Mối liên hệ giữa tích phân đường tích phân mặt tích phân bội

MỤC LỤC
MỞ ðẦU 0
1. Lí do chọn ñề tài khoá luận 2
2. Mục tiêu khoá luận 2
3. Nhiêm vụ nghiên cứu 3
4. Phương pháp nghiên cứu 3
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
6. Ý nghĩa khoa học 3
7. Bố cục của khóa luận 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 5
1.1. Tích phân bội 5
1.1.1. Tích phân hai lớp 5
1.1.2. Tích phân ba lớp 11
1.2. Tích phân ñường 18
1.2.1. Tích phân ñường loại một 18
1.2.2. Tích phân ñường loại hai 19
1.3. Tích phân mặt 21
1.3.1. Tích phân mặt loại một 21
1.3.2. Tích phân mặt loại hai 22
CHƯƠNG 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN BỘI - TÍCH PHÂN
ðƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT 26
2.1. Mối liên hệ giữa tích phân bội và tích phân ñường 26
2.1.1. Công thức Green 26
2.1.2. Ví dụ minh hoạ 28


2.2. Mối liên hệ giữa tích phân ñường và tích phân mặt
2.2.1. Công thức Stokes 35
2.2.2. Một số ví dụ minh hoạ 38
2.3. Mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội 42
2.3.1. Công thức Ostrogradski 42

2.3.2. Ví dụ minh hoạ 43
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 46
3.1. Bài tập có lời giải 46
3.2. Bài tập ñề nghị 55
KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 62













MỞ ðẦU
1. Lí do chọn ñề tài khoá luận
Tích phân là một khái niệm toán học mà cùng với nghịch ñảo của nó
(vi phân) ñóng vai trò là hai phép tính cơ bản và chủ chốt trong giải tích. Các
khái niệm tích phân bội ñều dựa trên sơ ñồ vi phân (tính yếu tố vi phân rồi lấy
tổng). Tích phân ñường và tích phân mặt là sự mở rộng của tích phân bội trên
hai phương diện: lấy tích phân trên các cung cong thay cho trên ñoạn thẳng,
tính tích phân trên mặt cong thay cho trên miền phẳng. Chính vì thế, ý nghĩa
thực tế của tích phân ñường và tích phân mặt là rất lớn. Hầu hết các bài toán
kỹ thuật liên quan ñến trường vectơ ñều liên quan ñến tích phân ñường và tích
phân mặt như: tính công của lực, tính thông lượng của trường …

Tuy nhiên, trong quá trình học thì không ít sinh viên gặp khó khăn
trong việc tính các tích phân này. Do ñó, việc ñưa các tích phân này về các
tích phân ñơn giản hơn và tìm hiểu mối liên hệ giữa chúng ñã ñược các nhà
toán học như Sofia Kovalevskaia (1850 – 1891) - nhà nữ toán học người Nga
và Georiel Gabriel Stokes (1819 – 1903) - nhà toán học người Ireland quan
tâm; và nó ñược thể hiện rõ nét ở ba ñịnh lí: ðịnh lí Green, ñịnh lí Stokes và
ñịnh lí Ostrogradski.
Với lí do trên và với sự ñam mê nghiên cứu giải tích cổ ñiển của bản
thân, em ñã quyết ñịnh nghiên cứu “Mối liên hệ giữa tích phân ñường – tích
phân mặt – tích phân bội” ñể làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục tiêu khoá luận
Làm rõ mối quan hệ giữa ba loại tích phân là tích phân bội, tích phân
ñường, tích phân mặt thông qua việc phân tích, hệ thống ví dụ minh hoạ và hệ
thống bài tập áp dụng.


3. Nhiêm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về tích phân như tích phân bội, tích
phân ñường, tích phân mặt.
- Nghiên cứu mối liên hệ giữa ba loại tích phân là tích phân bội, tích
phân ñường, tích phân mặt.
- ðưa ra hệ thống ví dụ và bài tập ñể làm rõ mối liên hệ tích phân bội,
tích phân ñường, tích phân mặt.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình
có liên quan ñến tích phân ñường, tích phân mặt, tích phân bội, ñịnh lý, công
thức Green, Ostrogradski và Stokes và áp dụng vào một số ví dụ cụ thể.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu lý luận, tác giả
hệ thống lại các kiến thức ñã nghiên cứu.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

ðối tượng nghiên cứu: Tích phân ñường, tích phân mặt, tích phân bội
Phạm vi nghiên cứu: Mối liên hệ thống giữa ba loại tích phân là tích
phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt.
6. Ý nghĩa khoa học
Khóa luận ñược hoàn thành có thể là tài liệu tham khảo tốt cho giảng
viên và sinh viên ngành Toán, ñặc biệt là sinh viên năm thứ 2 ñại học.



7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia
thành 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Mối liên hệ giữa tích phân bội – tích phân ñường – tích phân mặt
Chương 3: Bài tập áp dụng








CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương 1, khoá luận trình bày các kiến thức cơ sở liên quan về
tích phân bội, tích phân ñường, tích phân mặt: ðịnh nghĩa, cách tính, … Các
kiến thức trong chương này ñược trích từ các tài liệu. [1], [3]
1.1. Tích phân bội
1.1.1. Tích phân hai lớp
a) ðịnh nghĩa

Cho hàm số
(
)
z f x, y
=
, xác ñịnh trên D là miền giới nội, có diện tích.
Chia D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau (không giao nhau, phần chung
chỉ có thể là phần biên của mỗi mảnh). Gọi các mảnh nhỏ ñó là
(
)
1
S
∆
,…,
(
)
n
S
∆
và diệ
n tích t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a chúng là
1
S
∆

,…,
n
S
∆
.
Trên m
ỗ
i m
ả
nh
(
)
i
S
∆
l
ấ
y
ñ
i
ể
m
i
M
tu
ỳ
ý:
(
)
(

)
i i i i
M x ,y S
∈ ∆
.
L
ậ
p t
ổ
ng
( )
n
n i i i
i 1
I f x ,y S
=
= ∆
∑

(
)
1.1

g
ọi là tổng tích phân của hàm
(
)
f x,y
trên miề
n D

ứ
ng v
ớ
i phép chia mi
ề
n D
và cách ch
ọ
n các
ñ
i
ể
m
i
M
nh
ư

ñ
ã nêu.
G
ọ
i
i
d
là
ñườ
ng kính c
ủ
a m

ả
nh
(
)
i
S
∆
:

(
)
(
)
{
}
i i i
d d S Sup MN : M,N S .
= ∆ = ∈ ∆

N
ế
u khi
n
→ ∞
sao cho
(
)
i
Max d 0
→

,
n
I
d
ầ
n
ñế
n gi
ớ
i h
ạ
n h
ữ
u h
ạ
n I,
không ph
ụ
thu
ộ
c vào cách chia mi
ề
n D và cách ch
ọ
n các
ñ
i
ể
m
i

M
trên
(
)
i
S
∆

thì ta nói:


- Hàm
(
)
f x,y
khả tích
trên D;
- I
ñược gọi là tích phân hai lớp của hàm
(
)
f x, y
trên D, kí hiệu là
(
)
f x, y dxdy
D
∫∫
;
- D là miền lấy tích phân;

(
)
f x,y
là hàm dưới dấu tích phân.
b) Cách tính tích phân hai lớp trong toạ ñộ Descates
ðịnh lý 1.1. (Phubini) trên hình chữ nhật
Giả sử
f:
→
ℝ ℝ
là một hàm khả tích trên hình chữ nhật ñóng
[
]
[
]
= a, b x c, d
ℝ
.
a) Nế
u v
ớ
i m
ỗ
i
[
]
x a, b
∈
, hàm s
ố

(
)
y f x, y
֏
kh
ả
tích trên
[
]
c, d
thì hàm s
ố

[ ]
( )
d
c
φ x f x, y dy
=
∫
kh
ả
tích trên
[
]
a, b
và
( ) ( )
b

a
f x, y dxdy
φ x dx
=
∫∫ ∫
ℝ
t
ứ
c là
( ) ( )
b d
a c
f x, y dxdy f x, y dy dx
 
=
 
 
∫∫ ∫ ∫
ℝ
(1.2)
b) N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
[
]
y c, d

∈
, hàm
(
)
x f x, y
֏
kh
ả
tích trên
[
]
a, b
thì hàm s
ố

[ ]
( )
v
a
φ y f x, y dx
=
∫
kh
ả
tích trên
[
]
c, d

và

( ) ( )
d b
c a
f x, y dxdy f x, y dx dy
 
=
 
 
∫∫ ∫ ∫
ℝ
(1.3)
ðặc biệt nếu f là một hàm số lien tục trên
ℝ
thì ta có ñồng thời hai
ñẳng thức (1.2) và (1.3).


(Tích phân
{
}
[
]
[
]
n i i i -1 i i -1 i
π x y x , x y , y , n = 1, 2
= ∆ × ∆ = ×

( )
b d

a c
f x, y dy dx
 
 
 
∫ ∫
th
ườ
ng
ñượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
( )
b d
a c
dx f x, y dy
∫ ∫
và g
ọ
i là tích
phân l
ặ
p).
Chứng minh:
a) Giả sử

{
}
'
n
π
là một dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch
[
]
a, b
,

n
'
n 0 1 p
π : a = x x x b.
< < < =

Lấy các ñiểm bất kỳ
[
]
i i -1 i
ξ x , x
∈
và lập tổng tích phân

( )
( )
n
n
p

'
i n 1 p i i
i =1
ξ =σ φ, π , ξ , , ξ φ ξ x
= ∆
∑

Ta chứng minh

(
)
n
n
lim
σ f x, y dxdy
→∞
=
∫∫
ℝ

Gọi
{
}
''
n
π
là một dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch ñoạn
[
]
c, d

.

n
''
n 0 1 q
π
:c = y y y d.
< < < =

Khi
ñ
ó
{
}
[
]
[
]
n i i i -1 i i -1 i n
π x y x , x y , y , i = 1, , q
= ∆ × ∆ = ×
,
n
j = 1, , q
,
n = 1, 2
là một dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch hình chữ
nhật
ℝ
. ðặt

( )
(
)
i j
ij
x,y ∆x ×∆y
m =inf f x,y
∈
,
( )
(
)
i j
ij
x,y ∆x ×∆y
M =supf x,y
∈
, ta có
(
)
ij ij
m f x, y M
≤ ≤
với
m
ọi
(
)
i j
x, y x y

∈∆ × ∆
. ðặc biệt
(
)
ij i ij
m f
ξ
, y M
≤ ≤
với mọi
j
y y
∈∆
.


