Đáp án thi HSG Toán 9 NH 2010-2011 cấp huyện

HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 1/3 HDC môn:Toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP

________________________________________________
KỲ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI
LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM 2009

_____________________________________________________________________________
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang)

Nội dung
Câu 1 3 điểm



3
133610 

0,5




2
15526 

0,5





 
515
1313
2
3
3


x
=




515
1313


=
2
1
13



0,25- 0,5- 05

Vậy P = (2
3
-4.2+1)
2009
0,25

= 1
2009
= 1 0,25








P = 1 0,25

Câu 2

4 điểm
a)
1;2



xx

0,5

b)
x
5
- 2
x
4
+ 2
x
3
- 4
x
2
- 3
x
+6 =
x
4
(
x
-2)+2
x
2
(
x
-2)-3(
x
-2)

0,5

= (
x
-2)(

x
4
+ 2
x
2
-3)
0,25

= (
x
-2)[
(
x
2
+1)
2
-4]
0,5

= (
x
-2)[
(
x

2
+3)(
x
2
-1)]
0,25

= (
x
-2)
(
x
2
+3)(
x
-1)
(
x
+
1)
0,25

2
63422
2
2345



x

x
xxxxx
A
=








  
21
1132
2


xx
xxxx

0,5

0,25

= (
x
2
+3)(

x
-1)
0,5

c) Vì
x
2
+3> 0 ; để A= 0 thì
x
-1 =0

0,25







x
=
1 (thỏa điều kiện)
0,25

Câu 3

5 điểm
a) ĐKXĐ: x

m ; x


1 0,25

Khi đó:
1
x
1x
m
x
2x







(x +2)(x – 1) = (x + 1)(x – m)
0,25


x
2
+ x – 2 = x
2
– mx + x – m

mx = 2 – m


m
m2
x



0,25

Vậy phương trình trên có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:











































2m
1m
0m

mm2
02mm
0m

1

m
m2
m
m
m2
0m

1x
mx
0m
2

0,25







b) Hệ phương trình:





(2) 12nny2x
(1) 1n2ynx

Từ (1) suy ra

nx)1(n
2
1
y 

0,25

HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 2/3 HDC môn:Toán
Thay vào (2) ta được
12nnx)1(n
2
1
n2x 

0,25



4x – n
2
.x = – n
2
+ 3n – 2

(4 – n
2
).x = – n
2
+ 3n – 2
0,25



2
2
n
4
23nn
x




0,25

Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi: 4–n
2


0

n


2
0, 25

Khi đó:


















2n
3
2
2n
12n
y
2n
3
1
2n
1n
x

0, 25

x, y nguyên khi: (n + 2)

Ư(3) ={1 ; –1 ; 3 ;–3} 0,25



n

{–1 ; –3 ; 1 ; –5}
0,25

c) ĐK :
x
≥ 2009 ; y ≥ -2008 ; z ≥ 2

0,25


 
)
2
1
220082009 zyxzyx 


222008220092  zyxzyx

0,5








0121200812009
222
 zyx

0,5











012
012008
012009
z
y
x

0,5











3
2007
2010
z
y
x
(thỏa điều kiện)
Vậy
x
= 2010 ; y = -2007 ; z = 3

0,25

Câu 4

5 điểm
a) Đặt AB= x ; AC = y (x,y >0)

ABC vuông tại A, ta có : AB.AC = AH. BC
0,25

x.y =
a
a
5.
5
12
= 12a
2
(1)
0,25

BC
2
= AB
2
+ AC
2
 25a
2
= x
2
+y
2
(2)
0,25

Từ (1) &(2)  (x+y)

2
= x
2
+ 2xy + y
2
= 25a
2
+ 24a
2
= 49a
2

0,5

(x-y)
2
= x
2
-2xy+y
2
= 25a
2
-24a
2
= a
2
0,5

Vậy






ayx
ayx 7
hoặc





ayx
ayx 7

0,5

Do đó





ay
ax
3
4
hoặc






ay
ax
4
3

Vậy hai cạnh góc vuông là 4a và 3a
0,25

b) S
HIK
= S
ABC
– S
AKI
– S
BKH
– S
CHI
0,5


ABC
CHI
ABC
BKH
ABC
AKI

ABC
HIK
S
S
S
S
S
S
S
S
1

0,5


Xét AKI và ABC có góc A chung nên

AB
AI
AC
AK
ACAB
AIAK
S
S
ABC
AKI
.
.
.



0,5

HSG lớp 9 THCS cấp tỉnh 3/3 HDC môn:Toán
AKC vuông tại K và AIB vuông tại I, ta có :
Cos A =
AC
AK
và cos A =
AB
AI

Do đó
A
S
S
ABC
AKI
2
cos

0,5

Tương tự :
C
S
S
B
S

S
ABC
CHI
ABC
BHK
22
cos;cos 

Vậy
CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1 

0,5

I
K
H
C
B
A

Câu 5 3 đi
ểm
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2121

RRRRRR 

0,25

Qua O kẻ HK O
1
A và O
2
B (với H O
1
A ; KO
2
B),khi đó
H, O, K
thẳng hàng .
 HOO
1
vuông có :OH
2
= OO
1
2
- HO
1
2
= (R
1
+R)
2
- (R

1
-R)
2
= 4R
1
R
 OH =
1
2
R R
(1)
0,75

 KOO
2
vuông có :OK
2
= OO
2
2
-KO
2
2
= (R
2
+R)
2
- (R
2
-R)

2
= 4R
2
R
 OK=
2
2
R R
(2)
0,75

Từ (1) & (2)  HK=


1 2
2
R R R R


0,25

Qua O
2
kẻ O
2
I O
1
A (với I O
1
A )

 IO
2
O
1
vuông có :IO
2
=
2 2
1 2 1
O O IO

=
21
2 RR

0,5

Mà IO
2
= HK 
2121
RRRRRR 

0,5


d
O
2
O

1
I
C
K
H
B
A
o