Tong hop chuong trinh tu.pdf

KOREAGERMAN

International Mathematical Tale

[Cuộc thi Tìm kiếm Tài năng

Translated from English-progenitor b

© Copyright 2004 by KoreaGerman & www. diendantoanhoc.net


Tìm kiếm Tài năng Tốn học Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/1. Với mọi số nguyên dương n, lập số n/s(n), ở đó s(n) là tổng các

chữ số của n trong hệ thập phân. Tính giá trị nhỏ nhất của n/s(n) trong mỗi
trường hợp sau:
() 10 (ii) 100 (iii) 1000 < n < 9999
(iv) 10000 < n < 99999

Bài tốn 2/1. Tìm tất cả các cặp số ngun (n, k), 2 < k < n, sao cho các số C*1,

Ck, C* tao thanh mot day sé tang.
Bài toán 3/1. Trên một bảng cỡ 8 x 8 người ta đặt n quân cờ Đôminô, mỗi quân

chiếm hai ô kề nhau, sao cho không thể đặt thêm quân Đôminô nào vào các ơ cịn
lại. Hỏi giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu để trạng thái trên cịn đúng?

Bài tốn 4/1. Chứng minh rằng một tam giác nhọn tuỳ ý có thể bị cắt ra bởi các

đoạn thắng thành ba phần theo ba cách khác nhau sao cho mỗi phần có một trục
đối xứng.
Bài tốn 5 /1. Chứng minh rằng có thể chia một tứ diện tuỳ ý thành 6 phần bởi

các mặt phẳng hoặc phần mặt phẳng sao cho mỗi một phần có một mặt phẳng đối

xứng.

International Mathematical Talent Search

-1-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/2. Số nguyên nhỏ nhất là bội số của 9997, khác 9997, chỉ chứa một

chữ số lẻ, là bao nhiêu?
Bài tốn 2/2. Chứng minh rằng mọi tam giác có thể chia thành 9 hình ngũ giác
lồi khơng suy biến.
Bài tốn 3/2. Chứng minh rằng nếu x, y và z là các số nguyên dương đôi một
nguyên tố cùng nhau, và nếu

ys

thì x + y, x - z và y - z là các số chính

phương.
Bài tốn 4/2. Cho a, b, c và d là diện tích của các mặt tam giác của một tứ diện

và h„ h„ h„ và hạ là các đường cao tương ứng của tứ diện. Kí hiệu V là thể tích

của tứ diện, chứng mỉnh rằng

(at+b+c+d)(h,
+h, +h,+ hg) 2 48V.
Bai todn 5/2. Chitng minh rằng có vơ số số ngun dương n sao cho hình hộp
cỡ n x n x n không thể được ghép bởi các khối lập phương cỡ 2 x 2 x 2 và 3 x 3 x 3.

International Mathematical Talent Search

-9-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

Bài tốn 1/3. Chú ý rằng nếu tích của
tăng thêm 9 thì kết quả là một số chính
sao cho n + 9, lón + 9, và 27n + 9 cũng là
Bài toán 2/3. Chú ý rằng 1990 có thể

© diendantoanhoc.net

hai phần tử khác nhau của tập {1, 16, 27}
phương. Hãy tìm các số nguyên dương n
các số chính phương.
"trở thành một số chính phương. (turned

into a square) bằng cách thêm một chữ số vào bên phải nó và một số chữ số ở bên
trái nó; chang hạn 419904= 648?. Chứng minh rằng 1991 khơng thể trở thành một

số chính phương bằng cách trên; có nghĩa là, khơng tồn tại các chữ số d, x, y, ...
sao cho ...yx1991d là một số chính phương.
Bài tốn 3/3. Tìm k nếu P, Q, R và S là các điểm trên các cạnh của tứ giác

ABCD sao cho

AP _ BQ
PB ~~ QC

_CR_DS_
RD SA

,

và diện tích của tứ giác PORS bằng đúng 52% diện tích của tứ giác ABCD.

