BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. Bài 1: Cho hàm
 
1
1
,
n
ii
i
x y x y




với
   
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n
nn
x x x x y y y y R  
CMR
a/.
1

là một khoảng cách trên
n
R

b/. Tồn tại các hằng số dương
,AB
sao cho
     
1
, , , ,
n
A x y x y B x y x y R
  
   

trong đó
 
,xy

là một khoảng cách Euclid trên
n
R

c/.
   
1
lim , 0 lim , 0
kk
kk
x x x x

 
  

Giải:
+/.
 
2
22

ii
i i i i i i
x y x y n
   
    
    

Tức là
   
11
,,x y B x y B n

  

+/
12
, , ,
n
  

có
1 2 1 2

nn

     
      
(1)
Từ
2
(1)
i i i i
x y x y   

Tức
   
1
, , 1A x y x y A

  

2. Bài 2: Tìm các giới hạn
a/.
0 0 0
0
lim limlim
1 1 1 1
x x y
y
xy xy
xy xy
  


   

b/.
0 0 0
0
sin sin
lim limlim
x x y
y
xy xy
yy
  



3. Bài 3: Xét tính liên tục tại
 
0,0
của các hàm số sau:
a/.
 
 
 
22
22
22
22
11
0
,
00

xy
xy
xy
f x y
xy

  









b/.
 
 
 
 
22
22
22
22
1
0
,
00
cos x y

xy
xy
f x y
xy













Giải:
a/.
     
0
0
0, 1 lim 0, 1 0,0
0
y
x
f y f y f
y




      





Hàm
 
,f x y
không liên tục tại
 
0,0

b/. Ta có
 
 
22
2
22
2 2 2 2
2sin
1
2
,
xy
cos x y
f x y
x y x y





Nên

 
 
 
2
22
22
2
22
2
22
0 0 0 0
22
0 0 0 0
sin
2
1
2
lim , 2lim lim lim 0 0,0
2
2
x x x x
y y y y
xy
xy
f x y x y f

xy
xy
   
   





    






Vậy:
 
,f x y
liên tục tại
 
0,0

4. Bài 4: CMR hàm số
 
,
xy
f x y
xy




không có giới hạn tại
 
0,0

- Chọn
 
1
lim , 0
1
n
nn
n
n
x
n
f x y
y
n













- Chọn
 
'
''
'
2
lim , 3
1
n
nn
n
n
x
n
f x y
y
n












Vậy: Hàm số
 
,
xy
f x y
xy



không có giới hạn tại
 
0,0

5. Bài 5: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại
 
0,0

a/.
 
2
2
,
2
yx
f x y
yx




b/.
 
1
, sinf x y
xy


Giải:
a/. - Chọn
   
1
, 0 lim , 0
1
n
n n n n
n
n
x
n
n f x y n f x y
y
n





     






(1)
- Chọn
   
'
' ' ' '
'
0
, 1 lim , 1
1
n
n n n n
n
n
x
n f x y n f x y
y
n




     




(2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
b/. ( Phương pháp làm giống như ý a/. )
- Chọn
       
1
1,2, , 0,0 lim , 0
1
n
n
n n n n
n
n
x
n
n x y f x y
y
n







    






(1)

- Chọn
   
'
' ' ' '
'
1
2
2
, 1, 1,2, lim , 1
1
2
2
n
n n n n
n
n
x
n
f x y n f x y
y
n












     







(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
6. Bài 6: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau:
a/.
 
,
xy
f x y
xy



tại
 
0,0
b/.
 
 

1
,
1
cosxy
f x y
xy



tại
 
0,1

Giải:
a/.
   
00
lim , lim , 1
xy
f x y f x y


Do đó
0 0 0 0
limlim 1 limlim
y x x y
x y x y
x y x y
   





b/.
 
