Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (636.63 KB, 24 trang )
Chuyên đề 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
@ Điều kiên đủ: Nếu
/
f (x)
> 0,
x (a;b)
∀ ∈
thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
Nếu
/
f (x)
< 0,
x (a;b)
∀ ∈
thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)
@ Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì
/
f (x)
≥
0
x (a;b)
∀ ∈
Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì
/
f (x)
≤
0
x (a;b)
∀ ∈
(trong điều kiện đủ nếu đạo hàm bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì kết luận vẫn đúng)
@ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến_nghịch biến của một hàm số
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính
f '(x)
.Tìm các điểm x
i
( i = 1,2,…,n) mà tại đó
f '(x)
= 0 hoặc
f '(x)
không xác định.
3. Lập bảng xét dấu của
f '(x)
4. Sử dụng điều kiện đủ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm m để hs
3 2
1
y x mx (m 6)x (2m 1)
3
= + + + − +
đồng biến trên R
Bài 2: Tìm m để hs
3
y x mx m 2
= + − −
luôn đồng biến trên R
Bài 3: Tìm m để hs
3
y mx (2m 1)x 2m 1
= − − + + −
luôn đồng biến trên R
Bài 4: Cho hàm số
3 2
y x 3mx 3(2m 1)x 1= − + − −
. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bài 5: Tìm m để hs
mx 1
y
x 2
−
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định
Bài 6: Tìm m để hs
(m 2)x 1
y
x m
+ +
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
@ Nếu qua điểm x
0
mà
( )f x
¢
đổi dấu thì x
0
là điểm cực trị
@ Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
x x=
thì
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
ì
¢
ï
=
ï
í
¢¢
ï
>
ï
î
@ Để hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x x=
thì
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
ì
¢
ï
=
ï
í
¢¢
ï
<
ï
î
@ Qui tắc tìm cực trị của một hàm số
Quy tắc 1
1) Tìm tập xác định.
2) Tính
f '(x).
Giải
f '(x) 0=
3) Lập bảng biến thiên. Kết luận
Quy tắc 2
1) Tìm tập xác định.
2) Tính
f '(x)
. Giải
f '(x)
= 0 tìm
nghiệm x
i
3) Tính
f ''(x)
và
i
f ''(x ).
Kết luận.
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm m để hs
3 2
1
y x mx mx 1
3
= + − +
không có cực trị
Bài 2: Tìm m để hs
4 2 2
y mx (m 9)x 10
= + − +
có 3 cực trị
Bài 3: Cho hàm số
3 2
y x (m 1)x (m 2)x 1= + − − + −
. CMR hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài 4: Tìm m để hs
4 2
y x 2mx m 1
= − + + +
có cực đại và cực tiểu.
Bài 5: Tìm m để hs
3 2 2
1
y x mx (m m 1)x 1
3
= − + − + +
đạt cực đại tại x= 1
Bài 6: Tìm m để hs
3
y x 3mx m
= − + −
đạt cực tiểu tại x= -1
Bài 7: Tìm m để hs
3 2
1
y x mx (2m 1)x m 1
3
= − + − − +
có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.
Bài 8: Tìm m, n để hs
4 2
y x mx n
= − +
đạt cực trị bằng 2 khi x=1
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Trên đoạn [ a; b] Trên khoảng ( a; b )
1) Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]
2) Tính
f '(x).
Giải
f '(x) 0=
tìm nghiệm
( ; )
i
x a bÎ
3) Tính f(a), f(b), f(x
i
)
4) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các
số trên. Ta có
[a;b]
[a;b]
maxf (x) M ,min f (x) m= =
1) Tính
f '(x).
Giải pt
f '(x)
= 0
2) Lập bảng biến thiên
3) Dựa vảo BBT để kết luận :
CD CT
(a;b)
(a;b)
maxf (x) y ,min f (x) y= =
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hs y=
3 2
2x 3x 12x 2+ − +
trên đoạn [-1;2]
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hs
2x 1
y
x 2
−
=
+
trên đọan
[ ]
2;4
Bài 3: Tìm GTLN- GTNN của hs
2
f (x) x ln(1 2x)= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−
Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của hs y= x – e
2x
trên đoạn [-1;0]
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y=
2
x 1
1 x
+
+
Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của hs y=
2
cos x cosx 2− +
Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của hs y=
2sin x sin 2x+
trên đoạn
3
0;
2
π
Bài 8: Tìm GTLN, GTNN của hs y=
x
x
e
e e+
trên đoạn [ln2;ln4]
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hs y=
2
x 1 x+ −
ĐƯỜNG TIỆM CẬN
+ Nếu
0
x
lim f (x) y
±¥®
=
thì y = y
0
là tiệm cận ngang của (C): y = f(x).
+ Nếu
0
x x
lim f(x)
+
®
= ±¥
hoặc
0
x x
lim f (x)
-
®
= ±¥
thì x = x
0
là tiệm cận đứng của (C): y = f(x).
BÀI TẬP (SGK)
HẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
• Tìm giới hạn
⇒
tiệm cận (nếu có)
• Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị.
3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
a > 0 A < 0
Ph.trình y’ = 0
có hai nghiệm phân biệt.
Ph.trình y’ = 0
Có nghiệm kép.
Ph.trình y’ = 0
vô nghiệm.
Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng qua điểm uốn
0 0
( ; ),I x y
với
0
x
là nghiệm pt
0y
′′
=
và
0 0
( ).y f x=
Dạng của đồ thị hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
a > 0 a < 0
Ph.trình y’ = 0
có ba nghiệm phân biệt.
Ph.trình y’ = 0
có một nghiệm .
Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương đối xứng qua Oy
Dạng của đồ thị hàm số
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d
+
= -¹ ¹
+
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
Chú ý: Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng qua giao điểm của 2 đường tiệm cận
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
Cho hai đường cong (C
1
): y = f (x) và (C
2
): y = g (x) .
Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0
B1)Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0
Û
f (x)=g(m) (*)
B2)Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m)
Þ
Số nghiệm
ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d.
B3)Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số).
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). PTTT của (C) tại
( )
( )
0 0 0
M x ;y C
∈
có là
/
0 0 0
y f (x )(x x ) y= − +
.
Khi đó:
( )
0 0 0
M x ;y
với y
0
=f(x
0
) được gọi là tiếp điểm.
0
f '(x )
là hệ số góc của tiếp tuyến.
Dạng 1: TT của (C) tại điểm
( )
( )
0 0 0
M x ;y C
∈
Dạng 2: TT của (C) có hệ số góc k cho trước
Tìm
f '(x)
®
tính
0
f '(x )
Viết ph.trình tiếp tuyến.
Tìm
f '(x),
giải ph.trình:
/
0
f (x )
= k tìm x
0
Tìm y
0
= f (x
0
). Viết ph.trình tiếp tuyến.
Lưu ý: Nếu đề bài chỉ cho biết hoành độ x
0
( hay
tung độ y
0
) thì ta thay tọa độ đã biết vào phương
trình y = f (x) để tìm tọa độ còn lại; tiếp tục tính
0
f '(x )
để thay vào công thức.
Lưu ý:
* Nếu tt d //
D
: y = ax + b thì
( )
/
0
f x a=
* Nếu tt d
^ D
: y = ax + b thì
( )
/
0
f x .a 1=-
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hàm số y=x(3–x)
2
1. KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x
y
O
x
y
O
2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C):
a. Tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng f ’’(x
0
)=0.
b. Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
c. Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đ.thẳng
y 9x 2= +
.
3. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 6x 9x 1 m 0− + − + − =
Bài 2: Cho hàm số
3 2
y x 3mx 3(2m 1)x 1= − + − −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1
b. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng f’(x
0
)=3.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
y x (m 1)x (m 2)x 1= + − − + −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 1
b. Viết ph.trình đ.thẳngd đi qua hai điểm cực trị của (C).
c. Viết ph.trình đ.thẳng (d) vuông góc với đ.thẳng
x 3y 0− =
và tiếp xúc với đồ thị
(C).
d. Dựa vào (C), biện luận theo k, số nghiệm của ph.trình
3
x 3x k− =
.
Bài 4: Cho hs
3 2
y x 3x 1= − + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 3x m 0− + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 5: Cho hs
3
y x 3x 1= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3
x 3x m 0− + + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 6: Cho hs
3
y x 3x= −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3
x 3x 2 m 0− + − =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 7: Cho hs
3
y x 3x 2= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3
x 3x 2 m 0− + − + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại ðiểm có hoành ðộ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 8: Cho hs
3 2
y x x x 1= − − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x x x 2 m 0− + + − + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 9: Cho hs
3 2
y x 6x 9x 1= − + +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 6x 9x m 0− + + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 10: Cho hs
3 2
y x 3x 4= − + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 3x 2 m 0− + − =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 11: Cho hs
3 2
y x 3x 2= + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 3x 1 m 0− − + + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 12: Cho hs
3 2
y x 3x= +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 13:Cho hs
3 2
y x 3x 4= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 14:Cho hs
3 2
y x 6x 9x 4= + + +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 6x 9x 2 m 0− − − − + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 15:Cho hs
3
2
x
y 2x 3x 1
3
= − + +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
3 2
x 6x 9x 3 m 0− + + + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f ' x 0=
.
Bài 16: Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+ 3
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
2. Định m để ph.trình
4 2
x 2x 1 m 0− + + =
có 4 nghiệm phân biệt.
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= -1.
