64 câu khảo sát hàm số với lời giải chi tiết

C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

11


Chu
yªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n

Bài
1:

1)
Khảo sát hàm số:



1
1
x
y
x

(C) TXĐ: D = R \ (1)
2
2
'
0
(
1)
y

x


 

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh.
TCĐ: x = 1 vì

 
1
lim
x
y

TCN: y = 1 vì


lim
1
x
y

BB
T:

Đồ thò:


2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1

(d) tiếp xúc (C)








2
x+1

= k(x-3) + 1 (1)
x-1
-
2
=
k (2)
(
x-1)
co
ù nghiệm
Thay (2) vào (1) :




2
1 -2(x-3)
1

1
(x-1)
x
x


         
2
2
1
2( 3) ( 1) 4 8 2
x
x x x x

Thay vào (2)
  
2
k
Vậy
phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7
3)

0
0 0
(
, ) ( )
M
x y C
. T
iếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác

có diện tích không phụ thuộc M.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

 
0 0 0
'
( )( )
y
f x x x y



  

  
  
  
2
0
0 0
0
2 2
0 0 0
2
0
1 3 1
3
)
1 ( 1) ( 1)
-3

(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x

Gi
ao điểm với tiệm cận đứng x =1.
 


   




 
0
0
0 0
4
4
1
1,
1
1
x
x

x y A
x x

Gi
ao điểm với tiệm cận ngang y = 1.
 
 
   
 
 
0
0
5 2 5 2
1 ,1
3 3
x x
y x B

Gi
ao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)
Ta có :


      

0
0
0
4
5 21 1 1

. . 1 . 1
2
2 2 1 3
A
I B I
IAB
x
x
IA IB y y x x
x
S



  

0
0
5
21 5 25
.
1 hằng số
2
1 3 6
x
x

Vậy:
IA
B

S
kh
ông phụ thuộc vào vò trí điểm M.
A
B
M
O
x
y
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

12


C©
u 2: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
1
x
y
x




TXĐ: D=R\{1}



3
,
0
2
1
y
x


 

Ha
øm số giảm trên từng khoảng xác đònh
TCD: x=1 vì
lim
1
y
x


 

TCN: y=1 vì
l
im 1
y
x





BB
T:

Đồ thò:

2) Xác đònh a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến
(C)
sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x.
Gọi
( ; ) ( )
0 0
M x y C

2
0
0
1
0
x
y
x

 


Phư
ơng trình tiếp tuyến của (C) tại M:
'

(
)( )
0
0 0
y
f x x x y

 

2
2 4 2
3
3
0 0 0
( )
0
2 2 2
1
(
1) ( 1) ( 1)
0
0 0 0
x x x
y x x y x
x
x x x
  


      


  

Tie
áp tuyến qua A(0,a)
2
4
2
0
0
2
( 1)
0
x x
a
x






2
(
1) 2( 2) 2 0
0
0
a x a x a

     

(
1)
(vì
0
x
=
1 không là nghiệm)
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:
1 0
1
,
2
0
a
a
a
 





 
 
 


Kh
i đó (1) có 2 nghiệm là
0

x
,
1
x


T
ung độ tiếp điểm
2
0
0
1
0
x
y
x



v
à
2
1
1
1
1
x
y
x





Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía
Ox.
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

13
 
2 2( ) 4
2
0 0 1 0 1
1
0 . 0 0
0 1
1 1
1
0 1
0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 2
1 1
0 0 3 2 0
2 2( 2)
3 3
1
1 1

x x x x x
x
y y
x x
x x x x
a a
a
a a
a a
a a
a a
   

     
 
  
 
 
 
 
         
 

 
 

To
ùm lại:
2
, 1

2
3
a
a
a

 








2
3
a



v
à
1
a


ĐS:
2
,

1
3
a
a




C©
u 3: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
2
1
1
x
x
y
x





TXĐ: D = R\{-1}
2
2 4
'
2
(

1)
x x
y
x




0
' 0
2
x
y
x


 

 


Tiệm cận đứng: x= -1 vì
lim
1
y
x





Ta co
ù:
2
2 1
1
y x
x
  

Tie
äm cận xiên: y = 2x - 1 vì
2
l
im 0
1x
x







BB
T

Đồ thò:
Cho x = 1 suy ra y = 2.