Bài toán 4/5 3. Cho n điểm với các toạ độ nguyên trên mặt phẳng toạ độ xy. Gia
trị nhỏ nhất của n để chắc chắn rằng có 3 trong các điểm trên là các đỉnh của một
tam giác với diện tích ngun (chấp nhận 0), là bao nhiêu?
Bài tốn 5/3. Hai người, A và B chơi trò chơi với một cỗ bài 32 lá. A là người

bắt đầu, và tiếp đó hai người chơi xen kẽ luân phiên nhau. Mỗi người lấy hoặc

một lá bài hoặc một số nguyên tố lá bài. Cuối cùng tất cả các lá bài được chọn, và

người không lấy lá bài cuối cùng là người thua. Ai sẽ thắng nếu họ đều chơi theo
chiến lược tối ưu?

International Mathematical Talent Search

-3-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/4. Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ó, 7, 8, 9 đúng hai lần để lập các số

nguyên tố khác nhau sao mà tổng càng nhỏ càng tốt. Tổng này nhỏ nhất phải
bằng bao nhiêu? (Chú ý: 5 số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, và 11).

Bài tốn 2/4. Tìm số ngun dương n nhỏ nhất sao mà có thể biểu diễn thành
tổng của các số nguyên dương phân biệt a, b, và c sao cho a + b, a + c và b + c là
các số chính phương?
Bài tốn 3/4. Chứng minh rằng một số nguyên dương có thể biểu diễn dưới

dạng 3x? + y? nếu và chỉ nếu nó cũng có thể biểu diễn dưới dạng uˆ + uv + v2, ở đó

x, y, u, va v là các số nguyên dương.

Bài toán 4/4. Cho AABC tuỳ ý, dựng P, Q và R sao cho mỗi một góc tạo thành

là 30°. Chứng minh rằng APOR là tam giác đều.

Bài toán 5/4. Số đo các cạnh của AABC là 11, 20 và 21 đơn vị. Ta gấp nó dọc

theo PQ, OR và RP, ở đó P, Q, R là các trung điểm của các cạnh của tam giác, cho
đến khi A, B, và C trùng nhau. Hỏi thể tích của tứ diện tạo thành là bao nhiêu?

International Mathematical Talent Search

-4-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/5. Tập hợp S gồm 5 số nguyên. Nếu mỗi cặp phần tử phân biệt của S

được

cộng với nhau thì 10 tổng thu được

là 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980,

1983, 1984, 1989, 1991. Tìm những phần tử của S?

Bài tốn 2/5. Cho các số nguyên n > 3 và k > 2, và hình thành các hiệu số (sai

phân tiến - forward difference) của các phần tử của dãy
1,n, n,...,nÊ1

và cứ thế lấy các hiệu số liên tiếp của các dòng trên để được dòng dưới, như chỉ
ra trên bảng dưới với (n, k) = (3, 5). Chứng minh rằng các kết quả (số ở dòng cuối
cùng) là khác nhau với các cặp (n, k) khác nhau.
1

2

3
4

6
8

9
12
16

18
24

27
36

54

81

Bài toán 3/5. Trong một trận bóng chày "kiểu tốn học" (mathematical version),
trọng tài chọn một số nguyên dương #, zn < m, và bạn phải đoán một số nguyên

dương để biết được zm. Nếu số bạn đoán nhỏ hơn số m của trọng tài thì ơng ta gọi

nó là một "bóng" (ball); nếu số đó lớn hơn hoặc bằng mm thì trọng tài gọi đó là một

"cú đánh" (strike). Để "đánh trúng" (hit) nó, bạn phải tìm được đúng giá trị của zn

sau cú đánh thứ 3 hoặc lần đốn thứ ó6, tuỳ theo cái nào trước. Giá trị lớn nhất của
z¡ là bao nhiêu để tôn tại một chiến lược cho phép bạn đánh (bat) được 1000 điểm,
nghĩa là ln tìm đúng zn ? Hãy nêu chỉ tiết chiến lược đó.
Bài tốn 4/5. Chứng mỉnh rằng nếu f là một hàm thực khác hàm hằng sao cho

VỚI mọi x ta có

f(x + 1) + f(x- 1) = v3 f(x).

thì f là hàm tuần hồn. Tìm số dương p nhỏ nhất sao cho f(x + p) = f(x) với mọi x?

Bài toán 5/5. Trong AABC (hình vẽ), gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp. Gọi

Tạ, Tp, rc là các bán kính của các đường tròn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và với

các cạnh của tam giác, tương ứng với các đính A, B, C. Chứng minh rằng:
T ST

International Mathematical Talent Search

T Tp †c.