Bài 17: Cho hàm số
4 2
1 1
y x x 1
4 2
= − +
1. KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm ph.trình
4 2
x 2x 4 m 0− + + =
.
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
Bài 18: Cho hs
4
2
x 5
y 3x
2 2
= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị(C) của hs
2. Biện luận theo m số nghiệm của ph.trình:
4 2
x 6x 5 m 0− + − =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
0
f "(x ) 0=
Bài 19: Cho hs
4 2
y x x 2= + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
2. Định m để ph.trình
4 2
x x 1 m 0− − + + =
có 2 nghiệm phân biệt.
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
=1.
Bài 24: Cho hs
4 2
y x 2x 3= − −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
4 2
x 2x 2 m 0− + + + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
dương. Biết
( )
0
f ' x 0=
Bài 25: Cho hs
4 2
y x 4x 5= − −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
4 2
x 4x 3 m 0− − + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= -2
Bài 26: Cho hs
4
2
x
y 2x 1
2
= + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình
4 2
x 4x 2 m 0+ − + =
3. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
âm. Biết rằng
( )
0
f " x 10=
Bài 27: Cho hs
4
2
x
y x
2
= −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
=1.
Bài 28: Cho hs
4
2
x 3
y x
2 2
= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết ph.trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
. Biết rằng
( )
0
f " x 2= −
.
Bài 29: Cho hs
x 3
y
x 1
+
=
+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a) Tại điểm có tung độ bằng 2
b) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành
c) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung
3) CMR với mọi giá trị m, đường thẳng y=2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 30: Cho hs
2x 3
y
2 x
+
=
−
1) KS và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= -x+m
Bài 31: Cho hs
2x 1
y
x 2
−
=
+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
=2
3) Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx-2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
Bài 32: Cho hs
x 1
y
x 1
−
=
+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
= 2
Bài 33: Cho hs
2x 2
y
x 1
−
=
+
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
= 4
Bài 34: Cho hs
x 2
y
x 1
+
=
+
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 2
Bài 35: Cho hs
x 2
y
x 2
+
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 3
Bài 36: Cho hs
2x 1
y
x 1
+
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
=3
3. Tìm m để đường thẳng d:y=-x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 37: Cho hs
3 2x
y
x 1
−
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng y=mx+2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
Bài 38: Cho hs
x 2
y
2x 1
−
=
+
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 5
Bài 39: Cho hs
2 2x
y
x 2
−
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 3
Bài 40: Cho hs
6 x
y
x 3
−
=
+
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
= 2
Bài 41: Cho hs
4 2x
y
x 4
+
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= -4
Bài 42: Cho hs
2x 4
y
x 3
−
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Xác định m để đường thẳng
2y mx= +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 43: Cho hs
2x 4
y
x 1
+
=
+
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 2
Bài 44: Cho hs
2x 4
y
x 4
−
=
−
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
=-2
##################
Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
LŨY THỪA
a
0
= 1
a .a a
+a b a b
=
( )
.
a a
b
a a b
=
( )
a .b ab
a
a a
=
n
n
1
a
a
-
=
a
a
a
a
-a b
b
=
a a
b b
a
a
a
æö
֍
=
֍
֍
è ø
m
m
n
n
a a=
khi a 1
a a
khi 0 a 1
a b
ì
> >a b
ï
ï
> Û
í
ï
< < <a b
ï
î
LOGARIT
a
log b a b
a
= =aÛ
a
log 1 0=
a
log a 1=
a
log b
a b=
a a
log b log b
a
= a
a
a
1
log b log b
a
=
a
a 1 2 a 1 a 2
log (b b ) log b log b= +
1
a a 1 a 2
2
b
log log b log b
b
æ ö
֍
= -
֍
֍
֍
è ø
c
a
c
log b
log b
log a
=
Khi cơ số a = 10 thì
10
log b
(logarit thập phân) thường được viết là
logb hay lgb
Khi cơ số a = e thì
e
log b
(logarit tự nhiên) được viết là
lnb
BÀI TẬP
Bài 1: Đơn giản a)
1 1 4 1
3 3 3 3
2n 3n 4n : 2n
−
−
÷
÷ ÷
÷
b)
4 1 2
1 3 1
3 3 3
4 4 4
a a a : a a a
−
−
+ +
÷
÷
÷
÷
÷
÷
Bài 2: Cho
30
log 8
qua
30
log 5
và
30
log 3
Bài 3: Cho lg392=a; lg112=b. Tính lg7 và lg5 theo a,b
Bi 4: Tớnh a)
2 5 4
3
a
4
a . a. a
log
a
ữ
ữ
b)
5
5
5
5 5
n
log log 5
142 43
HM S M_HM S LOGARIT
c im Hm s m y = a
x
( a > 0, a
ạ
1) Hm s lụgarit y = log
a
x ( a > 0, a
ạ
1)
Tp xỏc nh
Ă
( )
0;+ Ơ
Tp giỏ tr
( )
0;+ Ơ
Ă
Chiu bin thiờn
a > 1: hm s luụn ng bin
0 < a < 1: hm s luụn nghch bin
a > 1: hm s luụn ng bin
0 < a < 1: hm s luụn nghch bin
BNG CễNG THC O HM
(c) 0,
Â
=
(x) 1
Â
=
(c.u) c.u
 Â
=
(u v) u v
  Â
=
(u.v) u .v v .u
  Â
= +
2
u u .v v .u
v v
Â
ổử
 Â
-
ữỗ
=
ữỗ
ữỗ
ố ứ
2
1 1
.v
v v
Â
ổử
ữỗ
Â
=-
ữỗ
ữỗ
ố ứ
2
1 1
x x
Â
ổử
ữỗ
=-
ữỗ
ữỗ
ố ứ
1
(x ) .x
-a a
Â
= a
1
(u ) .u .u
-a a
 Â
= a
1
( x)
2 x
Â
=
1
( u) .u
2 u
 Â
=
(sin x) cosx
Â
=
(sinu) u .cosu
 Â
=
(cosx) sin x
Â
=-
(cosu) u sinu
 Â
=-
2
1
(tan x)
cos x
Â
=
2
1 tan x= +
2
u
(tanu)
cos u
Â
Â
=
2
u (1 tan u)
Â
= +
2
1
(cot x)
sin x
-
Â
=
2
(1 cot x)=- +
2
2
u
(cotu) u (1 cot u)
sin u
Â
-
 Â
= = +
x x
(a ) a lna
Â
=
u u
(a ) a lna.u
 Â
=
x x
(e ) e
Â
=
u u
(e ) e .u
 Â
=
a
1
(log x)
xlna
Â
=
a
u
(log u)
u.lna
Â
Â
=
1
(ln x)
x
Â
=
1
(lnu) .u
u
 Â
=
BI TP (SGK)
PHNG TRèNH M_LOGARIT
a. Phng trỡnh m c bn : a
x
= b
b > 0 : Pt cú nghim duy nht
a
x log b=
b 0 : Phng trỡnh vụ nghim.
a. Phng trỡnh lụgarit c bn: log
a
x = b
Pt luụn cú nghim duy nht
b
x a=
b. Phng trỡnh m n gin
+ a v cựng c s:
f (x) g( x)
a a f (x) g(x)= =
b. Phng trỡnh logarit n gin
+ a v cựng c s:
a a
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
f (x) g(x)
ỡ
>
ù
ù
ù
ù
= >
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
+ t n ph:
t
x
t a=
(k t> 0), bin i phng trỡnh m
thnh phng trỡnh i s theo t
Gii phng trỡnh theo t v chn t > 0
Tỡm x t
x
a
a t x log t= =
+ t n ph:
t
a
t log x=
a v phng trỡnh n t
Gii phng trỡnh theo t
Tỡm x t
t
a
t log x x a= =
+ Lụgarit húa: Lụgarit 2 v ca pt cựng 1 c s + M húa: M 2 v ca pt cựng 1 c s
c. Bt phng trỡnh m, bt phng trỡnh lụgarit:
C s Bt phng trỡnh m Bt phng trỡnh lụgarit
a > 1
f (x) g(x)
a a f (x) g(x)> >Û
a a
log f(x) log g(x) f(x) g(x)> >Û
0 < a < 1
f (x) g(x)
a a f (x) g(x)> <Û
a a
log f(x) log g(x) f(x) g(x)> <Û
BÀI TẬP
1. Giải các ph.trình sau: (cùng cơ số)
Bài 1:
x 1
5x 7
2
1.5
3
+
−
=
÷
ĐS: x = 1
Bài 2:
2
x 5x 6
2 1
− +
=
ĐS: x = 2, x = 3
Bài 3:
2
x 6x 6
2 64
− +
=
ĐS: x = 0, x = 6
Bài 4:
x 5
x 1
x 5
x 1
16 0,25.8
+
+
−
−
=
ĐS: x=
20 385
3
±
Bài 5:
2
x 2x 3
x 1
1
7
7
− −
+
=
÷
ĐS: x= -1; x= 2
Bài 6:
2x 3 3x 7
7 11
11 7
− −
=
÷ ÷
ĐS: x= 2
Bài 7:
2x 1 2x
3 3 108
−
+ =
ĐS: x= 2
Bài 8:
3x 4
(2x 2)
3 9
−
−
=
ĐS: x=
8 / 7
Bài 9:
( ) ( )
2 2
log x 3 log x 1 3− + − =
ĐS: x=
5
Bài 10:
ln(4x 2) ln(x 1) ln x+ − − =
ĐS:
5 33
2
+
2. Giải các ph.trình sau: (đặt ẩn phụ)
Bài 1:
x 1 x 1
4 6.2 8 0
+ +
− + =
ĐS: x = 1; x= 0
Bài 2:
( ) ( )
x x 1
2 2
log 2 1 .log 2 2 12
+
− − =
ĐS:
2 2
17
x log 9;x log
16
= =
Bài 3:
x x
9 8.3 9 0
− − =
ĐS: x=2
Bài 4:
x x 1
4 2.2 3 0
+
− + =
Bài 5:
( ) ( )
2
2
2 2 2
log x 1 3log x 1 log 32 0
+ − + + =
Bài 6:
x x
16 17.4 16 0
− + =
ĐS:
x 0;x 2= =
Bài 7:
x x
4 5.2 4 0
− + =
ĐS:
x 0;x 2= =
Bài 8:
x x x
27 12 2.8
− =
ĐS:
x 0
=
Bài 9:
2 3
2 2
log x log x 4 0
+ − =
Bài 10:
x x
25 7.5 6 0
− + =
Bài 11:
2
2 4
log x 6log x 4
+ =
Bài 12:
x 1 x 2
4 2 3 0
+ +
− − =
ĐS:
2
x log 3 1= −
3. Giải các ph.trình sau: (mũ hóa_logarit hóa)
Bài 1:
2x 3
2x 3
2
3 2
−
−
=
ĐS: x =
3
2
Bài 2:
x 1 x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
+ − − − −
+ + = − +
Bài 3:
x 3 x 2 x 1
2 .3 .5 400
+ − +
=
Bài 4:
x 1 x 1 x
2 2 2 28
+ −
+ + =
ĐS: x= 3
4. Giải các ph.trình sau:
Bài 1:
x x 12
3 6
3 3 80 0
−
− − =
ĐS:
x 12=
Bài 2:
x x x
6.9 13.6 6.4 0
− + =
ĐS:
x 1;x 1= − =
Bài 3:
2x x 2x x
5 7 5 .17 7 .17 0
− − + =
Bài 4:
2
3
3
log x log 9x 9
+ =
ĐS: x= 3
Bài 5:
x 1 3 x
5 5 26
− −
+ =
ĐS: x = 1; x = 3
Bài 6:
x x x
8 2.4 2 2 0
− + + − =
ĐS: x = 0; x = 1
Bài 7:
x x x
4.9 12 3.16 0
+ − =
ĐS: x = 1 Bài 8:
x 4 x 2 x 1 x
2 2 5 3.5
+ + +
+ = +
ĐS: x = 1
Bài 9:
2
logx logx log9x
+ =
ĐS: x= 3
Bài 10:
4 3
logx log4x 2 log x
+ = +
ĐS: x= 5
Bài 11:
2 3 2
log (3x 1)log x 2log (3x 1)
+ = +
Bài 12:
5 3
3
log (x 2)log x 2log (x 2)
− = −
Bài 13:
[ ]
4 4
x 2
log (x 2)(x 3) log 2
x 3
−
+ + + =
+
Bài 14:
x x 2 x 1 x 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + +
+ = −
5. Giải các ph.trình_bất ph.trình sau:
Bài 1:
1
2
2x 1
log 0
x 1
−
<
+
ĐS:
x 1
x 2
< −
>
Bài 2:
( ) ( )
x 1
x 1
x 1
2 1 2 1
−
−
+
+ ≥ −
ĐS:
2 x 1
x 1
− ≤ < −
≥
Bài 3:
2x 3 x 7 3x 1
6 2 .3
+ + +
<
ĐS:
3
2
1
x 2 log
4
> +
Bài 4:
( )
ln 1 sin
2
2
2
e log x 3x 0
π
+
÷
− + ≥
ĐS:
4 x 3;0 x 1− ≤ ≤ − < ≤
Bài 5:
2
2 2
log x log (x 2)< −
Bài 6:
2 2
log (x 3) log (x 2) 1− + − ≤
Bài 7:
3
3x 5
log 1
x 1
−
≤
+
Bài 8:
2 3
2 2
log x log x 4 0+ − ≥
Bài 9:
1 x 1 x
3 3 10
+ −
+ <
Bài 10:
2
0,2 0,2
log x log x 6 0
− − ≤
Bài 11:
2
2 4
log x 6log x 4+ <
Bài 12:
x 1 x
7 2.7 9 0
−
+ − ≤
Bài 13:
2
2
1
log x 1
log x
< +
Bài 14:
2
1
2
log (x 2x 8) 8
+ − ≥ −
ĐS:
1 265 x 4 2 x 1 265
− − ≤ < − ∨ < ≤ − +
Bài 15:
x 1 x 1
4 6.2 8 0
+ +
− + >
ĐS:
x 0 x 1< ∨ >
Bài 16:
1
4 3.2 8 0
+
− + ≥
x x
ĐS:
x 1 x 2≤ ∨ ≥
Bài 17:
x 2 x 1
2 4
− +
>
ĐS:
4 x 0
− < <
Bài 18:
ln x 2 ln x 4 3ln 2
− + + ≤
ĐS:
1 17 x 2 0 x 1 17− − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤ − +
Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM_TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM
@ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K
nếu
F'(x) f(x), x K= " Î
.
@ Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
@ Chú ý:
k.f(x)dx k. f(x)dx
=
∫ ∫
(k là hằng số khác 0)
[ ]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
± = ±
∫ ∫ ∫
Bảng công thức nguyên hàm
STT Nguyên hàm theo biến số x Nguyên hàm theo biến số u
1
1dx x C= +
ò
1du u C= +
ò
2
1
x
x dx C
1
+a
a
= +
+a
ò
( 1)-a ¹
1
u
u du C
1
+a
a
= +
+a
ò
( 1)-a ¹
3
1
dx ln x C
x
= +
ò
1
du ln u C
u
= +
ò
4
x x
e dx e C= +
ò
u u
e du e C= +
ò
5
x
x
a
a dx C
lna
= +
ò
u
u
a
a du C
lna
= +
ò
6
cosxdx sinx C= +
ò
cosudu sinu C= +
ò
7
sinxdx cosx C=- +
ò
sinudu cosu C=- +
ò
8
2
1
dx tan x C
cos x
= +
ò
2
1
du tanu C
cos u
= +
ò
9
2
1
dx cot x C
sin x
=- +
ò
2
1
du co t u C
sin u
=- +
ò
@ Một số công thức nguyên hàm bổ sung
1
1 (ax b)
(ax b) dx . C
a 1
α+
α
+
+ = +
α +
∫
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫
1 1
dx ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
ax b ax b
1
e dx e C
a
+ +
= +
∫
2
1 1
dx tan(ax b) C
cos (ax b) a
= + +
+
∫
tanxdx ln cosx C,= − +
∫
cot xdx ln sin x C= +
∫
2
1 1
dx cot(ax b) C
sin (ax b) a
= − + +
+
∫
######
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
@ Phương pháp đổi biến số
Nếu
f(u)du F(u) C= +
ò
và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f[u(x)]u'(x)dx F[u(x)] C= +
ò
@ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
udv u.v vdu= -
ò ò
Nhớ:
daoham
nguyenham
u du
dv v
ì
ï
¾¾¾®
ï
í
ï
¾¾¾¾®
ï
î
Lưu ý: Cho P (x) là một đa thức, cách đặt u và dv của một số nguyên hàm:
Đặt
x
P(x).e dx
∫
P(x).sinxdx
∫
P(x).cos xdx
∫
P(x).ln xdx
∫
u = P (x) P (x) P (x) Lnx
dv = e
x
dx sinxdx cosxdx P (x)dx
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm
4
2
sin x 1
dx
sin x
+
∫
Bài 2: Tìm
( )
3 2
x 2x 3x 2 dx− + −
∫
Bài 3: Tìm
( )
2
x x 3x 3 dx+ + +
∫
Bài 4: Tìm
( )
sin x 2cos(3x 1) 3 dx+ + +
∫
Bài 5: Tìm
2
1
dx
x 2x 3− −
∫
Bài 6: Tìm
3 2
(2x 1) x x 5dx+ + +
∫
Bài 7: Tìm
5
sin x.cos xdx
∫
Bài 8: Tìm
x.sin xdx
∫
Bài 9: Tìm
x
(2x 1)e dx+
∫
Bài 10: Tìm
x.ln xdx
∫
Bài 11: Tìm một ng.hàm F(x) của f(x) = 4x
3
- x biết rằng F(-1)= 2
Bài 12: Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin2x+3x
2
biết F(0)= 2
Bài 13: Tìm một ng.hàm F(x) của f(x) = tan
2
x biết
F(0)= 1 ĐS: F(x) = tanx – x +1
Bài 13: Tìm (x) của f(x)=
2
x
sin
2
biết
f
2 4
π π
=
÷
;
Bài 14: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
xπ
f (x) cos +
2 6
=
÷
biết F(
2π
3
)= -1;
######
TÍCH PHÂN
@ Công thức Newton_Leibniz :
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
= = −
∫
@ Phương pháp đổi biến số
đổi biến; đổi cận; tính tích phân mới với biến số mới và cận mới.
Lưu ý : Khi gặp dạng:
2 2
1
dx
a x
β
α
+
∫
;
2 2
(a x )dx
β
α
+
∫
®
đặt x = atant
Khi gặp dạng:
2 2
a x dx
β
α
−
∫
;
2 2
1
dx
a x
β
α
−
∫
đặt x = asint
@ Phương pháp tích phân từng phần: Cách đặt u và dv tương tự như bài nguyên hàm.
Công thức:
b
b b
a a
a
udv uv vdu
= −
∫ ∫
Nhớ:
daoham
nguyenham
u du
dv v
ì
ï
¾¾¾®
ï
í
ï
¾¾¾¾®
ï
î
BÀI TẬP
Bài 1:
2
2
0
4 x dx−
∫
. Đặt x=2sint ĐS:
π
Bài 2:
1
2 3
0
dx
(1+x )
∫
. Đặt x=tant ĐS:
2
1
2
−
Bài 3:
1
2
0
dx
1+x
∫
. Đặt x= tant ĐS:
4
π
Bài 4:
1
2 2
0
x 1 x dx−
∫
. Đặt x=2sint ĐS:
16
π
Bài 5:
1
2
0
1 x dx−
∫
Đặt x= sint ĐS:
4
π
Bài 6:
2
1
3
0
3x
dx
x 1+
∫
ĐS: ln2
Bài 7:
2
0
cosx
dx
1+sinx
π
∫
ĐS: ln2
Bài 8:
1
3 2 3
0
x (1- x ) dx
∫
. ĐS:
1
40
Bài 9:
π
6
0
1+ 4sinxcosxdx
∫
ĐS:
1
(3 3 1)
6
−
Bài 10:
π
sinx
2
0
e cosxdx
∫
ĐS: e-1
Bài 11:
e
1
1+ lnx
dx
x
∫
. ĐS:
( )
2
2 2 1
3
−
Bài 12:
2
2
3
3
0
x
dx
1+ x
∫
ĐS:
( )
3
1
81 1
2
−
Bài 13:
π
5
2
0
sin x.dx
∫
. ĐS:
8
15
Bài 14:
x
4
1
e
.dx
x
∫
. ĐS: 2(e
2
– e)
Bài 15:
2
2
0
sin 2x
dx
4 cos x
π
−
∫
ĐS:
4
ln
3
Bài 16:
2
e
1
ln x
dx
x
∫
ĐS:
1
3
Bài 17:
2
2
0
cos xsinxdx
π
∫
ĐS:
1
3
Bài 18:
π
4
0
x.cosxdx
∫
ĐS:
2 2
1
8 2
π
+ −
Bài 19:
3
1
4x ln xdx
∫
ĐS: 18ln3-8
Bài 20:
e
2
1
(1 x )ln xdx−
∫
ĐS:
3
2e 8
9 9
− +
Bài 21:
2
1
(2x -1).lnx.dx
∫
ĐS:
1
2ln 2
2
−
Bài 22:
1
x
0
(4x +1)e .dx
∫
ĐS: e+3
Bài 23:
π
4
0
x.sin2x.dx
∫
ĐS:
1
4
Bài 24:
2
2
0
(x sin x)cosxdx
π
+
∫
ĐS:
2
2 3
π
−
Bài 25:
2
0
x
sin cos2x dx
2
π
+
÷
∫
ĐS: 2-
2
Bài 26:
( )
0
2
2
sin 2x
dx
2 sinx
π
−
+
∫
ĐS: ln4-2
Bài 27:
( )
1
x
0
3 cos2x dx
+
∫
ĐS:
2 1
sin 2
ln3 2
+
Bài 28:
( )
1
x
0
x x e dx
+
∫
ĐS:
4
3
Bài 29:
2
0
x x
1+sin cos dx
2 2
π
÷
∫
ĐS:
1
2
2
+
Bài 30:
( )
2
1
x
0
x e sinx dx
+
∫
ĐS:
( )
1
e 1 sin1 cos1
2
− + −
Bài 31:
4
0
t anx
dx
cosx
π
∫
ĐS:
2
1
2
−
Bài 32:
2
2
0
sin2x
dx
4 cos x
π
−
∫
ĐS:
4
ln
3
Bài 32:
( )
3
2
0
1 2sin x cos xdx
π
+
∫
ĐS: 10
Bài 33:
2
1
3
0
x
dx
2 x
+
∫
ĐS:
2 3 2 2
3
−
Bài 34:
3
2
0
x
dx
x 1
+
∫
ĐS: 1
Bài 35:
π
2
0
sinx
.dx
1+3cosx
∫
. ĐS:
ln 4
3
Bài 36:
5
2
2
x ln(x-1)dx
∫
ĐS:
248ln 2 35
3 2
−
Bài 37:
2
2
3
1
x dx
x 2
+
∫
ĐS:
( )
2
10 3
3
−
######
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
@ Diện tích hình phẳng
1. Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x);y 0;x a;x b= = = =
là
b
a
S f(x)dx
=
∫
Lưu ý : Nếu
f(x) 0=
có nghiệm
[ ]
x c a,b
= ∈
thì
c b
a c
S f(x) .dx f(x) .dx
= +
∫ ∫
2. Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x);y 0= =
là
2
1
x
x
S f(x) dx
=
∫
với x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) là hai
nghiệm của phương trình
( ) 0.f x =
3. Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x);y g(x);x a;x b= = = =
là
b
a
S f(x) g(x)dx
= −
∫
Lưu ý: Nếu
f(x) g(x) 0
− =
có nghiệm
x c (a;b)
= ∈
thì
c b
a c
S f(x) g(x)dx f(x) g(x)dx
= − + −
∫ ∫
4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x);y g(x)= =
là
2
1
x
x
S f(x) g(x)dx
= −
∫
với x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) là
hai nghiệm của phương trình
( ) 0.f x =
@ Thể tích khối tròn xoay khi hình (H) quay quanh Ox
1.
[ ]
b
2
a
y f (x); y 0
(H): V f (x) dx
x a;x b
= =
⇒ = π
= =
∫
2.
[ ]
x2
2
x1
y f(x)
(H) : V f(x) dx
y 0
=
⇒ = π
=
∫
với x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) là hai nghiệm của phương trình
( ) 0.f x =
BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
ln ,y x=
1
,x x e
e
= =
và trục hoành ĐS:
1
2 1
e
−
÷
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y
= -x
3
+3x-2 và trục hoành ĐS:
27
4
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hs y = e
x
, trục tung, đường thẳng x = 1 ĐS: e-1
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = e
x
, y=2, và x=1 ĐS: e+2ln2-4
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):
1
y
2x 1
=
+
, x=0,x=1, trục hoành. ĐS:
1
ln3
2
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi
(P):y=x
2
, đ.thẳng y = 6-x, trục hoành. ĐS:
32
3
Bài 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do
quay hình phẳng giới hạn bởi (C):
3 2
1
y x x
3
= −
,
y=0, x=0,x=3 quanh trục Ox ĐS:
81
35
π
Bài 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi
2
( ) : 2 ,P y x x
= − +
trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình (H) quanh trục hoành ĐS:
16
15
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = cosx, y = 0, x=0, x=
/ 2
π
ĐS: 1
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=e
x
,
trục hoành, và đường thẳng x=1 ĐS: e-1
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):
y = x
3
-3x
2
+3x – 1 và (P): y = -x
2
+2x+1 ĐS:
89
12
Bài 12: Tính diện tích hính phẳng giới hạn bởi (C):
y =
4
2
x 5
3x
2 2
− +
và y =
5
2
. ĐS:
24 6
5
Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = xe
x
,x = 2, y = 0 ĐS: e
2
+1
Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):
y = x
3
, x+y=2 y = -x+2 và trục hoành ĐS:
3
4
Bài 15: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi
(P
1
):
2
1
y x
4
=
, (P
2
):
2
1
y 3x x
2
= −
. ĐS: 8
Bài 16: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
= -x
2
+2x, và đ.thẳng x+y=0 y= -x ĐS:
9
2
###############
Chuyên đề 4: SỐ PHỨC
1. Số phức : là biểu thức có dạng a+bi trong đó
a,b RÎ
; i
2
= -1
Kí hiệu: z = a+bi trong đó a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo; i gọi là đơn vị ảo
Chú ý: + Tập số phức kí hiệu là C (Complex)
+ Mỗi số thực a được coi là số phức với phần ảo bằng 0 (số thực cũng là số phức tức
R CÌ
)
+ Số 0 + bi gọi là số thuần ảo
2. Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong hệ trục tọa độ Oxy
3. Mô đun của số phức: Độ dài của
OM
uuur
đgl mô đun của số phức Z. Kí hiệu:
2 2
z a bi a b
= + = +
4. Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của
z a bi= +
là
z a bi
= −
Chú ý:
z z ; z z= =
5. Các phép toán về số phức : cho
1 1 1 2 2 2
z a b i ; z a b i= + = +
Số phức bằng nhau
(thực = thực; ảo = ảo)
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2
a a
z z a b i a b i
b b
=
= ⇔ + = + ⇔
=
Cộng, trừ số phức
(tương ứng)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z a b i a b i a a b b i+ = + + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z a b i a b i a a b b i− = + − + = − + −
Nhân 2 số phức
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
z .z a b i . a b i a .a b b a b a b i= + + = − + +
Chia số phức cho số phức
1 1 2 1 2
2
2
2 2
2
z z .z z .z
z
z z
z
= =
hay
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 1
2 2
2 2 2 2 2
a b i a b i
z a b i
z a b i a b
+ −
+
= =
+ +
Nghịch đảo của số phức
2
1 z
z
z
=
6. Phương trình bậc hai với hệ số thực
2
ax bx c 0 (a 0) a,b,c R+ + = ¹Î
Tính
2
b 4ac= -D
+ Nếu
D
>0 thì ph.trình có 2 nghiệm thực phân biệt
1,2
b
x
2a
− ± ∆
=
+ Nếu
D
=0 thì ph.trình có 1 nghiệm thực
b
x
2a
= −
+ Nếu
D
< 0 thì ph.trình có 2 nghiệm phức phân biệt
1,2
b i
x
2a
− ± ∆
=
Chú ý: trên tập số phức C mọi ph.trình bậc hai đều có nghiệm (không nhất thiết phân biệt)
BÀI TẬP
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
1) Tính A=
i(3 i)(3 i)− +
ĐS: 10i
B=
2 3i (5 i)(6 i)+ + + −
ĐS: 33+4i
2) Tính P=
( ) ( )
2 2
2 i 5 2 i 5+ + −
ĐS: -2
3) Tính Q=
( ) ( )
2 2
1 i 2 1 i 2− + +
ĐS: -2
4) Cho
2
z (1 2i)(2 i)= − +
. Tính
z.z
ĐS: 125
5) Cho z = 2 + 3i. Tính
2 1
z z z z
−
+ + +
6) Cho z = 4 - 3i. Tính
2 1
z z z z
−
+ + +
7) Cho z =
1 i 3+
. Tính
( )
2
2
z z+
ĐS: - 4
Dạng 2: Xác định phần thực_ảo , tìm mô đun.
1)
3
z 4 3i (1 i)= − + −
ĐS:
2; 5a b= = −
2)
3
z 1 4i (1 i)= + + −
ĐS:
1; 2a b= − =
3)
3
z 4 i (2 i)= − + +
ĐS:
6; 10a b= =
4)
z 3 2i (6 i)(5 i)= + + + +
ĐS:
32; 13a b= =
5)
1 i
z 4 3i
2 i
+
= − +
+
ĐS:
23 14
;
5 5
a b= = −
Dạng 3: Tìm x,y dựa vào 2 số phức bằng nhau
1) ( 2x+3y+1) + ( -x+2y)i = ( 3x-2y+2) +( 4x-y-3)i
ĐS: x = 9/11; y = 4/11
2) 4x+3 + (3y-2)i = y+1 +(x-3)i
ĐS: x = - 7/11; y = - 6/11
3) x+2y+( 2x-y)i = 2x+y +(x+2y)i
ĐS: x = y = 0
4) (x+1) + 3(y-1)i = 5-6i
ĐS: x = 4; y = -1
Dạng 4: Nghịch đảo số phức
1)
z 2 i 3= −
ĐS:
1 2 3
i
z 5 5
= +
2. z =
1 i 5
3 2i
+
−
ĐS:
1 3 2 5 2 3 5
i
z 6 6
− +
= −
3. z =
( )
2
3 i 2+
ĐS:
1 7 6 2
i
z 121 121
= −
Dạng 5: Giải ph.trình trên tập số phức
1) (3-2i)z + (4+5i) = 7+3i ĐS:1
2) (1+3i)z – (2+5i)= 7+3i ĐS:
33 19
i
10 10
−
3) (3+4i)z = (1+2i)(4+i) ĐS:
42 19
i
25 25
+
4) 3z(2-i) +1= 2iz( 1+i) +3i ĐS:
23 19
i
89 89
− +
5)
z
(2 3i) 5 2i
4 3i
+ - = -
-
ĐS: 15-5i
6)
2 i 1 3i
z
1 i 2 i
+ - +
=
- +
ĐS:
22 4
i
25 25
+
7) Giải pt x
2
– 4x + 5 = 0. ĐS:
1,2
x 2 i= ±
8) Giải pt z
2
+ 2z + 17 = 0. ĐS:
1,2
x 1 4i= − ±
9) Giải pt x
2
– 4x + 9 = 0. ĐS:
1,2
x 2 i 5= ±
10) Giải pt x
3
+ 8 = 0. ĐS: x= - 2;
2,3
x 1 i 3= ±
11) Giải pt x
3
- 8 = 0
ĐS: x= 2;
2,3
x 1 i 3= − ±
12) Giải pt
4 2
z z 3 0+ − =
ĐS:
1,2 3,4
1 13 1 13
z ;z i
2 2
− + +
= ± = ±
13) Giải pt
4 2
z 7z 10 0+ + =
ĐS:
1,2 3,4
z i 2;z i 5= ± = ±
14) Giải pt
4 2
z 7z 10 0+ + =
ĐS:
1,2 3,4
z i 2;z i 5= ± = ±
Chuyên đề 5: ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT NÓN- MẶT TRỤ
KHỐI ĐA DIỆN
KHỐI LĂNG TRỤ
KHỐI CHÓP
KHỐI CHÓP CỤT
V B.h
=
1
V B.h
3
=
1
V (B B' BB').h
3
= + +
Trong đó: B,B’ là diện tích đáy và h là chiều cao.
MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
NÓN TRỤ CẦU
xq
S .r.l
= π
tp xq day
S S S
= +
2
1
V r h
3
= π
xq
S 2 r.l
= π
tp xq day
S S 2S
= +
2
V r h= π
2
S 4 r= π
3
4
V r
3
= π
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=5. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3, BC=4. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45
0
.
a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc
60
0
. Hình chiếu của S trên mp (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh BC v.góc với SA b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Bài 4. Cho h.chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh SA v.góc với đáy. Biết
SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 5. Cho h.chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.Gọi I là trung điểm của BC
a) Chứng minh SA v.góc với BC b) Thể tích khối SABI theo a
Bài 6. Cho h.chóp S.ABC có mặt bên là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc mp đáy.
Biết
·
0
BAC 120=
, tính thể tích khối chóp theo a
Bài 7. Cho h.chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=
a 3
, cạnh bên SA vuông góc với
mp đáy và SA=
a 2
. Tính thể tích khối chóp theo a
Bài 8: Cho khối chóp đều S.ABCD có AB=a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 9: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc nhau từng đôi một, SA=1cm,SB=SC=2cm.
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tính diện tích của mặt cầu, thể tích khối cầu đó
Bài 10: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
·
SAC
bằng 45
0
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD
Bài 11:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
6
và độ dài đường cao bằng 1. Tính diện
tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc bằng 60
0
.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho và tính thể tích khối cầu tương ứng
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích
của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Bài 14: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=b, C = 60
0
. Đồng
thời đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mp (AA’C’C) một góc 30
0
a/ Tính độ dài đoạn AC’ b/ Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 15: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC= a,
biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ
Bài 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một
góc 30
0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 17: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy
(ABCD) một góc 60
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. ĐS:
=
3
V
a 6
2
Bài 18: Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a,
·
0
SAO 30=
·
0
SAB 60=
. Tính độ dài đường sinh theo a. ĐS:
2l a=
Bài 19: Cắt khối trụ tròn xoay bằng một mp qua trục của khối trụ ta được 1 hình vuông cạnh a. Tính diện
tích xung quanh của khối trụ đó. ĐS:
2
xq
S a
π
=
Bài 20: Cho hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của
hình nón đó ĐS:
2
320( )
xq
S cm=
Bài 21: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
·
SAB
bằng 30
0
. Tính diện tích xung quanh
của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. ĐS:
2
xq
a 6
S
6
= π
Bài 22: Một hình trụ có bán kính đáy là r và đường cao là r
3
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ ĐS: S
xq
= 2
3
π
r
2
; S
tp
= 2
π
r
2
( )
1 3+
b/ Thể tích khối trụ tương ứng ĐS: V=
π
r
3
3
Bài 23: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón ĐS: S
xq
=
2
2
a
2
π
; S
tp
=
2
2 1
a
2
+
π
b/ Tính thể tích khối nón tương ứng ĐS:
3
2
V a
12
= π
Bài 24: Một hình trụ có bán kính đáy R=2, chiều cao h=
2
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên 2
đ.tròn đáy sao cho có ít nhất 1 cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Tính cạnh của
hình vuông. ĐS: 3
Bài 25: Cho khối hộp MNPQ.M’N’P’Q’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện P’MNP theo V
Bài 26: Cho hình chóp S.ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA . Tính tỉ số thể
tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC ĐS: 2
#####
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN NẮM
Tam giác ABC vuông tại A Tam giác ABC vuông cân tại A Tam giác ABC đều
Pitago
2 2 2
BC AB AC= +
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
2
AH BH.CH=
;
BC
AM
2
=
2 2
AB AB.BH ; AC AC.CH= =
1 1
S AB.AC BC.AH
2 2
= =
AB=AC
à à
0
B C 45= =
2
AH AB
2
=
2
1 AB
S BC.AH
2 2
= =
1
S AB.AC.sin A
2
=
AB=AC=BC
à
à à
0
A B C 60= = =
3
AH AB
2
=
2
1 AB 3
S BC.AH
2 4
= =
1
S AB.AC.sin A
2
=
Hỡnh ch nht ABCD Hỡnh vuụng ABCD Hỡnh thang ABCD
2 2 2
BD AB AD= +
S AB.AD
=
AC BD AB 2= =
2
S AB=
AD BC
S AH
2
+
=
ữ
- Gúc gia ng thng d v mp(P) l gúc gia
d v hỡnh chiu d ca d trờn (P).