2) Gọi M
 (C) có X
M
= m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách
từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m.
Ta có: X
M
=
m
2
2 1
1
y m
M
m
   


Tie
äm cận đứng : x + 1 = 0 (D1)
Suy ra d
1
(M
, D1)
1
1
1

m
m


 


Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d
2
(
M,D2) =
2
2 2 1 1
2
1
5 5 1
m
m
m
m
   




Suy
ra d
1
.d
2

=
2 2
1
5 1 5
m
m
 

(kh
ông phụ thuộc m)
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

14
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
2
2 2
1
x mx
y
x
 



1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4.
Ta có:
2
2

1
m
y
x m
x

  


Với
0
m

th
ì TCX: y = 2x + m + 2 vì
l
im 0
1
m
x
x





Gi
ao điểm TCX và Ox: y = 0











 0,
2
2
2
2 m
A
m
x

Gi
ao điểm TXC và oy:
0
2 (0, 2)
x
y m B m

    

1
1 2
.
2 4

2
2 2
OA
B
m
S
OA OB m


    


2
2
( 2) 16
6
m
m
m


   

 

(
thỏa điều kiện
0
m


)
2)
Khảo sát và vẽ đồ thò khi m = -3:
2
2
3 2
(C
)
1
x
x
y
x






TXĐ: D = R\ {1}
0
)1(
542
'
2
2





x
xx
y

1


x


Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác đònh.

TCĐ: x = 1 vì
lim
1
y
x
 


TC
X: y = 2x - 1 (theo câu 1)

BBT:


Đồ thò:
0
2, 2 0
x

y x y

    





C©u 5: (2 điểm)

Cho: y = x
4
–
(m
2
+
10)x
2
+
9 (C
m
).

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 0. y = x
4
–
10x
2
+ 9

TXD: D = R
3
2
' 4 20 4 ( 5)
y x x x x
   


0
'
0
5
x
y
x









5
44
2
'
' 12 20 '' 0
3

9
y x y x y

       


điểm uốn
5
44 5 44
; ;
3
9 3 9

 
  

 

 

 

BBT:

www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

15
Đồ th

ò:
Cho
2
1 1
0
2 3
9
x x
y
x
x

  


  

 










2) Chứng minh rằng với


0
m

, (C
m
) luôn luôn cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm

(-3,3)
và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
)
và Ox.
4
2 2
(
10) 9 0
x
m x

  
(
1) Đặt
2
(
0)
t
x t




Phư
ơng trình trở thành:
2
2
(
10) 9 0
t
m t

  
(
2)
Ta có:











mmS
P
mm
,010

09
,036)10(
2
2
2


0
< t
1
<
t
2



(
1) có 4 nghiệm phân biệt
2
1 1 2
x
x x x

   

Đa
ët f(t) =
2
2
( 10) 9

t m t
  
T
a có: af(9)=
2
2
81 9 90 9 9 0, 0
m m m
       

0 9
1 2
t t
   

2
9
( 3;3)
1 1
3 3
2
1 1 2
2
( 3;3)
9
2
2
x x
x
x x x

x
x


 

 

         


 
 





Vậy (C
m
)
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm
(
3,3)


và 2
điểm
(
3,3)



.

C©
u 6: (2 điểm) Cho hàm số
3
2
(
) ( 3) 3 4
y
f x x m x x

    
(
m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò này.
Ta có:
2
2
' 3 2( 3) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1)
y x m x y x m x         

Ha
øm số có CĐ, CT

(
1) có 2 nghiệm phân biệt.
2 2

'
0 ( 3) 9 0 6 0 6 0
m
m m m m

             

Ch
ia f(x) cho f’(x) ta được :
1
1 2 1
2
'
( ) ( 3) ( 6 ) 5
3
9 9 3
y f x x m m m x m
 

     


 

Va
äy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là:
2
1
2
(

6 ) 5
9
3
y
m m x m

   
.
2) Tìm m để
(
) 3
f
x x

v
ới mọi
1
x

T
a có:
4
3
2
(
) 3 , 1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1
2
f
x x x x m x x m x x
x


              

www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

16
m
in ( )
1
m
g x
x



v
ới
4
(
) 3
2
g
x x
x

 

Ta co

ù:
3
8 8
'( ) 1 , 1 ; '( ) 0 2
3
3
x
g x x g x x
x x

       

+)
BBT:
min
( ) 0
1
g x
x



Vậy:
0
m


C©
u 7: (2 điểm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
2
6
9
(
)
2
x
x
y
C
x



 

 TXĐ:
D = R\ {2}
2
4
3
'
2
( 2)
x
x
y
x








1
' 0
3
x
y
x


 




TC
Đ: x = 2 vì
lim
2x



;
Ta có:
1

4
2
y x
x
   
 

TC
X: y = - x + 4 vì
1
l
im 0
2x
x




 

BB
T:

Đồ thò:
Cho x = 0
9
2
y



b)
Tìm M

Oy
sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)
song song với đường thẳng y=
3
4

x
có dạng.
Gọi M(0, b)
Oy

, tiếp
tiếp qua M song song
đường thẳng
3
4
y x
 
co
ù dạng: (D):
3
4
y x b
  

(D) tiếp xúc (C)
2
6
9 3
(1)
2 4
2
4 3 3
(2)
2
4
( 2)
x x
x b
x
x x
x

 

  
 





  

 


 

co ùnghiệm

(2)
2
4 0 0 4
x x x x
      

Thay vào (1):
9 5
0
; 4
2
2
x
b x b

    


Vậy :
9
5
(
0; ), (0; )
1
2

2
2
M
M

C©u 8: (2 điểm)

a)
Khảo sát (1)
3 2
2
3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)
y
x m x m m x     
k
hi m= 1:
3
2
1
: 2 9 12 1
m
y x x x

   

TXĐ: D= R
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

17
1 6
2
' 6 18 12 ; ' 0
2 5
3 11 3 11
'' 12 18 ; '' 0 ,
2 2 2 2
x y
y x x y
x y
y x y x y
  

    

  

 
       
 
 
điểm uốn I




BBT:

Đồ thò:

b) Chứng minh rằng

m
hàm số (1) luôn đạt cực trò
tại x
1
, x
2
với
x
1
-
x
2
k
hông phụ thuộc m.
Ta có:
3
2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
2 2
' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2
(
2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m y x m x m m

m m m
     
           
      


(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1
2
,
x
x
.

Hàm số luôn đạt cực trò tại
1
2
,
x
x
.
Ta có:
2 1 1 2 ; 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
x m m x m m x x m m              
(hằng số)


Vậy:
2

1
x
x

k
hông phụ thuộc m.

Bµi 9: (2 điểm)


a) Khảo sát hàm số:
2
5
4
y
x x

 
.

Tập xác đònh: D = R
y’= 2x – 5

BBT:
Đồ thò:

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:
2
(
) : 5 6
1
P
y x x

 
v
à
2
(
) : 5 11
2
P
y x x

  

www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

18
-
Gọi




: y
= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2).
-



tie
áp xúc với (P1) và (P2).
2
5 6
2
5 11
x x ax b
x x ax b

   




    

co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

2
(5 ) 6 0
2
(5 ) 11 0
2

0
10 4 1 0 3 3
1
0 2 10 5
10 4 19 0
2
x a x b
x a x b
a a b a a
b b
a a b

    




    


 

      
 
 
   
   
    
 
 

   


co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

Va
äy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5

C©u 10: (2 điểm)

a)
Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
3
2
3 ( )
y x x C
 

TXĐ:
D = R
2
'
3 6 3 ( 2)
y
x x x x

  

0
' 0
2
x
y
x


 

 


'
' 6 6
y
x




'
' 0 1 2y x y      
Đ
iểm uốn I(-1, 2)



+)
BBT:

Đồ thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4


b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi

M(a
,0) Ox
, đ
ường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:
y = k( x - a)
(d) tiếp xúc (C)
2
3 ( ) (1)
2
3 6 (2)
x x k x a
x x k

  




 


3
co ùnghiệm

Thay (2) vào (1):
2 2
3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x x x x x a x a x ax
x
x x a x a
x a x a
        


