SKKN: Các phương pháp giải bài toán cực trị

Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Sau một số năm dạy học toán ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái
niệm cực trị không được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh
mà chỉ hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo
khoa. Nhưng các vấn đề cực trị lại thường gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm
tra, nhất là các kỳ thi học sinh giỏi và các kỳ thi vào THPT . Do đó việc hình
thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh là một vấn đề rất cần
thiết. Xuất phát từ những kinh nghiệm có được của bản thân qua thực tế
giảng dạy, từ những kiến thức trong quá trình học tập và sự tìm hiểu thêm
các tài liệu tham khảo tôi quyết định chọn đề tài : "Các phương pháp giải bài
toán cực trị".
Qua đề tài, tôi mong bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, tự
phân loại được một số bài toán về cực trị, nêu lên một số phương pháp giải
cho từng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm
kiến thức về các dạng bài toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát
triển tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các bài
tập, góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
Bài toán cực trị là một trong những nội dung mới và khó trong chương
trình toán THCS, nó đòi hỏi tư duy logíc cao, việc nắm vững phương pháp
giải không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói riêng mà nó còn có
khả năng tư duy logic với các môn học khác.
Vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn
toán nói chung và giải các bài toán cực trị nói riêng. Trong quá trình dạy
toán và qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu, bản thân tôi đã hệ
thống được một số phương pháp tìm cực trị. Tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên cần
trang bị cho học sinh những phương pháp giải cơ bản, từ đó góp phần rèn kỹ
năng giải và phát triển tư duy toán học nói chung.
1

Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
2. Thực trạng của vấn đề:
Bài toán cực trị là loại toán khó, nhiều học sinh khi giải loại toán này
không biết phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải ra sao. Thực tế cho thấy
bài toán tìm cực trị có nhiều trong chương trình toán trung học cơ sở, trong
các kỳ thi vào lớp 10, vào trường chuyên, lớp chọn và đặc biệt là thi học sinh
giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, khu vực
Đối với giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy thì việc nắm vững
phương pháp giải sẽ bổ sung kho kiến thức cho họ. Đối với học sinh sẽ khắc
phục được các hạn chế trước đây, giúp học sinh tự tin hơn trong việc học tập
bộ môn toán.
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề:
Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị. Thông qua nội dung,
phương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển tư duy
cho học sinh. Rèn kỹ năng tự học của học sinh qua các bài tập đề nghị.
Thông qua quá trình giảng dạy thực tế, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng
nghiệp trong tổ chuyên môn. Thông qua quá trình tự học, tự nghiên cứu
chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9. Thông qua các tài liệu toán
tham khảo, nâng cao tôi đã đưa ra các dung cụ thể như sau:
3.1. Định nghĩa:
Xét hàm số n biến F(x,y,z, ) liên tục trên miền đóng D
⊂
R
+ Nếu F(x,y,z, )
≤
A
∀
(x,y,z, )
∈
D và A = const. Đồng thời

(x
0
,y
0
,z
0
, )
∈
D sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
, ) = A, thì A được gọi là giá trị lớn nhất
của hàm số F(x,y,z, ) trên D.
+ Kí hiệu: MaxF(x,y,z, ) = A. Ngược lại: Xét hàm số n biến (x,y,z, )
liên tục trên miền đóng D
⊂
R
n

+ Nếu F(x,y,z, )
≥
A
∀
(x,y,z, )
∈
D và A = const. Đồng thời
∃

(x
0
,y
0
,z
0
, )
∈
D sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
, ) = A, thì A được gọi là giá trị nhỏ nhất
của hàm số F(x,y,z, ) trên D.
+ Kí hiệu : Min F(x,y,z, ) = A
3.2. Các bước giải bài toán cực trị:
2
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
Với mỗi bài toán cực trị khi giải thông thường ta thường tiến hành theo
hai bước:
Bước 1 : Chỉ rõ f(x,y,z, )
≥
A ( hoặc F(x,y,z, )
≤
A ) trong đó A
là một đại lượng có giá trị không đổi
Bước 2 : Chỉ rõ bộ số (x
0

,y
0
,z
0
, )
∈
D mà tại đó F(x
0
,y
0
,z
0
, ) = A
3.3. Phân loại các dạng cực trị cơ bản và cách giải:
3.3.1. Cực trị của hàm đa thức một biến :
Phương pháp :
+ Đưa về dạng : f(x) = k ± g
2
(x) với k = const
+ Nếu f(x) = k + g
2
(x) thì Minf(x) = k
⇔
g (x) = 0
+ Nếu f(x) = k - g
2
(x) thì Max f(x) = k
⇔
g(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + 1)

2
+ ( x + 3)
2

Giải: Ta có A = x
2
+ 2x + 1 + x
2
+ 6x + 9 = 2x
2
+ 8x + 10
= 2( x
2
+ 4x + 4 ) + 2 = 2(x+2)
2
+ 2
Vậy A
≥
2
⇒
Min A = 2
⇔
x + 2 = 0
⇔
x = -2
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = -x(x + 1) ( x + 2 ) (x + 3)
Giải: B = -x(x + 1) ( x + 2 ) (x + 3 ) = - (x
2
+ 3x ) ( x
2

+ 3x + 2)
= - (x
2
+ 3x ) [ (x
2
+ 3x ) + 2] = -[ ( x
2
+ 3x)
2
+ 2( x
2
+ 3x ) ]
= -[ (x
2
+ 3x)
2
+ 2( x
2
+ 3x ) + 1 - 1 ] = -(x
2
+ 3x + 1)
2
+ 1

⇒
B
≤
1Vậy Max B = 1
⇔
x

2
+ 3x + 1 = 0
⇔
x =
2
53 ±−
Một số nhận xét : Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc 2,
ta có kết quả mỗi một tam thức bậc 2 đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn
nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất)
Trong quá trình giải với các bài toán có thể đặt được ẩn phụ, ta nên đưa
thêm các ẩn phụ vào để có thể làm đơn giản hoá bài toán.Ví dụ: Trong ví dụ
2 ta có thể đặt ẩn phụ như sau:
+ Đặt t = x
2
+ 3x + 1 ( t
≥

2
7−
) thì khi đó B = t
2
+ 1 hoặc trong ví dụ 1
ta có thể đặt y = x + 2 khi đó A = 2y
2
+ 2
3
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
3.3.2. Cực trị của hàm đa thức nhiều biến:
Phương pháp tìm cực trị của hàm đa thức nhiều biến tương tự giống với
hàm đa thức một biến.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức:
A = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y + 2002
Giải: A = x
2
+ xy + y
2
- 3x - 3y + 2002
= (x
2
-2x +1) + (y
2
- 2y +1 ) + xy - x - y + 1 + 1999
= (x -1 )
2
+ (y -1)
2
+ (x - 1) (y - 1) + 1999
=[ (x-1) +
2
1−y
]
2
+
4
3
(y - 1)

2
+ 1999
⇒
A
≥
1999
Vậy, max A = 1999 đạt được
⇔
(x-1) +
2
1−y
= 0 và y- 1 = 0
⇔



=
=
1
1
y
x
Nhận xét :
- Trong ví dụ 3 ta đã vận dụng kiến thức:
Cho F = F
1
+ F
2
thì Max F = MaxF
1

+ Max F
2
(MinF = Min F
1
+MinF
2
)
Trong đó F
1
, F
2
là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa
cùng biến thì cùng đạt Max (Min) tại một bộ giá trị xác định của biến (đối
với đa thức một biến ).
- Do không nắm vững kiến thức ở phần này hoặc hiểu chưa sâu sắc mà
khi sử dụng kiến thức trên học sinh rất rễ mắc sai lầm. Ta trở lại ví dụ 1:
Tìm Max A = (x + 1)
2
+ (x + 3)
2
; Học sinh rất rễ mắc sai lầm khi vội
vàng kết luận MaxA = 0; Vì : (x + 1)
2
≥
0 và (x + 3)
2

≥
0
Vậy, sai lầm ở đâu ? sai lầm ở chỗ nếu A = 0 thì x = -1, và x = -3 điều

này không sẩy ra vì đây là hai bộ giá trị khác nhau của biến.
- Có thể dùng phương pháp đổi biến để giải bài tập dạng này.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
- 4xy + 5y
2
+10x - 22y + 28
Giải: P = x
2
- 4xy + 5y
2
+10x - 22y + 28
4
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
= (x
2
- 4xy + 4y
2
) + (y
2
- 2y + 1) + 27 + 10x - 20y
= (x - 2y)
2
+ (y - 1)
2
+ 27 +10(x- 2y)
Đặt: t = x - 2y
⇒
P = (t
2

+ 10t + 25) + 2 + (y- 1)
2
= (t + 5)
2
+ 2 + (y- 1)
2
⇒
P
≥
2
Vậy min P = 2
⇔




=−
=+
01
05
y
t
⇔




=−
=+−
01

052
y
yx
⇔




=
−=
1
3
y
x
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
A = 1 - 4x - 5x
2
, B = xy - x
2
- y
2
+ 4y + 5, C = x
2
+ y
2
- 6x - 2y + 17
3.3.3. Cực trị của phân thức đại số:
3.3.3.1. Trường hợp 1: Xét trường hợp: A = cosnt
Khi đó phân thức chỉ còn mẫu thức B chứa biến nên việc tìm Max (hay
Min) của phân thức đại số lúc này thực chất là việc đi tìm Max ( hay Min)

của đa thức.
P =
B
A
; A = cosnt
⇒
P
Max

⇔
B
Min

⇒
P
Min

⇔
B
Max
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
42
1
2
−− xx
Giải: Miền xác định của P là : R
Ta có: B = 2x - x
2
- 4 = - (x
2

-2x +1) -3 = -( x - 1)
2
-3
≤
-3
⇒
B đạt giá trị Max là -3 khi x = 1
Vậy: P =
42
1
2
−− xx
≥

3
1
−
= -
3
1

⇒
P
Min
= -
3
1

⇔
x = 1

3.3.3.1. Trường hợp 2: A, B đều là hai đa thức chứa biến:
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
12
683
2
2
+−
+−
xx
xx
(x
≠
1)
Giải: Chia tử thức cho mẫu thức ta được
P = 3 -
1
2
−x
+
2
)1(
1
−x
; Đặt: y =
1
1
−x
⇒
P = 3 - 2y + y
2

= (y - 1)
2
+ 2
≥
2
Vậy: Min P = 2
⇔
y = 1
⇔
1
1
−x
= 1
⇔
x = 2
5
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
54
662
2
2
++
++
xx
xx
Giải: Ta có: P =
54
662
2

2
++
++
xx
xx
=
54
1254
2
22
++
+++++
xx
xxxx
= 1 +
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x

Do (x +1)
2

≥
0
∀

x và (x + 2)
2
+1
≥
1
∀
x Nên:
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x
≥
0
∀
x
Vậy: Min P = 1
⇔
x + 1 = 0
⇔
x = -1
Nhận xét:
Trong trường hợp 1 việc tìm Max (hoặc Min ) là tương đối đơn giản vì nó
tương ứng với việc đi tìm Min (hoặc Max) của mẫu thức.
Trong trường hợp 2 việc tìm Max ( Min) là phức tạp hơn rất nhiều vì nó
đòi hỏi cần phải có thêm một số thủ thuật biến đổi cụ thể là trong VD
6

và
VD
7
ta đã chia tử cho mẫu để từ đó có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc
đã biết (I) và (II).
Với phân thức đại số ngoài cách giải trên còn cách giải dùng miền giá trị
của hàm số, cách giải này chúng ta sẽ xét ở phần sau.
3.3.4. Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Để giải các bài toán thuộc dạng này thường người ta dùng hai cách sau:
Cách 1: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối để chia khoảng cho bài toán.
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất H =
2002−x
+
2003−x
Giải: Nếu x < 2002 thì H = 2002 - x + 2003 - x = 4005 - 2x > 1.
+ Nếu 2002
≤
x
≤
2003 thì H = x- 2002 + 2003 - x = 1.
+ Nếu x >2003 thì H = x - 2002 + x - 2003 = 2x - 2005 > 1.
Vậy: Min H = 1
⇔
2002
≤
x
≤
2003
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
)(xf

+
)(xg

≥
)()( xgxf +
; Dấu "=" sẩy ra
⇔
f(x).g(x) ≥ 0.
)(xf
-
)(xg

≤

)()( xgxf −
; Dấu "=" sẩy ra
⇔
f(x).g(x)
≥
0
Trở lại ví dụ 8 ta có: H =
2002−x
+
2003−x
6
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
=
2002−x
+
x−2003

≥

xx −+− 20032002
= 1.
⇒
Min H = 1
⇔
(x - 2002)(2003 - x)
≥
0
⇔
2002
≤
x
≤
2003.
Ngoài hai cách giải trên ta còn có thể dùng cách giải sau:
Giả sử: Max f(x) = A; Min f(x) = B với f(x) xác định trên khoảng (a,b)
+ Nếu f(x)
≥
0 thì:



==
==
BxMxfMin
AxMaxfxfMax
)inf()(
)()(

Với ∀x
∈
(a , b)
+ Nếu Maxf(x)
≥
0 còn Minf(x)
≤
0 trên (a , b )
Thì:



=
=
0)(
);()(
xfMin
BAMaxxfMax
Với ∀x
∈
(a , b)
+ Nếu f(x)
≤
0 thì:



−=
−=
)()(

)inf()(
xMaxfxfMin
xMxfMax
Với ∀x
∈
(a , b)
Bài tập: Tìm Min (Max) (nếu có) của các biểu thức sau:
a) f(x) =
13
3
2
−+ xx
b) f(x) =
228
41162
2
2
+−
+−
xx
xx
c) f(x) =
653 +−++ xx
d) f(x) =
12
683
2
2
−−
+−

xx
xx
e) f(x) =
5212 −++++ xxx
3.3.5. Cực trị của hàm căn thức.
Để giải các bài tập về dạng toán này ta cần chú ý một số kiến thức cơ bản
sau:
3.3.5.1. Cho hàm P(x,y) xác định trên miền D khi đó: Min
),( yxP
=
a

(a = cosnt, a
≥
0)
⇔
P(x,y)
≥
a
∀
(x,y)
∈
D và
∃
(x
0
,y
0
) : P(x
0

,y
0
) = a
Max
),( yxP
=
b
(b = cosnt, b
≥
0)
⇔
P(x,y)
≤
b
∀
(x,y)
∈
D và
∃
(x
0
,y
0
) : P(x
0
,y
0
) = b
3.3.5.2. Nếu P(x,y)
≥

0, muốn tìm Min (Max) của P(x,y), ta chỉ việc đi
tìm Min (Max) của [p(x,y)]
2

Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
4
1
44
22
+−++− xxxx

Hướng dẫn: + Tập xác định: R
7
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
A =
22
)
2
1
()2( −+− xx
=
2
1
2 −+− xx
Lúc này A có dạng (IV) do đó rễ dàng tìm được Min A =
2
3

⇔

2
1
≤
x
≤
2
Ví dụ 10: Tìm Min của P = -
1
1
++ xx
Hướng dẫn: + Tập xác định: x
≥
0
Ta nhận thấy
1
1
++ xx
có dạng (III) loại 1 và từ điều kiện x
≥
0
⇒
1
1
++ xx

≤
1
⇒
P
≥

-1
⇒
Min P = -1
⇔
x = 0
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của M =
2
1
35
x
x
−
−
Giải: Tập xác định : -1 < x < 1
Ta có: M
2
= (
2
1
35
x
x
−
−
)
2
=
2
2
1

93025
x
xx
−
+−
=
2
22
1
161625309
x
xxx
−
−++−
=
1616
1
)53(
2
2
≥+
−
−
x
x
(vì -1 < x < 1 nên 1 - x
2
> 0 ). Vậy: Min M = 4
⇔
x =

5
3
Nhận xét:
Với dạng toán cực trị này ta có thể hoàn toàn đưa về được các dạng đã
biết bằng một số phép biến đổi đơn giản.
Ngoài cách giải trên chúng ta còn cách giải bằng phương pháp dùng bất
đẳng thức, cách giải này ta sẽ xét ở phần sau.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Trước khi chưa có sáng kiến, gần như học sinh không có hướng giải
quyết. Khi có sáng kiến và dựa trên các phương pháp cơ bản nhất của các bài
toán cực trị thì học sinh đã dần có định hướng để khai thác và phân loại được
8
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
từng dạng, loại bài cụ thể và học sinh cũng đã biết vận dụng được bài toán
cực trị đại số vào các bài toán cực trị hình học
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
1. Kết luận:
Trên đây là một số dạng toán cực trị thường gặp trong các đề thi vào lớp
10, vào các trường chuyên, thi học sinh giỏi. Trong sáng kiến này, tôi đã cố
gắng phân loại các dạng toán một cách cụ thể trong mỗi phần, mỗi dạng, tôi
đã nêu lên những lời giải cơ bản, những kiến thức cần thiết. Tôi hy vọng
rằng, tài liệu này tôi sẽ góp phần nhỏ giúp học sinh học tốt hơn.
Ngoài việc dựa vào sáng kiến là các phương pháp cơ bản nhất cho việc
nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các bài toán cực trị, tôi mong rằng các thầy
cô giáo và các em học sinh cần đọc thêm các bài toàn cực trị trong các đề thi
vào lớp 10, thi học sinh giỏi, sau này thi vào đại học.
Bản thân tôi là một giáo viên đã từng bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh
năng khiếu, học sinh thi vào cấp 3 nên tôi đã mạnh dạn xây dựng sáng kiến
này. Một lần nữa, tôi muốn khẳng định viết sáng kiến này là rất cần thiết.
2. Những ý kiến đề xuất:

Để đảm bảo cho việc dạy và học có hiệu quả chuyên đề: “Các phương
pháp giải bài toán cực trị” tôi xin có một số kiến nghị với Phòng
GD&ĐT cùng Ban giám hiệu trường THCS như sau:
Cần quan tâm hơn đến việc đầu tư mua thêm các tài liệu tham khảo có
liên quan đến các chuyên đề cực trị để giáo viên có thêm tư liệu sử dụng khi
lên lớp.
Trong sáng kiến này, mặc dù đã có nhiều cố gắng, song sáng kiến chắc
chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến
đóng góp của các cấp lãnh đạo, bạn bè và đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
9
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT TÊN SÁCH TÁC GIẢ
1
Báo toán học và tuổi trẻ
Nhà xuất bản
giáo dục
2 Báo toán tuổi thơ
Nhà xuất bản
giáo dục
3 Nâng cao và phát triển toán 9
Vũ Hữa Bình,
2008
4 Bài tập nâng cao và phát triển toán 9
Bùi Văn Tuyên,
2007
5 700 bài toán chọn lọc cực trị Hà Văn
Chương, 1999
Sáng tạo bất đẳng thức

10
Đề tài : Các phương pháp giải bài toán cực trị.
6
Trần Hùng,
2005
7
Tuyển tập các đề thi toán THCS Vũ Dương
Thụy, 2008
11