nghiên cứu dao động riêng của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG





TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN



NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA TẤM LÀM BẰNG VẬT LIỆU
CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN



Chuyên nghành : Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
Mã số : 60.58.20




TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT






Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Ngọc Thạch



Phản biện 1: GS.TS. Phạm Văn Hội


Phản biện 2: TS. Nguyễn Xuân Toản



Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28
tháng 9 năm 2013.




Có thể tìm hiểu luận văn tại:
− Trung tâm Thông tin-H

ọc liệu, Đại học Đà Nẵng
− Trung tâm học liệu, Đại học Đà Nẵng


1

M U

1. Tớnh cp thit v ý ngha thc tin ca ti
Vt liu cú c tớnh bin thiờn l mt loi composite th h mi
vi chc nng c bin i thụng minh theo chiu dy kt cu
phự hp vi cỏc yờu cu c th ca ngi s dng. c tớnh khỏng
nhit ni bt ca loi vt liu ny giỳp cho nú tr thnh s la chn lý
tng cho cỏc kt cu thng xuyờn lm vic trong cỏc mụi trng
nhit rt cao v chu s truyn nhit ln nh: cỏc thit b luyn
kim, cỏc thit b trong lũ phn ng ht nhõn v cỏc b phn ca mỏy
bay, tờn la, Tuy nhiờn, dự cú tm quan trng rt ln trong ng
dng thc t, cỏc nghiờn cu v ng x c hc ca cỏc loi kt cu
c ch to t vt liu cú c tớnh bin thiờn núi chung vn cũn hn
ch.

Lĩnh vực hạt nhân
(Nhiên liệu hạt, tờng plasma
trong lò phản ứng nhiệt hạch)

Lĩnh vực không gian
(bộ phận của tên lửa, khung
máy bay không gian)
FGMs

Các lĩnh vực khác
( Vật liệu xây dựng, cửa kính,
dụng cụ thể thao )

Lĩnh vực y học
( Xơng, da nhân tạo, nha khoa)

Lĩnh vực năng lợng
( Máy phát nhiệt điện, cảm biến)
Lĩnh vực truyền thông
( Sợi quang học, chất bán dẫn)

Hỡnh 2. Cỏc
ng dng tim nng ca vt liu FGM

2

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là tìm hiểu tổng quan về vật liệu và kết
cấu làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên; hệ thống hóa các hệ thức,
phương trình cơ bản của bài toán tấm trên cơ sở lý thuyết tấm bậc
nhất của Reissner-Mindlin để tính toán tần số dao động riêng cho tấm
chế tạo từ vật liệu có cơ tính biến thiên. Chương trình tính toán bằng
ngôn ngữ lập trình MAPLE sẽ được xây dựng để khảo sát số các bài
toán nhằm rút ra các nhận xét, kết luận bổ ích đối với các kỹ sư thiết
kế.
3. Phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tấm chữ nhật, tựa khớp trên chu vi làm
bằng vật liệu có cơ tính biến thiên.
Nội dung nghiên cứu: Tính toán tần số dao động riêng, khảo sát

ảnh hưởng của các tham số kích thước và vật liệu đến tần số dao động
riêng.
Phương pháp nghiên cứu trong luận văn là phương pháp giải
tích trên cơ sở ứng dụng phần mềm MAPLE
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương chính và kết luận:
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Phương pháp nghiên cứu
Ch
ương 1. Vật liệu có cơ tính biến thiên – các hệ thức cơ bản
1.1 Lý thuyết tấm cổ điển của Kirrchhoff

3

1.2 Lý thuyết tấm bậc nhất của Reisener-Mindlin
1.3 Kết luận chương 1
Chương 2. Phân tích dao động riêng của tấm vật liệu có cơ tính
biến thiên theo lý thuyết tấm bậc nhất của Reisener-Mindlin
2.1 Các giả thiết – Các phương trình quan hệ

2.2 Lời giải giải tích
2.3 Kết luận chương 2
Chương 3. Kết quả số và Bình luận
KẾT LUẬN

4

CHƯƠNG 1.
VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN – CÁC HỆ THỨC
CƠ BẢN
1.1. ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU FGM
1.1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGMs)
Vật liệu có cơ tính biến thiên - FGMs - là một loại composite,
có tính chất dị hướng và các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt
này sang mặt khác.

Hình 1.1 Cắt ngang tấm vật liệu cơ tính biến thiên
(mô tả sự thay đổi mật độ vật liệu theo chiều dày) .
Bảng 1.1 .Tính chất của một số vật liệu thành phần sử dụng làm tấm
vật liệu cơ tính biến thiên (FGMs)
Các tính chất
Vật liệu
E (
GPa)
0 1
[ ]
α C
−

ρ
(kg/m
3
)

υ

Kim loại (Al) 70 23.10
-6
2702 0,3
Gốm (Al
2
O
3
) 380 7,2.10
-6
3800 0,3
Gốm (ZrO
2
) 200 10.10
-6
5700 0,3


5

1.1.2. Mô hình tấm của vật liệu
b
h
x
z
y
V
z

= V
m
+ (V
c
- V
m
)(
1
2

+
z
h

)
p
u
0
v
0
ϑ
ϑϑ
ϑ
y
ϑ
ϑϑ
ϑ
x
w
0

z
h/2
h/2
a

Hình 1.2. Tấm FGM – Hệ trục tọa độ và kích thước
a
b
h/2
h/2
x
z
y
z
Vz=Vm+(Vc-Vm)(12+zh)p

1.1.3. Thuộc tính của vật liệu FGM

Hình 1.3. Biến thiên môđun đàn hồi của tấm FGM (Al/Al
2
O
3
) theo
chiều dày
1.2. LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF– LOVE
1.2.1. Các giả thiết
Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc
v
ới mặt trung bình, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt
trung bình và có độ dài không đổi.

6

1.2.2. Chuyển vị và biến dạng
a. Trường chuyển vị
0
w
u z
x
∂
= −
∂
; (1.6a)
0
w
v z
y
∂
= −
∂
; (1.6b)
0
( , )
w w x y
=
; (1.6c)
b. Quan hệ biến dạng – độ cong
2
0
2

x
w
u
ε z
x x
∂
∂
= = −
∂ ∂

(1.7a)
2
0
2
y
w
v
ε z
y y
∂
∂
= = −
∂ ∂
(1.7b)
2
0
2
xy
w
u v

γ z
y x x y
∂
∂ ∂
= + = −
∂ ∂ ∂ ∂
(1.7c)

1.2.3. Trường ứng suất – các thành phần ứng lực
a. Trường ứng suất
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
1 1
x x y
E Ez w w
σ ε υε υ
υ υ x y
∂ ∂
= + = − +
− − ∂ ∂
; (1.9a)
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
1 1
y y x
E Ez w w
σ ε υε υ
υ υ y x

∂ ∂
= + = − +
− − ∂ ∂
; (1.9b)
2
( )
2(1 ) (1 )
xy xy
E Ez w
τ γ
υ υ x y
∂
= = −
+ + ∂ ∂
; (1.9c)

7

b. Các thành phần của ứng lực
2 2
2 2
2 2
2 2
2
( )
( )
(1 )
x
y
xy yx

w w
M D υ
x y
w w
M D υ
x y
w
M M D υ
x y
∂ ∂
= − +
∂ ∂
∂ ∂
= − +
∂ ∂
∂
= = − −
∂ ∂
(1.11)
/2
/2
h
x xz
y yz
h
Q τ
dz
Q τ
−
   

   
=
   
   
   
∫
(1.12)

c. Phương trình vi phân độ võng của mặt trung bình
4 4 4
4 2 2 4
2
w w w p
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
hay:
4
p
w
D
∇ =
(1.16)
1.2.4. Điều kiện biên
1.3. LÝ THUYẾT TẤM REISSNER - MINDLIN
1.3.1. Các giả thiết
Pháp tuyến vẫn thẳng và có chiều dài không đổi, có thể không
còn vuông góc với mặt trung bình. Với biến dạng bé, vẫn coi
ε

z
=0
1.3.2. Trường chuyển vị
0
( , , ) ( , ) ( , )
x
u x y z u x y z
φ
x y
= + (1.18a)
0
( , , ) ( , ) ( , )
y
v x y z v x y z
φ
x y
= + (1.18b)
0
( , , ) ( , )
w x y z w x y
= (1.18c)
1.3.3. Trường biến dạng
{
}
{
}
{
}
m u
ε ε ε

= +

8

o
o
xx
o
o
m yy
o
xy
o o
u
x
ε
v
ε ε
y
ε
u v
y x
 
∂
 
∂
 
 
 
 

∂
 
= =
   
∂
   
 
 
 
∂ ∂
+
 
∂ ∂
 
(1.20)
x
u
xx
x
y
u
u yy y
u
xy
xy
y
x
φ
x
ε

k
φ
ε ε z k z
y
k
ε
φ
φ
y x
 
∂
 
∂
 
 
 
 
 
∂
 
   
= = =
     
∂
     
 
 
 
 
∂

∂
 
+
∂ ∂
 
 

(1.21)
o
o
x
xz xz
c
o
o
yz
yz
y
w
φ
γ γ
x
γ
w
γ
γ
φ
y
∂
 

+
 
 
 
∂
     
= = =
     
∂
 
 
 
 
 
+
 
∂
 
(1.22)
1.3.4. Các thành phần ứng suất - Ứng lực
a. Trường ứng suất
2 2
1 0 1 0
1 0 . 1 0
1 1
1 1
0 0 0 0
2 2
o
xx

xx x
o
yy yy y
o
xy xy
xy
ε
σ k
υ υ
E E
σ υ ε z υ k
υ υ
υ υ
σ k
ε
   
 
   
   
 
   
   
 
= +
     
   
− −
     
   
− −

 
   
    
   

(1.24a)

9

2
1
. .
2 1
o
xz xz
o
yz
yz
σ γ
υ E
σ
υ
γ
 
 
−
   
=
   
−

 
 
 
 
(1.24b)
b. Các thành phần ứng lực
Đặt
/2
2
2
/2
( , , ) (1, , )
1
h
h
E
A B C z z dz
υ
−
=
−
∫

0
0
0
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1
0 0 0 0

2 2
x
xx xx
y yy yy
xy xy
xy
M
υ ε υ k
M B
υ ε C υ k
υ ε υ k
M
   
 
   
 
 
 
   
 
 
= +
     
   
     
   
− −
 
 
 

   
   
(1.25)
0
0
0
1 0 1 0
1 0 1 0
1 1
0 0 0 0
2 2
x
xx xx
y yy yy
xy xy
xy
N
υ ε υ k
N A
υ ε B υ k
υ ε υ k
N
   
 
   
 
 
 
   
 

 
= +
     
   
     
   
− −
 
 
 
   
   

(1.26)
0
2
0
2
1
. .
2
h
xz
x
xz
y
yz
h
yz
σ

Q
γ
υ
k k D
Q
σ
γ
−
 
 
 
−
     
 
= =
     
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
(1.27)
Trong đó: k - hệ số hiệu chỉnh cắt
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

10
CHƯƠNG 2.
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM BẰNG VẬT
LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
2.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ NỘI LỰC – BIẾN DẠNG
CHO TẤM REISSNER - MINDLIN
Ứng suất trong tấm bằng vật liệu FGM
0
11 12 11 12
0
12 11 12 11
0
66 66
0 0
0 0
0 0 0 0
x
x xx
y
y yy
xy xy
y
x
φ
x
N A A ε B B
φ
N A A ε B B
y
N A γ B

φ
φ
y x
 
∂
 
∂
 
 
 
   
 
∂
 
 
 
   
= +
     
   
∂
     
   
   
 
 
 
∂
∂
 

+
∂ ∂
 
 

(2.1a)
0
11 12 11 12
0
12 11 12 11
0
66 66
0 0
0 0
0 0 0 0
x
x xx
y
y yy
xy xy
y
x
φ
x
M B B ε C C
φ
M B B ε C C
y
M B γ C
φ

φ
y x
 
∂
 
∂
 
 
 
   
 
∂
 
 
 
   
= +
     
   
∂
     
   
   
 
 
 
∂
∂
 
+

∂ ∂
 
 

(2.1b)
0
44 45
0
45 55
.
x
xz
y
yz
Q
D D
γ
k
Q
D D
γ
 
 
 
   
=
   
 
 
 

 
 
 
(2.1c)


2.2. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO CHUYỂN VỊ
Hệ phương trình cân bằng động
2 2
0
0 1
2 2
:
xy
x x
N
N u
φ
δu I I
x y t t
∂
∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂

(2.3a)

11
2
2

0
0 1
2 2
:
y xy y
N N
φ
v
δv I I
y x t t
∂ ∂ ∂
∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂

(2.3b)
2 2
0
1 2
2 2
:
xy
x x
x x
M
M u
δφ Q I I
x y t t
∂
∂ ∂ ∂

+ + = +
∂ ∂ ∂ ∂
φ

(2.3c)

2
2
0
1 2
2 2
:
y xy y
y y
M M
v
δφ Q I I
y x t t
∂ ∂ ∂
∂
+ + = +
∂ ∂ ∂ ∂
φ
(2.3d)

2
0
0 0
2
:

y
x
Q
Q w
δw I
x y t
∂
∂ ∂
+ =
∂ ∂ ∂
(2.3e)

2.3. LỜI GIẢI NAVIER
0 0
( , , ) cos sin .
i
ωt
mn
u x y t u
αx βy e
= (2.5a)
0 0
( , , ) sin cos .
i
ωt
mn
v x y t v
αx βy e
= (2.5b)
0 0

( , , ) sin sin .
i
ωt
mn
w x y t w
αx βy e
= (2.5c)
0
( , , ) cos sin .
i
ωt
x xmn
φ x y t φ αx βy e
= (2.5d)
0
( , , ) sin cos .
i
ωt
y ymn
φ x y t φ αx βy e
= (2.5e)
Với
/
α mπ a
=
;
/
β nπ b
=
;

ω
: tần số dao động riêng
Thay các thành phần chuyển vị trong (2.5a-e) vào hệ phương
trình cân bằng theo chuyển vị (2.4a-e), nhờ trợ giúp của phân mềm
toán học MAPLE ta nhận được hệ sau:


12
0
11 12 13 14 15
0 1
0
21 22 23 24 25
0 1
2
0
31 32 33 34 35
0
0
41 42 43 44 45 1 2
0
51 52 53 54 55 1 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
mn
mn
mn

xmn
ymn
u
s s s s s I I
v
s s s s s I I
w
s s s s s ω
I
φ
s s s s s
I I
φ
s s s s s
I I
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
−
 

 
 
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
0
0
0
0
0
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 

Cũng bằng phần mềm Maple, giải bài toán tìm trị riêng của
phương trình (2.6), [S] - λ [M] = 0, ta nhận được tần số dao động
riêng của tấm với vật liệu cơ tính biến thiên FGM (xem Phụ lục kèm
theo).
2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2





13
CHƯƠNG 3.
VÍ DỤ SỐ VÀ NHỮNG NHẬN XÉT

3.1. VÍ DỤ 3.1: KHẢO SÁT BIẾN THIÊN CỦA MÔ ĐUN ĐÀN
HỒI KÉO NÉN E(Z) DỌC THEO CHIỀU DÀY TẤM VỚI CÁC
QUI LUẬT KHÁC NHAU
3.1.1. Vật liệu P-FGM

Hình 3.2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm P-FGM

14
3.1.2. Vật liệu E-FGM

Hình 3.3. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm E-FGM
3.1.3. Vật liệu S-FGM


Hình 3.4. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm S-FGM

15
3.2. VÍ DỤ 3.2
3.2.1. Ví dụ 3.2a. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính
toán tần số dao động không thứ nguyên . .
c
c
ρ
ω ω h
E
= của tấm
FGM (Al/Al
2
O
3
), điều kiện biên khớp.
Kích thước tấm vuông: a = b; chiều dày h
Với m; n = 1;2
Bảng 3.1. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
tấm vuông FGM
(Al/Al
2
O
3
) với chỉ số hàm mật độ thể tích p và a/h thay đổi
a/h (m, n) Mô hình p = 0 p =0,5 p =1 p = 4 p = 10
Luận văn 0,0148 0,0125 0,0113 0,0098 0,0094
FSDT
[4]
0,0146 0,0124 0,0112 0,0097 0,0093

HSDT
[3]
0,0148 0,0125 0,0113 0,0098 0,0094
20
m = 1
n = 1
FSDT - LV 0,02% 0,01% 0,01% 0,01% 0,01%
Luận văn 0,0577 0,0490 0,0442 0,0382 0,0366
FSDT
[4]
0,0568 0,0482 0,0435 0,0376 0,0359
HSDT
[3]
0,0577 0,0490 0,0490 0,0381 0,0364
m = 1
n = 1
FSDT - LV 0,09% 0,08% 0,48% 0,06% 0,07%
Luận văn 0,1376 0,1173 0,1059 0,0911 0,0867
10
m=1
n= 2
FSDT
[4]
0,1354 0,1154 0,1042 - 0,0850

16
HSDT
[3]
0,1377 0,1174 0,1059 0,0903 0,0856
FSDT - LV 0,22% 0,19% 0,17% 0,08% 0,07%

Luận văn 0,2112 0,1805 0,1631 0,1397 0,1324
FSDT
[4]
0,2055 0,1757 0,1587 0,1356 0,1284
HSDT
[3]
0,2113 0,1807 0,1631 0,1378 0,1301
m=1
n=1
FSDT - LV 0,56% 0,48% 0,44% 0,41% 0,4%
Luận văn 0,4618 0,3978 0,3604 0,3049 0,2856
HSDT
[3]
0,4623 0,3989 0,3607 0,2980 0,2771
m=1
n=2
Sai lệch 0,05% 0,11% 0,03% 0,69% 0,85%
Luận văn 0,6676 0,5779 0,5245 0,4405 0,4097
HSDT
[3]
0,6688 0,5803 0,5254 0,4284 0,3948
5
m=2
n=2
Sai lệch 0,12% 0,24% 0,09% 1,21% 1,49%

3.2.2. Ví dụ 3.2b. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính
toán tần số dao động không thứ nguyên . .
m
m

ρ
ω ω h
E
= của tấm
FGM (Al/ZrO
2
)
- Kích thước a = b, chiều cao h
- T
ỷ số a/h = (
10
; 5; 10; 20); p = ( 0; 1; 2; 3; 5)

- Hệ số Poison: ν = 0,3; (m
×
n) = (1
×
1)

17
Bảng 3.2. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
tấm FGM (Al/ZrO
2
)
của luận văn và các tác giả khác khi chỉ số hàm mật độ thể tích p và
a/h thay đổi
p = 0 p = 1 a/h = 5
Mô
hình

a/h =
10

a/h =
10
a/h =
20
a/h = 5

p =2 p = 3 p =5
Luận
văn
0,4618 0,0577 0,0158 0,2276 0,2264 0,2276 0,2291
FSDT
[4]

0,4618 0,0576 0,0158 0,227 0,2249 0,2254 0,2265
HSDT
[3]

0,4623 0,0577 0,0152 0,2169 0,2178 0,2193 0,2206
FSDT-
LV
0,00%

0,01%

0,00%

0,06%

0,15%

0,22% 0,26%

3.3. VÍ DỤ 3.3: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC A/H
VÀ CHỈ SỐ HÀM MẬT ĐỘ THỂ TÍCH P ĐẾN TẦN SỐ DAO
ĐỘNG KHÔNG THỨ NGUYÊN CỦA TẤM FGM (
AL /A L
2
O
3
)

Kích thước b/a = 2, chiều cao h, tỷ số a/h = (2 100)
Hàm mật độ thể tích p (0 500)

Hệ số Poison: ν = 0,3; (m; n) = (1;1)

18
Bảng 3.3. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
của tấm FGM khi
chỉ số hàm mật độ thể tích p và tỷ số a/h thay đổi


a/h

p

2

5

10

20

50

100

0

1,3113

0,6882

0,3652

0,1856

0,0746

0,0372

0,5

1,1348

0,5864

0,3098

0,1573

0,0632

0,0316

1

1,0300

0,5295

0,2794

0,1418

0,0569

0,0286

2

0,9299

0,4803

0,2539

0,1289

0,0518

0,0259

5

0,8499

0,4506

0,2400

0,1221

0,0491

0,0246

10

0,8050

0,4335

0,2320

0,1182

0,0475

0,0238

20

0,7617

0,4109

0,2199

0,1121

0,0451

0,0226

30

0,7393

0,3974

0,2124

0,1082

0,0435

0,0218

50

0,7164

0,3828

0,2042

0,1040

0,0418

0,0209

100

0,6947

0,3685

0,1962

0,0998

0,0401

0,0201

200

0,6819

0,3600

0,1913

0,0973

0,0391

0,0196

500

0,6734

0,3543

0,1881

0,0957

0,0384

0,0192

19

Hình 3.5. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
(m = n =1), của tấm
FGM biên tựa khớp, với p thay đổi theo các giá trị của tỷ số a/h