 
     

 
 
   


3 3 2
2
2

Với x
= 0


k
= 0

1
tiếp tuyến là y = 0.
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

19
+)
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

(
3) có 2 nghiệm phân biệt
,
0
1
2
x
x

v
à
1
1
2
k
k



.
0
0
2
0
9( 1) 48 0
2 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
3
1
3
vì x x = - 3a
3
1 2
2
81 81 ( 1) 108 1 0
3(a-1)
x + x =
1 2
2
a
a
a a
x x x x x x x x x x x x
a a

a a
a a a a
 


 
 
      
 
 
        
 
 

     


     

 
 

 

    
 

 

 


và a 0
và a 0
-27a
1
2
7
a







+ 1 = 0

Va
äy chỉ có 1 điểm
1
(
,0)
27
M Ox

th
oả điều kiện bài toán.
C©u 11: (2 điểm)

Cho hàm số:



4
3 2
3
4 1 6 1 ( )
y
x m x mx m C
m

    

1)
Khảo sát hàm số khi m= -1:
4 2
3
6 2
y
x x

 

TXĐ: D = R


3 2
' 12 12 12 1
y x x x x
   

0
' 0
1
x
y
x


 

 


1 1 1 1
2
'' 36 12 '' 0 , ,
3 3 3
3
y x y x y
   
         
   
   
1 1
điểm uốn -
3 3

BB
T:

Đồ thò:
Cho y=2
0
4
2
3 6 0
2
x
x
x
x


   

 


2)
Tìm giá trò m < 0 để (C
m
)

và
( ) : 1
y
 
co
ù ba giao điểm phân biệt.
Ta có:


4 3 2
3 4 1 6 1 ;
y x m x mx m
     

   
0 1
3 3 2
' 12 12 1 12 12 1 ' 0 1
4 3
2 1
x y m
y x m x mx x x m x m y x y m
x m y m m m

   

 
             

 

 

      




x
-  -1 0 1
+ 
y’ - 0 + 0 - 0 +

y +  2 +
CĐ
-1 -1
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

20

(
)
C
m
Và



cắt n

hau tại 3 điểm phân biệt nếu đường thẳng :y=1 đi qua điểm cực trò
của
(
)
C
m
.


 
1 1 0( )
1 1( )
4 3
2
2 1 1
1 1 0
m m
m m
m m m
m m m m


  



   





    

   



loại
loại

0
( )
1 ( )
1 5
( )
2
1 5
(
)
2
m
m
m
m

















loại
loại
loại
n
hận vì m < 0

ĐS
:
1 5
2
m



C©
u 12: (2 điểm)

Cho
 
3

2
3
2 2 ( )
y
x x m x m C
m

   

1)
Khảo sát và vẽ đồ thò
(
)
1
C

khi m = 1.
3 2
3
3 2 ( )
1
y
x x x C

  

TXĐ: D = R




2
2
' 3 6 3 3 1 0
y x x x
     
suy ra hàm số luôn tăng trên R
' 0 1 ; '' 6 6
y x y x
     

;
'' 0 1 1y x y
      
đ
iểm uốn I(-1, 1).
 BBT:

 Đồ thò:

Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0
'
0y
I


tie
áp tuyến tại I song song Ox.
2) Tìm m để
(

)
m
C
cắt tru
ïc hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)
m
C
v
à Ox.

   


3 2 2
3 2 2 0 2 0
2
(1)
2
0 (2)
x x m x m x x x m
x
x x m
         
 




  




( )
m
C
cắt Ox
tại 3 điểm có hoành độ âm

(2)
có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2.
2 2
2
0 1 4 0
1 1
0
0 0
4 4
0
0 1 0
m m
m
m
m m
P m
m
S
   

 
 

 

   
  
      
  
 
  

  
  

 
ĐS:
1
0
4
m



C©u 13: (2 ®iĨm)

Cho
3
2
7

3
y
x mx x

  
(
1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 5.
3 2
5
7 3
y
x x x

  

TXĐ :


y’= 3x
2
+10
x + 7
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

21
1
0

5
16
'
0 ; '' 6 10 '' 0
7 32
3 27
3
27
x y
y y x y x y
x y
   


         

   




đ
iểm uốn
5 16
,
3 27



 



.

