Hệ đối xứng loại II

H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) II
1. Dng 1:
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
f(x, y) = 0
f(y, x) = 0
(i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia)
Phng phỏp gii chung
Cỏch gii 1
Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai
phng trỡnh ca h.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù

ợ
.
Gii
Tr (1) v (2) v theo v ta c:
3 3 2 2
x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0- + - = - + + + =

2
2
y 3y
(x y) x 3 0 y x
2 4
ộ ự
ổ ử
ờ ỳ
ữ
ỗ
- + + + = =
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
Th y = x vo (1) hoc (2) ta c:
3
x x 0 x 0+ = =

Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht
x 0
y 0
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
Vớ d 2. Gii h phng trỡnh
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
Gii
iu kin:
3

x 4
2
3
x 4
2
ỡ
ù
ù
- Ê Ê
ù
ù
ớ
ù
ù
- Ê Ê
ù
ù
ợ
.
Tr (1) v (2) ta c:
( ) ( )
2x 3 2y 3 4 y 4 x 0+ - + + - - - =
(2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x)
0
2x 3 2y 3 4 y 4 x
+ - + - - -
+ =
+ + + - + -

2 1

(x y) 0 x y
2x 3 2y 3 4 y 4 x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- + = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + - + -
.
Thay x = y vo (1), ta c:
2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - =

2
2
9 x 0
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9x 38x 33 0
9
ỡ
-
ù
ù
- + + = - = =

ớ
ù
- + =
ù
ợ
(nhn).
Vy h phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit
11
x
x 3
9
y 3 11
y
9
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
=
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ

=
ù
ù
ợ
.
Cỏch gii 2 (nờn dựng khi cỏch 1 khụng gii c)
Cng v tr ln lt hai phng trỡnh a v h phng trỡnh mi tng ng gm hai phng trỡnh tớch (thụng
thng tng ng vi 4 h phng trỡnh mi).
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ỡ
ù
= +
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ợ
Gii
Tr v cng (1) vi (2), ta c:
3 2 2
3 2 2
x 2x y (x y)(x xy y 1) 0
y 2y x (x y)(x xy y 3) 0

ỡ ỡ
ù ù
= + - + + - =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= + + - + - =
ù ù
ù ù
ợ ợ

2 2
2 2 2 2
2 2
x y 0 x y 0
x y 0 x xy y 1
x y 0
x xy y 3 x xy y 1
x xy y 3
ỡ
ỡ ỡ
ỡ
ù
- = + =
ù ù
- = + + =
ù
ù

ù ù
ù ù

ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
+ =
- + = + + =
- + =
ù ù ù ù
ợ
ợ ợ
ù
ợ
+
x y 0 x 0
x y 0 x 0
ỡ ỡ
- = =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = =
ù ù
ợ ợ
+
2 2 2
x y 0 y x
x 3 x 3

x xy y 3 x 3
y 3 y 3
ỡ ỡ
ỡ ỡ
ù ù
- = =
ù ù
= = -
ù ù
ù ù
ù ù

ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
- + = =
= = -
ù ù ù ù
ợ ợ
ù ù
ợ ợ
+
2 2 2
x y 0 y x
x 1 x 1
y 1 y 1
x xy y 1 x 1
ỡ ỡ
ỡ ỡ
+ = = -
ù ù

= - =
ù ù
ù ù
ù ù

ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
= = -
+ + = =
ù ù ù ù
ợ ợ
ợ ợ
+
2 2
2 2
2 2
xy 1
x xy y 1 xy 1 x 1 x 1
x y 0 y 1 y 1
x y 2
x xy y 3
ỡ
ỡ
ỡ ỡ ỡ
ù
= -
ù
+ + = = - = = -
ù ù ù
ù

ù
ù ù ù ù

ớ ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù ù
+ = = - =
+ =
- + =
ù ù ù ù ù
ợ ợ ợ
ợ
ù
ợ
Vy h phng trỡnh cú 5 nghim phõn bit:
x 0 x 1 x 1 x 3 x 3
x 0 y 1 y 1
y 3 y 3
ỡ ỡ
ỡ ỡ ỡ
ù ù
= = - = = = -
ù ù ù
ù ù
ù ù ù ù ù

ớ ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù ù
= = = -
= = -
ù ù ù ù ù

ợ ợ ợ
ù ù
ợ ợ
.
Cỏch 3. S dng hm s n iu suy ra x = y
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
Gii
iu kin:
3
x 4
2
3
x 4
2
ỡ
ù
ù

- Ê Ê
ù
ù
ớ
ù
ù
- Ê Ê
ù
ù
ợ
.
Tr (1) v (2) ta c:

2x 3 4 x 2y 3 4 y+ - - = + - -
(3)
Xột hm s
3
f(t) 2t 3 4 t, t ; 4
2
ộ ự
ờ ỳ
= + - - ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
, ta cú:

/
1 1 3
f (x) 0, t ; 4
2

2t 3 2 4 t
ổ ử
ữ
ỗ
= + > " ẻ -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ -
(3) f(x) f(y) x yị = =
.
Thay x = y vo (1), ta c:

2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - =

2
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9
- + + = - = =
(nhn).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
x
x 3
9
y 3 11

y
9
ì
ï
ï
=
ì
ï
=
ï
ï
ï
Ú
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
3
3
x 2x y
y 2y x
ì
ï

+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î
.
Giải
Xét hàm số
3 / 2
f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + Þ = + > " Î ¡
.
Hệ phương trình trở thành
f(x) y (1)
f(y) x (2)
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.
+ Nếu
x y f(x) f(y) y x> Þ > Þ >

