù ù
- - = + -
= - +
ù ù
ợ
ù
ợ

T iu kin suy ra
2 2
4 2 4 2
(2m 1) 6m 12m 8 m .
2 2
- +
- - + Ê Ê

Xột hm s
2

3 4 2 4 2
f(m) m 3m 2, m
2 2 2
- +
= - + Ê Ê
.
Ta cú
4 2 11 6 2 4 2 4 2
min f(m) f , m ;
2 4 2 2
ổ ử ộ ự
- - - +
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
= = " ẻỗ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ

Vy
11 6 2 4 2
min P m

4 2
- -
= =
.