BB
T :

Đồ thò:



2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu.
Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu.
Ta có :
3
2 2
7
3; ' 3 2 7
y
x mx x y x mx

     


2
'
0 3 2 7 0(*)
y
x mx    

Ha
øm số có cực đại và cực tiểu
(*)

có
hai nghiệm phân biệt
2
'
0 21 0
m

    


21
m
 
v
2
1
m 

Ch
ia y cho y’ ta được :
2
1
2(21 ) 27 7
'( )
3 9 9 9
m

m m
y f x x
 
 
   
 
 

Va
äy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
2
2(
21 ) 27 7
9
9
m
m
y
 
 

C©
u 14: (2 điểm)


4 2
2
y
x x





1a) Khảo sát và vẽ:
TXĐ:


3
'
4 4
y
x x


2
1 5
'
0 0 1 ; '' 12 4; " 0
9
3
y
x x y x y x y

             

=> Điểm uốn
1
2
1 5 1 5
; , ;

9 9
3 3
I I
   
    
   
   

BBT:


Đồ thò:

+) 1b. Biện luận số nghiệm:
Ta có :
4
2
2
0
x
x m

 

4
2
2
x
x m


 

Dựa
vào đồ thò (C) ta kết luận :
m< -1: vô nghiệm. ; m= -1: 2 nghiệm.
-1< m < 0: 4 nghiệm. ; m= 0: 3 nghiệm. ; m> 0: 2 nghiệm.

www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

22


C©
u 15: (2 điểm)
a.Khảo sát hàm số :
2
4
8
2




x
x
y
x

(C) TXĐ:
\
{ 2}


D
R

2
2
4
'
(
2)



x
x
y
x


0
' 0
4


 


 

x
y
x

 Tie
äm cận đứng: x = -2 vì
2
4
l
im
2





x
x

 Chia tử cho mẫu:
4
2
2

 

y
x

x



T
iệm cận xiên: y= x + 2 vì
4
lim
0
2



x
x

 BB
T:
 Đồ thò:

b.Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò hàm số
:
2
1
4
8
2





x x
y
x

1
( )
C


Ta có :
1
nếu x > -2
-y
nếu x < -2
y
y





Do đó đồ thò
1
( )
C
su
y từ (C) như sau:
- Nếu x > -2 thì
1

(
) ( )

C
C


- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được
1
(
)
C

c. Xá
c đònh tập hợp những điểm mà không có đồ thò nào trong họ
(
)
m
C
ï đi qua:

2
2
4
8
2

 



x x m
y
x

(
)
m
C


Gọi
2 2
0 0
0 0 0
0
4 8
( , ) ( ),
2
  
   

m
x x m
M x y C m y
x
vô
nghiệm với mọi m
0
2


 
x


hoặc
2
2
0 0 0 0
(
2) 4 8

   
m
y x x x
vô nghiệm theo m.

          








2
2
0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0

0 0
0
2
0 0
0 0
0
( 2) 4 8 0 ( 2) 4 8
x +4x +8
y < (nếu x >-2)
x +2
x +4x +8
y > (nếu x <-2)
x +2
y x x x y x x x



M
miền (I) giới hạn bởi (C) với x
>
-2
M miền (III) giới hạn bởi (C) với x<
-2







Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ
Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C).
(
C)
(C1)
(
I)
X
Y
(
III)
-4
O
4
2
(
C1)
-2
-4
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

23
C©
u 16:


1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:


       
2
3 2
(
1) ( 4) 6 9 4
y
x x x x x

 TXĐ:
D = R



      

 


         
2
1
' 3 12 9 ' 0
3
'
' 6 12 " 0 2 2
x
y x x y
x
y x y x y

Điểm uốn :( -2, -2)
 BBT:

 Đồ thò :

2) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của
phương trình :
    
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)
x x m m

       
2
2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)
x x m m

Đa
ây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và đường thẳng (d) có phương trình :
   
2
( 1) ( 4)
y m m

-
Số giao điểm là số nghiệm của phương trình .

