SKKN: Kĩ năng giải phương trình lượng giác lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (364.96 KB, 23 trang )
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 1
MỤC LỤC
Phần 1 – ĐẶT VẤN ĐỀ …………………………………………………… 1
Phần 2 – NỘI DUNG ……………………………………………………… 2
I. Phương trình lượng giác đúng dạng …………………………………… 2
1. Phương trình lượng giác cơ bản…………………………………………. 2
2. Phương trình lượng giác thường gặp ……………………………………. 5
2.1. Phương trình bậc 1, bậc 2 đối với một hàm số lượng giác …………… 5
2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ……………………………. 6
2.3. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx………………. 6
2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx……………………………. 7
II. Kỹ năng loại nghiệm ngoại lai …………………………………………. 8
1. Phương pháp hình học……………………………………………………. 8
2. Phương pháp đại số……………………………………………………… 11
III. Kỹ năng biến đổi về phương trình tích……………………………… 12
1. Dấu hiệu nhân tử chung ……………………………………………… 12
2. “Ghép bộ” để giảm cung………………………………………………… 15
3. Biến đổi về dạng asinx + bcosx…………………………………………. 17
4. Đặt ẩn phụ………………………………………………………………. 19
5. Nhẩm nghiệm ………………………………………………………… 20
Phần 3 – KẾT LUẬN ……………………………………………………. 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………. 23
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 2
Phần 1 - ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình
toán học cấp THPT, là một chủ đề luôn xuất hiện trong các đề thi đại học cao
đẳng trong những năm gần đây. Theo xu hướng ra đề tuyển sinh đại học
(TSĐH) trong các năm gần đây có thể thấy câu giải phương trình lượng giác
thường là câu gỡ điểm ngay cả đối với cả những học sinh trung bình, khá. Tuy
nhiên, với học sinh lớp 11, đây là một chủ đề mới, các em còn bỡ ngỡ, chưa
nắm rõ phương pháp giải toán nên đa số cảm thấy khó khăn trong việc giải
các bài tập không đúng dạng. Thực tế qua một số năm dạy học lớp 11, tôi
nhận thấy nhiều học sinh mới đầu tiếp thu kiến thức về phương trình lượng
giác rất thụ động, các em chỉ giải được các phương trình đúng dạng theo máy
móc và thường lúng túng khi gặp các phương trình khác dạng. Vì vậy việc tìm
ra được phương pháp hướng dẫn được học sinh giải toán về phương trình
lượng giác hiệu quả là một vấn đề cấp thiết trong dạy học, đó là lí do tôi viết
sáng kiến kinh nghiệm này, hi vọng đây là một tư liệu tốt giúp các em học
sinh có được phương pháp giải toán hiệu quả, qua đó đạt hiệu quả cao trong
học tập.
Đề tài giới hạn nghiên cứu trong phạm vi kiến thức về phương trình
lượng giác dành cho các em lớp 11. Các bài tập đưa ra bám sát vào cách ra đề
thi tuyển sinh đại học trong các năm gần đây của Bộ giáo dục. Ở mỗi ví dụ
minh họa cho phương pháp thường có việc phân tích, tìm hướng đi cho lời
giải.
Đề tài ngắn ngọn, chỉ giới hạn trong vài trang nên chắn chắn còn nhiều
thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý sâu sắc và chân thành của quý đồng
nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 3
Phần 2 – NỘI DUNG:
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐÚNG DẠNG
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
1.1.
sin ( )
f x m
( ) arcsin 2
,
( ) arcsin 2
f x m k
k
f x m k
; (với
1
m
)
Trường hợp
1
m
, phương trình trên vô nghiệm
*
( ) ( ) 2
sinf ( ) sin ( ) ,
( ) ( ) 2
f x g x k
x g x k
f x g x k
1.2.
cos ( )
f x m
( ) arc os 2
,
( ) arc os 2
f x c m k
k
f x c m k
. (với
1
m
)
Trường hợp
1
m
, phương trình trên vô nghiệm.
*
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ,
f x g x f x g x k k
1.3.
tan ( ) ( ) arctan ,
f x m f x m k k
.
*
cos ( ) 0
tan ( ) tan ( )
cos ( ) 0
( ) ( ) ;
f x
f x g x
g x
f x g x k k
1.4.
cot ( ) ( ) arccot ,
f x m f x m k k
.
*
sin ( ) 0
cot ( ) cot ( )
sin ( ) 0
( ) ( ) ;
f x
f x g x
g x
f x g x k k
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a)
1
sin
2
x
; b)
3
cos2
2
x ; c)
tan2 3
x
; d)
sin2 sin
3
x x
Giải:
a)
2
1
6
sin sin sin ,
72 6
2
6
x k
x x k
x k
.
b)
3
cos2 cos2 cos ;
2 6 12
x x x k k
.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 4
c)
1 1
tan2 3 arctan3 ;
2 2
x x k k
.
d)
2 2
2
3
3
sin2 sin ;
4 23
2 2
3
9 3
x x k
x k
x x k
x x k
x k
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình: a) sin2 cos
3
x x
; b)
2
cot 3
x
Giải:
a)
2
6
sin2 cos sin 2 sin ;
23 6
18 3
x k
x x x x k
x k
b)
2
cot 3
cot 3 ; .
6
cot 3
x
x x k k
x
Nhận xét: Ở ví dụ 2a) chỉ cần qua một phép biến đổi cơ bản bằng quan
hệ giữa các cung đặc biêt, ta đã đưa các phương trình trên về đúng dạng.
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình
1. a)
0
1
cot 45 4
3
x ; b)
tan 2 3
6
x
2. a)
3
cos
2
x
; b) 2cos(2cosx)=
3
3. a) sin
5
6
x
+ cos
2
3
x
= 0; b) sin
5
7
4
x
+ sin
2
6
x
= 0
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 5
2. Phương trình lượng giác thường gặp:
2.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác:
Dạng:
0
at b
;
2
0
at bt c
, giải như phương trình đại số bậc 1, bậc 2
với ẩn là t (ở đây t là một trong các hàm số lượng giác đã học)
Ví dụ: Giải phương trình: a)
2cos2 1 0
x
; b)
2
2sin 3sin 1 0
x x
Giải:
a)
1
2cos2 1 0 cos2 ; .
2 3
x x x k k
b)
2
2
2
sin 1
2sin 3sin 1 0 2 ; .
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x x x k k
x
x k
2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
sin cos
a x b x c
Chỉ cần qua một vài bước biến đổi đơn giản đưa về được phương trình cơ
bản:
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos
a b c
a x b x c x x
a b a b a b
2 2
sin
c
x
a b
.
Với
là một góc thỏa mãn:
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b
.
Chú ý: nếu ta chọn góc
là một góc thỏa mãn:
2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
thì ta biến
đổi phương trình
sin cos
a x b x c
thành
2 2
cos( )
c
x
a b
.
Ví dụ: Giải phương trình:
a)
sin cos 1
x x
; b)
3cos2 sin2 2
x x
HD Giải:
a)
2 2 2
sin cos 1 sin cos
2 2 2
x x x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 6
2
2 2
sin .cos cos .sin sin ; .
4 4 2 4 2
2
2
x k
x x x k
x k
b)
3 1 2
3cos2 sin2 2 cos2 sin2
2 2 2
x x x x
2 2
cos2 .cos sin2 .sin cos 2
6 6 2 6 2
x x x
…
2.3. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
+
2 2
asin cos sin .cos
x b x c x x d
(1)
+
3 2 2 3
asin sin .cos sin .cos cos 0
x b x x c x x d x
(2)
* Cách giải thông thường là:
- Kiểm tra cosx =0 có phải là nghiệm của phương trình hay không
- Xét
cosx 0
, chia cả 2 vế cho
2
cos x
(đối với đẳng cấp bậc 2), và với
3
cos x
(đối với đẳng cấp bậc 3), sau đó đặt
t tanx
ta chuyển về được phương
trình đại số theo t.
* Riêng đối với phương trình dạng (2), ngoài cách giải trên có thể dùng công
thức hạ bậc và nhân đôi đưa về dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và
cosx.
Ví dụ 1: Giải phương trình
2 2
6sin sinx.cos os 2
x x c x
(1)
Giải:
Khi cosx = 0, ta có
2
sin 1
x
thay vào phương trình thấy không thỏa, vậy nên
các cung thỏa cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình, vậy nên:
2 2 2
tan 1
(1) 6tan tan 1 2 tan 1 4tan tan 3 0
3
tan
4
x
x x x x x
x
4
;
3
arctan
4
x k
k
x k
* Cách khác:
1 cos2 1 1 cos2
(1) 6 sin2 2 sin2 7cos2 1
2 2 2
x x
x x x
đây là
phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx đã biết cách giải.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 7
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3 3
sin os sinx cos
x c x x
(*)
Giải:
* Nếu cosx=0. Khi đó:
3 2
2
cos 0
(1)
sinx 0
cos 0 cos 0
(*)
sin sinx sinx(sin 1) 0 cos 0
(2)
sin x 1
x
x x
x x x
Dễ thấy (1) vô nghiệm
Và (2) cos 0 ,
2
x x k k
.
* Nếu
cos 0
x
. Khi đó chia 2 vế cho
3
cos
x
ta được pt:
3 3 2
2 2
tanx 1
tan 1 tan 1 tan 1 tanx 1
os os
x x x
c x c x
2
tan tanx 2 0
x
(vô nghiệm).
Vậy pt đã cho có nghiệm là:
,
2
x k k
.
2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
k m
a sinx cosx b sin x.cosx c 0
Cách giải: Đặt
t sin x cosx
, biến đổi sinx.cosx theo t, sau đó giải phương
trình đại số theo t.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2(sin cos ) sin2
x x x
(*)
Giải:
Đặt
sin cos 2sin 2
4
t x x x t
;
2
2
sin2 2sin cos sinx cos 1 1
x x x x t
Do đó (*) trở thành:
2 2
1 2
2 1 2 1 0
1 2
t
t t t t
t
Loại
1 2
t ; với
1 2
t ta có:
1 2
arcsin 2
4 2
2sin 1 2 ;
4
3 1 2
arcsin 2
4 2
x k
x k
x k
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 8
Vậy nghiệm của phương trình là
1 2 3 1 2
arcsin 2 ; arcsin 2
4 2 4 2
x k x k
với
k
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3 3
3
1 sin 2x cos 2x sin4x
2
(*)
HD Giải:
3 3
3
1 sin 2x cos 2x sin4x
2
1 (sin2x cos2x)(1 sin2xcos2x) 3sin2xcos2x
Đặt t = sin2x + cos2x
2
t , ta được phương trình mới theo t:
3 2 2
1
3 3 5 0 ( 1)( 2 5) 0
1 6
t
t t t t t t
t
Chú ý là
1 6
t không thỏa mãn
2
t nên loại
Vậy
(*) sin2 cos2 1
x x
…
ĐS:
x k ;x k
2 4
với
k
.
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau:
1. a)
2sin 3cos 3
x x
; b) sin2x+
3
cos2x =1
2.
2 2
sin sin2 3cos 3
x x x
3.
3
sinx cosx sin x.cosx 1 0
4.
1 tanx 2 2sin x
5.
2 2
1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin2x
(TSĐH khối A – 2007)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 9
II. KỸ NĂNG LOẠI NGHIỆM NGOẠI LAI
Thông thường khi giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta cần tìm điều
kiện trước, sau đó biến đổi hệ quả giải ra nghiệm cần đối chiếu với điều kiện
mới kết luận được nghiệm của phương trình đầu, để làm được điều đó cần
phải nắm được 2 phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp hình học:
Biểu diễn điểm cuối nghiệm và các điểm cuối các cung không thỏa mãn điều
kiện trên đường tròn lượng giác, thấy trùng thì loại nghiệm đó.
Để thực hiện được phương pháp học sinh cần nắm:
- Cung lượng giác:
2
k
a
(với
*
a
) có
a
trường hợp ứng với
a
điểm cuối
trên đường tròn lượng giác, các trường hợp đó tương ứng với
1; 2; ; ( 1)
k an k an k an a
- Một cung biết được điểm cuối trên đường tròn lượng giác, học sinh phải cần
biết được cách viết công thức cung hình học đó, chẳng hạn các cung lượng
giác có điểm cuối trùng với điểm A(1;0) thì có công thức biểu diễn là
2
k
;
các cung lượng giác có điểm cuối trùng với B(0;1) hoặc điểm B’(0;-1) thì có
công thức biểu diễn là
2
k
( ở đây
k
) ;…
Ví dụ 1: Giải phương trình:
sinx cosx
1 cos 1 sin
x x
(*)
Giải:
- Đk:
cos 1
2
2
sinx 1
2
x
x k
x k
- Với đk này ta có:
2 2
(*) sinx sin cos os
x x c x
sinx cos (sinx cos )(sinx cos ) 0
x x x
(sinx cos )(sinx cos 1) 0
x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 10
tanx 1
sinx cos
2sin 1
sinx cos 1
4
x
x
x
4
4
2 , 2 ,
4 4
2
2
2
4 4
x k
x k
x k k x k k
x k
x k
.
Đối chiếu với đk suy ra nghiệm của phương trình là ,
4
x k k
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
tan3 tanx
x
(*)
- Điều kiện:
3
os3 0
6 32
, ,
cos 0
2 2
k
x
x k
c x
k k
x
x k
x k
- Với điều kiện trên ta có: (*) 3 , ,
2
l
x x l l x l
Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là:
;
x m m
.
* Nhận xét: Trong ví dụ 1, việc loại nghiệm khi đối chiếu điều kiện khá dễ
thấy công thức nghiệm tìm được và điều kiện giống nhau; tuy nhiên qua ví dụ
2 ta thấy việc loại nghiệm cần thiết phải dùng phương pháp đã nêu ở trên, cụ
thể:
y
y
=
/6
A5
A3
A6
A4
A2
x
O
A
A1
Các điểm
1 2 6
; ; ;
A A A
là các điểm
cuối của các cung không thỏa mãn
điều kiện của phương trình
y
y
=
/6
C
D
B
x
O A
Các điểm A,B,C,D là điểm cuối của
các cung nghiệm của phương trình ta
giải ra và dễ thấy cung có điểm cuối
B và D không thỏa mãn điều kiện
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 11
2. Phương pháp đại số:
Giả sử điều kiện của phương trình là các cung
( )
x f k
; nghiệm của phương
trình hệ quả là
( )
x g l
(ở đây
,
k l
); khi đó ta giải phương trình nghiệm
nguyên đơn giản để loại ra nghiệm ngoại lai:
( ) ( )
g l f k
.
Ví dụ: Giải phương trình:
tan(2 1).tan(3 1) 1
x x
(*)
Giải:
- Đk:
1
2 1
os(2 1) 0
4 2 22
, ,
1
os(3 1) 0
3 1
6 3 3
2
k
x
x k
c x
k k
k
c x
xx k
.
- Với điều kiện này ta có:
(*)
1
tan(2 1) tan(2 1) tan 3 1
tan(3 1) 2
x x x
x
,
10 5
m
x m
.
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài toán vì:
1
10 4 3 10
4 2 2 10 5
1
10 6 2 10
6 3 3 10 5
k m
k m
k m
k m
vô nghiệm do
m,k
.
Vậy pt có nghiệm là ,
10 5
m
x m
.
Bài tập luyện tâp: Giải các phương trình
1.
sinx
1 cos
1 cos
x
x
2.
tan tan2 sin3 .cos
x x x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 12
III. KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Dấu hiệu nhân tử chung:
Trên cơ sở các công thức lượng giác các em học sinh được học trong SGK, tôi
rút ra bảng một số nhân tử chung thường gặp:
STT Nhân tử
chung
Biểu thức chứa nhân tử chung
1 sinx
tan ;sin 2 ;tan2 ;1 cos2 ;
x x x x
2 cosx
cot ;sin2 ;tan2 ;1 cos2 ;
x x x x
3
sin cos
x x
2 2
cos2 ;1 tanx;1 cot ;1 tan ;1 cot ;
x x x x
3 3
sin cos ;
x x
4
1 sin
x
2 2
cos ;cot ;2cos sin2
x x x x
5
1 cos
x
2 2 2 2 2 2
sin ;tan ;sin ;tan ;cos ;cot ;2sin sin2
2 2 2 2
x x x x
x x x x
6
1 2sin
x
2 2
cos sin2 ;1 4sin ;3 4cos ;2cos2 1;
x x x x x
cotx 2cos ;
x
7
1 2cos
x
2 2
sin sin2 ;1 4cos ;3 4sin ;2cos2 1;
x x x x x
tanx 2sin ;
x
Ví dụ 1.1: Giải phương trình:
sin2 2cos 1 cos2
x x x
(*)
Dấu hiệu nhân tử chung: sin2x với cosx có nhân tử chung cosx; sin2x
với
1 cos2
x
có nhân tử chung sinx.
HD Giải:
2
(*) sin 2 2cos .2sin sin2 2sin 1 0
x x x x x
Ví dụ 1.2: Giải phương trình
(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx
x x x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối D – 2004)
Dấu hiệu nhân tử chung: 2cosx – 1 và sin2x – sinx
Giải:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 13
(*) (2cos 1)(2sin cos ) sinx(2cos 1)
x x x x
1
cos
2
2
3
(2cos 1)(sin cos ) 0 ;
3
cos 0
4
4
x
x k
x x x k
x
x k
Ví dụ 1.3: Giải phương trình
2
5sin 2 3(1 sinx)tan
x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối B – 2004)
Dấu hiệu nhân tử chung:
1 sinx
và
2 2
2
2
sin sin
tan
cos (1 sin )(1 sin )
x x
x
x x x
có nhân tử chung 1 – sin x
giúp ta giản ước.
Giải:
- Điều kiện:
cos 0 sin 1
x x
- Với điều kiện này ta có:
2 2
sin 3sin
(*) 5sin 2 3(1 sinx) 5sin 2
(1 sinx)(1 sinx) 1 sinx
x x
x x
2
sin 2 (VN)
2
6
2sin 3sin 2 0 ;
1
5
sin
2
2
6
x
x k
x x k
x
x k
Nghiệm tìm được thỏa điều kiện, vậy nghiệm của phương trình là:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
với
k
.
Ví dụ 1.4: Giải phương trình
2
1 sin2 cos2
2sinx.sin2
1 cot
x x
x
x
(*)
(Trích đề thi TSĐH khối A – 2011)
Dấu hiệu nhân tử chung:
1 cos2
x
và
sin2
x
có nhân tử chung
cos
x
;
2
2
1
sin
1 cot
x
x
và
2
sin .sin2 2sin .cos
x x x x
có nhân tử chung là
2
sin
x
.
HD giải:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 14
- Điều kiện:
sin 0
x
- Với điều kiện này ta có:
2
2
2cos 2sin .cos
(*) 2sin sin2
1
sin
x x x
x x
x
2 2
2sin cos (cos sinx) 2 2sin .cos
x x x x x
cos 0
sinx cos 2
x
x
(Do điều kiện nên ta giản ước 2
2
sin
x
ở hai vế)
Đây là các phương trình đúng dạng học sinh đã biết cách giải.
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình
1.
sin2 .cos sinx.cos cos2 sinx cos
x x x x x
(Khối B – 2011)
2.
sin2 cos2 3sinx-cos 1 0
x x x
(Khối D – 2010)
3.
sin2 2cos sinx 1
0
tanx 3
x x
(Khối D – 2011)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 15
2.“Ghép bộ” để giảm cung:
Cơ bản là ghép các biểu thức thích hơp trong phương trình, dùng công
thức biến đổi tổng thành tích để tạo nhân tử
Ví dụ 2.1: Giải phương trình:
sin3 cos2 sinx 0
x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối D – 2013)
Phân tích: xuất hiện 3 cung 3x; 2x và x nên ta hy vọng nhóm sin3x với
sinx bằng công thức biến đổi tổng thành tích và xuất hiện nhân tử chung.
HD Giải:
cos2 0
(*) 2cos2 sin cos2 0 cos2 (2sin 1) 0
1
sinx
2
x
x x x x x
Đây là những phương trình cơ bản quen thuộc.
Ví dụ 2.2: Giải phương trình:
sin3 cos3 s cos 2cos2
x x x x
inx
(*)
(Trích đề thi TSĐH khối D – 2012)
HD Giải:
(*) sin3 sinx cos3 cos 2cos2
x x x x
2cos2 sin 2cos2 cos 2cos2 2 cos2 2 sinx cos 1 0
x x x x x x x
cos2 0
2sin 1 0
4
x
x
…
Ví dụ 2.3: Giải phương trình
2
2sin 2 sin7 1 sinx
x x
(*)
(Trích đề thi TSĐH khối B – 2007)
Phân tích: Nhóm biến đổi sin7x – sinx để xuất hiện cung 4x; sử dụng
công thức nhân đôi trong biểu thức còn lại làm xuất hiện cung 4x và ta hy
vọng có nhân tử chung
HD Giải:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 16
2
(*) sin7 sinx 2sin 2 1 0 2cos4 sin3 cos4 0
x x x x x
cos4 0
cos4 (2sin3 1) 0
1
sin3
2
x
x x
x
Ví dụ 2.4: Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
(*)
(Trích đề thi TSĐH khối B – 2002)
- Phân tích: mới nhìn vào, người làm có thể có nghĩ ra 2 hướng giải
quyết bài này:
+ Hướng 1: dùng hằng đẳng thức, kết hợp dùng công thức biến đổi tổng thành
tích hy vọng tạo ra được nhân tử chung.
+ Hướng 2: Hạ bậc, sau đó ghép bộ và biến đổi thành tích hy vọng tạo được
nhân tử chung và dưới đây là cách giải theo hướng này.
HD Giải:
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
(*)
2 2 2 2
x x x x
cos6 cos8 cos10 cos12 2cos7 .cos 2cos11 .cos
x x x x x x x x
cos 0
cos cos11 cos7 0
cos11 cos7
x
x x x
x
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau
1.
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
(TSĐH khối D – 2006)
2.
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
(TSĐH khối D – 2002)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 17
3. Biến đổi theo dạng asinx +b cosx
- Ý tưởng của phương pháp này là biến đổi được phương trình về dạng
2 2 2 2
sin cos sin cos cos cosa u b u c v d v a b u c d v
với
2 2 2 2
a b c d
ta chuyển được về phương trình cơ bản.
- Dấu hiệu rõ nhất để nhận dạng này là xuất hiện
3; 2
trong phương trình.
Ví dụ 3.1: Giải phương trình
3cos5 2sin3 cos2 sinx 0
x x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối D – 2009)
HD Giải:
(*) 3cos5 sin5 sin sinx 0 3cos5 sin5 2sin
x x x x x x
sin 5 sin
3
x x
Ví dụ 3.2: Giải phương trình
3
sin cos .sin2 3cos3 2(cos4 sin )
x x x x x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối B – 2009)
HD Giải:
2
(*) sin (1 2sin ) cos .sin2 3sin3 2cos4
x x x x x x
sin cos2 cos .sin2 3cos3 2cos4 sin3 3cos3 2cos4
x x x x x x x x x
2cos 3 2cos4
6
x x
- Nhận xét: Đây là một phương trình lượng giác hay, được người ra đề “dấu
dạng” sau một vài phép biến đổi, tuy nhiên do xuất hiện
3cos3
x
trong
phương trình là cơ sở giúp ta có hướng đi hợp lý phân tích về dạng
cos3 sin3
a x b x
.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 18
Ví dụ 3.3:
2 cos 3s cos cos 3s 1
x x x
inx inx
(*)
(Trích đề TSĐH khối B – 2012)
HD Giải:
(*) 2cos2 1 2 3sinxcos cos 3sinx
x x x
cos2 3sin 2 cos 3sin cos 2 cos
3 3
x x x x x x
Ví dụ 3.4: Giải phương trình: 1 tan 2 2sin
4
x x
(*)
(Trích đề TSĐH khối A,A1 – 2013)
HD Giải:
- Điều kiện:
cos 0
x
- Với điều kiện này ta có:
sinx cos
(*) 2 2sin 2sin 2 2sin cos
cos 4 4 4
x
x x x x
x
sin 2cos 1 0
4
x x
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau
1.
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sinx)
x x
x
(TSĐH khối A – 2009)
2.
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
(TSĐH khối D – 2007)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 19
4. Đặt ẩn phụ:
Ý tưởng của phương pháp là biến đổi các cung phức tạp thành cung đơn
giản trước khi đưa nó về phương trình tích
Ví dụ 4.1: Giải phương trình
sin 2 sin cos3
3 6
x x x
(*)
Giải
Đặt
6 6
y x x y
;
cos3 cos 3 sin( 3 ) sin3
2
x y y y
Ta có:
(*) sin2 sin sin3 sin 2 2sin2 cos sin2 (2cos 1) 0
y y y y y y y y
sin2 0
4
;
2cos 1 0
2
3
k
y
y
k
y
y k
Thế
6
x y
ta rút ra nghiệm của phương trình là:
6 4
;
2
2
k
x
k
x k
Ví dụ 4.2: Giải phương trình
13 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
(*)
HD Giải:
Đặt
3 3
2
10 2 5
x
y x y
do đó:
3
3 3
3 sin sin3 3sin 4sin
10 2 10 2
x x
x y y y
Vậy
3 3
1
(*) sin 3sin 4sin sin 4sin 0
2
y y y y y
2
sin (1 4sin ) 0
y y
* Nhận xét: Trong lời giải trên có sử dụng công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sin
y y y
; công thức này học sinh không được dùng trực tiếp,
các em học sinh muốn dùng phải chứng minh đơn giản như sau:
sin3 sin 2 sin cos2 cos sin2
y y y y y y y
2 2 3
sin 1 2sin 2sin (1 sin ) 3sin 4sin
y y y y y y
.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 20
Bài tập luyện tâp: Giải các phương trình
1.
sin 2 5sin cos3
3 6
x x x
2.
3cos sinx sin3 cos3
x x x
3.
3
8cos x cos3x
3
5. Nhẩm nghiệm để tìm nhân tử chung:
- Ta thấy trong đề tuyển sinh đại học trong thời gian gần đây, người ra đề
thường cho kết quả nghiệm tìm được khá “đẹp”, đó là các nghiệm mà có điểm
cuối biểu diễn trên đường tròn lượng giác trùng với các cung đặc biệt tức là
khi đó phương trình sẽ có nhân tử có thể là:
sin ( );sin ( ) 1;2sin ( ) 2;2cos ( ) 3;
f x f x f x f x
- Ý tưởng của phương pháp giống với cách nhẩm nghiệm trong giải
phương trình đa thức, cụ thể: Giả sử nghiệm tìm được là
0
x x
, khi đó
phương trình có nhân tử chung là
0
x x
. Đây là cơ sở để ta có hướng đi hợp
lý tìm ra lời giải của bài toán.
Ví dụ 5.1 Giải phương trình:
2
2sin sin2 2 2cos 2cos
x x x x
(*)
Phân tích bài toán:
- Nhẩm nghiệm thấy
2
x
là một nghiệm của phương trình (*), vậy thì ta
nghĩ đến nhân tử chung xuất hiện có thể là “
sin 1
x
” hoặc “
cos
x
”.
- Nhìn kỹ vào (*) ta thấy nếu chuyển 2 sang vế trái của phương trình kết hợp
với
2sin
x
tạo ra được nhân tử “
sin 1
x
”, vậy ta nghĩ đến việc đưa (*) về
nhân tử “
sin 1
x
”
HD Giải:
2
(*) (2sin 2) (sin2 2cos ) 2cos 0
x x x x
(sin 1) cos (sin 1) (1 sinx)(1+sinx) 0
x x x
(sin 1)(1 2cos 1 sin ) 0 (sin 1)(cos sinx) 0
x x x x x
Ví dụ 5.2 Giải phương trình:
sin3 cos2 sinx 0
x x
(*)
( TSĐH khối D – 2013 đã nêu ở ví dụ 2.1)
- Phân tích: Nhẩm nghiệm thấy
4
x
là một nghiệm của phương trình,
tức là phương trình có thể xuất hiện nhân tử chung là “
cos2
x
” hoặc
“
"2sin 2"
x ;
Và nhìn vào bài toán ta có thể dự đoán nhân tử chung là
cos2
x
, đó là cơ sở
để ta giữ lại
cos2
x
, nhóm và biến đổi “
sin3 sinx
x
”
- HD Giải: xem ví dụ 2.1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 21
Ví dụ 5.3: Giải phương trình
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
(*)
- Phân tích:
Ta thấy có
3
nên khi nhẩm nghiệm ta hướng chú ý đến các giá trị
3
sin
2
x
hoặc
3
cos
2
x
. Và sau thời gian nhẩm nghiệm ta thấy
3
sin
2
x là nghiệm và như thế ta có thể biến đổi về nhân tử chung
“
2sin 3
x ”
- Hướng dẫn giải:
2
(*) 2 3cos 3cos 2 3 3sin 2sin cos 0
x x x x x
2
cos 3 2sin 2 3 1 sin 2 3 3sin 0
x x x x
cos 3 2sin 3sin 3 2sin 0
3 2sin cos 3sin 0
x x x x
x x x
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau:
1.
cos3 11cos 2 2sin2 3cos2 4
x x x x
2.
3
2cos cos2 sin 0
x x x
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 22
Phần 3 – KẾT LUẬN
Đề tài ngắn gọn không thể nêu hết sự đa dạng trong các phương pháp
giải toán đối với phương trình lượng giác, nó chỉ có tính tương đối áp dụng
đối với một số dạng phương trình biến đổi về phương trình tích, và đương
nhiên nó không phải là chìa khóa vạn năng để giải mọi bài toán.
Đề tài đã thực hiện được những kết quả sau:
1. Hệ thống lại các phương trình lượng giác đúng dạng theo chuẩn kiến
thức kỹ năng đối với chương trình Toán 11.
2. Hướng dẫn học sinh được hai cách loại nghiệm ngoại lai, kiểm tra
nghiệm có thỏa mãn điều kiện của phương trình khi gặp phương trình lượng
giác có điều kiện.
3. Trình bày được một số phương pháp biến đổi về phương trình tích khi
giải phương trình lượng giác không đúng dạng. Đây là phần quan trọng nhất
của đề tài.
Với thời gian và kiến thức có hạn chắc chắn đề tài còn có nhiều thiếu sót,
kính mong nhận được sự góp ý của quý đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Hy vọng đề tài là một tài liệu hữu ích giúp các em học sinh 11 đạt kết quả tốt
hơn trong giải phương trình lượng giác.
Pleiku, ngày 10 tháng 3 năm 2014
Người viết đề tài
Phan Nhật Hùng
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ Kỹ năng giải phương trình lượng giác 11”
Giáo viên thực hiện: Phan Nhật Hùng Trang 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ SGK Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm 2008.
+ Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo Dục năm
2008.
+ Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam – Phan Doãi Thoại, Bài tập chọn lọc đại
số và giải tích 11, NXB Giáo Dục 2009.
+ Phạm Khắc Ban – Doãn Minh Cường – Phạm Minh Phương, Ôn thi đại học
môn toán, NXB Giáo Dục 2009
+ www. diendantoanhoc.net