(do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu
x y f(x) f(y) y x< Þ < Þ <
(mâu thuẩn).
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được
3
x x 0 x 0.+ = Û =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
x 0
y 0
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.
Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và
3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!
Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x 2
3x

y
y 2
3y
x
ì
ï
+
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
+
ï
ï
=
ï
ï
î
Giải
Nhận xét từ hệ phương trình ta có
x 0
y 0
ì
>
ï
ï
í

ï
>
ï
î
. Biến đổi:
2
2 2
2
2 2
2
2
x 2
3x
3xy x 2 (1)
y
3yx y 2 (2)
y 2
3y
x
ì
ï
+
ï
=
ï
ì
ï
= +
ï
ï

ï ï
Û
í í
ï ï
= +
+
ï ï
ï
î
ï
=
ï
ï
î
Trừ (1) và (2) ta được:
(x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).- + + = Û = + + >
Với
3 2
x y : (1) 3x x 2 0= Û - - =
2
(x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.Û - + + = Û =
Vậy hệ có 1 nghiệm
x 1
y 1
ì
=
ï
ï
í
ï

=
ï
î
.
2. Dạng 2:
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
, trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2
1 1
x y (1)
x y
2x xy 1 0 (2)
ì
ï
ï
- = -
ï
ï

í
ï
ï
- - =
ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0¹ ¹
. Ta có:

1 1
(1) (x y) 1 0 y x y .
xy x
æ ö
÷
ç
Û - + = Û = Ú = -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
+ Với y = x:
2
(2) x 1 0 x 1Û - = Û = ±
.

+ Với
1
y
x
= -
: (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x 1 x 1
y 1 y 1
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= = -
ï ï
î î
.
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng
f(x) f(y) x y= Û =
với hàm f đơn điệu.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2
x y cosx cosy (1)
x y 3y 18 0 (2)
ì
- = -

ï
ï
í
ï
- - =
ï
î
.
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được:
(1) x cosx y cosyÛ - = -
(3).
Xét hàm số
/
f(t) t cost f (t) 1 sint 0, t= - Þ = + > " Î ¡
.
Suy ra
(3) f(x) f(y) x yÛ = Û =
.
Thay x = y vào (2), ta được:
3 2
x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.- - = Û - + + = Û =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x 3
y 3
ì
=
ï
ï
í

ï
=
ï
î
.
Chú ý: Cách giải sau đây sai:
2
1 1
x y (1)
x y
2x xy 1 0 (2)
ì
ï
ï
- = -
ï
ï
í
ï
ï
- - =
ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0¹ ¹
.
Xét hàm số

/
2
1 1
f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}
t
t
= - Î Þ = + > " Ρ ¡
.
Suy ra
(1) f(x) f(y) x yÛ = Û =
!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
BÀI TẬP
Gii cỏc h phng trỡnh sau
1)
2
2
x 3y 2 0
y 3x 2 0
ỡ
ù
- + =
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ

. ỏp s:
x 1 x 2
y 1 y 2
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
2)
2
2
x xy x 2y
y xy y 2x
ỡ
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
+ = +
ù
ù
ợ

. ỏp s:
3
x
x 0
2
y 0 3
y
2
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
=
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ
=
ù
ù
ợ
.
3)

x 1 y 7 4
y 1 x 7 4
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 8
y 8
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
4)
x 1 y 2 3
y 1 x 2 3
ỡ

ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 3
y 3
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
5)
x 3 2 y 3
y 3 2 x 3
ỡ
ù
+ + - =
ù

ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1 x 2
y 1 y 2
ỡ ỡ
= = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= = -
ù ù
ợ ợ
.
6)
3
3
x x 2y
y y 2x
ỡ
ù
= +
ù

ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 0 x 3 x 3
y 0
y 3 y 3
ỡ ỡ
ỡ
ù ù
= = = -
ù
ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
=
= = -
ù ù ù
ợ
ù ù
ợ ợ
.
7)
2

2
3
2x y
x
3
2y x
y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1
y 1
ỡ
=
ù
ù
ớ

ù
=
ù
ợ
. 8)
2
2
1
2x y
y
1
2y x
x
ỡ
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1

y 1
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
9)
2 2
2 2
x y 4 y
xy 4 x
ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 2
y 2

ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
10)
3 2
3 2
x x x 1 2y
y y y 1 2x
ỡ
ù
- + + =
ù
ù
ớ
ù
- + + =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1 x 1
y 1 y 1
ỡ ỡ

= = -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= = -
ù ù
ợ ợ
.
11) (trớch thi H khi A 2003)
3
1 1
x y (1)
x y
2y x 1 (2)
ỡ
ù
ù
- = -
ù
ù
ớ
ù
ù
= +
ù
ù
ợ
.

Hng dn gii
iu kin:
x 0, y 0.ạ ạ

x y 1 1
(1) x y 0 (x y) 1 0 x y y .
xy xy x
ổ ử
-
ữ
ỗ
- + = - + = = = -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ Vi
x y=
: (2)
1 5
x 1 x .
2
-
= =
+ Vi
4
1
y : (2) x x 2 0.

x
= - + + =
Xột hm s
4 / 3
3
1
f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x .
4
-
= + + ị = + = =
3 3
x
1 3
f 2 0, lim f(x) 0, x
4 4 4
đƠ
ổ ử
-
ữ
ỗ
= - > = +Ơ ị > " ẻ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
Ă

4

x x 2 0ị + + =
vụ nghim.
Cỏch khỏc: