Ánh xạ co và một số ứng dụng

1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài khóa luận
Như chúng ta ñã biết, lý thuyết hàm và giải tích hàm là những nội
dung chính của giải tích toán học hiện ñại. Nó có vai trò ñặc biệt quan trọng
ñối với toán học cơ bản và ứng dụng. ðây là môn học khá quan trọng ñối với
sinh viên khoa toán học trong các trường ðại học.
Trong chương trình học, sinh viên bước ñầu ñược trang bị những kiến
thức về không gian metric, trong ñó có ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co. Ánh
xạ co là một trường hợp riêng, quan trọng của ánh xạ liên tục. Trong một
phép ánh xạ
f
từ
X
vào chính nó có thể có những ñiểm mà ảnh của nó trùng
với chính nó, những ñiểm như thế, tức là những ñiểm
x
sao cho
(
)
f x x
=
gọi
là ñiểm bất ñộng trong ánh xạ. Nguyên lý ánh xạ co của Banach ñối với các
ánh xạ co trên không gian metric ñầy ñủ là một kết quả kinh ñiển của Toán
học. Sau khi ñược Banach chứng minh, nguyên lý ánh xạ co trở thành một
trong những vấn ñề thu hút rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Việc
tìm ra ñiểm bất ñộng của ánh xạ có nhiều ứng dụng trong giải tích, nhất là
trong lý thuyết các phương trình (vi phân, ñạo hàm riêng, tích phân).

Với mong muốn ñược hiểu rõ hơn về sự duy nhất nghiệm của phương
trình, hệ phương trình ñại số, sự tồn tại nghiệm của phương trình vi – tích
phân và xét sự hội tụ của dãy số. ðưa ra hệ thống các ví dụ và bài tập áp dụng
nguyên lý ánh xạ co. Với những lí do trên tôi lựa chọn ñề tài: “Ánh xạ co và
một số ứng dụng” cho khóa luận tốt nghiệp ðại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
+ Mục tiêu khoa học công nghệ: Hệ thống lại cơ sở lý thuyết về ánh xạ
co và nguyên lý

ánh xạ co cùng một số kiến thức liên quan.
+ Sản phẩm khoa học công nghệ: Áp dụng nguyên lý ánh xạ co ñể xét
sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình ñại số, một số phương
trình vi – tích phân và sự hội tụ của dãy số.

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu lí thuyết về ánh xạ co, nguyên lý ánh xạ co và một số
kiến thức liên quan.
+ Hệ thống một số bài tập về sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ
phương trình ñại số, một số phương trình vi – tích phân ñặc biệt và sự hội tụ
của dãy số.
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan ñến cơ sở lí thuyết ánh xạ co và một số ứng dụng.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa các kiến
thức về vấn ñề nghiên cứu một cách ñầy ñủ, khoa học và kết hợp ñưa vào các
bài tập cụ thể.
+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực
tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác ñể hoàn thiện về mặt nội dung và hình

thức của khóa luận.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ ðối tượng: Nguyên lý ánh xạ co.
+ Phạm vi: Sử dụng nguyên lý ánh xạ co ñể xét sự tồn tại nghiệm của
phương trình, hệ phương trình ñại số, một số phương trình vi – tích phân và
sự hội tụ của dãy số.
6. Ý nghĩa khoa học

Khóa luận có thể làm tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên
ngành toán của trường ðại học Hùng Vương có mong muốn tiếp tục tìm hiểu
về ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co. Bản thân em, bên cạnh việc tìm hiểu về
một số ứng dụng của ánh xạ co ñã nắm vững hơn những kiến thức ban ñầu
của giải tích hàm.



3

7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở ñầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia
thành các chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co

4

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung chính của chương là những khái niệm cơ bản về không gian
metric, ánh xạ liên tục, không gian metric ñầy ñủ, ánh xạ co và nguyên lý ánh

xạ co. ðây là những kiến thức cơ sở cho việc nghiên cứu về một số ứng dụng
của ánh xạ co. Các kiến thức trong chương này ñược trích từ các tài liệu [3],
[4], [7].
1.1. Không gian metric
1.1.1. Khái niệm không gian metric
ðịnh nghĩa 1.1:
Cho
X
là một tập khác rỗng. Hàm số
:
d X X
× →
ℝ
ñược gọi là một
metric (hay là một khoảng cách) trên
X
nếu nó thỏa mãn các tiên ñề sau:
i)
( , ) 0
d x y
≥
∀x, y ∈ X và
( , ) 0
d x y
=
⇔ x = y.
ii)
( , ) ( , )
d x y d y x
=

∀x, y ∈ X.
iii)
( , ) ( , ) ( , )
d x y d x z d z y
≤ +
∀x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với metric d xác ñịnh trên nó ñược gọi là không gian
metric và ñược kí hiệu (X, d).
Ví dụ 1.1: Tập hợp các số thực
ℝ
là không gian metric, với metric

(
)
, , , d x y x y x y
= − ∈
ℝ

(1)
Thật vậy, hệ thức (1) xác ñịnh một ánh xạ từ tích ñề các
×
ℝ ℝ
vào tập
số thực
ℝ
.
Với hai phần tử bất kỳ
,
x y
∈

ℝ
, ta có:
0
x y
− ≥
(
)
, 0
d x y
⇔ ≥
và
(
)
, 0 0
d x y x y x y
= ⇔ − = ⇔ =
.
Do
ñ
ó ánh x
ạ
(1) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
i) v
ề
metric.
V
ớ

i hai ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ

,
x y
∈
ℝ
, ta có
x y y x
− = −
hay
(
)
(
)
, ,
d x y d y x
=
.
Ánh x
ạ
(1) th
ỏ
a mãn tiên

ñề
ii) v
ề
metric.
V
ớ
i ba ph
ầ
n t
ử

, ,
x y z
∈
ℝ
ta có:

5

x y x z z y x z z y
− = − + − ≤ − + −
, nên
(
)
(
)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y

≤ +
.
Ánh x
ạ
(1) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
iii) v
ề
metric.
Vì v
ậ
y, h
ệ
th
ứ
c (1) xác
ñị
nh m
ộ
t metric trên
ℝ
. Do
ñ
ó t
ậ
p h
ợ
p các s

ố

th
ự
c là m
ộ
t không gian metric.
Ví dụ 1.2:
Cho t
ậ
p
X
φ
≠
nào
ñấ
y. V
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ

,
x y X
∈

ta
ñặ
t

( )
1;
,
0;
x y
d x y
x y
≠

=

=

(2)
Khi ñó, hệ thức (2) xác ñịnh một ánh xạ từ tích ñề các
X X
×
vào tập
số thực
ℝ
. Ta kiểm tra ánh xạ (2) thỏa mãn các tiên ñề metric.
Với hai phần tử bất kỳ
,
x y X
∈
, khi ñó

(
)
, 0
d x y
≥
. N
ế
u
x y
=
thì theo (2) ta
có
(
)
, 0
d x y
=
, nh
ư
ng
x y
≠
thì
(
)
, 1
d x y
=
, nên
(

)
, 0
d x y
=
khi và ch
ỉ
khi
x y
=
. Do
ñ
ó ánh x
ạ
(2) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
i) v
ề
metric.
V
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ

,
x y X
∈
, ta có:
N
ế
u
x y
=
thì
y x
=
, do
ñ
ó
(
)
(
)
, , 0
d x y d y x
= =
.
N
ế
u
x y
≠
thì

y x
≠
, do
ñ
ó
(
)
(
)
, , 1
d x y d y x
= =
.
Vì v
ậ
y, v
ớ
i m
ọ
i
,
x y X
∈
thì
(
)
(
)
, ,
d x y d y x

=
. Ánh x
ạ
(2) th
ỏ
a mãn tiên
ñề

ii) v
ề
metric.
V
ớ
i ba ph
ầ
n t
ử

, ,
x y z X
∈
, khi
ñ
ó:
Gi
ả
s
ử

x y

=
, thì
(
)
, 0
d x y
=
. Theo ch
ứ
ng minh trên ta có:
(
)
(
)
, 0, , 0
d x z d z y
≥ ≥
, do
ñ
ó
(
)
(
)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y
≤ +
.

Gi
ả
s
ử

x y
≠
, thì
(
)
, 1
d x y
=
. N
ế
u
z x
=
, thì
z y
≠
, do
ñ
ó
(
)
(
)
, 0, , 1
d x z d z y

= =
, suy ra
(
)
(
)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y
= +
.
N
ế
u
z y
=
, thì
z x
≠
và b
ằ
ng cách t
ươ
ng t
ự
ta có
(
)
(

)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y
= +
.
N
ế
u
,
z x z y
≠ ≠
, thì
(
)
(
)
, , 1
d x z d z y
= =
, do
ñ
ó
(
)
(
)
(
)

, , ,
d x y d x z d z y
≤ +
.

6

Nên
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , , ,
x y z X d x y d x z d z y
∀ ∈ ≤ +
. Ánh x
ạ
(2) th
ỏ
a mãn tiên
ñề

iii) v
ề
metric.
Vì v

ậ
y, h
ệ
th
ứ
c (2) xác
ñị
nh m
ộ
t metric trên
X
. Không gian metric
t
ươ
ng
ứ
ng g
ọ
i là không gian metric r
ờ
i r
ạ
c. Ta g
ọ
i metric (2) là metric r
ờ
i r
ạ
c
trên t

ậ
p
X
.
Ví dụ 1.3: Không gian Euclide
k
ℝ
là không gian metric với metric
d
xác
ñịnh như sau: Nếu
(
)
1 2
, , ,
k
x x x x
=
và
(
)
1 2
, , ,
k
y y y y
=
là hai phần tử của
k
ℝ
thì

( )
1
2
2
1
,
n
i i
i
d x y x y
=
 
= −
 
 
∑
(3)
Với mọi
,
k
x y∈
ℝ
ta có
1
2
2
1
0
n

i i
i
x y
=
 
− ≥
 
 
∑
nên
(
)
, 0
d x y
≥
và
( )
1
2
2
1
, 0 0
n
i i
i
d x y x y
=
 
= ⇔ − =
 

 
∑
0, 1,
i i
x y i n
⇔ − = ∀ =
.
Do
ñ
ó h
ệ
th
ứ
c (3) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
i) v
ề
metric.
V
ớ
i m
ọ
i
,
k
x y ∈
ℝ
ta có

( )
1 1
2 2
2 2
1 1
,
n n
i i i i
i i
d x y x y y x
= =
   
= − = −
   
   
∑ ∑
(
)
,
d y x
=
.
H
ệ
th
ứ
c (3) th
ỏ
a mãn tiên
ñề

ii) v
ề
metric.
D
ễ
ki
ể
m tra h
ệ
th
ứ
c (3) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
iii) v
ề
metric, ta
ñể
ý r
ằ
ng n
ế
u
1 2 1 2
, , , , , , ,
k k
a a a b b b
là nh
ữ

ng s
ố
th
ự
c thì:
1 1
2 2
2 2
1 1 1
k k k
i i i i
i i i
a b a b
= = =
   
≤
   
   
∑ ∑ ∑

Th
ậ
t v
ậ
y,
ñặ
t
2 2
1 1 1
, ,

k k k
i i i i
i i i
a b a b
α β δ
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
.

7

Ta có
( )
2
2
1
2 0
k
i i
i
t t a t b
α δ β
=
+ + = + ≥
∑
với mọi số thực
t
, do ñó
2

0
δ αβ
′
∆ = − ≤
, t
ứ
c là ta có b
ấ
t
ñẳ
ng trên.
Gi
ả
s
ử

(
)
1 2
, , ,
k
x x x x
=
,
(
)
1 2
, , ,
k
y y y y

=
và
(
)
1 2
, , ,
k
z z z z
=
là ba ph
ầ
n t
ử

b
ấ
t kì c
ủ
a
k
ℝ
. Khi
ñ
ó:

( )
( )
2
2
2

1
,
k
i i i i i i
i
d x z x z x y y z
=
= − ≤ − + −
∑

=
2 2
1 1 1
2
k k k
i i i i i i i i
i i i
x y x y y z y z
= = =
− + − − + −
∑ ∑ ∑


2 2 2 2
1 1 1 1
2
k k k k
i i i i i i i i
i i i i
x y x y y z y z

= = = =
≤ − + − − + −
∑ ∑ ∑ ∑


2
2 2
1 1
k k
i i i i
i i
x y y z
= =
 
= − + −
 
 
 
∑ ∑


( ) ( )
(
)
2
, ,
d x y d y z
= +
.
T

ừ

ñ
ó
(
)
(
)
(
)
, , ,
d x z d x y d y z
≤ +
. H
ệ
th
ứ
c (3) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
iii) v
ề
metric.
V
ậ
y h
ệ
th
ứ

c (3) xác
ñị
nh m
ộ
t metric trên không gian
k
ℝ
. Không gian
metric t
ươ
ng
ứ
ng v
ẫ
n kí hi
ệ
u là
k
ℝ
và th
ườ
ng g
ọ
i là không gian Euclide, còn
metric (3) g
ọ
i là metric Euclide.
Nhận xét 1.1:
Trên cùng một tập có thể xác ñịnh nhiều metric khác nhau. Chẳng hạn
trên cùng tập

k
ℝ
, ngoài metric Euclide có thể xác ñịnh các metric khác sau:

( )
1
1
,
k
j j
j
d x y x y
=
= −
∑

(4)
và
(
)
1
, ax
j j
j k
d x y m x y
∞
≤ ≤
= −
(5)
Dễ thấy hệ thức (4) thỏa mãn tiên ñề i), ii) về metric.

8

Với ba vector bất kỳ
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 3
, , , ; , , , ; , , ,
k k
x x x x y y y y z z z z
= = =
thuộc
k
ℝ
ta có:

( )
1
1 1
,
k k
j j j j j j
j j
d x y x y x z z y
= =
= − = − + −

∑ ∑


( )
1
k
j j j j
j
x z z y
=
≤ − + −
∑

1 1
k k
j j j j
j j
x z z y
= =
= − + −
∑ ∑

=
(
)
(
)
1 1
, ,
d x z d z y

+
.
nên
(
)
(
)
(
)
1 1 1
, , ,
d x y d x z d z y
≤ +
. Do
ñ
ó h
ệ
th
ứ
c (4) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
iii) v
ề

metric.
Vì v
ậ
y h

ệ
th
ứ
c (4) xác
ñị
nh m
ộ
t metric trên không gian
k
ℝ
.
T
ươ
ng t
ự
, ta th
ấ
y h
ệ
th
ứ
c (5) th
ỏ
a mãn các tiên
ñề
i), ii) v
ề
metric. M
ặ
t

khác, v
ớ
i ba vector b
ấ
t k
ỳ
thu
ộ
c
k
ℝ

(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 3
, , , ; , , , ; , , ,
k k
x x x x y y y y z z z z
= = =
,
1,2, ,
j k
=
ta luôn có:
{
}

{
}
ax ,1 ax ,1
j j j j j j j j j j
x y x z z y m x z j k m z y j k
− ≤ − + − ≤ − ≤ ≤ + − ≤ ≤
L
ấ
y maximum
ở
v
ế
trái theo
j
ta
ñượ
c:
{
}
{
}
{
}
max , 1 ax , 1 ax , 1
j j j j j j
x y j k m x z j k m z y j k
− ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ + − ≤ ≤
.
Hay
(

)
(
)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y
∞ ∞ ∞
≤ +
. Do
ñ
ó h
ệ
th
ứ
c (5) th
ỏ
a mãn tiên
ñề
iii) v
ề

metric.
Vì v
ậ
y h
ệ
th
ứ
c (5) xác

ñị
nh m
ộ
t metric trên không gian
k
ℝ
.
Ví dụ 1.4: Cho C
[a,b]
tập các hàm số giá trị thực xác ñịnh và liên tục trên ñoạn
[
]
,
a b
là không gian metric, vớ
i metric:
(
)
(
)
(
)
, ax
a t b
d x y m x t y t
≤ ≤
= −
(6) và
( ) ( ) ( )
,

b
a
d x y x t y t dt
= −
∫
(7)
Vì các hàm số
(
)
(
)
,
x t y t
liên tục trên
[
]
,
a b
, nên hàm số
(
)
(
)
x t y t
−
cũng liên tục trên
[
]
,
a b

. Do ñó hàm số này ñạt giá trị lớn nhất trên ñoạn
[
]
,
a b


9

và tồn tại tích phân trên ñoạn
[
]
,
a b
. Suy ra mỗ
i h
ệ
th
ứ
(6) và (7) xác
ñị
nh
m
ộ
t ánh x
ạ
t
ừ
tích
ñề

các vào t
ậ
p s
ố
th
ự
c
ℝ
.
Khi
ñ
ó, v
ớ
i h
ệ
th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
, ax
a t b
d x y m x t y t
≤ ≤
= −
(6), ta có:

V
ới hai hàm số bất kỳ
(
)
(
)
,
x t y t
∈
C
[a,b]
ta có
(
)
(
)
[
]
0, ,
x t y t t a b
− ≥ ∀ ∈
nên
(
)
(
)
(
)
, ax
a t b

d x y m x t y t
≤ ≤
= −
0
≥
và
(
)
, 0
d x y
=
(
)
(
)
ax 0
a t b
m x t y t
≤ ≤
⇔ − =


(
)
(
)
[
]
0, ,
x t y t t a b

⇔ − = ∀ ∈


(
)
(
)
[
]
, ,
.
x t y t t a b
x y
⇔ = ∀ ∈
⇔ =

Do
ñó hệ thức (6) thỏa mãn tiên ñề i) về metric.
V
ới hai hàm số bất kỳ
(
)
(
)
,
x t y t
∈
C
[a,b]
ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
, ,
x t y t y t x t t a b
− = − ∀ ∈
nên
(
)
(
)
(
)
, ax
a t b
d x y m x t y t
≤ ≤
= −
(
)
(
)
ax

a t b
m y t x t
≤ ≤
= −
(
)
,
d y x
=
.
Nên h
ệ thức (6) thỏa mãn tiên ñề ii) về metric.
V
ới ba hàm số bất kỳ
(
)
(
)
(
)
, ,
x t y t z t
∈
C
[a,b]
ta có:
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
x t y t x t z t z t y t
− ≤ − + −
, nên
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ax ax ax
a t b a t b a t b
m x t y t m x t z t m z t y t
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
− ≤ − + −
, do ñó
(

)
(
)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y
≤ +
.
V
ậy hệ thức (6) thỏa mãn tiên ñề iii) về metric.
Khi
ñó hệ thức (6) xác ñịnh một metric trên C
[a,b]
. Không gian metric tương
ứng vẫn kí hiệu là C
[a,b]
.
Còn v
ới hệ thức
( ) ( ) ( )
,
b
a
d x y x t y t dt
= −
∫
(7)
V
ới hai hàm số bất kỳ

(
)
(
)
,
x t y t
∈
C
[a,b]
ta có:

10
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
0, , , 0
b
a
x t y t t a b d x y x t y t dt
− ≥ ∀ ∈ ⇒ = − ≥
∫
và
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
, 0 0 , ,
b
a
d x y x t y t dt x t y t x y t a b
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ∀ ∈
∫

.
Nên h
ệ thức (7) thỏa mãn tiên ñề i) về metric.
Với hai hàm số bất kỳ
(
)
(
)
,
x t y t
∈
C
[a,b]
, ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
, ,
x t y t y t x t t a b
− = − ∀ ∈
(
)

(
)
, ,
d x y d y x
⇒ =
.
Do
ñó hệ thức (7) thỏa mãn tiên ñề ii) về metric.
Với ba hàm số bất kỳ
(
)
(
)
(
)
, ,
x t y t z t
∈
C
[a,b]
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
x t y t x t z t z t y t
− ≤ − + − , do ñó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
x t y t dt x t z t dt z t y t dt
− ≤ − + −
∫ ∫ ∫
, hay
(
)
(
)
(
)
, , ,
d x y d x z d z y
≤ +
.
Nên h
ệ thức (7) thỏa mãn tiên ñề iii) về metric.
Vì v
ậy, hệ thức (7) xác ñịnh một metric trên C
[a,b]
. Không gian metric
t
ương ứng kí hiệu là

[ ]
,
L
a b
C
.
1.1.2. Sự hội tụ trong không gian metric
ðịnh nghĩa 1.2:
Ta nói dãy
{
}
n
x
của không gian metric
(
)
,
X d
, hộ
i t
ụ

ñế
n ph
ầ
n t
ử

0
x

c
ủ
a
X
n
ế
u
(
)
0
lim , 0.
n
n
d x x
→∞
=

Khi
ñ
ó, ta vi
ế
t
0
n
x x
→
, ho
ặ
c

0
lim .
n
n
x x
→∞
=

ð
i
ể
m
0
x

ñượ
c g
ọ
i là gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy
{
}
n
x
trong không gian metric

(
)
,
X d
.
Ví dụ 1.5:
S
ự
h
ộ
i t
ụ
trên
ñườ
ng th
ẳ
ng
ℝ
là s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a m
ộ
t dãy s
ố

theo
ngh
ĩ
a thông th
ườ
ng.

11
Ví dụ 1.6:
S
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a m
ộ
t dãy
ñ
i
ể
m trong không gian Euclide
k
ℝ
, v
ớ
i
metric

( )
1
2
2
1
,
n
i i
i
d x y x y
=
 
= −
 
 
∑
tương ñương với sự hội tụ theo tọa ñộ.
Ví dụ 1.7: Sự hội tụ của một dãy ñiểm trong không gian C
[a,b]
, với metric
(
)
(
)
(
)
, ax
a t b
d x y m x t y t
≤ ≤

= −
tương ñương với sự hội tụ ñều của dãy hàm liên
tục trên ñoạn
[
]
,
a b
.

Ví dụ 1.8: Sự hội tụ của dãy ñiểm trong không gian metric rời rạc
(
)
,
X d
vớ
i
metric
( )
1;
,
0;
x y
d x y
x y
≠

=

=


tương ñương với sự hội tụ của dãy dừng.
Ví dụ 1.9: Sự hội tụ của một dãy ñiểm trong không gian
[ ]
,
L
a b
C
với metric tích
phân
( ) ( ) ( )
,
b
a
d x y x t y t dt
= −
∫
gọi là sự hội tụ trung bình.
1.2. Ánh xạ liên tục
1.2.1. ðịnh nghĩa ánh xạ liên tục
Giả sử
(
)
(
)
, , ,
Y
X d Y d
Χ
là hai không gian metric, ánh xạ
:

f X Y
→

ñược gọi là liên tục tại ñiểm
0
x
X
∈
nếu với mỗi số dương
ε
, ñều tồn tại số
dương
δ
sao cho với mọi
x X
∈
, nếu
(
)
0
,
X
d x x
δ
<
thì
(
)
(
)

(
)
0
,
Y
d f x f x
ε
<
.
Ánh xạ
f
gọi là liên tục (hoặc là liên tục trên
X
) nếu nó liên tục tại
mỗi ñiểm
x
của
X
.
Nếu
, ,
X Y Z
là ba không gian metric,
: , :
f X Y g Y Z
→ →
là những
ánh xạ liên tục thì
0
g f

:
X Z
→
là một ánh xạ liên tục.
1.2.2. Phép ñồng phôi
Song ánh
f
:
X Y
→
từ không gian metric
X
lên không gian metric
Y

ñược gọi là một phép ñồng phôi nếu
f
và
1
f
−
:
Y X
→
ñều là những ánh xạ

12
liên tục.
Khi ñó song ánh
:

f X Y
→
là một phép ñồng phôi khi và chỉ khi với
mọi dãy
{
}
n
x
những phần tử của
X
và với mọi
0
,
x X
∈

(
)
(
)
0 0
lim lim
n n
n n
x x f x f x
→∞ →∞
= ⇔ =
.
Hai không gian metric
X

và
Y
gọi là ñồng phôi với nhau nếu tồn tại
một phép ñồng phôi
:
f X Y
→
.
1.2.3. Phép ñẳng cự
Song ánh
f
:
X Y
→
từ không gian metric
(
)
,
X
X d
vào không gian
metric
(
)
,
Y
Y d
gọ
i là m
ộ

t phép
ñẳ
ng c
ự
n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
1 2
, ,
x x X
∈
ta
ñề
u có

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
, ,
Y X

d f x f x d x x
=
.
Hai không gian metric
X
và
Y

ñượ
c g
ọ
i là
ñẳ
ng c
ự
v
ớ
i nhau n
ế
u t
ồ
n
t
ạ
i m
ộ
t phép
ñẳ
ng c
ự

f
:
X Y
→
t
ừ

X
lên
Y
.
Khi
ñ
ó phép
ñẳ
ng c
ự
là m
ộ
t ánh x
ạ
liên t
ụ
c
ñề
u và hai không gian metric
ñẳ
ng c
ự

là
ñồ
ng phôi c
ủ
a nhau.
1.3. Không gian metric ñầy ñủ
1.3.1. Dãy Cauchy
ðịnh nghĩa 1.3:
Giả sử
(
)
,
d
Χ
là không gian metric. Dãy phầ
n t
ử

{
}
n
x
c
ủ
a
X

ñượ
c g
ọ

i
là dãy Cauchy (ho
ặ
c là dãy c
ơ
b
ả
n) n
ế
u
(
)
,
lim , 0
n m
m n
d x x
→∞
=
, tức là với một số
d
ương
ε
bất kì, tồn tại một số tự nhiên
0
n
sao cho với mỗi số tự nhiên
n
và
m

, nếu
0
n n
≥
và
0
m n
≥
thì
(
)
,
n m
d x x
ε
<
.
Mệnh ñề 1: Mỗi dãy hội tụ trong không gian metric ñều là một dãy Cauchy.
Th
ật vậy, giả sử
0
lim
n
n
x x
→∞
=
và
ε
là một số dương tùy ý, khi ñó tồn tại

m
ột số tự nhiên
0
n
sao cho
( )
0
,
2
n
d x x
ε
<
với mọi
0
n n
≥
. Do ñó, với mỗi số

13
t
ự nhiên
,
n m
nếu
0
n n
≥
và
0

m n
≥
thì
( ) ( ) ( )
0 0
, , ,
2 2
n m n m
d x x d x x d x x
ε ε
ε
≤ + < + =
.
Vậy dãy
{
}
n
x
là dãy Cauchy.
Nh
ưng ñiều ngược lại, một dãy Cauchy trong một không gian bất kì không
nh
ất thiết hội tụ.
Ch
ẳng hạn, xét
ℚ
là không gian metric với metric
(
)
,

d x y x y
= −
; với
,
x y
∈
ℚ
.
Dãy
1
1 , 1,2,
n
n
x n
n
 
= + =
 
 
là dãy Cauchy trong
ℚ
nhưng dãy
1
1
n
n
x
n
 
= +

 
 
không hội tụ trong
ℚ
vì
1
lim lim 1
n
n
n n
x e
n
→∞ →∞
 
= + =
 
 
∉
ℚ
.
1.3.2. ðịnh nghĩa không gian metric ñầy ñủ
ðịnh nghĩa 1.4:
Không gian metric
X
ñược gọi là ñầy ñủ nếu mọi dãy Cauchy những
phần tử cuả
X
ñều hội tụ.
Ví dụ 1.10:
ℝ

và
ℂ
là những không gian metric ñầy ñủ.
Ví dụ 1.11:
k
ℝ
là một không gian metric ñầy ñủ, với metric
( )
1
2
2
1
,
n
i i
i
d x y x y
=
 
= −
 
 
∑

Thật vậy, giả sử
( ) ( ) ( )
(
)
1 2
, , , ,

n n n
n k
x x x x=

1, 2,
n
=
là dãy cơ bản tùy ý
trong không gian Euclide
k
ℝ
. Khi ñó
(
)
,
lim , 0
n m
n m
x x
→∞
=
tức là,
( ) ( )
1
2
, m
1
lim 0
k
n m

i i
n
i
x x
→∞
=
 
− =
 
 
∑
⇔

( ) ( )
,
lim 0; i=1, 2, , k
n m
i i
n m
x x
→∞
⇔ − =
.

14
V
ậy với mỗi
1, 2, ,
i k
=

, dãy
( )
{
}
n
j
x
là dãy số cơ bản
ℝ
. Vì
ℝ
là ñầy ñủ
nên tồn tại
(
)
0
i
x
sao cho
(
)
(
)
0
lim , i=1, 2, , k.
n
i i
n
x x
→∞

=
ðặt
( ) ( ) ( )
(
)
0 0 0
0 1 2
, , ,
k
x x x x
=
,
vì s
ự hội tụ trong không gian Euclide
k
ℝ
là sự hội tụ theo tọa ñộ, nên từ ñó
suy ra
0
lim
n
n
x x
→∞
=
.
V
ậy không gian Euclide
k
ℝ

là không gian ñầy ñủ.
Ví dụ 1.12: C
[a,b]
là một không gian metric ñầy ñủ, với metric
(
)
(
)
(
)
, ax
a t b
d x y m x t y t
≤ ≤
= −

Gi
ả sử
{
}
n
x
là một dãy Cauchy trong C
[a,b]
. Khi ñó với mọi số dương
ε
, tồn
t
ại một số tự nhiên
0

n
sao cho
(
)
,
n m
d x x
ε
<
v
ớ
i
0 0
,
n n m n
≥ ≥
, t
ứ
c là:

(
)
(
)
ax
n m
a t b
m x t x t
ε
≤ ≤

− <
, v
ớ
i
0 0
,
n n m n
≥ ≥

do
ñ
ó

(
)
(
)
n m
x t x t
ε
− <
, v
ớ
i m
ọ
i
[
]
,
t a b

∈
và v
ớ
i m
ọ
i
0 0
,
n n m n
≥ ≥
. (1)
V
ậ
y v
ớ
i m
ỗ
i
t
c
ố

ñị
nh thu
ộ
c
[
]
,
a b

,
(
)
{
}
n
x t
là m
ộ
t dãy Cauchy trong
ℝ
. Do
ñ
ó
(
)
(
)
0
lim
n
n
x t x t
→∞
=
, v
ớ
i m
ỗ
i

[
]
,
t a b
∈
.
Ta
ñượ
c m
ộ
t hàm s
ố
xác
ñị
nh trên
[
]
,
a b
. Khi
ñ
ó
0
x
là hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
[

]
,
a b
và
0
lim
n
n
x x
→∞
=
trong C
[a,b]
.

Th
ậ
t v
ậ
y, trong (1) c
ố

ñị
nh
0
n n
≥
và cho
m
→ ∞

, ta
ñượ
c:
(
)
(
)
0
n
x t x t
ε
− ≤
v
ớ
i m
ọ
i
[
]
,
t a b
∈
và v
ớ
i m
ọ
i
0
n n
≥

. (2)
V
ậ
y dãy hàm s
ố

(
)
{
}
n
x t
h
ộ
i t
ụ

ñề
u
ñế
n hàm s
ố

(
)
0
x t
trên
[
]

,
a b
nên
(
)
0
x t
là
hàm s
ố
liên t
ụ
c trên
[
]
,
a b
.
T
ừ
(2) suy ra
(
)
(
)
0
ax
n
a t b
m x t x t

ε
≤ ≤
− ≤
, t
ứ
c là
(
)
0
,
n
d x x
ε
≤
v
ớ
i m
ọ
i
0
n n
≥
.
V
ậ
y
0
lim
n
n

x x
→∞
=
, khi
ñ
ó m
ọ
i dãy Cauchy trong C
[a,b]

ñề
u h
ộ
i t
ụ
nên C
[a,b]
là

15
không gian metric
ñầ
y
ñủ
, v
ớ
i metric
(
)
(

)
(
)
, ax
a t b
d x y m x t y t
≤ ≤
= − .
Nhận xét 1.2:

Trong không gian metric
[ ]
,
L
a b
C
v
ớ
i metric
( ) ( ) ( )
,
b
a
d x y x t y t dt
= −
∫
(7).
Chẳng hạn, cho
[
]

[
]
, 0,1
a b
=
và xét dãy
(
)
n
x t
như sau:
( )
1
1; 0
2
1 1
0; 1
2 2
1 1 1
1 2 ;
2 2 2
n
t
x t t
n
n nt t
n

≤ ≤




= + ≤ ≤



+ − ≤ ≤ +



Ta có với mọi
m n
>
:








( )
( ) ( )
1
0
,
n m n m
d x x x t x t dt
= − =

∫

( ) ( )
1 1
2 2
1
2
n
n m
x t x t dt
+
= −
∫
.
Vì
(
)
(
)
1
n m
x t x t
− ≤
nên
( )
1
, 0
2
n m
d x x

n
≤ →
.
Vậy
(
)
{
}
n
x t
là một dãy cơ bản. Mặt khác, giả sử
(
)
n
x t
hội tụ tới
(
)
x t
nào ñó

16
trong
[ ]
,
L
a b
C
, tức là
( ) ( )

1
0
0
n
x t x t dt
− →
∫
. Tích phân này có thể viết
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2
1
0
2
n n
x t x t dt x t x t dt
− + −
∫ ∫
,
cho nên ta phải có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
0
2
0; 0
n n
x t x t dt x t x t dt
− → − →

∫ ∫
.
Nhưng rõ ràng
( ) ( )
1
1
2
1
0
2
1 0; 0 0
n n
x t dt x t dt
− → − →
∫ ∫
.
Vậy
(
)
x t
và 1 cùng là giới hạn của
(
)
n
x t
trong
1
0,
2
L

C
 
 
 
;
(
)
x t
và 0 cùng là giới
hạn của
(
)
n
x t
trong
1
,1
2
L
C
 
 
 
. Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra
(
)
1
x t
=
v

ớ
i
1
0
2
t
 
≤ ≤
 
 
,
(
)
0
x t
=
v
ớ
i
1
1
2
t
 
≤ ≤
 
 
.
Nh
ư

v
ậ
y thì
(
)
x t
không liên t
ụ
c và không thu
ộ
c
[ ]
0,1
L
C
. V
ậ
y gi
ả
s
ử
là sai, do
ñ
ó dãy
(
)
n
x t
không th
ể

có gi
ớ
i h
ạ
n nào trong không gian C
[0,1]
.
Tóm l
ạ
i, không gian metric
[ ]
0,1
L
C
không
ñủ
v
ớ
i metric tích phân (7).
1.3.3. Bổ sung ñủ của một không gian metric
ðịnh lý 1.1. Giả sử
(
)
,
X d
là mộ
t không gian metric không
ñầ
y
ñủ

. Khi
ñ
ó,
t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t không gian metric
ñầ
y
ñủ

(
)
ˆ
ˆ
,
X d
sao cho:

1)
X

ñẳ
ng c
ự
v
ớ

i m
ộ
t không gian con
1
X
c
ủ
a
ˆ
X
.
2)
1
X
trù m
ậ
t trong
ˆ
X
.

17
Không gian
(
)
ˆ
ˆ
,
X d

ñượ
c xác
ñị
nh m
ộ
t cách duy nh
ấ
t n
ế
u coi các không gian
ñẳ
ng c
ự
là duy nh
ấ
t. Khi
ñ
ó không gian
(
)
ˆ
ˆ
,
X d
g
ọ
i là b
ổ
sung c
ủ

a không gian
(
)
,
X d
.
Chứng minh
G
ọ
i
M
là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các dãy Cauchy nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
X
. Ta
ñư
a vào trong

M
m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
ñươ
ng. N
ế
u
{
}
{
}
,
n n
x y
là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
M
thì
{
}

{
}
(
)
lim , 0
n n n n
n
x y d x y
→∞
⇔ =
∼
.
(d
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng
ñ
ây là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
ñươ
ng). G
ọ

i
ˆ
X
là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
các l
ớ
p
t
ươ
ng
ñươ
ng, t
ứ
c là
ˆ
X M=
∼
. Kí hi
ệ
u các ph
ầ
n t
ử
c
ủ

a
ˆ
X
là
ˆ ˆ
ˆ
, , ,
x y z

Gi
ả
s
ử

ˆ ˆ
,
x y
là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
ˆ
X
và
{
}
{

}
,
n n
x y
theo th
ứ
t
ự
là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
các l
ớ
p t
ươ
ng
ñươ
ng
ˆ ˆ
,
x y
. V
ớ
i hai s
ố
t

ự
nhiên
,
n m
b
ấ
t k
ỳ
ta
ñề
u có
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
n n n m m m m n
d x y d x x d x y d y y
≤ + +
.
T
ừ

ñ
ó
(

)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
n n m m n m m n
d x y d x y d x x d y y
− ≤ +
.
T
ươ
ng t
ự

(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
m m n n n m m n
d x y d x y d x x d y y
− ≤ +
.

T
ừ
hai b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
n n m m n m m n
d x y d x y d x x d y y
− ≤ +
.
Vì
{
}
{
}
,
n n
x y

là hai dãy Cauchy, nên t
ừ
b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên suy ra
(
)
{
}
,
n n
d x y

là m
ộ
t dãy Cauchy trong
ℝ
. Do
ñ
ó dãy
(
)
{
}
,
n n

d x y
h
ộ
i t
ụ
. Ngoài ra
(
)
lim ,
n n
n
d x y
→∞
không ph
ụ
thu
ộ
c vào vi
ệ
c ch
ọ
n các dãy Cauchy
{
}
{
}
,
n n
x y

thu
ộ
c hai l
ớ
p t
ươ
ng
ñươ
ng
ˆ ˆ
, .
x y

Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

{
}
{
}
,
n n
x y
′ ′

là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
ˆ ˆ
, .
x y
T
ươ
ng t
ự
trên ta có

18
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
n n n n n n n n
d x y d x y d x x d y y
′ ′ ′ ′
− ≤ +

v
ớ
i m
ọ
i
n
.
Do
ñ
ó
(
)
(
)
lim , lim ,
n n n n
n n
d x y d x y
→∞ →∞
′ ′
=
.
N
ế
u
ˆ
x
và
ˆ
y

là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
ˆ
X
thì
ñặ
t
(
)
(
)
ˆ
ˆ ˆ
, lim ,
n n
n
d x y d x y
→∞
=
, trong
ñ
ó
{
}
{

}
,
n n
x y
theo th
ứ
t
ự
là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a l
ớ
p t
ươ
ng
ñươ
ng
ˆ
x
và
ˆ
y
. Khi
ñ
ó
ˆ

d
là
m
ộ
t metric trên
ˆ
X
. Th
ậ
t v
ậ
y,
V
ớ
i
ˆ ˆ
,
x y
ˆ
X
∈

{
}
ˆ
n
x x
∈
,
{

}
ˆ
n
y y
∈
ta có:
(
)
(
)
(
)
ˆ
ˆ ˆ
, 0, , lim , 0
n n n n
n
d x y n d x y d x y
∗
→∞
≥ ∀ ∈ ⇒ = ≥
ℕ
,
(
)
(
)
{
}
{

}
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0 lim , 0
n n n n
n
d x y d x y x y x y
→∞
= ⇔ = ⇔ ⇔ =
∼
.
Do ñó tiên ñề i) ñược thỏa mãn.
Với
ˆ ˆ
,
x y
ˆ
X
∈
,
{
}
ˆ
n
x x
∈
,
{
}
ˆ

n
y y
∈
ta có
(
)
(
)
, , ,
n n n n
d x y d y x n
∗
= ∀ ∈
ℕ

(
)
(
)
(
)
(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ
lim , lim , , ,
n n n n
x x
d x y d y x d x y d y x
→∞ →∞
⇒ = ⇒ =

.
Do ñó tiên ñề ii) ñược thỏa mãn.
Với
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
, ,
x y z X
∈
và
ˆ ˆ
ˆ
, ,
n n n
x x y y z z
∈ ∈ ∈
ta có:
(
)
(
)
(
)
, , ,
n n n n n n
d x y d x z d z y
≤ +
,
n
∗

∀ ∈
ℕ

(
)
(
)
(
)
lim , lim , lim ,
n n n n n n
n n n
d x y d x z d z y
→∞ →∞ →∞
⇒
≤ +

(
)
(
)
(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , ,
d x y d x z d z y
⇒ ≤ +
.
Tiên

ñề
iii)
ñượ
c th
ỏ
a mãn.
Vì v
ậ
y,
ˆ
d
là m
ộ
t metric trên
ˆ
X
, không gian metric t
ươ
ng
ứ
ng là
(
)
ˆ
ˆ
,
X d
. Ta s
ẽ
ch

ứ
ng minh:
1)
X

ñẳ
ng c
ự
v
ớ
i m
ộ
t không gian con
1
X
c
ủ
a
ˆ
X
.
2)
1
X
trù m
ậ
t trong
ˆ
X
.

19
3)
ˆ
X
là m
ộ
t không gian
ñầ
y
ñủ
.
Th
ậ
t v
ậ
y,
1) M
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x X
∈
khi
ñ
ó dãy
{

}
, , , ,
x x x
là m
ộ
t dãy Cauchy trong
X
,
g
ọ
i
x
ɶ
là l
ớ
p t
ươ
ng
ñươ
ng c
ủ
a
ˆ
X
ch
ứ
a dãy
{
}
, , , ,

x x x
. Khi
ñ
ó ánh x
ạ

ˆ
:
X X
ϕ
→
, xác
ñị
nh b
ở
i
(
)
ˆ
x x
ϕ
=
là m
ộ
t phép
ñẳ
ng c
ự
. Do
ñ

ó
X

ñẳ
ng c
ự

v
ớ
i m
ộ
t không gian con
1
X
c
ủ
a
ˆ
X
.
2) Gi
ả
s
ử

ˆ
x
là m
ộ
t ph

ầ
n t
ử
tùy ý thu
ộ
c
ˆ
Χ
và
ε
là m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng tùy ý. G
ọ
i
{
}
n
x
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c

ủ
a
ˆ
x
. Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên
0
n
sao cho
(
)
0 0
, , ,
n m
d x x n n m n
ε
< ∀ ≥ ≥
.
G

ọ
i
0
n
x
ɶ
là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
1
X
ch
ứ
a dãy
{
}
0 0
, , .
n n
x x
Khi
ñó
(
)
(
)

0 0
ˆ
ˆ
, lim ,
n n n
n
d x x d x x
ε
→∞
= ≤
ɶ
.
Vì vậy,
1
X
trù mật khắp nơi trong
ˆ
X
.
3) Giả sử
{
}
ˆ
n
x
là một dãy Cauchy trong
ˆ
X
. Vì
1

X
trù mật khắp nơi trong
ˆ
X

nên v
ới mỗi
n
tồn tại một
n
x X
∈
ɶ
sao cho
( )
1
ˆ
,
n n
d x x
n
<
ɶ
. Với mọi
,
n m
ta có
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , ,
n m n m n n n m m m
d x x d x x d x x d x x d x x
= ≤ + +
ɶ ɶ ɶ ɶ
( )
1 1
ˆ
ˆ ˆ
,
n m
d x x
n m
< + + .
Vì
{
}
ˆ
n
x
là một dãy Cauchy nên từ bất ñẳng thức trên suy ra

n
x
là một dãy
Cauchy trong
X
. Gọi
ˆ
x
là một phần tử của không gian
ˆ
X
chứa dãy
{
}
n
x
. Ta
sẽ chứng minh
ˆ
lim
n
n
x x
→∞
=
.
Th
ật vậy, với mọi
n
ta ñều có

( ) ( ) ( ) ( )
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , ,
n n n n n
d x x d x x d x x d x x
n
≤ + ≤ +
ɶ ɶ ɶ
.

20
T
ừ ñịnh nghĩa của
ˆ
d
suy ra
(
)
(
)
ˆ
ˆ
, lim ,
n m n
m
d x x d x x
→∞

=
ɶ
.
V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng
ε
b
ấ
t k
ỳ
, t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên
0
n

sao cho
( )
0
, , ,
2
m n
d x x m n n
ε
< ∀ ≥
.
T
ừ

ñ
ó
( )
0
lim , ;
2
m n
m
d x x n n
ε
→∞
< ∀ ≥
, t
ứ
c là
( )
0

ˆ
ˆ
, ;
2
n
d x x n n
ε
≤ ∀ ≥
ɶ
.
Ch
ọ
n
0
n

ñủ
l
ớ
n sao cho
0
1
2
n
ε
<
. Khi
ñ
ó t
ừ

(1) và (2) suy ra
( )
0
ˆ
ˆ ˆ
, ;
2 2
n
d x x n n
ε ε
ε
< + = ∀ ≥
.
V
ậ
y
ˆ ˆ
lim
n
n
x x
→∞
=
.
Gi
ả
s
ử

(

)
(
)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ; ,
X d X d
′ ′

ñề
u là cái làm
ñầ
y c
ủ
a không gian metric
(
)
,
X d

ñ
ã
cho. L
ấ
y ph
ầ
n t
ử
tùy ý
ˆ

ˆ
x X
∈
, khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i dãy
{
}
ˆ
n
x X
⊂
hôi t
ụ
t
ớ
i
ˆ
x
trong
không gian
(
)
ˆ
ˆ
,

X d
. Do
ñ
i
ề
u ki
ệ
n 1) c
ủ
a
ñị
nh lý, dãy
{
}
ˆ
n
x
là Cauchy trong
không gian
(
)
ˆ
ˆ
,
X d
′ ′
. Do
ñ
ó dãy
{

}
ˆ
n
x
h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i ph
ầ
n t
ử

ˆ
x
′
trong không gian
(
)
ˆ
ˆ
,
X d
′ ′
. Ta nh
ậ
n
ñượ

c ánh x
ạ

(
)
ˆ ˆ
g x x
′
=
theo quy t
ắ
c
ñ
ó. Hi
ể
n nhiên,
g
là
m
ộ
t toàn ánh ánh x
ạ

(
)
ˆ
ˆ
,
X d
lên

(
)
ˆ
ˆ
,
X d
′ ′
.Ta ch
ứ
ng minh
g
là ánh x
ạ

ñẳ
ng c
ự

ánh x
ạ

(
)
ˆ
ˆ
,
X d
lên
(
)

ˆ
ˆ
,
X d
′ ′
. L
ấ
y hai l
ớ
p tùy ý
ˆ
ˆ ˆ
,
x y X
∈
. Khi
ñ
ó các dãy t
ươ
ng
ứ
ng
{
}
{
}
ˆ ˆ
,
n n
x y X

⊂
(t
ứ
c là, m
ỗ
i l
ớ
p
ˆ ˆ
,
n n
x y
ch
ứ
a dãy d
ừ
ng t
ươ
ng
ứ
ng
(
)
(
)
, , , , , , ,
n n n n n n
x x y y x X y X
∈ ∈
) sao cho

ˆ ˆ ˆ ˆ
lim ; lim
n n
n n
x x y y
→∞ →∞
= =
trong không gian
(
)
ˆ
ˆ
,
X d
.
Suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, lim , lim , lim , ,
n n n n n n

n n n
d x y d x y d x y d x y d x y
→∞ →∞ →∞
′ ′
= = = =
. (
ñ
pcm)

21
Ví dụ 1.13: Mở rộng tập số hữu tỷ
ℚ
thành tập số thực
ℝ
là một ví dụ về
làm ñầy không gian metric.
Ví dụ 1.14: Không gian
[ ]
,
L
a b
C
với metric
( ) ( ) ( )
,
b
a
d x y x t y t dt
= −
∫

không ñủ.
Theo ñịnh lý trên có thể bổ sung nó thành không gian ñầy ñủ.
1.4. Ánh xạ co và nguyên lý ánh xạ co
1.4.1. Ánh xạ co
Cho một không gian metric
X
bất kì. Một ánh xạ
f
từ
X
vào bản
thân nó gọi là ánh xạ co, nếu có một số
0 1
θ
≤ <
sao cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
, ,
d f x f x d x x
θ
≤ ,
1 2

, .
x x X
∀ ∈

Nhận xét 1.3:
Ánh xạ co là ánh xạ liên tục. Thật vậy, lấy
0
x X
∈
bất kỳ, cho
0
ε
>
,
với mọi
x X
∈
, theo ñịnh nghĩa ánh xạ co ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
, ,
d f x f x d x x
θ

≤
.
Nên
( )
0
,d x x
ε
δ
θ
< =
suy ra
( )
( )
( )
( )
0 0
, ,d f x f x d x x
ε
θ θ ε
θ
≤ < =
.
Như vậy, ánh xạ
f
liên tục tại
0
x
, với bất kỳ
0
x X

∈
. Vậy ánh xạ
f
liên tục.
1.4.2. Nguyên lý ánh xạ co
ðịnh nghĩa 1.5:
Cho
X
là một không gian bất kỳ và
f
là một ánh xạ từ
X
(hoặc tập con
của
X
) vào
X
. ðiểm
x X
∈
ñược gọi là ñiểm bất ñộng của
f
nếu
(
)
x f x
=
.
Nguyên lý ánh xạ co: Mọi ánh xạ co
f

từ không gian metric ñủ
X
vào bản
thân nó ñều có một ñiểm bất ñộng duy nhất.
Chứng minh
Lấy một ñiểm
0
x X
∈
và những ñiểm
(
)
(
)
(
)
1 0 2 1 1
, , , ,
n n
x f x x f x x f x
−
= = =


22
Theo ñịnh nghĩa ánh xạ co, ta có:
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
1 1 1
, , ,
n n n n n n
d x x d f x f x d x x
θ
+ − −
= ≤
,

(
)
(
)
1 2 1
, ,
n n n n
d x x d x x
θ
− − −
≤
,
…… … ……

(

)
(
)
1 2 0 1
, ,
d x x d x x
θ
≤
.
T
ừ

ñ
ó suy ra v
ớ
i m
ọ
i
n


(
)
(
)
1 0 1
, ,
n
n n
d x x d x x

θ
+
≤
.
Khi
m n
>
, ta có:
(
)
(
)
(
)
1 1 2 1
, , , ( ,
n m n n n n m m
d x x d x x d x x d x x
+ + + −
≤ + + +
(
)
(
)
1 1
0 1
,
n n m
d x x
θ θ θ

− −
≤ + + +


( )
( ) ( )
0 1 0 1
, ,
1
n
k
k n
d x x d x x
θ
θ
θ
∞
=
≤ =
−
∑
.
Vì
1
θ
<
nên rõ ràng
(
)
, 0

n m
d x x
→
khi
,
m n
→ ∞
, t
ứ
c là dãy
{
}
n
x
là m
ộ
t dãy
c
ơ
b
ả
n trong
X
và vì
X
là
ñủ
theo gi
ả
thi

ế
t nên
n
x
ph
ả
i d
ầ
n t
ớ
i m
ộ
t gi
ớ
i h
ạ
n
x
.
Ta có
(
)
1
n n
x f x
−
=
mà
(
)

(
)
1
,
n n
x x f x f x
−
→ →
vì
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
, , 0
n n
d f x f x d x x
θ
− −
≤ →
.
V
ậ
y
(
)

f x x
=
, ngh
ĩ
a là
x
là
ñ
i
ể
m b
ấ
t
ñộ
ng.
ð
ó là
ñ
i
ể
m b
ấ
t
ñộ
ng duy nh
ấ
t vì,
n
ế
u

y
c
ũ
ng là
ñ
i
ể
m b
ấ
t
ñộ
ng thì
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,
d x y d f x f y d x y
θ
= ≤
.
V
ớ
i

1
θ
<

ñ
i
ề
u này ch
ỉ
x
ả
y ra n
ế
u
(
)
, 0
d x y
=
t
ứ
c là
x y
=
.
V
ậ
y
ñ
i

ể
m b
ấ
t
ñộ
ng là duy nh
ấ
t. (
ñ
pcm)
Hệ quả 1.1:
Cho
(
)
,
Y d
là không gian metric
ñầ
y
ñủ
và
(
)
(
)
{
}
0 0
, : ,
B B y r y d y y r

= = <
.

23
Cho
:
F B Y
→
là m
ộ
t ánh x
ạ
co v
ớ
i h
ằ
ng s
ố

1
α
<
, n
ế
u
(
)
(
)
(

)
0 0
, 1
d F y y r
α
< −
thì
F
có m
ộ
t
ñ
i
ể
m b
ấ
t
ñộ
ng.
Chứng minh
Nếu
(
)
(
)
(
)
0 0
, 1
d F y y r

α
< −
, chọn
r
ε
<
khi ñó:
(
)
{
}
0
: ,K y d y y
ε
= ≤
là hình cầu ñóng. Xét ánh xạ
:
F K K
→
, nếu
y K
∈

thì

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
, , ,
d F y y d F y F y d F y y
≤ +


(
)
(
)
0
, 1d y y
α α ε
≤ + −
(
)
1
αε α ε ε
≤ + − =

Vì thế

(
)
F K K
⊆
. Khi ñó
:
F K K
→
là ánh xạ co. Do
K
hình cầu ñóng nên
K
là ñầy ñủ. Theo nguyên lý ánh xạ co,
:
F K K
→
có duy nhất một ñiểm bất
ñộng. Vậy ánh xạ
:
F B Y
→
có một ñiểm bất ñộng.
Hệ quả 1.2:
Cho
E
là một không gian Banach,
U E
⊂
mở và
:

F U E
→
là ánh xạ
co với hằng số co
1
α
<
. Cho
:
f U E
→
là một trường gắn với
F
và
(
)
(
)
f x x F x
= −
.
Khi ñó:
i)
:
f U E
→
là một ánh xạ mở.
ii)
(
)

:
f U f U
→
là m
ộ
t
ñồ
ng phôi.
Chứng minh
i) Ta chứng minh
:
f U E
→
là một ánh xạ mở. Cho
u U
∈
bất kì, nếu
(
)
,
B u r U
⊂
thì
(
)
(
)
(
)
, 1 ,

B f u r f B u r
α
− ⊂
   
   
.
Chọn
0
y
∈
(
)
(
)
, 1
B f u r
α
−
 
 
bất kì. Giả sử
(
)
: ,
G B u r E
→
là ánh xạ, xác
ñịnh bởi
(
)

0
G y y Fy
= +
. Ta có với mọi
(
)
1 2
, ,
y y B u r
∈

(
)
(
)
1 2 1 2
F y F y y y
α
− ≤ − với
1
α
<
.
Nên
(
)
: ,
G B u r E
→
cũng là ánh xạ co với hằng số

1
α
<
và

24
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
1
G u u y F u u y f u r
α
− = + − = − ≤ −
Theo hệ quả 1.1 thì tồn tại một ñiểm
(
)
0
,
u B u r
∈
sao cho
(
)
0 0

G u u
=
và
(
)
(
)
0 0 0
G u y F u
= +
vì thế
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0
y G u F u u F u f x
= − = − =

Ta ñược
(
)
0
,
y f B u r
∈

 
 
và
(
)
(
)
(
)
, 1 ,
B f u r f B u r
α
− ⊂
   
   
.
ii) Ta thấy rằng nếu
,
u v U
∈
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f u f v u F u v F v u v F u F v
− = − − − = − − −

(
)
(
)
(
)
1
u v F u F v u v u v u v
α α
≥ − − − ≥ − − − = − −
.
Nếu
(
)
(
)

0
f u f v
− =
thì t
ừ
nh
ậ
n xét trên ta có
0
u v
− =
, vì th
ế

u v
=
và
f
là
m
ộ
t
ñơ
n ánh. Vì v
ớ
i m
ọ
i
(
)

(
)
f x f U
∈
t
ồ
n t
ạ
i
x U
∈
sao cho
(
)
(
)
f x x F x
= −
do
ñ
ó
f
là m
ộ
t toàn ánh. Nh
ư
v
ậ
y,
(

)
:
f U f U
→
là m
ộ
t
song ánh, m
ở
, liên t
ụ
c nên nó là m
ộ
t
ñồ
ng phôi.
Hệ quả 1.3:

Cho
E
là m
ộ
t không gian Banach và
:
F E E
→
là ánh x
ạ
co. Khi
ñ

ó
tr
ườ
ng t
ươ
ng
ứ
ng
f I F
= −
là m
ộ
t phép
ñồ
ng phôi t
ừ

E
lên
E
.
Chứng minh
Theo hệ quả 1.4.2, ta chỉ cần chỉ ra
(
)
f E E
=
.
Lấy
0

y E
∈
, giả sử
:
G E E
→
, xác ñịnh bởi
(
)
0
x y F x
+
֏
.
Với mọi
1 2
,
x x E
∈
, ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
1 2 0 1 0 2
G x G x y F x y F x
− = + − +

(
)
(
)
1 2 1 2
F x F x x x
α
= − ≤ − với
1
α
<
.
Nên
G
là ánh xạ co với hàm số
1
α
<
. Theo ñịnh lý ñiểm bất ñộng tồn tại
ñiểm
0
x E
∈
thỏa mãn

(
)
0 0
G x x
=
và
(
)
(
)
0 0 0
G x y F x
= +
nên
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0
y G x F x x F x f x
= − = − =

Vì thế
(
)
f E E

=
. Như vậy,
f I F
= −
là một phép ñồng phôi từ
E
lên
E
.

25
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO
Nội dung chính của chương này bao gồm các vấn ñề sau: Sự hội tụ của
dãy số, sự tồn tại nghiệm của phương trình, hệ phương trình ñại số và sự tồn
tại nghiệm của một số phương trình vi – tích phân cùng với 21 ví dụ có lời
giải và các bài tập ñề nghị.
2.1. Xét sự hội tụ của dãy số
Ví dụ 2.1: Cho dãy số thực
{
}
n
u
xác ñịnh như sau:
( )
1
2
1

1
ln 1 2013, n 1

2
n n
u a
u u
+
=



= + − ≥



Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng dãy
{
}
n
u
là dãy h
ộ
i t
ụ
.

Bài giải
Xét hàm số

:
f
→
ℝ ℝ
thỏa mãn
( )
( )
2
1
ln 1 2013
2
f x x= + − ,
x
∈
ℝ
.
Khi
ñ
ó
(
)
f x
là hàm s
ố
kh
ả
vi trên
ℝ
và theo b
ấ

t
ñẳ
ng th
ứ
c Cauchy ta có
( )
2
1
,
1 2
x
f x x
x
′
= ≤ ∀ ∈
+
ℝ

Theo ñịnh lý Lagrange,
, ,
x y c
∀ ∃
nằm giữa
x
và
y
sao cho
( ) ( ) ( )( )
1
2

f x f y f c x y x y
′
− = − ≤ −
.
Nh
ư vậy
f
là ánh xạ co. Ta có
( ) ( )
1 1 1
1
2
n n n n n n
u u f u f u u u
+ − −
− = − ≤ −
.
Áp d
ụng liên tiếp bất ñẳng thức trên ta ñược
2
1 2 1
1
, 2
2
n
n n
u u u u n
−
+
− ≤ − ∀ ≥

.
T
ừ ñó
1 1 2 1

n k n n k n k n k n k n n
u u u u u u u u
+ + + − + − + − +
− ≤ − + − + + −