20 cách chứng minh Định lí Pytago

Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
A- ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Trong chương trình phổ thông, môn toán là môn chiếm nhiều thời gian về
số tiết dạy trên lớp. Được đưa ngay vào năm đầu tiên của cấp tiểu học,
nhưng đến năm cấp THCS mới đưa phần hình học vào chương trình. “
Hình học” có nghĩa là “ đạc điền”, “ đo đạc”, nhưng không phải người học
sinh nào cũng hiểu được như vậy. Giải được một bài toán hình học là rất
khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học
sinh muốn học tốt môn hình học thì ngoài kiến thức sẵn có và ý thức học
tập tốt cần phải xác định đúng đắn động cơ và phương pháp học tập tốt,
đắc biệt là kích thích được sự “ hứng thú” học bộ môn này.
2. CƠ SỞ THỰC TẾ.
Thực tế tháy rằng hầu như học sinh nào cũng trả lời rằng thích học đại số
hơn hình học, có em còn cho rằng rất ngại học môn này và còn cho rằng
rất không thích học.
Qua thực tế đó để kích thích sự hứng thú học bộ môn hình học, từ đó hiểu
sâu hơn bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý Py-ta-
go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi tiếng,
hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một bài toán
hình học, ba là giúp học sinh thấy được sự phong phú của toán học. Từ đó
học sinh sẽ thấy hứng thú học môn hình học nói riêng và học môn toán nói
chung.
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
Pythagore sinh vào khoảng
năm 580 TCN tại Samos-Hi lạp. Ông nghiên cứu nhiều môn khoa học như Triết
học, Khoa học tự nhiên, Âm nhạc và đặc biệt là Toán học. Trong toán học ông đặc
biệt thích thú với môn Hình học. Định lý Pythagore có một vị trí đặc sắc trong
Hình học và đời sống, không những nó có nhiều ứng dụng cụ thể trong Toán học,

trong các môn khoa học khác, trong thực tế mà ngay việc khai thác các bài toán
xung quanh định lý này cũng đóng góp cho Toán học nói chung nhiều kết quả
quan trọng.
Tuy định lý mang tên ông , nhưng trước đó 2 ngàn năm người Trung Quốc và
người Ấn Độ cũng đã phát hiện ra nó và đã ứng dụng vào việc đo đạc, nhất là khi
xây cất các lâu đài, đình chùa, miếu mạo. Thời đó, người ta chứng minh định lý
Pythagore bằng cách ghép hình. Đến nay, người ta đã sưu tập được khoảng 367
cách chứng minh. Trong chuyên đề này tôi xin đưa ra 20 cách chứng minh chủ
yếu tập chung vào hai cách là ghép hình và suy luận toán học, giới hạn trong
chương trình toán THCS.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
20 c¸ch chøng minh ®Þnh lÝ Py-ta-go
A. GHÉP HÌNH
C¸ch 1.
.
b
b
c
c
b
b
a
a
M
M
P
P
N
N
A

A
D
D
E
E
B
B
C
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: S
BCDE
= S
AMPN
+ 4.S
ABC
=> a
2
= ( c – b )
2
+ 4. bc/2
<=> a
2
= c
2
– 2.bc + b
2
+ 2.bc
<=> a
2
= c

2
+ b
2
.
C¸ch 2.
C
b
b
b
b
a
a
c
c
Q
Q
P
P
C
C
B
B
E
E
F
F
D
D
A
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ

Ta cã: S
ADEF
= S
BCPQ
+ 4.S
ABC
=> ( b + c )
2
= a
2
+ 4. bc/2
<=> b
2
+ 2.bc + c
2
= a
2
+ 2.bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C¸ch 3.
C
a
a
b

b
b
b
c
c
H
H
G
G
F
F
E
E
Q
Q
P
P
C
C
B
B
D
D
M
M
N
N
A
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: S

BCPQ
= S
EFGH
+ 4.S
ABC
=> a
2
= ( c – b )
2
+ 4.bc/2 (1)
MÆt kh¸c: S
ADMN
= S
BCPQ
+ 4.S
ABC

=> S
BCPQ
= S
ADMN
– 4.S
ABC
<=> a
2
= ( b + c )
2
– 4.bc/2 (2)
Céng (1) vµ (2) ta ®îc: 2a
2

= ( c – b )
2
+ ( b + c )
2
= 2b
2
+ 2c
2
<=> a
2
= b
2
+ c
2
C¸ch 4.
C
a
a
b
b
c
c
b
b
a
a
c
c
E
E

D
D
C
C
B
B
A
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ
Ta cã: ABED lµ h×nh thang vu«ng, BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
S
ABED
= 2.S
ABC
+ S
BCE
=>
22
.
.2
2
)).((
2
acbcbcb
+=
++
<=> ( b + c)
2
= 2.bc + a
2

<=> b
2
+ 2.bc + c
2
= a
2
+ 2.bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2
C¸ch 5.
C
b
b
a
a
a
a
c
c
a
a
a
a
c
c
b

b
b
b
c
c
H
H
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
A
XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng tam gi¸c ABC nh h×nh vÏ
=> BDEF lµ h×nh thang
=> S
BDEF
= 1/2.( 2b + 2c ). ( b + c ) = ( b + c )
2
(1)
S
ECF
+ S
BCD
+ S

ECD
+ S
BCF
=
222
.2
2
.2
22
aabccb
+++
= 2bc + a
2
(2)
Tõ (1) vµ (2) => ( b + c )
2
= 2bc + a
2
<=> b
2
+ c
2
= a
2
Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go
B. Dựng hình-suy luận
Cách 6.
C
H
H

C
C
B
B
A
Kẻ AH vuông góc với BC.
Ta có các tam giác vuông ABC, HAC, HBA đồng dạng
=> AB
2
= BC.BH Và AC
2
= BC.HC
=> AB
2
+ AC
2
= BC.( BH + HC ) = BC
2
Cách 7.
C
b
b
c
c
x
x
c
c
2
2

b
b
2
2
a
a
a-x
x
F
F
H
H
E
E
D
D
C
C
B
B
A
Dựng hình vuông BCDE. Kẻ AH vuông góc với BC, cắt DE tại F.
Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có:
c
2
= a.x
b
2
= ( a x ).x
Mặt khác: S

BHFE
= BH.BE = x.a = c
2
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
S
CDFH
= CH.CD = ( a – x ).a = b
2
=> S
BHFE
+ S
CDFH
= c
2
+ b
2
<=> S
BCDE
= c
2
+ b
2
<=> a
2
= c
2
+ b
2
C¸ch 8.
Qua B dung ®êng th¼ng vu«n gãc víi BC

c¾t AC ë C’
Dùng c¸c h×nh b×nh hµnh ABCB’, BC’CA’
=>
∆
ABC =
∆
AB’C
S
AB’C
+ S
ABC’
= S
BCC’
= S
BCA’
<=> AB.AC + AB.AC’ = BC.CA’ (*)
Ta cã: AC’ =
AC
AB
2
Vµ
∆
CA’B ~
∆
ABC => CA’.CA = BA.BC
=> CA’ =
CA
BCBA.
Thay vµo (*) ®îc:
AB.AC + AB.

AC
AB
2
= BC.
CA
BCBA.
<=> AC +
AC
AB
2
=
CA
BC
2
<=> AC
2
+ AB
2
= BC
2
C¸ch 9.
C
B'
'
A'
'
C'
'
C
C

B
B
A
Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go
C
c
c
a
a
b
b
a-c
c
a
a
A
A
B
B
E
E
D
D
C
Vẽ đờng tròn ( B; a ). Gọi DE là đờng kính qua B.
Ta có : AE = a c ; BD = BC = a; AD = a + c
Tam giác CDE vuông ở C => AC
2
= AD.AE
<=> b

2
= ( a + c ).( a c )
<=> b
2
= a
2
c
2
<=> b
2
+ c
2
= a
2
Cách 10.
C
A
A
C
C
D
D
B

Kẻ đờng thẳng qua B vuông góc với BC cắt AC ở D.
Ta có: S
ABD
+ S
ABC
= S

BDC
AB.AD + AB.AC = BD.BC ( * )
Do AB
2
= AD.AC => AD = AB
2
/AC


ABD và

BDC đồng dạng => AB.DC = BD.BC => BD = AB.DC/BC
Thay vào (*) ta đợc: AB. (AB
2
/AC) + AB.AC = BC. (AB.DC/BC)
<=> AB
2
/AC + AC = DC
<=> AB
2
+ AC
2
= DC.AC = BC
2
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C¸ch 11.
C
c
c
a

a
b
b
b
b
a
a
c
c
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
A
Dùng tam gi¸c EDF = tam gi¸c ABC ( h×nh vÏ )
Ta cã:
∆
CAF ~
∆
DEF =>
c
b
c
bb