Do ñó
( )
j
j -1
y
ij j i ij j
y
m y f
ξ , y dy M y
∆ ≤ ≤ ∆
∫
, tức là
( )
n n

d
q q
ij j i ij j
j=1 j=1
c
m y f
ξ , y dy M y
∆ ≤ ≤ ∆
∑ ∑
∫
,
n
i =1, , p
.
Từ ñó
( )
n n n n n
p q p p q
ij i j i ij i j
i=1 j=1 i=1 i=1 j=1
m x y
φ ξ
x M x y
∆ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ∆
∑∑ ∑ ∑∑
, tức là
(
)
(
)

n n n
s f,
π σ S f, π
≤ ≤
với mọi n,
(
)
n
s f,
π
và
(
)
n
S f,
π
là các tổng ðácbu của
hàm số f ứng với phép phân hoạch
n
π
hình chữ nhật
ℝ
.
Vì f khả tích trên
ℝ
nên
(
)
(
)

(
)
n n
n n
lims f,
π = limS f, π f x, y dxdy
→∞ →∞
=
∫∫
ℝ
.
Do ñó
(
)
n
n
lim
σ f x, y dxdy
→∞
=
∫∫
ℝ
.
b) Chứng minh tương tự
* Miền lấy tích phân có dạng hình chữ nhật

ðịnh lý 1.2. Cho D là hình chữ nhật:

(
)

{
}
D= x,y : a x b,c y d
≤ ≤ ≤ ≤

và giả sử
(
)
f x,y
là hàm liên tụ
c trên D. Khi
ñ
ó tích phân
( )
d
c
f x,y dy
∫
xác
ñị
nh v
ớ
i m
ọ
i
[
]
x a,b
∈
và

( ) ( )
b d
D a c
f x,y dxdy f x,y dy dx
 
=
 
 
∫∫ ∫ ∫
.
Công th
ứ
c trên cho phép tính tích phân hai l
ớ
p (c
ủ
a hàm hai bi
ế
n)
ở
v
ế

trái thông qua
tích phân lặp
(hai l
ầ
n tính tích phân, l
ầ
n

ñầ
u theo bi
ế
n y, l
ầ
n
sau theo bi
ế
n x)
ở
v
ế
ph
ả
i.
ðể
cho g
ọ
n ng
ườ
i ta còn hay vi
ế
t v
ế
ph
ả
i là


( )

b d
a c
dx f x,y dy
∫ ∫
(có tài liệu viết
( )
b d
a c
f x,y dydx
∫∫
), công thức ñược viết lại dưới
dạng

( ) ( )
b d
D a c
f x,y dxdy dx f x, y dy
=
∫∫ ∫ ∫
(1.4)
Tương tự ñổi vai trò của hai biến, ta thu ñược:

( ) ( )
d b
D c a
f x,y dxdy dy f x,y dx
=
∫∫ ∫ ∫
(1.5)
Trường hợp khi hàm

(
)
f x,y
là tích của hai hàm liên tục, một hàm chỉ
phụ thuộc vào biến x, một hàm chỉ phụ thuộc vào biến y:
(
)
(
)
(
)
f x,y h x .k y
=
. Theo ñị
nh lý 1.2 ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
b d b d
D a c a c
h x .k y dxdy dx h x .k y dy h x dx . k y dy
   
= =
   
   
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

*
Miền lấy tích phân có dạng bất kỳ
- Nếu D là hình thang cong có ñáy song song với trục Oy:

(
)
(
)
(
)
{
}
1 2
D= x, y : a x b,y x y y x
≤ ≤ ≤ ≤ , các hàm
(
)
1
y x
,
(
)
2
y x
liên t
ụ
c trên
[
]
a,b
, hàm
(
)
f x,y

liên t
ụ
c trên D, thì
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
y x y x
b b
D a y x a y x
f x, y dxdy dx f x, y dy f x, y dy dx
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(1.6)
- Nếu D là hình thang cong có ñáy song song với trục Ox:
(
)
(
)
(
)
{
}

1 2
D= x, y : c y d,x y x x y
≤ ≤ ≤ ≤
, các hàm
(
)
1
x y
,
(
)
2
x y
liên tục trên


[
]
a,b
, hàm
(
)
f x,y
liên tụ
c trên D, thì
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )

2 2
1 1
x y x y
d d
D c x y c x y
f x, y dxdy dy f x, y dx f x, y dx dy
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(1.7)
c) Phép ñổi biến số trong tích phân hai lớp
* Công thức ñổi biến tổng quát

ðể tính tích phân
(
)
D
I f x, y dxdy
=
∫∫
, nhiều khi ta dùng phép ñổi biến

(
)
( )
( )
'

x x u, v
u, v D
y y u, v
=

∈

=


(1.8)
Ph
ả
i tho
ả
mãn các gi
ả
i thi
ế
t sau:
-
(
)
x u, v
,
(
)
y u, v
là các hàm liên t
ụ

c, có các
ñạ
o hàm riêng liên t
ụ
c
trong mi
ề
n
ñ
óng, gi
ớ
i n
ộ
i
'
D Oxy
⊂
(
'
D
có di
ệ
n tích);
- (1.8) xác
ñị
nh m
ộ
t song ánh (
ñơ
n ánh) t

ừ

'
D D Oxy
→ ⊂ ;
-
ðị
nh th
ứ
c Jacobi
(
)
( )
( )
' '
u v
'
' '
u v
x x
D x,y
J det 0, u,v D
D u,v
y y
 
= = ≠ ∀ ∈
 
 
 

(có th
ể
tr
ừ
ra t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n
ñườ
ng). Khi
ñ
ó
(
)
(
)
(
)
(
)
'
D
D

f x, y dxdy f x u, v ,y u, v J dudv
=
∫∫ ∫∫
. (1.9)
*
Công thức ñổi biến trong toạ ñộ cực
Xét
ñổ
i bi
ế
n to
ạ

