Một số cách chứng minh định lý Pitago

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 1
Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge
Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago
của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của
môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa,
trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách
chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của
Loomis.
Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần
“Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất
bản hàng ngày, và tác giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng
công cụ custom)
2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :
+ Chọn đoạn HA và điểm A
+ Chọn menu Transform --> Rotate --> degrees =180
3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ
điểm giao K của 2 đường này.
( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)
4. Vẽ hình vuông A’KLM.
(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)
5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.
6. Làm ẩn đi đường BK.
7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.
8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông
BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh
b
có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )
+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J
+ Chọn menu Transform --> Mark vector

+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE
+ Chọn vào Menu Transform --> Translate.
9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a
2
+ b
2
. Sử dụng công cụ Translator để di
chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong hình
vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a
2
+ b
2
trên cạnh b.
Chú ý:
- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau
nữa không.?
- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên
dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.
- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì
hình vuông A’KLM biến mất.
- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện
tích trên cạnh b.Êch
cach2: Chứng minh của Ann Condit
Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann
Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường
trung học ở miền nam Ấn Độ.
Dựng hình và kiểm tra
1. Dựng đoạn thẳng AB.
2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này
3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam
giác vuông ABC vuông tại C.
5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.
6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình
vuông.
7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.
8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và
đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.
9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và
DBK.
Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các
hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các
cạnh tam giác vuông.
Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình
vuông tương ứng.
10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính
AB.
Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và
tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).
Nhận xét:
Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam
giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên
hệ từ các diện tích này Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý
Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.
1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều
bằng bán kính đườn tròn.
2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.
3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.
4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?
5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường
Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 2
Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ sư, và là
một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục hưng. Ông nổi
tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác giả của bức họa nổi
tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín nhiệm trong cách chứng
minh định lý Pitago dưới đây.
Dựng hình và kiểm tra
1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của
nó. (Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).
2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác
vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.
3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn
thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường
nét đứt trên hình bên).
4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.
5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối
xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng
này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu
này.
Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.
6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban
đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).
7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180
o
quanh điểm D .
Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa
giác ban dầu.
8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần hình tạo được do

xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa. Đặt tên cho nút này là Hide
Rotation (xem hình bên dưới).
9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận
thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c
10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác
vuông liền kề nó.
11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2
tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên
là Hide c Squared.
Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng
minh định lý của Leonardo da Vinci:
+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường