phân tích tĩnh tấm chịu uốn làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



HUỲNH VINH

PHÂN TÍCH TĨNH
TẤM CHỊU UỐN LÀM BẰNG VẬT LIỆU
CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN


Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
Mã số: 60.58.20


TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT


Đà Nẵng – Năm 2013


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TRẦN MINH TÚ



Phản biện 1: TS. Trần Quang Hưng

Phản biện 2: TS. Nguyễn Xuân Toản



Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
28 tháng 9 năm 2013





Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu - Đại học Đà Nẵng
- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
FGM là loại vật liệu mới ứng dụng tại Việt Nam. Các nghiên
cứu về vật liệu FGM cũng như ứng xử cơ học của kết cấu chế tạo
bằng vật liệu FGM có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
(a): Vật liệu FGM (b): Vật liệu composite nhiều lớp
Hình Cấu trúc vật liệu composite
2. Mục đích nghiên cứu

Xây dựng lời giải giải tích tính toán độ võng và trường ứng suất
trong tấm chữ nhật FGM bốn biên tựa khớp chịu tác dụng của tải
trọng phân bố vuông góc với mặt trung bình dựa trên lý thuyết tấm
của Reissner - Mindlin.
Khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học, tham số vật liệu
đến độ võng, ứng suất, biến dạng của tấm. Từ đó, tác giả đưa ra những
nhận xét, kết luận bổ ích đối với công việc thiết kế tính toán các kết
cấu bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.
3. Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu
- Đối tượng: Tấm chữ nhật, bốn biên tựa khớp, vật liệu có cơ
tính biến thiên
- Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát trường ứng suất, biến dạng và
chuyển vị dưới tác dụng của tải trọng uốn
- Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp giải tích
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:
2
Chương 1- Vật liệu có cơ tính biến thiên – các hệ thức cơ bản
theo lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff - Love
Chương 2 - Phân tích tĩnh tấm chịu uốn làm bằng vật liệu có cơ
tính biến thiên
Chương 3 - Kết quả số và bình luận
CHƯƠNG 1
VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - CÁC HỆ THỨC
CƠ BẢN THEO LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN
KIRCHHOFF-LOVE
1.1. VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN - TÍNH CHẤT VẬT LIỆU
1.1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên
Luận văn nghiên cứu vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần
(ceramic và kim loại)

Bảng 1.1 Tính chất của một số vật liệu thành phần sử dụng làm tấm
vật liệu có cơ tính biến thiên FGM
Vật liệu
Các tính chất
E Pa
[G ]
µ
1
o
C
α
−
 
 
3
/
kg m
ρ
[ ]
Kim loại: Al 70 0,3 23.10
-
6
2702
Ceramic: Al
2
O
3
380 0,3 7,2.10
-
6

3800
1.1.2. Tấm bằng vật liệu P-FGM
Mô đun đàn hồi kéo - nén được định nghĩa dưới dạng:
1
( ) ( )
2
p
c m m
z
E z E E E
h
 
= − + +
 
 
(1.3)
Trong đó:
c
E
: mô đun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu mặt dưới
m
E
: mô đun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu mặt trên
3
p: tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích)
h: chiều dày tấm
Hình 1.1. Mô hình tấm làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên FGM.
1.2. LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF - LOVE
1.2.1. Các giả thiết
Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc

với mặt trung bình. Sau biến dạng vẫn thẳng, vuông góc với mặt trung
bình và có chiều dài là không đổi.
1.2.2. Chuyển vị và quan hệ biến dạng – độ cong
a. Trường chuyển vị
0
( , , )
w
u x y z z
x
∂
= −
∂
(1.4a)
0
( , , )
w
v x y z z
y
∂
= −
∂
(1.4b)
0
( , , ) ( , )
w x y z w x y
=
(1.4c)
b. Quan hệ giữa biến dạng – độ cong
2
xx x

yy y
xy xy
z
ε χ
ε χ
γ χ
   
   
=
   
   
 
 
(1.6)
4
Trong đó:
2 2 2
0 0 0
2 2
; ;
x y xy
w w w
x y x y
χ χ χ
∂ ∂ ∂
= − = − = −
∂ ∂ ∂ ∂
1.2.3. Trường ứng suất – các thành phần ứng lực
a. Trường ứng suất
2 2

0 0
2 2 2
1
xx
w w
zE
x y
σ µ
µ
 
∂ ∂
= − +
 
− ∂ ∂
 
(1.8a)
2 2
0 0
2 2 2
1
yy
w w
zE
y x
σ µ
µ
 
∂ ∂
= − +
 

− ∂ ∂
 
(1.8b)
2
0
1
xy
w
zE
x y
σ
µ
∂
= −
+ ∂ ∂
(1.8c)
b. Các thành phần ứng lực
/2
/2
xx xx
h
yy yy
h
xy xy
M
M zdz
M
σ
σ
σ

−
   
   
=
   
   
 
 
∫
(1.9a)
/2
/2
0
0
0
xx xx
h
yy yy
h
xy xy
N
N dz
N
σ
σ
σ
−
   
 
   

 
= =
     
     


 
 
∫
(1.9b)
/2
/2
h
x xz
y yz
h
Q
dz
Q
σ
σ
−
   
=
   
 
 
 
∫
(1.9c)

c. Quan hệ giữa các thành phần ứng lực với độ võng
( )
( )
( ) ( )
2 2
0 0
2 2
2 2
0 0
2 2
2
0
1 1
xx x y
yy y x
xy yx xy
w w
M D D
x y
w w
M D D
y x
w
M M D D
x y
χ µχ µ
χ µχ µ
µ χ µ
 
∂ ∂

= + = − +
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
= + = − +
 
∂ ∂
 
∂
= = − = − −
∂ ∂
(1.10)
5
( )
( )
2 2
2
0 0
0
2 2
2 2
2
0 0
0
2 2
x
y
w w

Q D D w
x x y x
w w
Q D D w
y x y y
 
∂ ∂
∂ ∂
= − + = − ∇
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂
∂ ∂
= − + = − ∇
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(1.11)
Trong đó:
2 2
2
0 0
0
2 2
w w
w
x y
 

∂ ∂
∇ = +
 
∂ ∂
 
;
( )
3
2
12 1
Eh
D
µ
=
−
: độ cứng trụ.
1.2.4. Các phương trình cân bằng - phương trình vi phân
mặt đàn hồi
Khi tấm chịu tải trọng phân bố đều q vuông góc với mặt trung
bình, ta có:
4 4 4
0 0 0
4 2 2 4
2
w w w
q
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂

(1.17)
Giải phương trình (1.17) với các điều kiện biên, nhận được
0
w
. Từ đó
tính được các trường chuyển vị, ứng suất, ứng lực.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, tác giả luận văn đã hệ thống hóa các hệ
thức, phương trình cơ bản, hệ phương trình cân bằng cho tấm chịu
uốn theo lý thuyết cổ điển Kirchhoff – Love (CPT). Các hệ thức cơ
bản này xây dựng trong trường hợp vật liệu đồng nhất và đẳng hướng.
Trong chương 2, các hệ thức cơ bản này được áp dụng để xây dựng lý
thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin đối với tấm làm từ vật liệu
có cơ tính biến thiên.
6
CHƯƠNG 2
PHÂN TÍCH TĨNH TẤM CHỊU UỐN LÀM BẰNG VẬT LIỆU
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
2.1. LÝ THUYẾT TẤM BẬC NHẤT THEO REISSNER - MINDLIN
2.1.1. Giả thiết tấm theo Reissner - Mindlin
Pháp tuyến sau biến dạng vẫn thẳng có chiều dài không đổi, có
thể không còn vuông góc mặt trung bình.
2.1.2. Các thành phần chuyển vị
Reissner - Mindlin giả thiết trường chuyển vị bậc nhất dưới
dạng sau [1]:
0
( , , ) ( , ) ( , )
x
u x y z u x y z x y
θ

= +
(2.1)
0
( , , ) ( , ) ( , )
y
v x y z v x y z x y
θ
= +
(2.2)
0
( , , ) ( , ) ( , )
w x y z w x y w x y
= =
(2.3)
2.1.3. Các thành phần biến dạng
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
u
xx
xx xx
x
xx
u

yy
yy yy
y
yy
u
xy
xy xy
xy
xy
xz
xz xz
yz
yz yz
z
ε
ε ε
κ
ε
ε
ε ε
κ
ε
γ
γ γ
κ
γ
γ
γ γ
γ
γ γ

   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
         
= + = +
         
         
         
         



 

 
 
(2.12)
2.1.4. Các thành phần ứng suất - ứng lực trong tấm FGM
a. Các thành phần ứng suất
[ ]
11 12

12 11
66
66
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
xx
xx xx
yy
yy yy
xy
xy xy
xz
xz xz
yz
yz yz
C C
C C
C
C
C
C
σ
ε ε
σ
ε ε
σ

γ γ
σ
γ γ
σ
γ γ
   
 
 
   
 
 
   
 
 
     
 
= =
     
 
     
 
     
 
     
 


 
 
(2.18)

Trong đó:
11
2
( )
1 ( )
E z
C
z
µ
=
−
;
12
2
( ) ( )
1 ( )
z E z
C
z
µ
µ
=
−
;
[ ]
66
( )
2 1 ( )
E z
C

z
µ
=
+
7
b. Các thành phần ứng lực
Hình 2.8. Nội lực và ngoại lực trên phân tố tấm FGM
0
11 12 11 12
0
12 11 12 11
0
66 66
11 12 11 12
12 11 12 11
66 66
44
55
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
xx
xx
yy
yy

xy
xy
xx
x
yy
y
xy
x
y
N
A A B B
N
A A B B
N
A B
M
B B D D
M
B B D D
M
B D
Q
A
Q
A
ε
ε
γ
κ
κ

κ
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


0
0

xy
xz
yz
γ
γ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


(2.26)
Trong đó:
2 2
11 12
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
;
1 ( ) 1 ( )
h h
h h

E z z E z
A dz A dz
z z
µ
µ µ
− −
= =
− −
∫ ∫
;
[ ]
2
66
2
( )
2 1 ( )
h
h
E z
A dz
z
µ
−
=
+
∫
x
xx
xx
N

N dx
x
∂
+
∂
h
x
x
Q
Q dx
x
∂
+
∂
xy
xy
N
N dx
x
∂
+
∂
xx
xx
M
M dx
x
∂
+
∂

xy
xy
M
M dx
x
∂
+
∂
xy
xy
M
M dy
y
∂
+
∂
xy
xy
N
N dy
y
∂
+
∂
y
y
Q
Q dy
y
∂

+
∂
yy
yy
N
N dy
y
∂
+
∂
yy
yy
M
M dy
y
∂
+
∂
xx
N
xx
M
x
Q
xy
M
xy
N
y
Q

yy
N
xy
M
xy
N
yy
M
y
z
( , )
q x y
8
2
11
2
2
( )
1 ( )
h
h
zE z
B dz
z
µ
−
=
−
∫
[ ]

2 2
12 66
2
2 2
( ) ( ) ( )
;
1 ( ) 2 1 ( )
h h
h h
z zE z zE z
B dz B dz
z z
µ
µ µ
− −
= =
− +
∫ ∫
;
22
11
2
2
( )
1 ( )
h
h
z E z
D dz
z

µ
−
=
−
∫
;
22
12
2
2
( ) ( )
1 ( )
h
h
z z E z
D dz
z
µ
µ
−
=
−
∫
;
[ ]
22
66
2
( )
2 1 ( )

h
h
z E z
D dz
z
µ
−
=
+
∫
[ ]
2 2
44 55 66
2 2
1
( )
2 1 ( )
h h
h h
A A k C dz k E z dz
z
µ
− −
= = =
+
∫ ∫
k: hệ số hiệu chỉnh cắt
Với vật liệu đẳng hướng thường lấy k = 5/6
Với vật liệu FGM lấy
5 5

6 5
k
µ
µ
+
=
+
(theo [17])
2.1.5. Hệ phương trình cân bằng theo
0 0 0
, , , ,
x y
u v w
θ θ
.
Xét sự cân bằng của phân tố tấm FGM chịu tải phân bố vuông
góc với mặt tấm có quy luật bất kỳ
( , )
q x y
.
Phương trình cân bằng là:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
0 0 0
11 66 12 66 11 66 12 66
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2

0 0 0
11 66 12 66 11 66 12 66
2 2 2 2
2 2
0 0
44 55
2 2
0
0
y
x x
y y
x
y
x
u u v
A A A A B B B B
x y x y x y x y
v v u
A A A A B B B B
y x x y y x x y
w w
A A
x x y y
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ

∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
   
∂ ∂ ∂
+ + + +
   
∂ ∂ ∂ ∂
   
( )
( )
( )
2 2 2 2
0 0 0
11 66 12 66 11
2 2 2
2
2
0
66 44 12 66 44
2
2
2 2 2
0 0 0

11 66 12 66 11
2 2 2
2
66 55 12 6
2
( , ) 0
0
x
y
x
x
y
y
y
q x y
u u v
B B B B D
x y x y x
w
D A D D A
y x y x
v v u
B B B B D
y x x y y
D A D D
x
θ
θ
θ
θ

θ
θ
θ
=
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂
+ − + + − =
∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂
+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
+ − + +
∂
( )
2
0
6 55
0
x
w
A
x y y
θ






















∂ ∂
− =

∂ ∂ ∂

(2.37)
9
2.2. LỜI GIẢI NAVIER CHO TẤM CHỮ NHẬT FGM
CHỊU UỐN, TỰA KHỚP TRÊN CHU VI, CHỊU TẢI TRỌNG
PHÂN BỐ
( , )

q x y
2.2.1. Giả thiết các hàm chuyển vị, góc xoay và tải trọng
theo Navier
0 0
1 1
( , ) cos sin
mn
m n
u x y u x y
α β
∞ ∞
= =
=
∑∑
(2.38a)
0 0
1 1
( , ) sin cos
mn
m n
v x y v x y
α β
∞ ∞
= =
=
∑∑
(2.38b)
0 0
1 1
( , ) sin sin

mn
m n
w x y w x y
α β
∞ ∞
= =
=
∑∑
(2.38c)
0
1 1
( , ) cos sin
x xmn
m n
x y x y
θ θ α β
∞ ∞
= =
=
∑∑
(2.38d)
0
1 1
( , ) sin cos
y ymn
m n
x y x y
θ θ α β
∞ ∞
= =

=
∑∑
(2.38e)
1 1
( , ) sin sin
mn
m n
q x y q x y
α β
∞ ∞
= =
=
∑∑
(2.38f)
Với
;
m n
a b
π π
α β
= =
và
0 0
4
( , )sin sin
a b
mn
q q x y x ydxdy
ab
α β

=
∫∫
2.2.2. Hệ phương trình cân bằng tĩnh học theo các ẩn số là
các hệ số của hàm chuyển vị:
0 0 0 0 0
, , , ,
mn mn mn xmn ymn
u v w
θ θ
0
11 12 14 15
0
21 22 24 25
0
33 34 35
0
41 42 43 44 45
0
51 52 53 54 55
0
0
0
0
0 0
0
0
mn
mn
mn
mn

xmn
ymn
u
S S S S
v
S S S S
w
S S S
q
S S S S S
S S S S S
θ
θ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
=
   
 
   
 
   

 
   

  


(2.40)
Gọi
, , , ,
x y
u v w
L L L L L
θ θ
thỏa mãn hệ phương trình:
10
11 12 14 15
21 22 24 25
33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
0
0
0
0
0 0
1
0
0
x
y

u
v
w
L
S S S S
L
S S S S
L
S S S
L
S S S S S
L
S S S S S
θ
θ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
=
   
 
   

 
   
 
   

  


(2.41)
Thế thì:
0
0
0
0
0
x
y
u
mn
v
mn
w
mn
mn
xmn
ymn
L
u
L
v

L
w
q
L
L
θ
θ
θ
θ
 
 
 
 
 
 
   
=
   
   
   
   




(2.42)
2.2.3. Trường chuyển vị
( )
1 1
( , , ) cos sin

x
u mn
m n
u x y z L zL q x y
θ
α β
∞ ∞
= =
= +
∑∑
(2.44a)
( )
1 1
( , , ) sin cos
y
v mn
m n
v x y z L zL q x y
θ
α β
∞ ∞
= =
= +
∑∑
(2.44b)
1 1
( , , ) sin sin
w mn
m n
w x y z L q x y

α β
∞ ∞
= =
=
∑∑
(2.44c)
2.2.4. Trường biến dạng
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
sin sin
sin sin
cos cos
cos sin
sin cos
x
y
x y
x

y
u mn
m n
xx
v mn
m n
yy
xy
u v mn
m n
xz
yz
w mn
m n
w mn
m n
L zL q x y
L zL q x y
L zL L zL q x y
L L q x y
L L q x y
θ
θ
θ θ
θ
θ
α α β
ε
β α β
ε

γ
β α α β
γ
γ
α α β
β α β
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞
= =
− +
 
− +
 
 
 
 
= + + +
 
 
 
 
+
 



+
∑ ∑
∑ ∑
∑∑
∑ ∑
∑
∞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


∑
(2.48)
11

2.2.5. Trường ứng suất
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
11 12
1 1
12 11
1 1
66
1 1
66
sin sin
sin sin
cos cos
cos
x y
x y
x y
x
u v m n
m n
xx
u v mn
m n
yy

xy
u v m n
m n
xz
yz
w mn
C L zL C L zL q x y
C L zL C L zL q x y
C L zL L zL q x y
C L L q
θ θ
θ θ
θ θ
θ
α β α β
σ
α β α β
σ
σ
β α α β
σ
σ
α α
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
 

− + + +
 
 
 
− + + +
 
 
 
 
 
= + + +
 
 
 
 
+
 


∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
( )
1 1
66
1 1
sin
sin cos
y
m n

w m n
m n
x y
C L L q x y
θ
β
β α β
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 



∑ ∑
∑ ∑
(2.50)
2.3. LỜI GIẢI NAVIER CHO TẤM CHỮ NHẬT FGM CHỊU
UỐN, TỰA KHỚP TRÊN CHU VI, CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN
BỐ
0
( , )
q x y q
=
:
Khi
0
( , )
q x y q
=
thì:
0
2
16
( , 1,3,5, )
0 ( , 2,4,6, )
mn
q
m n
q
mn
m n
π


=

=


=

khi
khi
2.3.1. Trường chuyển vị: (theo 2.44a-c)
2.3.2. Trường biến dạng: (theo 2.45, 2.47, 2.50 )
2.3.3. Trường ứng suất: (theo 2.50)
2.3.4. Trường ứng lực: (theo 2.51)
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương 2, tác giả luận văn đã dựa vào lý thuyết tấm bậc
nhất (FSDT) theo Reissner – Mindlin để xây dựng hệ năm phương
trình cân bằng tĩnh học của tấm FGM. Với tấm chữ nhật, tựa khớp
trên chu vi, chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt trung bình, dạng
nghiệm Navier được áp dụng để tìm trường chuyển vị, ứng suất, biến
dạng…Với trợ giúp của phần mềm Mathematica, tác giả luận văn đã
viết đoạn chương trình để tính toán số các lớp bài toán. Chương tiếp
theo, luận văn sẽ tiến hành khảo sát ảnh hưởng của các thông số về
vật liệu, kích thước tấm và giá trị tải trọng đến trường chuyển vị và
ứng suất của tấm FGM.
12
CHƯƠNG 3
KẾT QUẢ SỐ VÀ BÌNH LUẬN
Trên cơ sở nghiệm giải tích chuyển vị, ứng suất, biến dạng đã
xây dựng trong chương 2, tác giả luận văn đã lập code chương trình
bằng Mathematica để khảo sát số các lớp bài toán nhằm đánh giá ảnh

hưởng của các thông số vật liệu, kích thước tấm,…đến ứng xử cơ học
của tấm FGM.
Xét tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp, làm bằng vật liệu P - FGM
chịu uốn, có chiều dày h, kích thước các cạnh
a b
×
. Tải trọng
0
q
phân bố đều, vuông góc với mặt trung bình của tấm.
- Vật liệu P- FGM với tính chất các vật liệu thành phần:
Mặt trên: nhôm ô xit – ceramic (Al
2
O
3
):
380 ( ), 0,3
c
E GPa
µ
= =
Mặt dưới: nhôm – kim loại (Al):
70 ( ), 0,3
m
E GPa
µ
= =
3.1. VÍ DỤ 3.1: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ LỆ THỂ TÍCH p ĐẾN PHÂN
BỐ CỦA MÔ ĐUN ĐÀNHỒI
( )

E z
THEO CHIỀU DÀYTẤM
1
( ) ( )
2
p
c m m
z
E z E E E
h
 
= − + +
 
 
(3.1)
Hình 3.2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo – nén trong tấm P-FGM
13
Mô đun đàn hồi tăng nhanh tại vị trí gần bề mặt ceramic của tấm
khi p >1 và gần bề mặt kim loại khi p < 1. Khi p = 0: vật liệu đồng
nhất đẳng hướng làm từ vật liệu ceramic. Khi p = 1: thành phần
ceramic và kim loại phân bố tuyến tính qua chiều dày thành kết
cấu. Khi p tăng thì tỷ lệ thể tích của thành phần kim loại trong
kết cấu tăng. Khi
p
= +∞
: vật liệu đồng nhất đẳng hướng làm từ
vật liệu kim loại.
3.2. VÍ DỤ 3.2: KIỂM CHỨNG KẾT QUẢ - SO SÁNH VỚI CÁC
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA MỘT SỐ TÁC GIẢ
Xét tấm vuông

, / 10
a b a h
= =
. Hệ số hiệu chỉnh cắt
5
6
k
=
.
Giá trị độ võng lớn nhất và ứng suất không thứ nguyên tính theo:
3
4
0 00
0 0 0
10
( , ); ( ) ( , , ); ( ) ( , , );
2 2 2 2 2 2
( ) (0,0, ); ( ) (0, , ); ( ) ( ,0, )
2 2
c
xx yy
xx yy
xy xz yz
xy xz yz
h E
a b h a b h a b
w w z z z z
q a q a
q a
h h b h a

z z z z z z
q a q a q a
σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
= = =
= = =
Bảng 3.1. Độ võng lớn nhất, ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông
FGM chịu uốn bởi tải trọng phân bố đều phân bố vuông góc với mặt tấm
14
Nhận xét: Từ bảng kết quả bảng 3.1 có thể thấy rằng kết quả tính theo
mô hình bậc nhất của luận văn so với kết quả theo mô hình bậc nhất
(FSDT) của Thái Hữu Tài [11] là trùng khớp với sai số rất nhỏ. Như
vậy có thể nói rằng nghiệm giải tích mà luận văn đã xây dựng cũng
như chương trình tính là tin cậy (sai số giữa mô hình bậc nhất và mô
hình bậc cao (SSDT) là do tỷ số a/h = 10 – tấm có chiều dày trung
bình).
3.3. VÍ DỤ 3.3: KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA CHỈ SỐ TỶ LỆ
THỂ TÍCH p ĐẾN ĐỘ VÕNG VÀ ỨNG SUẤT
Kích thước tấm
/ 2; / 10
a b a h
= =
. Chỉ số tỷ lệ thể tích
0; 1; 2; 6; 10
p
=
3.3.1. Độ võng
Hình 3.4. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt y = b/2 biến thiên
theo p
Nhận xét: Từ hình 3.4 có thể thấy rằng khi tỷ số tỷ lệ thể tích

tăng thì độ cứng của tấm giảm làm cho độ võng tăng lên.
15
3.3.2. Các thành phần ứng suất
Hình 3.5. Ứng suất
xx
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm theo p
Nhận xét: Từ hình 3.5, ta nhận thấy:
+ Khi p = 0 (vật liệuceramic):
xx
σ
trên mặt trung bình của tấm
bằng không. Mặt trung bình chính là mặt trung hòa. Ứng suất kéo và
ứng suất nén phân bố tuyến tính theo chiều dày tấm, ứng suất đạt cực
trị tại mặt trên và mặt dưới.
+ Khi p ≠ 0: Các điểm có
xx
σ
bằng 0 không nằm trên mặt trung
bình nữa, mặt trung bình không phải là mặt trung hòa. Luật phân bố
ứng suất theo bề dày của tấm không còn tuyến tính. Ứng suất pháp
cực trị không còn ở mặt trên và dưới, mà có thể ở vị trí bất kỳ.
Hình 3.7. Ứng suất
xy
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm theo p
16
Nhận xét: Từ hình 3.7, ta nhận thấy:
+ Khi p = 0:
xy

σ
phân bố bậc nhất, giá trị ứng suất tại điểm
thuộc mặt trung bình bằng 0. Giá trị ứng suất tại mặt trên là lớn nhất
so với các trường hợp khác của p, giá ứng suất tại mặt dưới là bé nhất
so với các trường hợp khác của p.
+ Khi p tăng, ứng suất tại mặt dưới lớn dần.
Hình 3.8. Ứng suất
xz
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm theo p
Nhận xét: Từ hình 3.8, nhận thấy:
 Khi p = 0, +∞ – vật liệu đẳng hướng, thành phần ứng suất
xz
σ
là hằng số. Với p = 0, các giá trị ứng suất là:
0,2121
xz
σ
=
. Tại
mặt trên và mặt dưới ứng suất cắt ngang là cực trị so với các trường
hợp p ≠ 0. Khi p ≠ (0; 1) các thành phần ứng suất này biến thiên phi
tuyến, bậc phi tuyến phụ thuộc vào p.
 Khi p = 1, luật phân bố của
xz
σ
là bậc nhất, các giá trị ứng
suất tại vị trí thuộc mặt trung bình là
0,2121
xz

σ
=
.
+ Tại vị trí thuộc mặt trên,
( ) 0,0660
2
xz
h
σ
− =
là giá trị bé nhất
so với các trường hợp khác của p. Tại vị trí thuộc mặt dưới, giá trị ứng
17
suất là
( ) 0,3583
2
xz
h
σ
=
 Khi p tăng, các giá trị ứng suất lớn nhất tăng dần. Các thành
phần ứng suất cắt ngang này là nhỏ so với các thành phần ứng suất
pháp.
3.4. VÍ DỤ 3.4: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ a/ h ĐẾN ĐỘ
VÕNG VÀ ỨNG SUẤT
Kích thước tấm:
/ 2, / (5; 10; 20; 50; 100)
a b a h
= =
. Chỉ số tỷ

lệ thể tích
2
p
=
.
3.4.1. Độ võng
Hình 3.10. Độ võng lớn nhất không thứ nguyên
w
biến thiên theo tỷ
số a/h
Nhận xét: So sánh kết quả tính theo mô hình tấm bậc nhất của
luận văn với mô hình tấm bậc nhất của Thái Hữu Tài và bậc cao của
Zenkour: Từ hình vẽ 3.10: Khi tấm mỏng (a/h lớn), kết quả tính độ
võng có sai lệch rất bé. Sai lệch tăng khi chiều dày tấm tăng lên (a/h
giảm). Vì vậy, khi tính toán tấm dày nên tính theo mô hình bậc cao.
18
3.4.2. Các thành phần ứng suất
Hình 3.14. Ứng suất
xx
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số a/h
Nhận xét: Từ hình 3.14, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng,
xx
σ
tăng theo. Mối quan hệ giữa
xx
σ
với tỷ số a/h là bậc nhất. Khảo sát chỉ
ra vị trí mặt trung hòa không phụ thuộc vào quan hệ kích thước hình

học của tấm, chỉ phụ thuộc vào tính chất của vật liệu. Trường hợp vật
liệu hai bề mặt của tấm như đã xét, với chỉ số tỷ lệ thể tích p = 2, mặt
trung hòa xác định ở độ dày tấm là z = + 0,149h.
Hình 3.15. Ứng suất
xy
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số a/h
19
Nhận xét: Từ hình 3.15, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng, ứng
suất màng
xy
σ
cực trị tăng. Thành phần ứng suất
xy
σ
tăng theo quy
luật bậc nhất của tỷ số a/h.
Hình 3.16. Ứng suất
xz
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số a/h
Nhận xét: Từ hình 3.16, ta có nhận xét: Thành phần ứng suất
xz
σ
không phụ thuộc vào tỷ số a/h. Theo chiều dày tấm từ trên xuống
dưới, độ lớn các thành phần ứng suất này lớn dần.
3.5. VÍ DỤ 3.5: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC CÁC
CẠNH a/b

Kích thước tấm a/h = 10, a/b = 1; 2; 3; 4. Các chỉ số tỷ lệ thể tích
p =0; 1; 2; 6; 10; +∞.
3.5.1. Độ võng
Hình 3.18. Độ võng không thứ nguyên tại mặt cắt y = b/2 biến thiên
theo a/b
20
Nhận xét: Từ hình 3.18, ta có nhận xét: Khi tỷ số a/b càng lớn,
độ võng không thứ nguyên càng nhỏ. Tỷ số a/b càng nhỏ, tốc độ tăng
độ võng không thứ nguyên càng lớn.
3.5.2. Các thành phần ứng suất
Hình 3.22. Ứng suất
xx
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số a/b khi p =2
Hình 3.23. Ứng suất
xy
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số a/b, khi p=2
21
Hình 3.24. Ứng suất
xz
σ
biến thiên theo chiều dày tấm với các tỷ số
a/b, khi p=2
Nhận xét: Từ các hình vẽ 3.22, 3.23, 3.24, ta có nhận xét:
 Thành phần
xx
σ

: Cùng một tỷ số a/b, ứng suất cực trị nằm ở
mặt trên và mặt dưới của tấm. Khi tỷ số a/b giảm, các ứng suất cực trị
có độ lớn lớn dần. Vị trí mặt trung hòa không phụ thuộc vào tỷ số a/b,
xác định ở độ dày tấm là z = + 0,149h.
 Thành phần
xy
σ
: Cùng một tỷ số a/b, mặt dưới có ứng suất
là lớn nhất. Khi tỷ số a/b càng nhỏ, ứng suất mặt dưới càng lớn dần.
 Thành phần
xz
σ
: Cùng một tỷ số a/b, mặt dưới có giá trị ứng
suất là lớn nhất. Khi tỷ số a/b càng nhỏ, ứng suất càng lớn dần.
3.6. VÍ DỤ 3.6: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ
1 2
/
E E
ĐẾN ĐỘ
VÕNG VÀ ỨNG SUẤT.
Trong đó:
1
E
,
2
E
lần lượt là mô đun đàn hồi khi kéo – nén ở mặt
trên và mặt dưới của tấm
Hệ số Poisson của vật liêu hai mặt:
0,3

µ
=
Kích thước tấm:
/ 10
a h
=
,
/ (1; 2; 3; 4)
a b
=
Chỉ số tỷ lệ thể tích:
1; 2; 6; 10
p
=
22
3.6.1. Độ võng
Hình 3.27. Độ võng không thứ nguyên tại tại mặt cắt y =b/2 theo
các tỷ số E
1
/E
2
khi a/b=2, p=2
Nhận xét: Từ hình vẽ 3.27, nhận thấy: Khi tỷ số E
1
/E
2
càng bé thì độ
võng không thứ nguyên càng lớn do độ cứng bé.
3.6.2. Các thành phần ứng suất
Hình 3.28. Ứng suất

xx
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số
1 2
/
E E
khi a/b=2, p=2
Nhận xét: Từ hình vẽ 3.28, nhận thấy:
+ Khi E
1
/E
2
= 1: Ứng suất phân bố bậc nhất theo chiều dày tấm.
+ Khi tỷ số E
1
/E
2
≠ 1: Biến thiên của ứng suất là phi tuyến. Ứng
suất mặt dưới là lớn nhất, ứng suất tăng dần khi E
1
/E
2
giảm dần.
+ Khảo sát tìm được 2 vị trí trên chiều dày tấm mà tại đó ứng
suất không thứ nguyên không phụ thuộc vào tỷ số E
1
/E
2
cũng như

quan hệ kích thước của tấm, chỉ phụ thuộc vào p. Trường hợp p = 2,
các vị trí được xác định như sau:
23
* Tại
0,2445 , 0,3268
xy
z h
σ
= − = . *Tại
0,3164 , 0,499
xy
z h
σ
= + = −
Hình 3.29. Ứng suất
xy
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số
1 2
/
E E
khi a/b=2, p=2
Nhận xét: Từ hình vẽ 3.29, nhận thấy: Khi E
1
/E
2
= 1: Ứng suất
phân bố đều, giá trị là
0,2121

xz
σ
= .
+ Khi E
1
/E
2
≠ 1: Ứng suất phân bố phi tuyến, đạt lớn nhất tại
mặt dưới. Giá trị ứng suất lớn nhất này càng lớn khi E
1
/E
2
càng nhỏ.
+ Khảo sát tìm được 1 vị trí trên chiều dày tấm mà tại đó ứng
suất không thứ nguyên không phụ thuộc vào tỷ số E
1
/E
2
và quan hệ
kích thước hình học của tấm, chỉ phụ thuộc vào chỉ số tỷ lệ thể tích p.
Trường hợp p = 2, vị trí đó được xác định tại z = + 0,0773h;
0,2121
xz
σ
= .
Hình 3.30. Ứng suất
xz
σ
biến thiên theo chiều dày của tấm với các
tỷ số E

1
/E
2
khi a/b =2, p=2