ñộ
c
ự
c
x rcos
θ
y rsin
θ
=


=




ðịnh thức Jacobi của phép biến ñổi là

(
)
( )
' '
r
θ
' '
r
θ
x x
cosθ -rsinθ
D x, y
J det r 0
sinθ rcosθ
D r, θ
y y
 
= = = = ≠
 
 
 
(trừ ra tại O(0, 0))
Theo (1.7), dù miền D có chứa gốc O(0, 0) hay không, ta luôn có

(
)
(
)
'

D
D
f x, y dxdy f rcos
θ, rsinθ rdrdθ
=
∫∫ ∫∫
(1.10)
ðặc biệt, nếu miền D có dạng hình quạt ta nhận ñược
(
)
(
)
{
}
'
1 2
D
α θ β, r θ r r θ
= ≤ ≤ ≤ ≤
và

( ) ( )
( )
(
)
2
1
r θ
β
D α r θ

f x, y dxdy d
θ f rcosθ, rsinθ rdr
=
∫∫ ∫ ∫
(1.11)
1.1.2. Tích phân ba lớp
a) ðịnh nghĩa
Cho hàm số
(
)
(
)
3
u f x, y, z , x, y, z V= ∈ ⊂
ℝ
, trong ñó V là miền giới
nội, có thể tích.
Chia V thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau (phần chung của hai
mảnh chỉ có thể là một phần biên của mỗi mảnh). Gọi các mảnh nhỏ ñó là
(
)
(
)
1 n
V , , V
∆ ∆
và thể tích tương ứng của chúng là
1 n
V , , V
∆ ∆

.
Trên mỗi mảnh
(
)
i
V
∆
lấ
y
ñ
i
ể
m
i
M
tu
ỳ
ý:
(
)
(
)
i i i i i
M x ,y ,z V
∈ ∆
.
L
ậ
p t
ổ

ng
( )
n
n i i i i
i =1
I f x , y ,z V
= ∆
∑
(1.12)


và g
ọ
i là t
ổ
ng tích phân c
ủ
a hàm
(
)
f x,y,z
trên mi
ề
n V
ứ
ng v
ớ
i phép chia
mi
ề

n V và cách ch
ọ
n các
ñ
i
ể
m
i
M
nh
ư

ñ
ã nêu.
G
ọ
i
i
d
là
ñường kính của mảnh
(
)
i
V
∆
:

(
)

{
}
i i i
d d V Sup MN: M, N V
= ∆ = ∈∆

Nế
u khi
n
→ ∞
sao cho
(
)
1 n
Max d , ,d 0
→
,
n
I
d
ầ
n
ñế
n gi
ớ
i h
ạ
n I h
ữ
u

h
ạ
n, không ph
ụ
thu
ộ
c vào cách chia mi
ề
n V và cách ch
ọ
n các
ñ
i
ể
m
i
M
trên
(
)
i
V
∆
thì ta nói:
- Hàm
(
)
f x, y, z

khả tích

trên V;
- I
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân bội ba
c
ủ
a hàm
(
)
f x, y, z
trên V, kí hi
ệ
u là

(
)
V
f x, y, z dxdydz
∫∫∫
(hay
V
fdxdydz
∫∫∫
, hay
(
)
V

f x, y, z dV
∫∫∫
…);
- V
là miền lấy tích phân;

(
)
f x, y, z

là hàm dưới dấu tích phân.
b) Cách tính tích phân ba lớp trong toạ ñộ Descates
* Miền lấy tích phân là hình hộp

Nếu V là hình hộp
(
)
{
}
x, y, z : a x b, c y d, e z f
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
và
(
)
f x, y, z

là hàm liên tục trên V, thì rất giống trường hợp tích phân hai lớp, ta có:

( ) ( )
b d f

V a c e
f x, y, z dV dx dy f x, y, z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫

với lưu ý rằng, tích phân lặp ở vế phải luôn tồn tại. Tất nhiên ta có thể ñổi
sang một thứ tự khác của các biến lấy tích phân một cách tuỳ ý.


* Miền lấy tích phân có dạng hình trụ cong

Xét trường hợp

(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
1 2
V x, y, z : x, y D , z x, y z z x, y
= ∈ ⊂ ≤ ≤
ℝ

Trong ñó V là hình trụ cong có các ñường sinh song song với trục Oz,

mặt dưới
(
)
1
S
và mặt trên
(
)
2
S
cho bởi phương trình tương ứng

(
)
(
)
1 1
S : z z x, y ;
=

(
)
(
)
2 2
S : z z x, y ;
=

(
)

x, y D Oxy
∈ ⊂

trong
ñ
ó
(
)
1
z x, y
,
(
)
2
z x, y
là các hàm liên t
ụ
c trên mi
ề
n D
ñ
óng, gi
ớ
i n
ộ
i và
(
)
(
)

1 2
z x, y z x, y
≤
. N
ế
u
(
)
f x, y, z
là hàm liên t
ụ
c trên V thì

( ) ( )
( )
( )
2
1
z x, y
V D z x, y
I f x, y, z dxdydz f x, y, z dz dxdy
 
 = =
 
 
∫∫∫ ∫∫ ∫
(1.13)
Nếu miền D là hình thang cong có ñáy song song với trục Oy

(

)
(
)
(
)
{
}
1 2
D x, y : a x b, y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤ trong ñó
(
)
1
y x
,
(
)
2
y x

là nh
ữ
ng hàm liên t
ụ
c thì

( ) ( )
( )
(
)

( )
(
)
2 2
1 1
y x z x, y
b
V a y x z x, y
I f x, y, z dxdydz dx dy f x, y, z dz
= =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
(1.14)
*
Tính tích phân theo thiết diện

Gi
ả
s
ử
v
ậ
t th
ể
V
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b

ở
i các m
ặ
t
x a
=
,
x b
=
(a < b) và m
ặ
t
cong S sao cho m
ỗ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i tr
ụ
c Ox và c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i
ñ

i
ể
m
N(x, 0, 0)
(
)
a x b
≤ ≤

s
ẽ
c
ắ
t v
ậ
t th
ể
theo thi
ế
t di
ệ
n T(x) v
ớ
i di
ệ
n tích dt(T(x))


là hàm liên tục theo x trên
[

]
a, b
. ðặt
(
)
(
)
(
)
{
}
S x y, z : x, y, z V
= ∈ . Nếu
(
)
f x, y, z
bị chặn và liên tục từng mẩu trên V thì

( ) ( )
( )
b
V a S x
f x, y, z dxdydz dx f x, y, z dydz
=
∫∫∫ ∫ ∫∫
. (1.15)
c) Phép ñổi biến số trong tích phân ba lớp
* Công thức ñổi biến tổng quát
Giống như tích phân hai lớp, ñể tính tích phân ba lớp
(

)
V
f x, y, z dxdydz
∫∫∫
, ta có thể dùng ñổi biến

(
)
( )
( )
( )
' 3
x x u, v, w
y y u, v, w u, v, w V
z z u, v, w
=

= ∈ ⊂


=

ℝ
(1.16)
và thảo mãn các giả thiết sau:
- Các hàm
(
)
x u, v, w
,

(
)
y u, v, w
,
(
)
z u, v, w
liên tục, có các ñạo hàm
riêng liên tục trong miền ñóng
'
V Oxyz
⊂ (
'
V
có th
ể
tích);
- (1.16) xác
ñị
nh m
ộ
t song ánh (
ñơ
n ánh) t
ừ

'
V V Oxyz
→ ⊂
;

-
ðị
nh th
ứ
c Jacobi

( )
( )
( )
' ' '
u v w
' ' ' '
u v w
' ' '
u v w
x x x
D x, y, z
J det y y y 0 u, v, w V
D u, v, w
z z z
 
 
= = ≠ ∀ ∈
 
 
 
(1.17)
(có th
ể
tr

ừ
ra t
ạ
i m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n m
ặ
t). Khi
ñ
ó


(
)
( ) ( ) ( )
( )
'
V
V
f x, y, z dxdydz
f x u, v, w , y u, v, w , z u, v, w J dudvdw
=
=
∫∫∫

∫∫∫
(1.18)
*
Công thức ñổi biến trong toạ ñộ trụ
ðối với ñiểm M(x, y, z) trong hệ toạ ñộ Descates vuông góc Oxyz, toạ
ñộ trụ của nó là bộ ba số
(
)
r,
θ, z
, trong ñó
(
)
r,
θ
là toạ ñộ cực của hình chiếu
'
M
của M lên mặt phẳng Oxy.
Rõ ràng là
r 0, 0
θ 2π, - z
≥ ≤ < ∞ < < ∞

Mối liên hệ giữa toạ ñộ trụ và toạ ñộ Descates là

x rcos
θ
y rsin
θ

z z
=


=


=

(1.19)
Duy chỉ có các ñiểm trên trục Oz thì
r 0
=
,
θ
tuỳ ý, z xác ñịnh. Các
ñiểm khác có tương ứng 1 – 1 giữa hai loại toạ ñộ.
Ta có thể viết M(x, y, z) với ngụ ý rằng, ñiểm M có toạ ñộ Descates
(x, y, z); hoặc M
(
)
r,
θ, z
với ngụ ý rằng, ñiểm M có toạ ñộ trụ
(
)
r,
θ, z
.
Ngoài to

ạ ñộ trụ thông thường như vừa nêu, khi cần thiết, giống như
v
ới toạ ñộ cực, người ta có thể xét toạ ñộ trụ suy rộng, ở ñó r,
θ
có thể nhận
giá trị bất kỳ, kể cả giá trị âm, hay toạ ñộ trụ co giãn.

ðịnh thức Jacobi của phép ñổi biến (1.19) là



cosθ rsinθ 0
J det sin
θ rcosθ 0 r
0 0 1
−
 
 
= =
 
 
 

Như vậy,
J 0
≠
khi
r 0
≠
. Từ ñó áp dụng công thức ñổi biến (1.18) ta

nhận ñược công thức tích phân ba lớp trong toạ ñộ trụ

(
)
(
)
'
V
V
f x, y, z dxdydz f rcos
θ, rsinθ, z rdθdrdz
=
∫∫∫ ∫∫∫
(1.20)
Công thức còn ñúng khi miền V chứa những ñiểm trên trục Oz.
Khi miền V có dạng hình trụ cong và hình chiếu của nó lên mặt phẳng
Oxy có dạng hình quạt thì

( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2
1 1
r θ z rcosθ, rsinθ
β
V α r θ z rcosθ, rsinθ

f x, y, z dxdydz d
φ dr f rcosθ, rsinθ, z rdz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
* Công thức ñổi biến trong toạ ñộ cầu

- Toạ ñộ cầu: Cho ứng mỗi ñiểm M(x, y, z) trong hệ toạ ñộ Descates
vuông góc Oxyz với bộ ba số
(
)
r,
θ, φ
. Bộ ba số
(
)
r,
θ, φ
ñược gọi là toạ ñộ
c
ầu của ñiểm M. Nhận thấy rằng:
G
ốc toạ ñộ O ứng với
r 0
=
,
θ
và
φ
tuỳ ý.

Các ñiểm còn lại trên trục Oz có r xác ñịnh,
θ
tuỳ ý,
φ 0
=
hoặc
φ π
=
.
ðối với các ñiểm còn lại có tương ứng 1 – 1 giữa toạ ñộ cực và toạ ñộ cầu:

(
)
{
}
3
Oz r,
θ, φ : 0 < r, 0 θ 2π, 0 φ<π
− ↔ ≤ < ≤
ℝ

(C
ũng có thể chọn khoảng biến thiên của
θ
là
π θ π
− ≤ <
).
(x, y, z)
ñược biểu diễn qua

(
)
r,
θ, φ
theo công thức



x rcos
θsinφ
y rsin
θsinφ
z rcosφ
=


=


=

(1.21)
Khi không s
ợ nhầm lẫn, ta có thể viết M(x, y, z) với ngụ ý rằng ñiểm M
có toạ ñộ Descartes, hoặc M
(
)
r,
θ, φ
với ngụ ý rằng, ñiểm M có toạ ñộ cầu

(
)
r,
θ, φ
.

- ðổi biến số dùng toạ ñộ cầu: Dùng ñổi biến toạ ñộ cầu (1.21) ñể tính
tích phân ba lớp rất hiệu quả. ðịnh thức Jacobi của phép ñổi biến là

2
cosθsinφ rsinθsinφ rcosθcosφ
J det sin
θsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ r sinφ
cosφ 0 rsinφ
−
 
 
= = −
 
 
−
 
(1.22)
Áp dụng công thức ñổi biến tổng quát (1.18) ta nhận ñược
(
)
( )
'
V
2

V
I f x, y, z dxdydz
f rcos
θsinφ, rsinθsinφ, rcosφ r sinφdrdθdφ
= =
=
∫∫∫
∫∫∫
(1.23)
Công thức ñúng kể cả khi miền V có chứa những ñiểm trên trục Oz
Trong trường hợp miền cho bởi hình vẽ, ta có thể chuyển tích phân ở
vế phải (1.23) thành tích phân lặp như sau:

( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2
1 1 1
φ φ r θ, φ
θ
2
θ φ φ r θ, φ
I d
θ dφ f rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ r sinφdr
=

∫ ∫ ∫
(1.24)
- Toạ ñộ cầu co giãn: ðể tính tích phân ba lớp người ta cũng hay dùng
toạ ñộ cầu co giãn:



( )
x arcosθsinφ
y brsin
θsinφ a, b, c > 0
z crcosφ
=


=


=

(1.25)
Lưu ý rằng, khi ñó
2
J abcr sin
φ
=
, ta ñược:

(
)

'
2
V
I abc f rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ r sinφdrd
θdφ
=
∫∫∫
(1.26)
Cũng có thể sử dụng toạ ñộ cầu dịch chuyển, thậm chí là toạ ñộ cầu co
giãn dịch chuyển:

( )
0
0
0
x x arcosθsinφ
y y brsin
θsinφ a, b, c > 0
z z crcosφ
− =


− =


− =


Khi ñó
2

J abcr sin
φ
=
.
1.2. Tích phân ñường
1.2.1. Tích phân ñường loại một
a) ðịnh nghĩa
Cho hàm số
(
)
u f M
=
xác ñị
nh trên cung

L AB
=
là
ñườ
ng cong liên
t
ụ
c trong không gian, không t
ự
c
ắ
t, có
ñộ
dài. Chia


AB
thành n cung nh
ỏ
b
ở
i
các
ñ
i
ể
m chia liên ti
ế
p
0 1 n
A A, A , ,A B
= =
. G
ọ
i
ñộ
dài cung

i 1 i
A A
−
là
i
s
∆
.

Trên cung

i 1 i
A A
−
ch
ọ
n
ñ
i
ể
m
i
M
tu
ỳ
ý.
L
ậ
p t
ổ
ng
( )
n
n i i
i =1
I f M s
= ∆
∑
g

ọ
i là
một tổng tích phân.


Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
i
i=1, ,n
Max s 0
∆ →
mà tổng tích phân dần ñến giới
h
ạn hữu hạn I xác ñịnh, không phụ thuộc vào cách chia cung

AB
và cách
ch
ọn các ñiểm
i
M
thì:
- Gi
ới hạn I ñược gọi là tích phân ñường (loại một) của hàm
(
)
f M
trên

cung

AB
, và ký hiệu là
(
)

AB
f M ds
∫
(hay
(
)
L
f M ds
∫
,
(
)
L
f x, y, z ds
∫
,
L
fds
∫
,…).
- Hàm
(
)

f M
ñược gọi là khả tích trên cung

AB
.
b) Cách tính tích phân ñường loại một
Cho

AB
là cung trơn từng khúc và cho bởi phương trình tham số
(
)
x x t
=
,
(
)
y y t
=
,
(
)
z z t
=
,
a t b
≤ ≤
; f(x, y, z) là hàm liên tục trên cung

AB

. Khi ñó

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

b
'2 '2 '2
a
AB
f x, y, z ds f x t , y t , z t x t y t z t dt
= + +
∫ ∫
. (1.27)
Giả sử cung

AB
là ñồ thị của hàm số
(
)
y f x
=
,
a x b
≤ ≤
. Có thể ñưa
(
)
y f x
=

về
d
ạ
ng tham s
ố
b
ằ
ng cách
ñặ
t
(
)
y f x
=
,
x x
=
(tham s
ố
x:
a b
→
).
V
ậ
y

( ) ( )
( )
( )


b
'2
a
AB
f x, y ds f x, y x 1 y x dx
= +
∫ ∫
(1.28)
1.2.2. Tích phân ñường loại hai
a) ðịnh nghĩa


Trong mặt phẳng Oxy xét ñường cong ñịnh hướng

L AB
=
(chiều
ñường cong ñi từ A ñến B). Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñịnh trên cung

AB
. Lập hàm vectơ
(
)
(
)
F P x, y i Q x, y j
= +
  
. Chia cung


AB
thành n cung
nhỏ bởi các ñiểm chia liên tiếp
0 1 n
A A, A , ,A B
= =
.
Gọi hình chiếu lên các trục Ox, Oy của
i 1 i
A A
−

lần lượt là
i i
x , y
∆ ∆
.
Lấy ñiểm
i
M
tuỳ ý trên cung

i 1 i
A A
−
. Lập tổng

( ) ( ) ( )
n n

n i i 1 i i i i i
i=1 i=1
I F M .A A P M x Q M y
−
= = ∆ + ∆
 
 
∑ ∑
 
(1.29)
gọi là một tổng tích phân.
Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
i
i 1, ,n
Max x
=
∆
,
i
i 1, ,n
Max y 0
=
∆ →
mà tổng
n
I
dần ñến

gi
ới hạn I hữu hạn xác ñịnh, không phụ thuộc vào cách chia cung

AB
, cách
ch
ọn các ñiểm
i
M
thì:
- Gi
ới hạn I ñược gọi là tích phân ñường loại hai của các hàm P(x, y),
Q(x, y) trên cung

AB
và ký hiệu là
(
)
(
)

AB
P x, y dx+Q x, y dy
∫
hay

AB
Pdx +Qdy
∫
hay

L
Pdx +Qdy
∫
;
- Các hàm P(x, y), Q(x, y) ñược gọi là khả tích trên

AB
.
b) Cách tính tích phân ñường loại hai
* ðường cong cho dưới dạng tham số

Nếu ñường cong

L AB
= cho dưới dạng tham số:
(
)
x x t
=
,
(
)
y y t
=
,
a t b
≤ ≤
(
t a
=

ứ
ng v
ớ
i
ñ
i
ể
m
ñầ
u A,
t b
=

ứ
ng v
ớ
i
ñ
i
ể
m cu
ố
i B); các hàm


(
)
x t
,
(

)
y t
liên t
ụ
c, kh
ả
vi t
ừ
ng khúc; P(x, y), Q(x, y) là nh
ữ
ng hàm liên t
ụ
c
trên L thì


(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
L
b
' '
a
I P x, y dx +Q x, y dy=

P x t , y t x t Q x t , y t y t dt.
=
 
= +
 
∫
∫
(1.30)

*
ðường cong cho dưới dạng phương trình hiện
Giả sử L cho bởi phương trình
(
)
y y x
=
,
a x b
≤ ≤
, trong ñ
ó y(x) là
hàm liên t
ụ
c, kh
ả
vi t
ừ
ng khúc;
x a
=

ứ
ng v
ớ
i
ñ
i
ể
m
ñầ
u;
x b
=

ứ
ng v
ớ
i
ñ
i
ể
m
cu
ố
i c
ủ
a
ñườ
ng; P(x, y), Q(x, y) là nh
ữ

ng hàm liên t
ụ
c trên L. Nh
ư
v
ậ
y có th
ể

coi d
ạ
ng tham s
ố
c
ủ
a L là
(
)
y y x
=
,
x x
=
,
a x b
≤ ≤
, áp d
ụ
ng (1.30) ta
ñượ

c

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
b
'
L a
I P x, y dx +Q x, y dy P x, y x Q x, y x y x dx.
 
= = +
 
∫ ∫
(1.31)
1.3. Tích phân mặt
1.3.1. Tích phân mặt loại một
a) ðịnh nghĩa
Cho mặt cong S hữu hạn, có diện tích và hàm số
(
)
(
)
f M f x, y, z
=
xác
ñịnh trên S. Chia S thành n mảnh nhỏ, gọi các mảnh này là
(
)

1
S
∆
,…,
(
)
n
S
∆

và diệ
n tích c
ủ
a chúng l
ầ
n l
ượ
t là
1
S
∆
,…,
n
S
∆
.
Trên m
ả
nh
(

)
i
S
∆
l
ấ
y
ñ
i
ể
m
(
)
i i i i
M x , y , z
tu
ỳ
ý.
L
ậ
p t
ổ
ng
( )
n
n i i
i 1
I f M S
=
= ∆

∑
.


Gọi
i
d
là ñường kính của mảnh
(
)
i
S
∆
. Nế
u khi
n
→ ∞
sao cho
i
Max(d ) 0
→
mà các t
ổ
ng
n
I

ñề
u d
ầ

n
ñế
n m
ộ
t gi
ớ
i h
ạ
n I h
ữ
u h
ạ
n xác
ñị
nh
i 1, ,n
=
, không ph
ụ
thu
ộ
c vào cách chia m
ặ
t S c
ũ
ng nh
ư
cách ch
ọ
n các

ñ
i
ể
m
i
M
thì gi
ớ
i h
ạ
n
ñ
ó
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân mặt (loại một) của hàm
(
)
f x, y, z

trên S và ký hiệu là:

(
)
S
f x, y, z dS
∫∫
hay

(
)
S
f M dS
∫∫
hay
S
fdS
∫∫

Nếu mặt S kín thì ký hiệu là
(
)
S
f M dS
∫∫


b) Cách tính tích phân mặt loại một
Giả sử mặt S cho bởi phương trình
(
)
(
)
z z x, y , x, y D
= ∈
(
xy
D D
=

chính là hình chiế
u c
ủ
a m
ặ
t S xu
ố
ng m
ặ
t Oxy) sao cho hàm
(
)
z x, y
cùng các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p m
ộ
t
'
x
z
,
'
y
z
liên t
ụ

c trên D, D là mi
ề
n
ñ
óng, gi
ớ
i n
ộ
i, có
di
ệ
n tích. Khi
ñ
ó

( ) ( )
(
)
'2 '2
x y
S D
f x, y, z dS f x, y, z x, y 1 z z dxdy
= + +
∫∫ ∫∫
(1.32)
N
ế
u m
ặ
t cho d

ướ
i d
ạ
ng khác, ch
ẳ
ng h
ạ
n
(
)
y y z, x
=
hay
(
)
x x y, z
=
thì
ta c
ũ
ng có các công th
ứ
c t
ươ
ng t
ự
.
1.3.2. Tích phân mặt loại hai
a) ðịnh nghĩa
Trong miền không gian G xét hàm vectơ

(
)
(
)
(
)
(
)
F F M P M i Q M j R M k
= = + +
    
.


Trong G cho mặt ñịnh hướng S, ở ñó vectơ pháp tuyến ñơn vị tại ñiểm
M S
∈
là
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n n M cos

α M , cosβ M , cosγ M
= =
 
. Chia S thành n các
mảnh nhỏ
(
)
1
S
∆
,…,
(
)
n
S
∆
không dẫ
m lên nhau và g
ọ
i di
ệ
n tích t
ươ
ng
ứ
ng
c
ủ
a chúng là
1

S
∆
,…,
n
S
∆
. Trên m
ả
nh
(
)
i
S
∆
ch
ọ
n m
ộ
t
ñ
i
ể
m
i
M
tu
ỳ
ý. L
ậ
p

t
ổ
ng sau
ñ
ây, g
ọ
i là t
ổ
ng tích phân:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
n
n i i i
i=1
n
i i i i i i
i=1
I F M n M S
P M cos
α M Q M cosβ M Rcosγ M S
= ∆
= + + ∆
∑
∑
 

N
ế
u khi

n
→ ∞
sao cho
(
)
i
Max d 0
→
(
i
d
là
ñườ
ng kính c
ủ
a m
ả
nh
(
)
i
S
∆
) mà t
ổ
ng
n
I
d
ầ

n
ñế
n gi
ớ
i h
ạ
n I h
ữ
u h
ạ
n xác
ñị
nh, không ph
ụ
thu
ộ
c vào
cách chia m
ặ
t S và cách ch
ọ
n các
ñ
i
ể
m
i
M
thì gi
ớ

i h
ạ
n
ñ
ó
ñượ
c g
ọ
i là
tích
phân mặt loại hai của các hàm
(
)
P M
,
(
)
Q M
,
(
)
R M
trên S và ñược ký hiệu
là:
(
)
(
)
(
)

S
P x, y, z dydz+Q x, y, z dzdx+R x, y, z dxdy
∫∫
(1.33)
(hoặc ñơn giản hơn là
S
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
∫∫
)
Nếu S là mặt ñịnh hướng từng mảnh, tích phân trên S là tổng các tích
phân trên những mảnh nhỏ ñịnh hướng:

1 n i
n
i=1
S S S
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
∪ ∪
=
∑
∫∫ ∫∫

b) Cách tính tích phân mặt loại hai
- Sử dụng công thức liên hệ hai loại tích phân mặt
Trong nhiều trường hợp sử dụng công thức



(
)

S S S
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy Pcos
α+Qcosβ+Rcosγ dS F.nd
S
= =
∫∫ ∫∫ ∫∫
 
(1.34)
ñể chuyển sang tích phân mặt loại một sẽ là cách làm hiệu quả.
- Mặt cho bởi phương trình
(
)
z z x, y
=

ðể tính tích phân mặt loại hai (1.34) trước hết giả sử mặt S cho bởi
phương trình
(
)
z z x, y
=
,
(
)
x, y D
∈
(D là hình chiếu của S xuống mặt Oxy),
z,
'
x

z
,
'
y
z
là những hàm liên tục trên D. Nếu phía của mặt là phía trên thì các
vectơ pháp tuyến sẽ tạo với trục Oz một góc nhọn. Vậy pháp tuyến của mặt
tại M(x, y, z(x, y)) là
(
)
' '
x y
N z , z ,1
= − −

(thành phần thứ ba của pháp tuyến lớn
hơn hoặc bằng 0), pháp tuyến ñơn vị tương ứng là

'
'
y
x
'2 '2 '2 '2 '2 '2
x y x y x y
z
z 1
n , ,
1 z z 1 z z 1 z z
 
−

−
 
=
 
+ + + + + +
 

.
Thay vào (1.28) và sử dụng cách tính tích phân mặt loại một ta ñược:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
'
'
y
x
'2 '2 '2 '2 '2 '2
S
x y x y x y
' '
x y
D
z .Q
z .P R
I dS
1 z z 1 z z 1 z z

z .P x, y, z x, y z .Q x, y, z x, y R x, y, z x, y
dxdy
 
−
−
 
= + +
 
+ + + + + +
 
= − − +
∫∫
∫∫

Nếu phía của mặt là phía dưới (pháp tuyến tạo với trục Oz một góc tù)
thì ta phải thêm dấu “
−
” vào vế phải.
ðịnh lý 1.2. Giả sử mặt cong (S) cho bởi phương trình
(
)
z z x, y
=
, là hàm
liên tụ
c cùng các
ñạ
o hàm riêng
'
x

z
,
'
y
z
trên mi
ề
n
ñ
óng, gi
ớ
i n
ộ
i, có di
ệ
n tích