Hình 3.6. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
(m = n =1), của tấm
FGM biên tựa khớp, với tỷ số a/h thay đổi theo giá trị của p

20
3.4. VÍ DỤ 3.4: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC TẤM
A/H VÀ B/A ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG KHÔNG THỨ
NGUYÊN . .
c
c
ρ
ω ω h
E
= CủA TấM FGM (AL/AL
2
O
3
)
Chỉ số kích thước a
×

b, chiều cao h
Tỷ số b/a = (1 3) và a/h = (2 100)
Chỉ số hàm mật độ thể tích p = 0,2
Bảng 3.4.Tần số dao động không thứ nguyên
ω
của tấm FGM khi tỷ
số b/a và a/h thay đổi


a/h

b/a

2

5

10

50

100

1

1,7424

0,9845

0,5362

0,1107

0,0554

1,5

1,3725

0,7323

0,3907

0,0800

0,0400

2

1,2299

0,6407

0,3392

0,0692

0,0346

2,5

1,1611

0,5976

0,3153

0,0643

0,0321

3

1,1229

0,5740

0,3022

0,0616

0,0308



21

Hình 3.7. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
(m = n =1), của tấm

FGM biên tựa khớp, với tỷ số a/h thay đổi theo các giá trị của tỷ số
b/a, p = 0,2

Hình 3.8. Tần số dao động không thứ nguyên
ω
(m = n =1), của tấm
FGM biên t
ựa khớp, với tỷ số b/a thay đổi theo các giá trị của tỷ số
a/h; p = 0,2

22
3.5. VÍ DỤ 3.5 SO SÁNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG CƠ BẢN
(M = N =1) CỦA TẤM FGM LÀM TỪ 2 LOẠI CERAMIC
KHÁC NHAU: FGM1 (AL/AL
2
O
3
) VÀ FGM2 (AL/ZrO
2
)
Chỉ số kích thước a = 8m; b = 2a; chiều cao h=0,1
Chỉ số tỷ lệ thể tích p = (0 1000)
Hệ số Poison: ν = 0,3; (m;n) = (1;1)
Bảng 3.5. Tần số dao động cơ bản
ω
(m = n = 1) của tấm FGM1 tạo
thành từ (Al/Al
2
O
3

) và tấm FGM2 tạo thành từ (Al/ZrO
2
) khi chỉ số
hàm mật độ thể tích p thay đổi
Tần số dao động cơ bản
ω

p

Al/Al
2
O
3

Al/ZrO
2

0

0,00184

0,00109

0,5

0,00156

0,00103

1

0,00141

0,00100

2

0,00128

0,00100

5

0,00121

0,00103

10

0,00118

0,00102

50

0,00103

0,00097

100

0,00099

0,00096

1000

0,00094

0,00094



23

Hình 3.9. Tần số dao động cơ bản
ω
(m = n = 1) của tấm FGM1 tạo
thành từ (Al/Al
2
O
3
) và tấm FGM2 tạo thành từ (Al/ZrO
2
) khi chỉ số
hàm mật độ thể tích p thay đổi
3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Với mục đích khảo sát kết quả số bài toán dao động tự do của
tấm FGM, tác giả đã xây dựng chương trình tính theo lời giải giải tích
bằng ngôn ngữ MAPLE để tính toán tần số dao động riêng của tấm.

Chương trình tính cho phép tính toán tần số dao động riêng của tấm
với các dạng dao động khác nhau (m, n thay đổi) và khảo sát các bài
toán sau:
Xét ảnh hưởng của tham số vật liệu - chỉ số hàm mật độ thể
tích p đến tần số dao động không thứ nguyên của tấm.
Xét ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm b/a, a/h đến tần số dao
động không thứ nguyên của tấm.
Xét
ảnh hưởng của các vật liệu thành phần của composite FGM
đến tần số dao động cơ bản
ω
của tấm