 
 
 
'
'
0 0 0 0
cos 1
cos 1 sin
1:lim , lim lim lim 0
11
1
x
x x x x
x
xy
xy y xy
y f x y
x y y
xy
   


     






Vậy:
 
10
limlim , 0
yx
f x y



Mỗi
0x 
có:
 
 
1 1 1
cos 1 sin
lim , lim lim sin
1
y y y
xy x xy
f x y x
x y x
  

   


 
0 1 0
limlim , limsin 0
x y x
f x y x
  
   
Vậy:
 
01
limlim , 0
xy
f x y



7. Bài 7:
a/. Cho
 
32
,2f x y x xy y  
Ta có:
   
22
, 3 2 1,0 3
ff
x y x y
xx

   



   
, 4 1 1,0 1
ff
x y xy
yx

    


b/.
 
,f x y x
Ta có
 
0, 0fy
nên
 
0,0 0
f
y



và
 
,0f x x
Hàm một biến này
không có đạo hàm tại

0x 
nên không tồn tại
 
0,0
f
x



c/.
 
 
 
00
,
10
xy
f x y
xy








Hàm gián đoạn tại
 
0,0

vì
 
11
, 0,0
nn




nhưng
11
,1f
nn





không dần đến
 
0,0 0f 
khi
n
Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại
 
0,0
,
thật vậy
 
   

00
0 ,0 0,0
00
0,0 lim lim 0
xx
f x f
f
x x x
   
  

  
  
và
 
0,0 0
f
y




8. Bài 8: Dùng định nghĩa, tính
a/.
 
1,1
f
x



với
 
 
2
, ln 1f x y x y  


b/.
   
0,0 ; 0,0
ff
xy


với
 
 
 
22
22
22
1
sin 0
,
00
xy x y
xy
f x y
xy











Giải:
a/.
 
     
1 1 1
2
ln
,1 1,1 ln 2 ln3
3
1,1 lim lim lim
1 1 1
x x x
x
f x f x
f
x x x x
  

  

   

   
1
1
ln 1
11
3
lim
1
33
3
x
x
x









b/.
 
   
00
,0 0,0
0
0,0 lim lim 0
0

xx
f x f
f
x x x



  


9. Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a/.
 
, ln
2
y
f x y x
x




b/.
 
,
x
f x y arctg
y

c/.

 
22
,
xy
f x y x y e

Giải:
a/.
22
21
ln ; ln
2 2 2 2
y x y y
xx
x x x y y x x y
  
   
   
   
   
   

b/.
 
'
2 2 2
22
2
1
,

1
x
x
y
f x y
x
x y arctg
xy
x x y x y
x
y
y




   

  




 
'
2 2 2
22
2
,
1

y
x
x
y
f x x
y
x y arctg
xy
y y y x y
x
y
y





    

  





c/.
 
22
2 2 2 2
2 2 2 2

xy xy xy xy
x y x y
fx
x y e e x y ye e
xx
x y x y




     



 
 
22
22
,
xy
y x x y
f
x y e
y
xy









10. Bài 10: Cho hàm số
 
   
 
2 2 2 2
22
22
0
,
00
xy
x y x y
xy
f x y
xy

  








CMR:
   

22
0,0 0,0
ff
x y y x


   

Giải
Tại các điểm
   
, 0,0xy 
, dùng các quy tắc quen thuộc, ta có:

và
 
 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
22
4
,
f x y x y x y
x y xy y
y x x y x y
xy


   


    


   



Nói riêng
   
0, 0
f
y y y
x

  

;
   
,0 0
f
x x x
x



Các đạo hàm riêng tại
 
0,0
được tính bằng định nghĩa:

 
   
0
,0 0,0
0,0 lim 0
0
x
f x f
f
xx





;
 
   
0
0, 0,0
0,0 lim 0
0
y
f y f
f
yy







Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì:
 
   
2
00
,0 0,0
0,0 lim lim 0
0
xx
ff
x
fx
yy
x y x x





  
  

 
   
2
00
0, 0,0
0,0 lim lim 1

0
yx
ff
y
fy
xx
y x y y





   
  
Vậy
   
22
0,0 0,0
ff
x y y x


   