-5-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/6. Chín đường thẳng, cùng song song với một cạnh của một tam

giác và chia mỗi cạnh còn lại thành 10 đoạn bằng nhau và chia diện tích thành 10

phần khác nhau. Tìm diện tích của tam giác ban đầu, nếu diện tích của phần lớn
nhất là 76.
Bài tốn 2/6. Có bao nhiêu cách biểu diễn 1992 dưới dạng tổng của một hoặc

nhiều các số nguyên liên tiếp?
Bài toán 3/6. Chứng minh rằng tồn tại một lục giác có các góc bằng nhau trên

mặt phẳng mà độ dài các cạnh của nó là 5, 8, 11, 14, 23 và 29 đơn vị, theo một thứ

tự nào đó.
Bài tốn 4/6. Một cơng ty quốc tế có 250 nhân viên, mỗi người có thể nói vài
ngơn ngữ. Trong mỗi cặp nhân viên (A, B), có một ngơn ngữ được A nói mà B

khơng và có một ngơn ngữ được B nói mà A khơng. Có ít nhất bao nhiêu ngơn

ngữ được nói trong cơng ty?

Bài tốn 5/6. Một bàn cờ vơ hạn (infnite checker-board) được chia bởi một

đường kế nằm ngang thành nửa trên và nửa dưới như hình vẽ. Một số quân cờ đã
được đặt vào bàn cờ bên dưới đường kẻ (trong các ô). Một "bước đi" (move) là
một quân cờ nhảy dọc hoặc ngang qua một quân cờ khác và ăn quân cờ đó.
Giá trị nhỏ nhất của n để có thể đặt qn cờ cuối cùng vào dịng thứ 4 phía

trên đường kẻ ngang sau z- 1 bước đi là bao nhiêu? Hãy mơ tả vị trí ban đầu của
các quân cờ và từng bước đi.

International Mathematical Talent Search

-6-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/7. Trong một hình thang ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại E. Diện
tích của AABE là 72, và diện tích của ACDE là 50. Diện tích của hình thang ABCD

là bao nhiêu?
Bài toán 2/7. Chứng mỉnh rằng nếu a, b và c là các số nguyên dương sao cho c?

=a? + bể, thì cả c? + ab và c? - ab đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số
chính phương.

Bài tốn 3/7. Với n là một số nguyên dương, kí hiệu P(n) là tích của tất cả các
ước số nguyên đương của n. Tìm n nhỏ nhất để

P(P(P(n))) > 10”.
Bài toán 4/7. Khi chép lại trên bảng một dãy 6 số nguyên dương là một cấp số
cộng, một sinh viên viết 5 số: 113, 137, 149, 155, 173, và bỏ sót một số. Sau đó cậu
ta nhận ra rằng cũng đã chép sai một số trong chúng. Bạn hãy giúp cậu ta và tìm

lai day ban đầu.

Bài toán 5/7. Cho T = (a, b, c) là một tam giác với các cạnh a, b, và c và diện tích

A. Kí hiệu T' = (a!, b, c') là tam giác với các cạnh là đường cao của T (nghĩa là a' =
h,, b'=h,, c' =h,) va kí hiệu diện tích cua no la A’. Tương tự kí hiệu T" = (a", b", c'')

là tam giác tạo bởi các đường cao của T', va ki hiéu dién tich cua né 1a A". Cho A' =

30 va A" = 20. Hay tim A.

International Mathematical Talent Search

-7-

Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/8. Chứng minh rằng khơng có tam giác nào có độ dài các đường cao

là 4, 7 và 10 đơn vị.

Bài tốn 2/8. Như trên hình vẽ, có một số thực x, 0 < x < 1, sao cho ta có thể

chia hình vng đơn vị thành 7 tam giác đồng dạng. Khi đó x phải thoả mãn một

đa thức dạng chuẩn bậc 5. Tìm đa thức đó. (Đa thức dạng chuẩn là đa thức có hệ

số của bậc cao nhất của x là 1.)