DE
EFCA
AF
EF
AF
DE
CA
2

==== >=
=> BF = BA + AF = c +
c
b
2
S
BDF
=
2
.
2
. BFDEDFBC
=
<=> a.a = c.( c +
c
b
2
)
<=> a
2
= c

2
+ b
2
C¸ch 12.
C
c
c
b
b
b
b
a
a
b
b
E
E
D
D
C
C
B
B
A
Trªn BC lÊy D, E sao cho: CD = CE = CA = b
=>
∆
ADE vu«ng ë A ( v× cã AC = DE/2, CD = CE )
Ta cã:
∆

BAD ~
∆
BEA ( g.g )
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
(V× cã gãc B chung, vµ gãc BAD = gãc EAC = E)

222
222
)).((
abc
bababac
c
ba
ba
c
BA
BD
BE
BA
=+<= >
−=−+== >
−
=
+
<= >=
C¸ch 13.
C
c
c
b

b
a
a
c
c
b
b
G
G
E
E
F
F
D
D
C
C
B
B
A
VÏ ®êng trßn (C;b) c¾t BC ë D, E
VÏ ®êng trßn (B;c) c¾t BC ë G, F
Ta cã: BA lµ tiÕp tuyÕn, BDE lµ c¸t tuyÕn víi ®êng trßn (C)
=> BA
2
= BD.BE
<=> c
2
= ( a – b ).( a + b ) = a
2

– b
2
<=> c
2
+ b
2
= a
2
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C¸ch 14.
C
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
I
I
a
a
c-r
r
b-r
r
b-r

r
c-r
r
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
A
Gäi (I;r) lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c canh
AB, BC, CA t¹i D, E, F.
DÔ c/m ADIF lµ h×nh vu«ng => AD = AF = r
Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: BD = BE = c – r
CE = CF = b – r
=> BC = a = c – r + b – r = c + b – 2r
=> 2r = b + c – a => r = p – a ( p lµ nöa chu vi tam gi¸c ABC )
=> S
ABC
= p.r = p.(p – a)
MÆt kh¸c: S
ABC
= 1/2.b.c
=> p.(p – a ) = 1/2.bc
<=>
22

.
2
bcacbcba
=
−+++
<=> ( b + c )
2
– a
2
= 2bc
<=> b
2
+ c
2
= a
2
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C¸ch 15.
C
E
E
F
F
D
D
C
C
B
B
A

Trªn AC lÊy F sao cho CF = CB
Gäi D, E lµ trung ®iÓm cña BF, AF => CD
⊥
BF, DE
⊥
AF
∆
BFA ~
∆
CD2E ( g.g)
=>
(*) AFCEDEAB
DE
AF
CE
AB
=<= >=
Ta cã: AF = CF – AC = CB – CA
CE = CA + AE = AC + AF/2 = AC +
22
BCACCACB +
=
−
DE = AB/2 ( t/c ®êng trung b×nh )
Thay vµo (*) ta ®îc:
222
222
).(
2
)(

2
.
BCACAB
ACB CAB
ACBC
BCACABAB
=+<= >
−=<= >
−
+
=
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C¸ch 16.
C
b
b
c
c
a
a
b
b
b
b
b
b
H
H
D
D

L
L
E
E
C
C
B
B
A
VÏ ®êng trßn ( A; b ) c¾t AB ë D; H, c¾t BC ë E.
KÎ AL
⊥
EC
Cã: BD.BH = BE.BC  ( c – b ).(c + b ) = a.( a – 2 CL ) (*)
Mµ AC
2
= CL.CB => CL = AC
2
/BC = b
2
/a. Thay vµo (*) ®îc:
c
2
– b
2
= a.( a – 2.b
2
/a ) = a
2
– 2b

2
<=> c
2
+ b
2
= a
2
C¸ch 17.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C
c
c
b
b
a
a
a
a c
c
c-b
b
a
a
c-b
b
b
b
K
K
F