- Gúc gia 2 mp ct nhau l gúc gia hai ng thng
trong hai mt phng ln lt vuụng gúc giao tuyn.
Chuyờn 6: PHNG PHP TA TRONG KHễNG GIAN
TA CA IM & VECT
Vect
a a a a a a
a (x ;y ;z ) a x i y j z k.
= = + +
r r r r ur
0 (0;0;0)=
r
(vec t khụng)
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )=
uuur
(sau trc)
di
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )= + +
uuur
* M l trung im ca AB:
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
2 2 2
+ + +
ữ
* G l trng tõm tam giỏc ABC
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3
+ + + + + +
ữ
BIU THC TA CA CC PHẫP TON VECT
Trong khụng gian Oxyz cho
a a a b b b
a (x ;y ;z ) b (x ;y ;z )= =
r r
a b
a b
a b
x x
a b y y
z z
ỡ
=
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
ù
=
ù
ợ
r r
;
2 2 2
a a a
a x y z= + +
r
a b a b a b
a b (x x ;y y ;z z )+ = + + +
r r
a b a b a b
a b (x x ;y y ;z z )- = - - -
r r
Nhõn vect vi 1s (kq l 1vect cựng hng nu k>0
v ngc hng nu k<0)
a a a
k.a (kx ;ky ;kz ), k R= ẻ
r
ng dng: chng minh 2 vect cựng phng
Vi
b 0,aạ
r r
cựng phng
b
r
a kb=
r r
a b a b a b
x kx ,y ky ,z kz= = =
Tớch cú hng(kq l 1 vect vuụng gúc vi c
2 vect thnh phn)
a a a a a a
b b b b b b
y z z x x y
a,b ; ;
y z z x x y
ổ ử
ữỗ
ộ ự
ữỗ
=
ờ ỳ
ữỗ
ở ỷ
ữỗ
ố ứ
r r
ng dng: chng minh 2 vec t cựng phng
a cp b a,b 0
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
r r r r r
(sgk HH12 nõng cao)
Tích vô hướng:
a b a b a b
a.b x x y y z z= + +
r r
Ứng dụng:
a b a.b 0^ =Û
r r r r
Góc giữa 2 vec tơ
a 0,b 0¹ ¹
r r r r
a b a b a b
2 2 2 2 2 2
a a a b b b
x x y y z z
a.b
cos(a,b)
x y z . x y z
a . b
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
r r
@ Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x;y;z) trên các trục và mặt phẳng tọa độ
Hình chiếu trên
Ox
Hình chiếu trên
Oy
Hình chiếu trên
Oz
Hình chiếu trên
(Oxy)
Hình chiếu trên
(Oyz)
Hình chiếu trên
(Oxz)
M
1
(x ; 0 ; 0) M
2
(0 ; y ; 0) M
3
(0 ; 0 ; z) M
4
(x ; y ; 0) M
5
(0 ; y ; z) M
6
(x ; 0 ; z)
( khi chiếu vuông góc một điểm lên trục nào(mp tọa độ nào) thì tọa độ hình chiếu của nó chỉ còn thành
phần tương ứng với trục đó(mp tọa độ đó))
@ Tọa độ điểm đối xứng của điểm M(x;y;z) qua các trục, mặt phẳng tọa độ, gốc tọa độ
Đối xứng
qua Ox
Đối xứng
qua Oy
Đối xứng
qua Oz
Đối xứng
qua (Oxy)
Đối xứng
qua (Oyz)
Đối xứng
qua (Oxz)
Đối xứng
qua O
M
1
(x; -y; -z) M
2
(-x; y; -z) M
3
(-x; -y; z) M
4
(x; y; -z) M
5
(-x; y; z) M
6
(x; -y; z) M
7
(-x; -y; -z)
@ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng (hay là 3 đỉnh của 1 tam giác)
o A, B, C không thẳng hàng
AB, AC 0
⇔ ≠
uuur uuur r
o Hoặc viết ptts đ.thẳng BC, kiểm tra thấy A không thuộc BC (tức là khi
thay tọa độ của A vào ph.trình đường BC thấy không thỏa)
@ Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng (hay là 4 đỉnh của 1 tứ diện)
o A, B, C, D không đồng phẳng
AB, AC .AD 0
⇔ =
uuur uuur uuur
o Hoặc viết pttq của mp (BCD)
Kiểm tra thấy A không thuộc mp (BCD). (tức là thay tọa độ điểm A vào
ph.trình mp (BCD) thấy không thỏa )
BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm
A(1;-1;2), B(1;3;2),C(4;3;2), D(4;1;2).
1. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh
của tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2. Tính độ dài đường cao của tứ diện
ABCD hạ từ đỉnh B.
3. Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện
của tứ diện đó
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0),
B(0;1;0), C(0;0;1) và D(–2;1;–1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ
diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao
hạ từ A
Bài 3: Cho tứ diện PABC, có P(1; –2; 1),A(2; 4; 1),
B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc của P trên (ABC)
Bài 4: Cho A = (1; 0; 0), B (0; 2; -2), C (0; -1; -3).
Tìm tọa độ của D sao cho ABCD là hình bình
hành.
Bài 5: Cho A(1;-1;1), B(2;-3;2), C(4;-2;2).
a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB
b)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
Bài 6: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b/ Tìm tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành.
c/ Tính các góc của tam giác ABC.
######
MẶT PHẲNG
@ Phương trình tổng quát của mp (P):
Ax By Cz D 0+ + + =
trong đó
2 2 2
A B C 0+ + ¹
@ Công thức viết pttq mp (P) khi biết 1 điểm thuộc
( )
0 0 0 0
M x ;y ;z
và 1 vectơ pháp tuyến
( )
n A;B;C=
r
là
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x x B y y C z z 0- + - + - =
(*)
(Chú ý: vectơ pháp tuyến có thể tìm từ tích có hướng của 2 vec tơ không cùng phương với mặt phẳng)
@ Phương trình các mp tọa độ
Mp Oxy Mp Oxz Mp Oyz
z = 0 y = 0 x = 0
@ Một số trường hợp đặc biệt của mặt phẳng
- Phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ là Ax+By+Cz = 0
- Phương trình mặt phẳng qua ba điểm
( ; 0;0), (0; ; 0), (0; 0; ),A a B b C c
với
0abc ¹
là
1
x y z
a b c
+ + =
@ Tính khoảng cách: từ điểm
( )
0 0 0 0
M x ;y ;z
đến mặt phẳng (P):
Ax By Cz D 0+ + + =
( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M , P
A B C
+ + +
=
+ +
@ Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng (P):
1 1 1 1
A x B y C z D 0+ + + =
và (Q):
2 2 2 2
A x B y C z D 0+ + + =
@ Một số bài toán thường gặp về phương trình mặt phẳng (khi dùng tích có hướng của 2 vectơ thì
phải nhớ rằng 2 vectơ đó không cùng phương_trong các trường hợp đưới đây xem như đã chú ý đến
điều này)
DẠNG CÁCH GIẢI
Viết ph.trình mp đi qua 3
điểm A, B, C không thẳng
hàng
o
A (P)∈
(hoặc B, hoặc C) ; VTPT là
P
n = AB, AC
r uuur uuur
o Thế vào pt (*)
(có thể thay 2 điểm B,C bằng đ.thẳng d nằm trong
(P))
Viết ph.trình mp(P) đi qua
điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và song
song với mp
(Q):Ax+By+Cz+D=0.
(có thể thay mp (Q) bằng
các mp tọa độ)
Cách 1:
o
0
M (P)∈
; VTPT là
P Q
n = n = (A;B;C)
r r
o Thế vào pt (*)
Cách 2:
o Vì (P) // (Q) nên ph.trình (P) có dạng:
Ax+By+Cz+D’=0
o
0
M (P)
∈
nên Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D’=0 => D’
Viết ph.trình mp(P) đi qua điểm
( )
A A A
A x ; y ;z
và
vuông góc với đ.thẳng d:
0 u
0 u
0 u
x x x t
y y y t
z z z t
= +
= +
= +
o
A (P)∈
; VTCP của d cũng là VTPT của mp
(P):
P
d
u u u
un = = (x ;y ;z )
r r
o Thế vào pt (*)
(có thể thay d bằng trục tọa độ)
Viết ph.trình mp trung trực
của đoạn AB với
( )
A A A
A x ; y ;z
( )
B B B
B x ; y ;z
o Gọi I là trung điểm của AB, ta có
A B A B A B
x x y y z z
I ; ; (P)
2 2 2
+ + +
∈
÷
o VTPT là
n = AB
r uuur
( hoặc
IA
uur
, hoặc
IB
uur
)
o Thế vào pt (*)
Viết ph.trình mp (P) tiếp
xúc mc (S) tại
( )
0 0 0 0
M x ; y ;z
o Tìm tâm I của mặt cầu (S)
o
0
M (P)∈
; VTPT là
0
M I
uuur
(hay
0
IM
uuuur
)
o Thay vào pt (*)
Lưu ý: (P) (Q)
VTPT của (P) là
VTPT của (Q) là
(P) cắt (Q)
P Q
n kn ≠
r r
P Q
n kn
=
r r
(P) // (Q) (P) (Q)
1 2
D kD
≠
D
1
=kD
2
Viết ph.trình mp (P) qua 2
điểm phân biệt A, B và song
song với đ.thẳng d
0 u
0 u
0 u
x x x t
y y y t
z z z t
= +
= +
= +
o
A (P)∈
(hoặc là B); VTPT
P
d
n = u ,AB
ur ur uuur
o Thay vào pt (*)
(nếu (P) chứa d’ thì thay A bởi điểm thuộc d’ và
AB
uuur
bởi VTCP
d'
u
ur
; nếu (P) chứa trục tọa độ thì
thay A bởi O và
AB
uuur
bởi vectơ đơn vị trên trục)
Viết ph.trình mp(P) qua 2
điểm phân biệt A, B và
vuông góc với mp
(Q):Ax+By+Cz+D=0.
o
A (P)∈
(hoặc là B); VTPT
P Q
n = n ,AB
ur r uuur
o Thay vào pt (*)
(Tương tự trường hợp trên khi (P) chứa đ.thẳng
hoặc chứa trục tọa độ)
BÀI TẬP:
Bài 1: A(1;0;-2), B(0;0;5), C(2;2;0)
a) Viết ph.trình mp (ABC)
b) Viết ph.trình mp trung trực của AB
c) Viết ph.trình mp (P) qua A và song song mp
x-2y+z+4=0
Bài 2: Cho điểm M(2;-1;-1). Viết ph.trình mp (P)
trong các trường hợp sau:
a. Đi qua điểm M và song song
với mp(Oxy).
b. Đi qua 3 điểm M
1
,M
2
,M
3
theo
thứ tự là hình chiếu của M lên Ox, Oy, Oz.
c. Đi qua điểm M và chứa trục
Ox. (Oy, Oz)
Bài 3: Trong không gian Oxyz, lập ph.trình mp (P)
qua hai điềm A(7; 2; -6) và B(5; 6; -4) . Biết:
1. (P) song song với Oy.
2. (P) vuông góc với mp(Q): x - 4y = 5.
Bài 4: Cho điểm M(1;2;3). Gọi M
1
, M
2
, M
3
lần
lượt là hình chiếu của M trên trục hoành, trục tung
và trục cao Viết ph.trình mặt phẳng đi qua ba điểm
M
1
, M
2
, M
3
.
Bài 5: cho A(2;3;4) và d:
x 1 y 2 z 3
2 1 1
− − +
= =
−
a) Viết ph.trình mp (P) chứa điểm A và trục hoành
b) Viết ph.trình mp (Q) chứa điểm A và v.góc d
c) Viết ph.trình mp (R) chứa đường thẳng OA và
vuông góc với mp(Oxy).
d) Viết pt mp
( )
α
qua A và song song (Oxy)
Bài 6: Viết ph.trình mp (P)
a) (P) qua 2 điểm M(1;2;3), N(2;-2;4) và song song
với trục Oy. (Ox, Oy)
b) (P) chứa d:
x 1 2t
y 1 t
z 2 3t
= − +
= −
= +
và v.góc (Q):x+y+z-3=0
Bài 7: Xét vị trí tương đối của các cặp mp sau
a)
( )
( )
:3x 2y 3z 5 0
:9x 6y 9z 5 0
α − − + =
β − − − =
b)
( )
( )
: x 2y z 3 0
: x 2y z+3 0
α − + + =
β − − =
c)
( )
( )
: x y 2z 4 0
:10x 10y 20z 40 0
α − + − =
β − + − =
d) tìm m,n để 2 mp sau song song
( )
( )
: x+my 3z 5 0
: nx 6y 6z 2 0
α + − =
β − − + =
e) tìm m,n để 2 mp sau song song
( )
( )
:3x y mz 9 0
: 2x+ny 2z 3 0
α − + − =
β + − =
f) tìm m để 2mp sau vuông góc
( )
( )
:3x 5y mz 3 0
: mx+3y 2z 5 0
α − + − =
β + + =
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm M(1;2-3) lần lượt đến các mp sau
a) x+2y-2z+1=0 b) 3x+4z+25=0
c) z+5=0 d) các mp tọa độ
######
ĐƯỜNG THẲNG
@ Đường thẳng d đi qua điểm
( )
0 0 0 0
M x ;y ;z
và có 1 vectơ chỉ phương
u u u
u = (x ;y ;z )
ur
có ph.trình tham số
( )
0 u
0 u
0 u
x x x t
y y y t t R
z z z t
= +
= + ∈
= +
(*) và ph.trình chính tắc
0 0 0
u u u
x x y y z z
x y z
− − −
= =
@ Phương trình các trục tọa độ
Trục Ox Trục Oy Trục Oz
x t;y 0;z 0= = =
x 0;y t;z 0= = =
x 0;y 0;z t= = =
@ Vị trí tương đối của 2 đ.thẳng
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d
0 u
0 u
0 u
x x x t
y y y t (t R)
z z z t
= +
= + ∈
= +
và d’
/ / /
0 u
/ / / /
0 u
/ / /
0 u
x x x t
y y y t (t R)
z z z t
= +
= + ∈
= +
@ Một số bài toán thường gặp về phương trình đường thẳng
DẠNG CÁCH GIẢI
Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua 2 điểm A(x
A
;y
A
;z
A
)
B(x
B
;y
B
;z
B
)
o
Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và song song
với đ.thẳng
/ /
0 u
/ /
0 u
/ /
0 u
x x x t
d': y y y t
z z z t
= +
= +
= +
o
0
M d∈
; VTCP
/ / /
d d'
u u u
u = u = (x ;y ;z )
uur uur
.
o Thế vào phương trình (*)
(Nếu d song song với trục tọa độ thì có thể
dùng vectơ đơn vị làm VTCP cho d)
Viết ph.trình đ.thẳng d đi qua 1
điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và vuông góc
với mặt phẳng (P):
Ax+By+Cz+D=0
o
0
M d∈
; VTPT của (P) cũng là VTCP
của d
d
P
n u = (A;B;C)=
ur uur
o Thế vào phương trình (*)
Viết ph.trình đ.thẳng d qua điểm
M
0
, vuông góc và cắt d’
o Viết pttq mp (P) qua M
0
và vuông góc
với d’
o Xác định
/
M d (P)= ∩
(giải hpt {d’,
(P)})
o Viết ptts của d qua 2 điểm M
0
, M
Viết ph.trình đ.thẳng d qua điểm
M
0
, song song với mp (P) và cắt
đ.thẳng d’
o Viết pttq mp (Q) qua M
0
và song song mp
(P)
o Tìm
/
M d (Q)= ∩
o Viết ptts của d qua 2 điểm M
0
, M
BÀI TẬP:
Bài 1: Viết ptts của đường thẳng đi qua điểm A(3;2;-
1) và song song với
a) đường thẳng
∆
:
x 1 y 1 z
2 3 4
− +
= =
−
b) đường thẳng
∆
:x= -1+2t; y=2+t; z= -3-t
c) các trục tọa độ
Bài 2: Viết ptct của đ.thẳng đi qua A(1;-2;-3) và
vuông góc với
a) mặt phẳng
( ) : 2x y 0α − =
b) mặt phẳng
( ):3x 5y z 12 0β − + − =
c) các mp tọa độ
Bài 3: Viết ptts và ptct của đ.thẳng d đi qua hai điểm
A(1; 2; 3), B(5; 7; 9)
Bài 4: Cho
∆
ABC với A(3;6;-7), B(-5;2;3), C(4;-
7-2). Viết ptts các đường trung tuyến của
∆
ABC
Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d
1,
d’ có phương trình sau:
/
d d
u ku
=
ur ur
Hệ {d,d’} VN
Hệ {d,d’} có
nghiệm duy I
/
0
M d
∈
/
0
M d
∉
VTCP của d là ,
VTCP của d’ là ,
/
d d
u ku
≠
r r
d trùng d’ d // d’ d chéo d’ d cắt d’
a)
1
x 3 2t x 5 t '
d : y 2 3t d': y 1 4t '
z 6 4t z 20 t '
= − + = +
= − + = − −
= + = +
b)
1
x t x 9 2t '
d : y 1 t d ': y 8 2t '
z 2 t z 10 2t '
= = +
= + = +
= − = −
c)
1
x 1 y 1 z 2 x 1 y 5 z 4
d : d':
1 2 3 3 2 2
+ − + − − −
= = = =
d)
1
x t x 0
d : y 3t d': y 9
z 1 2t z 5t '
= − =
= =
= − − =
######
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG
@ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d
0 u
0 u
0 u
x x x t
y y y t
z z z t
= +
= +
= +
và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz +D = 0
Xét phương trình
( ) ( ) ( )
0 u 0 u 0 u
A x x t B y y t C z z t D 0+ + + + + + =
(*) (t là ẩn)
Nếu (*) vô nghiệm thì d // (P) Nếu (*) có đúng 1 nghiệm t = t
0
thì d cắt
(P) tại 1 điểm là
( )
0 0 u 0 0 u 0 0 u 0
M x x t ;y y t ;z z t+ + +
Nếu (*) có vô số nghiệm
thì d
⊂
(P)
@ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mp (P)
o Viết ptts của đ.thẳng d qua M và vuông góc mp (P)
o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P), H là giao điểm của d và
(P). Giải hpt
d
(P)
tìm H
(Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua (P) thì H là trung điểm của MM’, áp
dụng công thức tọa độ trung điểm ta tìm tọa độ của M’)
@ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đ.thẳng d
o Viết pttq của mp (P) qua M và vuông góc đ.thẳng d
o Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là giao điểm của d và
(P). Giải hpt
d
(P)
tìm H
(Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM’, áp
dụng công thức tọa độ trung điểm ta tìm tọa độ của M’)
BÀI TẬP
Bài 1: Cho điểm A(-2,1,0) và mặt phẳng (P):
x+2y-2z-9=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
của điểm A lên mặt phẳng (P) và sau đó tìm tọa
độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).
Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho
điểm A(2; 3; 5) và (P): 2x + 3y + z -17 = 0
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và
vuông góc với (P).
2. Tìm điểm A' đối xứng với A qua (P).
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz
cho điểm A(1 ;l ;-2) vả đường thằng d có phương
trình:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua d.
Bài 4: Cho điểm A(1;1;8) và
x 1 2t
: y 1 t
z t
= +
∆ = − +
= −
.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên
đường thẳng
∆
và sau đó tìm tọa độ điểm A’ là điểm
đối xứng với điểm A qua đường thẳng
∆
.
Bài 5: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt
phẳng (P), với d : x =2+ 2t ; y= -1 + 3t; z = 1 + 5t
và (P) : 2x+y+z - 8=0
Bài 6: Cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x+y+z-1=0
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của
điểm M trên mặt phẳng (P).
b) Tìm tọa độ điểm M
/
đối xứng với M qua (P).
Bài 7: Cho điểm A(1;0;0) và đ.thẳng Bài 8: a) Tìm khoảng cách giữa (P):3x-2y–z+5=0 và
x 2 y 1 z
:
1 2 1
− −
∆ = =
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc
của điểm A trên
∆
.
b) Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A qua
∆
c) Tính khoảng cách từ A đến
∆
.
x 1 z 3
d : y 7
2 4
− −
= − =
b) Chứng tỏ
x 3 y 1 z 1
:
1 2 2
+ + −
∆ = =
−
song song với
mp
(P) : 2x y 2z 3 0+ + + =
và tính k/c giữa chúng
Bài 8: Xét vị trí tương đối của đ.thẳng d và mp (P) trong các t/h sau
a)
x t
d: y 1 2t (P) : x 2y z 3 0
z 1 t
=
= + + + − =
= −
b)
x 2 t
d: y t (P): x z 5 0
z 2 t
= −
= + + =
= +
c)
d:x 3 t;y 2 t;z 1 2t= − = − = +
(P) : x y z 6 0+ + − =
d)
x 3 y 1 z 1
d: ;(P) : 2x 2y z 3 0
2 3 2
+ + +
= = − + + =
Bài 9: Tìm giao điểm của đ.thẳng d và mp (P) trong các t/h sau
a)
d:x 1 t; y 1 2t;z 6t,
(P) : 2x 3y z 1 0
= + = − − =
+ + − =
b)
x 3 y 2 z 1
d: ;(P) : x 2y z 15 0
3 1 5
+ − +
= = − + − =
− −
MẶT CẦU
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình là
Dạng 1:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
Dạng 2:
2 2 2
x x z 2Ax 2By 2Cz D 0+ + + + + + =
với
2 2 2
A B C D 0+ + − >
Tâm
( )
I A; B; C− − −
; bán kính
2 2 2
R A B C D= + + −
@ Một số bài toán viết ph.trình mặt cầu
Dạng Cách giải
(S) có tâm I (a; b; c) và đi
qua điểm M(x
M
; y
M
; z
M
)
o Bán kính
2 2 2
M M M
R IM (x a) (y b) (z c)= = − + − + −
o Viết phương trình dạng 1.
(S) có đường kính AB với
A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
;
z
B
)
o Tâm I là trung điểm của AB
A B A B A B
x x y y z z
I ; ;
2 2 2
+ + +
→
÷
o Bán kính
2 2 2
B A B A B A
(x x ) (y y ) (z z )
AB
R
2 2
− + − + −
= =
o Viết phương trình dạng 1.
(S) có tâm I(a;b;c), tiếp
xúc với mp(P)
Ax+By+Cz+D=0
o Bán kính
( )
2 2 2
Aa Bb Cc D
R d I,(P)
A B C
+ + +
= =
+ +
o Viết phương trình dạng 1.
(S) đi qua 4 điểm A, B, C,
D không đồng phẳng
(hay (S) ngoại tiếp tứ
diện ABCD)
o Viết phương trình mặt cầu (S) dạng 2.
o Lần lượt thay các điểm vào phương trình mặt cầu, ta được hệ phương
trình với các ẩn cần tìm là A, B, C, D.
o Thay A, B, C, D vào phương trình của (S)
(S) có tâm thuộc trục tọa
độ và qua 2 điểm
o Nhận dạng tọa độ tâm I
Nếu I
∈
Ox thì I(A;0;0); I
∈
Oy thì I(0;B;0); I
∈
Oz thì I(0;0;C)
o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 2 ph.trình 2 ẩn
o Giải hpt tìm 2 ẩn thay vào ph.trình (S)
(S) có tâm thuộc mp tọa
độ và qua 3 điểm
o Nhận dạng tọa độ tâm I
Nếu I
∈
(Oxy) thì I(A;B;0); I
∈
(Oyz) thì I(0;B;C); I
∈
(Oxz) thì I(A;0;C)
o Thay tọa độ các điểm vào ph.trình (S) ta được hệ 3 ph.trình 3 ẩn
o Giải hpt tìm 3 ẩn thay vào ph.trình (S)
Tìm tọa độ tâm I và bán
kính R.
o Nếu phương trình mặt cầu dạng 1:
Xác định các số a, b, c, R
Tâm I(a;b;c) ; bán kính là R®
o Nếu phương trình mặt cầu dạng 2:
So sánh hệ số x,y,z tìm A, B, C, D
2 2 2
Tâm I( A; B; C)
BK R A B C D
ì
- - -
ï
ï
®
í
ï
= + + -
ï
î
BÀI TẬP:
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;2;3)
và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc
Oz và đi qua 2 điểm C(0;1;2), D(1;0;-1).
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau
đây a/ x
2
+ y
2
+ z
2
- 8x - 8y + 1 = 0
b/ 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
- 6x + 8y + 15z - 3 = 0.
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu
a/ Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3).
b/ Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1).
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu
a/ Có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc (P):x+2y-2z+5=0.
b/ Đi qua C(6; -2; 3), D(0; 1;6), E(2;0;-1), F(4;1;0).
Bài 6: Cho mp(α) có phương trình x + 2y - 2z + 6
= 0. Viết pt mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và
tiếp xúc với (α).
BÀI TẬPTỔNG HỢP
Bài 1: Cho mặt phẳng (P):
2x y z 6 0+ − − =
a) Viết pt mặt phẳng (Q) qua O và song song (P)
b) Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua
gốc O và vuông góc (P)
c) Tính khoảng cách từ O tới (P)
Bài 2: Cho M(-1;-1;0) và (P) x + y - 2z – 4 = 0
a) Viết ptmp (Q) đi qua M và song song với (P).
b) Viết phương trình tham số của đ.thẳng d đi qua
điểm M và vuông góc với mp (P). Tìm tọa độ giao
điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 3: Cho A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông.
Viết phương trình tham số của đường thẳng
AB.
2. Gọi M là điểm sao cho
MB 2MC= −
uuur uuur
.
Viết pt mặt phẳng đi qua M và vuông góc với
BC.
3. Gọi A’ là hình chiếu của điểm A trên
mp(Oxy). Viết phương trình đường thẳng đi
qua điểm A’ và vuông góc với mp(P): x-z+3=0
Bài 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x + 2y + 4z - 7 = 0 và
mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z + 3 = 0
1. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới
mặt phẳng (P).
2. Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với
mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình
: x + 2y + z – 1 = 0.
1) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A
trên mặt phẳng (P).
2) Viết pt của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho A(0;0;1) B(-
1;0;2) C(3;1;0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông
góc BC.
b) Tìm tọa độ giao điểm của MP (P) với đường
thẳng BC.
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(-2;0;1)
B(0;10;3) C(2;0;-1) và D(5;3;-1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B,C.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua D và
vuông góc (P)
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc (P)
Bài 8: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz
cho điểm A (2; l; 4), B(-l; -3; 5).
a. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB.
b. Viết phương trình mặt cầu tâm A đi qua B.
Bài 9: Cho
1
x 1 y 2 z
:
2 2 1
− −
∆ = =
− −
,
2
x 2t
: y 5 3t
z 4
= −
∆ = − +
=
1) Chứng minh rằng đường thẳng (
∆
1) và đường
thẳng (
∆
2) chéo nhau .
2) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường
thẳng (
∆
1) và song song với đường thẳng (
∆
2) .
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
đường thẳng
∆
:
x 5 y 3 z
2 1 4
− +
= =
−
và mặt phẳng
(P): 2x – y + z – 3 = 0.
1. Xét vị trí tương đối của đ.thẳng
∆
và mp (P).
2. Viết ph.trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với
mp(P).
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm M(-1;-
1;0) và mặt phẳng (P): x + y - 2z - 4 = 0
a) viết ph.trình mp (Q) qua M và song song với (P)
b) Viết ptts của đ.thẳng d đi qua M và vuông góc
với (P). Tìm tọa độ điểm H của d với mp(P)
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
4 điểm A(
−
2;1;
−
1),B(0;2;
−
1),C(0;3;0),D(1;0;1) .
a. Viết phương trình đường thẳng BC .
b. CMR: 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng .
c. Tính thể tích tứ diện ABCD .