Bài tốn 3/8. (¡) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ..., 9 thành a(1), a(2), ..., a(9) sao
‘Oo

<—-_

K

x

—I

TT

Ty

'

„

cho các số sau đây đôi một khác nhau hay khơng? Chứng minh khẳng định của

bạn:

¬
|a(1) - 1|, |a(2) - 2|;.... |a(9) - 9|.
(ii) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, ..., 10 thành a(1), a(2), ..., a(10) sao cho các số
sau đây đôi một khác nhau hay không?. Chứng minh khẳng định của bạn:
|a()
- 1|, |a(2)
- 2|;..., | a(10) - 10].
Bài toán 4/8. Trong một cuộc chạy 50 mét, Anita có thể chấp Bob nhiều nhất 4

mét và đuổi kịp cậu ta tại vạch đích. Trong một cuộc chạy 200 mét, Bob có thể

chấp Carol nhiều nhất 15 mét và đuổi kịp cô ta tại vạch đích. Giả sử rằng tất cả 3

người luôn chạy với một vận tốc không đổi. Hỏi Anita có thể chấp Carol nhiều

nhất bao nhiêu mét trong một cuộc chạy đua 1000 mét mà vẫn có thể đuổi kịp cơ
ta.
Bài tốn 5/8. Cho các số thực a, b, x và y thoả mãn:
a+b=23,
ax + by = 79,

ax? + by? = 217,
ax” + by” = 691,

Hay tinh ax* + by’.

International Mathematical Talent Search

-8-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

Bài tốn 1/9. Một lưới m x n được đặt sao cho một góc của nó tại (0, 0) và một
góc tại (m, n). Một bước đi hợp lệ được định nghĩa là một bước chuyển một đơn

vị theo hướng dương của y hoặc một đơn vị theo hướng dương của x. Điểm (¡, j)
của lưới, với 0 < i
các bước đi để đến điểm (m, n).

Có bao nhiêu con đường có thể đi từ (0, 0) đến (m, n), bằng các bước đi như

vậy?
Bài toán 2/9. Cho một điểm P và hai đoạn thang trên một mảnh giấy hình chữ

nhật sao mà giao điểm Q của các đường thắng chứa chúng không nằm trên mảnh

giấy. Làm thế nào để dựng đường thắng PQ với một cái thước nếu chỉ được phép

vẽ trong phạm vi của mảnh giấy? (*)

Bài toán 3/9. Một đa giác lơi có 1993 đỉnh được tơ màu sao cho hai đỉnh kể
nhau có màu khác nhau. Chứng minh rằng người ta có thể chia đa giác thành các
tam giác bằng các đường chéo không giao nhau mà hai đầu mút có màu khác
nhau.
Bài tốn 4/9. Một tam giác được goi la Heronian

néu sé đo các cạnh và diện

tích của nó là các số nguyên. Xác định tất cả 5 tam giác Heronian có chu vi và diện
tích cùng bằng một số ngun.
Bài tốn 5/9. Một bộ gồm 5 "Hình lập phương ki ao" (con xtic sac - Trick Math
Cube3 được cho dưới dạng khai triển phẳng như hình vẽ. Một "Pháp su"
(magician) yêu cầu bạn gieo chúng và cộng 5 số ở mặt trên lại. Ông ta cũng nhẩm
và viết ngay ra kết quả vào một tờ giấy trước khi bạn cộng xong! Ơng ta đã làm

thế nào? Trình bày và giải thích trị mẹo này.

179
278 [377 |872|
971
773
741
147 543 |840|
642
345

International Mathematical Talent Search

780
483 |186 |285|
384
681

-9-

564
1762 |366 |861|
168
960
756
855 |558 |459
954
657




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vong 10

Bai toan 1/10. Tim x’ + y’ + zˆ nếu x, y và z là các số nguyên dương thoả mãn
7x” - 3y” + 4z? = 8 và 16x” - 7y? + 9z = - 3.