F
E
E
C
C
B
B
A
Dùng tam gi¸c vu«ng AEK = tam gi¸c ABC nh h×nh vÏ.
Dùng h×nh b×nh hµnh BKEF => BK = EF = c – b; BF = EK = a
Vµ S
BKEF
= BK.AE = c.( c – b )
Ta cã:
0
90
ˆˆˆˆˆ
=+=+= EKAAEKFBAABCFBC
S
BCEF
= S
ABC
+ S
AKE
+ S
BKEF
= b.c + c.( c – b ) (1)
MÆt kh¸c: S
BCEF
= S

BCF
+ S
CEF
= a
2
/2 + (c – b ).( c + b ) /2 (2)
Tõ (1) vµ (2) => b.c + c.( c – b ) = a
2
/2 + (c – b ).( c + b ) /2
<=> b.c + c
2
– b.c =
22
222
bca −
+
<=> 2.c
2
= a
2
+ c
2
– b
2
<=> c
2
+ b
2
= a
2

C¸ch 18.
Chuyờn 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go
C
a
a
c
c b
b
R
R
N
N
M
M
Q
Q
P
P
M
M
C
C
B
B
A
Dựng các hình vuông ABNP; ACMQ

ABC =

APQ ( c.g.c) => PQ = BC = a

Gọi M là trung điểm BC; MA cắt PQ ở R
Dễ c/m MA

PQ tại R
Do khoảng cách từ M đến AP = AB/2 = c/2
=> S
AMP
= 1/2.c.c/2 = c
2
/4
Mặt khác: S
AMP
= 1/2.AM.PR = PR.a/4
Tơng tự: S
AMQ
= b
2
/4 và S
AMQ
= QR.a/4
=>
222
222
44
).(
4
.
4
.
44

abc
aQRPRaaQRaPRbc
=+= >
=
+
=+=+
Cách 19.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C
O
O
J
J
K
K
I
I
G
G
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
A

Dùng c¸c h×nh vu«ng ABGF, ACDE, BCIJ.
Dùng tam gi¸c vu«ng KIJ = tam gi¸c vu«ng ABC ( h×nh vÏ )
DÔ c/m G, A, D th¼ng hµng vµ GA lµ ph©n gi¸c gãc G
A, O, K th¼ng hµng vµ AK lµ ph©n gi¸c gãc A
C¸c h×nh ABIK, ACJK, BGDC, FGDE cã diÖn tÝch b»ng nhau (1)
Ta cã: S
ABC
= S
KJI
= S
AFE
= S (2)
Tõ (1) vµ (2) => S
ABIK
+ S
ACJK
= S
BGDC
+ S
FGDE

<=> S
BCJI
+ 2.S = S
ABGF
+ S
ACDE
+ 2.S
<=> BC
2

= AB
2
+ AC
2

C¸ch 20.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
C
M
M
K
K
L
L
D
D
B
B
K
K
H
H
A
A
C
C
F
F
G
Dùng c¸c h×nh vu«ng ABKH, ACFG, BCKD

=>
∆
CBF =
∆
CKA ( c.g.c)
KÎ AM vu«ng gãc víi BC c¾t DK t¹i L
Ta cã: S
CBF
= 1/2. S
ACFG
( chung c¹nh CF vµ chung ®êng cao)
S
CKA
= 1/2. S
CKLM
( chung c¹nh CK vµ chung ®êng cao )
=> S
CKLM
= S
ACFG
(1)
T¬ng tù: S
ABKH
= S
BDLM
(2)
Tõ (1) vµ (2) => S
ACFG
+ S
ABKH

= S
CKLM
+ S
BDLM
= S
BCKD
<=> AC
2
+ AB
2
= BC
2
.
C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”
Trên đây là 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go, ngoài ra còn nhiều cách
khác mong các đồng nghiệp bổ sung để chuyên đề được phong phú hơn nữa.
- Phạm vi chuyên đề được áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh từ khối
lớp 7 – 9, các em có thể nghiên cứu và tìm thêm các cách chứng minh khác.
- Ngoài ra các đồng nghiệp cũng có thể nghiên cứu và bổ sung thêm cho
chuyên đề được hoàn chỉnh hơn.
• Kiến nghị:
- Phòng giáo dục cần thường xuyên tổ chức viết chuyên đề trong toàn huyện
để kích thích phong trào dạy học trong tất cả giáo viên bộ môn.
- Trường sở tại cần tạo điều kiện để giáo viên ai cũng viết chuyên đề, và
cũng cần phải triển khai tất cả các chuyên đề đến học sinh.