Bài toán 2/10. Từ ước lượng đơn giản 1 < 43 < 2, hãy suy ra rằng 6 < 3*? <7.
Bài toán 3/10. Với mỗi số nguyên dương n, n > 2, hay xác định hàm số:

£(x) =a, + b,x +¢,|x-d,|,

3 dé a,, b,, Cy, d, chi phu thudc vao n, sao cho:

f,(k) =k+1vdik=1,2,..,n-1 va f,(n) =1.
Bài tốn 4/10. Một túi chứa 1993 bóng đỏ và 1993 bóng đen. Chúng ta hãy lấy

đi hai bóng một lúc nhiều lần và
(1) Loại bố chúng nếu chúng có cùng màu.
(ii) Nếu chúng khác màu, loại bổ bóng đen và bỏ lại bóng đỗ vào túi.
Hỏi xác suất để q trình sẽ kết thúc với một quả bóng đỏ cịn lại trong túi là

bao nhiêu?
Bài tốn 5/10. Cho P là một điểm trên vòng tròn ngoại tiếp của AABC không

trùng với A, B và C. Giả sử rằng BP cắt AC tại X và CP cắt AB tại Y. Cho Q là giao
điểm khác A của hai vòng tròn ngoại tiếp AABC và AAXY. Chứng minh rằng PQ

chia đơi đoạn XY. (Các giao điểm khác nhau có thể xảy ra với phần kéo dài của
các đoạn thắng).

International Mathematical Talent Search

-10-

Tìm kiểm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vịng 11
Bài toán 1/11. Hãy biếu diễn im

dưới dạng

+=,

với m và n là hai số

nguyên dương.
Bài toán 2/11. Cho n là một số nguyên lớn hơn 5. Chứng minh rằng có nhiều

nhất 8 phần tử của tập {n + 1, n + 2,...,n + 30} là số nguyên tố.
Bài toán 3/11. Một 2n-giác lồi được gọi là "Thoi giác" (zhơznbïc) nếu tất cả các

cạnh của nó bằng đơn vị dài và nếu hai cạnh đối diện là song song với nhau. Một
thí dụ minh hoạ được cho trên hình vẽ (với n = 4), một Thoi giác 2n-giác có thể
được chia thành các hình thoi cạnh 1 theo nhiều cách khác nhau. Với giá trị nào
của n để một Thoi giác 2n-giác có thể được chia thành 666 hình thoi?

Bài tốn 4/11. Chứng minh rằng nếu 3 trong 4 đường phân giác trong của một
tứ diện đồng quy thì cả 4 đường phân giác ấy phải đồng quy tại một điểm.

Bai todn 5/11. Cho f(x) = x* + 17x” + 80x? + 203x + 125. Tìm đa thức bậc nhỏ

nhất g(x) sao cho f(3
+ 43 ) = g(3+ x3 ) và f(5++xJ5) = g(5+
x5 ).

International Mathematical Talent Search

-141-




Tìm kiểm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vịng 12
Bài toán 1/12. Thày giáo viết một số nguyên dương nhỏ hơn 50.000 lên bảng.
Một sinh viên xác nhận đó là một bội của 2; một sinh viên thứ hai nói rằng nó là
một bội của 3; và cứ như vậy... cho đến khi sinh viên thứ 12 nói rằng nó một bội

của 13. Thày giáo quan sát và thấy rằng trừ hai sinh viên ra thì tất cả những người

khác nói đúng. Và hai sinh viên phát biểu sai nói cách nhau một người khác.

Hỗi số được viết trên bảng là số nào?

Bài tốn 2/12. Một hình 12-giác đều được nội tiếp trong một hình vng diện

tích bằng 24 như hình vẽ, ở đó 4 đỉnh của hình 12-giác là trung điểm của các cạnh
hình vng. Tìm diện tích của hình 12-giác đều.

Bài tốn 3/12. Cho S là tập hợp gồm 30 điểm trên mặt phẳng, có tính chất là
khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì trong S nhỏ nhất bằng 1. Định nghĩa T

là tập con lớn nhất của S sao cho khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì của T
là nhỏ nhất bằng A3. Có bao nhiêu điểm trong tập T?

Bài tốn 4/12. Chứng minh rằng nếu 12 +3/4 là nghiệm của một đa thức bậc
ba với các hệ số ngun, thì nó là nghiệm thực duy nhất của đa thức này.

Bài toán 5/12. Trong hình vẽ, l và l; là hai đường thắng song song, AB là đoạn

vng góc với chúng, và P, Q, R, S là các giao điểm của 1, va 1, với một đường trịn
với đường kính lớn hơn AB và tâm C nằm trên đoạn thắng AB. Chứng minh rằng

tích PR.PS khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn thắng AB.
h

International Mathematical Talent Search

- 1Ø~




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vong 13

Bài toán 1/13. Milo là một sinh viên trường Mindbender Hiph. Sau mỗi bài
kiểm tra, cậu ta tính điểm trung bình của mình và ln làm trịn tới phần trăm

gan nhất. (85,49 làm trịn xuống thành 85, nhưng 85,50 thì làm trịn lên thành 86).

Hơm nay cậu ta có hai bài kiểm tra. Bài đầu cậu ta được 75 điểm mơn tiếng Pháp,

làm giảm điểm trung bình của cậu ta đi 1 điểm. Sau đó cậu ta được 83 điểm mơn
lịch sử, làm tăng điểm trung bình của cậu ta lên 2 điểm.

Hỏi điểm trung bình của Milo hiện nay là bao nhiêu?

Bài toán 2/13. Erin đang nghĩ ra một trò chơi và muốn chọn 4 loại đồng tiền từ

các loại $1, $2, $3, $5, $10, $20, $25 và $50 để chơi với tiền. Cậu ta đã chọn chúng

như thế nào để mà mọi giá trị từ $1 đến $120 có thể nhận được bằng cách dùng
nhiều nhất là 7 tờ bạc.
Bài toán 3/13. Với số nguyên dương d nào thì có thể tơ màu các số ngun màu

đó hoặc xanh sao cho khơng có hai điểm đổ nào cách nhau d và khơng có hai

điểm xanh nào cách nhau 1?
Bài tốn 4/13. Chứng mỉnh rằng có vơ hạn bộ ba số nguyên dương sắp thứ tự
(x, y, Z) sao cho

x'+y`=z.

Bài tốn 5/13. Chỉ được trang bị một compa (khơng có cạnh thắng) vẽ hai

đường trịn cắt nhau theo một góc vng; tức là dựng những đường trịn đè lên
nhau trong cùng một mặt phẳng, trực giao (các tiếp tuyến tại lần lượt hai giao

điểm của chúng vng góc).

International Mathematical Talent Search

-13-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vong 14
Bài toán 1/14. Cho a, b, c, d là các số dương sao cho a’ + b’ + (a- bP =? + d? +

(c - d)?. Chitng minh rang a‘ + b* + (a - b}! = cÝ + đ + (c - đ)!.
Bài toán 2/14. Các nhãn giá trong một cửa hàng bách hoá ghi như sau:

|Iso7z|

|$200|

| $5.50 |

Chú ý rằng tổng của ba giá trên là 8,25 $ và tích của ba số cũng bằng 8,25. Hãy

tìm 4 nhãn giá có tổng bằng 8,25 $ và tích bốn số đó cũng bằng 8,25.
Bài tốn 3/14. Trong một nhóm 8 nhà tốn học, mỗi vị thấy rằng có đúng 3 vị
khác có một sở thích chung. Có thể ghép họ từng đôi một sao cho trong mỗi cặp
(trong 4 cặp) đó, hai vị khơng có chung sở thích nào hay khơng?
Bài tốn 4/14. Cho các số ngun dương a và b. Kí hiệu a ~ b nếu ab + 1 là một
số chính phương. Chứng minh rằng nếu a ~ b, thì tổn tại một số nguyên dương c
sao cho a ~ c và b ~ c.
Bài toán 5/14. Cho tam giác ABC, kéo dài các cạnh để dựng thành hai hình lục
giác như hình vẽ. So sánh diện tích của hai lục giác đó.

International Mathematical Talent Search

-14-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vịng 15
Bài tốn 1/15. Có thể ghép đơi các số ngun dương 1,2, 3, ..., 50 sao cho tổng

của mỗi cặp số là các số nguyên tố khác nhau hay không?
Bài toán 2/15. Hãy thay thế các chữ cái khác nhau bởi các chữ số khác nhau

trong {0, 1, ... 9} sao cho các phép cộng sau đúng. (Hai phép toán độc lập với
nhau).
HARRIET

DI ANA
MARRIED
AND
+
HER
SARAH
DENTIST
+
ARE
REBELS
Bài tốn 3/15. Hai hình chóp có chung đáy 7 cạnh, với céc dinh ki hiéu 1a A,,

Ax .., A;. Chúng có các đỉnh khác là B và C. Khơng có ba điểm nào trong 9 điểm

là thang hàng. Mỗi cạnh trong 14 canh BA, va CA, (i = 1, ..., 7), 14 đường chéo của
đáy, và đoạn BC, được tô màu xanh hoặc dé. Chitng minh rằng có ba đoạn trong

chúng có cùng màu và là ba cạnh của một tam giác.

Bài toán 4/15. Giả thiết cho các số nguyên dương a, b, c và x, y, z thoả mãn a? +
b?= c? và x? + y? = z2. Chứng minh rằng:

(a+x)?+(b+y)'<
(+ z).

Và hãy xác định khi nào dấu bằng xây ra?

Bài toán 5/15. Cho C¡ và C; là hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Cạ là đường

tròn qua A với tâm B. Hãy xác định điều kiện để cho dây cung chung của C¡ và C¡

tiếp xúc với C;?

International Mathematical Talent Search

-15-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vịng 16

Bài toán 1/16. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a? + bỶ + c° = 3abc.

Bài toán 2/16. Với n là một số nguyên dương, đặt P(n) là tích của các chữ số

khác khơng trong hệ thập phân của n. Ta gọi n là "prodigitious" nếu P(n) chia hết

n. Chứng minh rằng không thể có một dãy 14 số nguyên dương liên tiếp mà tất cả
là prodigitious.
Bài toán 3/16. Các đĩa được đánh số từ 1 đến n và xếp vào một hàng các ô
vuông với một ô vuông để trống. Một bước chuyền bao gồm lấy đi một dia va di
chuyển nó vào ô trống. Mục đích là sắp xếp lại các đĩa với số bước chuyển ít nhất
sao cho đĩa 1 trong ô vuông 1, đĩa 2 trong ô vuông 2, ..., đĩa n trong Ơ vng n, va
ơ vng cuối cùng là ơ trong. Chang han, nếu vị trí ban đầu là

I32|2|1|6|5|14|

|9|8|7 |12|11]10|

thì mất ít nhất 14 bước chuyển; cụ thể là chúng ta có thể di chuyển các đĩa vào ô
trống theo thứ tự sau: 7, 10, 3, 1, 3, 6, 4, 6, 9, 8, 9, 12, 11, 12.

Hỏi vị trí ban đầu địi hỏi số lớn nhất các bước chuyển là thế nào nếu n = 1995?
Chỉ rõ số bước chuyển cần thiết.

Bài toán 4/16. Cho ABCD là một tứ giác lồi tuỳ ý, với E, F, G, H là những trung

điểm của các cạnh như được chỉ ra trên hình vẽ. Chứng minh rằng người ta có thể
ghép các mảnh tam giác AEH, BEF, CFG, DGH lại với nhau để thành một hình

bình hành tương đẳng (congruent) với hình bình hành EEFGH.

A

E

B

Bài tốn 5/16. Một hình bát giác đẳng giác (các góc bằng nhau) ABCDEFGH có

các cạnh với độ dài là 2, 24/2 , 4, 4x2, 6, 7, 7, 8. Cho AB = 8, hãy tìm độ dai EF.

International Mathematical Talent Search

- 1Ó~

Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vịng 1
Bài toán 1/17. Số 154 chữ số 19202122 ...939495 nhận được bằng cách viết liền

nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần. Chúng ta xoá đi 95 chữ số
của số đó để được một số lớn nhất có thể được. Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số
nay là gì?

Bài tốn 2/17. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao mà mỂ - nˆ = 1995,

Bài toán 3/17. Chứng minh rằng có thể sắp xếp trên mặt phẳng 8 điểm sao cho

khơng có 5 điểm nào trong chúng là các đỉnh của một ngũ giác lồi. (Một ngũ giác
là #ổï nếutất cả các góc trong của nó khơng vượt q 180 độ).
Bài tốn 4/17. Một người đàn ơng hơn vợ ơng ta 6 tuổi. Ơng ta cho biết 4 năm
trước ơng ta đã cưới vợ được đúng một nửa số tuổi ông ta. Ông ta sẽ bao nhiêu

tuổi vào lễ kỉ niệm 50 năm ngày cưới nếu vào 10 năm tới thì bà vợ đã trải qua 2/3
cuộc đời lấy ơng ta? (*)

Bài tốn 5/17. Số bé nhất các hình chữ nhật 3 x 5 là bao nhiêu sẽ phủ kín một

hình vng 26 x 26? Các hình chữ nhật có thể đè lên nhau và/hoặc lên các cạnh

của hình vng. Bạn nên chứng minh kết luận của bạn bằng một ví dụ cụ thể.

International Mathematical Talent Search

-17-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vong 18

Bài toán 1/18. Xác định độ dài nhỏ nhất của khoảng [a, b] sao choa< x+y
với mọi số thực x > y > 0 thoả mãn 19x + 95y = 1995,

Bài toán 2/18. Với số nguyên dương n

> 2, kí hiệu P(n) là tích của các ước số

nguyên dương (bao gồm 1 và n) của n. Tìm số n nhỏ nhất để P(n) = n9.
Bài toán 3/18. Cho đồ thị (graph) trên hình vẽ với 10
đính, 15 cạnh và mỗi đỉnh có bậc 3 (nghĩa là có 3 cạnh
nối với mỗi đỉnh). Một số cạnh được đánh số 1, 2, 3, 4,
5 như hình vẽ. Chứng minh rằng có thể đánh số 6, 7,...,

15 các cạnh còn lại sao cho tại mỗi đỉnh tổng của các số

trên các cạnh nối với nó là bằng nhau.

4À

/ 2

Bài tốn 4/18. Cho a, b, c, d là các số thực khác nhau

sao cho a +b +c + d =3 và a” + bỶ + c° + dˆ= 45.
Tìm giá trị của biểu thức:
a°

(a-b)(a-c)(a-d)

+

bỀ

(b-a)(b-c)(b-d)

+

c

5

+

(c-a)(c-b)(c_-d)

<1

d°
(d-a)(d-b)(d-c)

Bài toán 5/18. Cho a và b là hai đường thang trén mat phẳng, và C là một điểm

như hình vẽ. Chỉ dùng một compa và một thước thẳng không chia vạch, hãy

dựng một tam giác vuông cân ABC, sao cho A nằm trên a, B nằm trên b và AB là

cạnh huyền của tam giác ABC.

—

International Mathematical Talent Search

_

-18-




Tìm kiếm Tài năng Tốn hoc Quốc tế

© diendantoanhoc.net

IMTS vịng 19

Bài tốn 1/19. Có thể thay thế mỗi dấu + dưới đây thành - hoặc + để
+1+2+3+4+5+...+96
= 1996.
Nhiều nhất bao nhiêu dấu + có thể được thay bởi đấu +?

Bài tốn 2/19. Ta nói (a, b, c) là một primitive Heronian triple néu a, b va c la

các số nguyên dương khơng có thừa số chung (khác 1), và diện tích của tam giác
mà độ dài các cạnh a, b, c cũng là một số nguyên. Chứng minh rằng nếu a = 96 thì

b và c phải cùng là lẻ.

Bài tốn 3/19. Các số trong hình chữ nhật 7 x 8 trên hình vẽ được tạo thành

bằng cách đặt 28 quân đôminô khác nhau của một bộ cờ thông thường, ghỉ lại các

số (số chấm, từ 0 đến 6) trên mỗi mặt của các qn đơminơ và xố đi biên của
chúng. Xác định lại biên ban đầu của các quân đôminô. (Chú ý: Mỗi quân đôminô
chứa hai ô vuông liên nhau bởi một cạnh).

5I5I9|2|J113|3|4
614141211]115|2
6|3|312111610|3
305151010106
31211|16101014|2
0|3/6/4/6/2);6|5
2|J11114|4|4|1|5

Bài toán 4/19. Giả sử rằng hàm f thoả mãn phương trình ham sau

Hay tim £(3).

2f(x) + s2 x-2+ >) = 100x + 80.

Bài toán 5/19. Trong hình vẽ, hãy xác định diện tích cua hình bát giác tơ đậm

theo diện tích của hình vng. Trong đó các biên của hình bát giác đều là các
đường thẳng kể từ các đỉnh của hình vng đến trung điểm của các cạnh đối
điện.

International Mathematical Talent Search

-19-