 Biện luận:
         
2
2
( 1) ( 4) 4 ( 3) 0 0
m m m m m
: 1
nghiệm

        
2
(
1) ( 4) 4 0 3
m
m m m
: 2
nghiệm

        
2
4
( 1) ( 4) 0 4 0
m
m m
: 3 nghiệm

        
2
(
1) ( 4) 0 1 4

m
m m m
: 2
nghiệm

     
2
(
1) ( 4) 0 4
m
m m
:1
nghiệm

C©u 17: ( 3 điểm)
Cho:
2
( 1)( )
y x x mx m
   

(1)
1) Khảo sát hàm số (1) tương ứng với m= -2:
2
3 2
( 1)( 2 2) 3 2
y x x x y x x
      

Tập xác đònh : D = R

2
'
3 6 3 ( 2)

  
y
x x x x


0
' 0
2


 



x
y
x

'
' 6 6


y
x

"
0 1 0

   
y
x y


Điểm
uốn : I(1, 0)
BBT:
Đồ thò:
Điểm đặc biệt :
2) Tìm m để đồ thò (1) tiếp xúc trục hoành.
Xác đònh toạ độ tiếp điểm.
Ta có :
3
2
(
1)
y
x m x m

  

(1)
Đồ thò (1) tiếp xúc trục hoành
3 2
2
x

+(m-1)x -m=0 (2)
3x
+2(m-1)x=0 (3)






có
nghiệm .
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

24


0
(
3) 3 2( 1) 0
2(
1)
3
x
x
x m
m
x




    


 


Th
ay vào (2) :
3
3
3 3 2
2
0 0
2( 1) 8 4
( 1) ( 1) 0
3 27 9
4( 1) 27 0 4 12 15 4 0
4
( 4)(4 4 1) 0
1
2
x m
m
x m m m
m m m m m
m
m m m
m

  

        
        



     

 


Hoành
độ tiếp điểm là :
1
0
0 4 2 1
2
m
x m x m x

         

Vậy đồ thò (C) tiếp xúc Ox khi: m= 0, m= 4,
1
2
m



To
ạ độ tiếp điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)
C©u 18: ( 3 điểm)

1)
Khảo sát hàm số:



1
1
x
y
x

(C) TXĐ: D = R \ (1)
2
2
'
0
( 1)
y
x


 

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh.
TCĐ: x = 1 vì


 
1
lim
x
y

TCN: y = 1 vì


lim 1
x
y

BB
T:

Đồ thò:






2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) + 1
(d) tiếp xúc (C)









2
x+1

= k(x-3) + 1 (1)
x-1
-2
=
k (2)
(x-1)
co
ù nghiệm
Thay (2) vào (1) :




2
1 -2(x-3)
1
1
(x-1)
x
x


         

2
2
1
2( 3) ( 1) 4 8 2
x
x x x x

A
B
M
O
x
y
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

25
Th
ay vào (2)

 
2
k


Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7
3)

0

0 0
(
, ) ( )
M
x y C
. T
iếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác
có diện tích không phụ thuộc M.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
  
0
0 0
'( )( )
y f x x x y


  

  
  
  
2
0
0 0
0
2 2
0 0 0
2
0
1 3 1

3
)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x

Giao điểm với tiệm cận đứng x =1.




   


 


0 0
0 0
4
4
1 1,
1 1
x

x
x y A
x x

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1.
 
 
   
 
 
0
0
5 2 5 2
1 ,1
3 3
x x
y x B

Gi
ao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)
Ta có :
 
      


   

0
0
0

0
0
4 5 2
1 1 1
. . 1. 1
2 2 2 1 3
5 2
1 5 25
. 1 hằng số
2 1 3 6
A
I B I
IA
B
x x
IA IB y y x x
x
x
x
S


Vậy:
IA
B
S
không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
C©u ( 2 điểm)

Cho


  
3
(
) 2( 1)
3
m
y
f x x m x

a) Khảo
sát hàm số khi m= 1:


3
1
4
3
y
x x

 TXĐ:
D = R
2
'
4
y
x








       


;
2
'
0 " 2 " 0 0 0
2
x
y
y x y x y
x

Đi
ểm uốn O(0, 0).
BBT:

Đồ thò:
Cho

   
16
4

3
x
y

  
16
4
3
x y


b)
Tìm m để đồ thò hàm số có cực đại,
cực tiểu sao cho:
  
2
3
2
( ) (4 4)
9
CĐ
CT
y y m

Ta co
ù:

 
3
2

( 1)
3
m
y
x m x


  
2
' 2( 1)
y mx m

-2
2
+
1
6
3
x
y
’
y
+
+
+
1
6
3
0
0

www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

26

   
2
'
0 2( 1) 0
y
mx m

(1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu

(
1) có 2 nghiệm phân biệt


     
2( 1)
0
1 0
m
m
m
m

Khi đ

ó (1) có 2 nghiệm

1
2 1 2
,
( )
x
x x x




1
(
)
C
Đ
y
f x
và

2
(
)
C
T
y
f x

Để tìm
CĐ
y
v
à
CT
y
ta ch
ia f(x) cho f’(x) thì được:
 
 
 
 

1 4
( 1)
3 3
( ) '( ).
x m x
f x f x



 
  
 
1
2
1
2

4
(
1)
3
4
(
1)
3
( )
( )
CĐ
CT
m
x
m x
y f x
y f x



1
2
(
Vì f'(x ) 0, '( ) 0)
f
x

Theo giả thiết:

 

2
3
2
(
) (4 4)
9
CĐ
CT
y
y m


        
    
 
2
2 3
1 2 1 2
2
1
6 2
(
1) ( ) 64( 1) ( ) 8( 1) ( Vì m+1 0 )
9
9
8(m+1) -2(m+1)
S 4 8(m+1) 0 (vì S = 0 , P = )
m
m = 1 ( Vì m+1 0 )
m x x m x x m

P
m

So
với điều kiện

m
< -1 m > 0
n
hận giá trò m = 1 ĐS: m = 1.

C©u 20: ( 2 điểm)


1) Khảo sát hàm số:
 

1
1
y x
x

(C) Tập xác đònh:



\ 1
D R



2
2 2
1
2
'
1
(
1) ( 1)
x
x
y
x
x

  
 

0
' 0
2
x
y
x


 




 Tiệm cận đứng: x = 1 vì

 
1
lim
x

 Tie
äm cận xiên: y = x vì




1
lim
0
1
x
x

 BB
T:

 Đồ thò:


2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(0, 3)
- Đường thẳng (D) qua A và có hệ số góc k: y = kx +3
(D) tiếp xúc (C)










 



2
1
kx
+ 3 (1)
1
1
1 k (2)
(
1)
x
x
x
có nghiệm
- Thay (2) vào (1) :
X
O
Y
2

-
1
1
3
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

27

  
 

        









 



2
2
2

1
3
1
( 1)
1
3( 1) 3 8 4 0
2
0
2
8
3
x
x
x
x x
x x x x x
x
k
k
x

ĐS
: y = 3 ; y = -8x + 3
Câu 21:

a)
Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:

  
3

2
2
2
y
x x x
; TXĐ : D = R
2
'
3 4 1
y
x x

 










 
1
'
0
1
3
x

y
x

       
2
52
" 6 4 ; " 0
3
27
y x y x y
Điểm uốn
 
 
 

2 50
,
3 27
I

BBT:

Đồ Thò:

b) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và
1
(
)
D
: y
= kx + 2 .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
1
(
)
D
:




        


    
   
3
2 2
2
2
2 2 ( 2 1 ) 0
0

'
1 1
2 1 0
x
x x kx x x x k
x
k
k
x x k

Biện l
uận :
k > 0 và

1
k
: (
C) và
1
(
)
D
có
3 điểm chung.
k = 0

k = 1: 2 điểm chung.
k < 0: 1 điểm chung
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành và đường thẳng
2

( )
D
:y
= -x + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
2
(
)
D
.
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

28

         

        
3
2 3 2
2
2
2 1 2 2 1 0
(
1)( 1) 0 1 2
x
x x x x x x
x
x x x y

Gi
ao điểm của (C) và trục hoành:

         
3
2 2
2
2 0 ( 2)( 1) 0 2
x
x x x x x

Di
ện tích hình phẳng cho bởi:







 

 


  


               



1
1
1
1
4 3 2 2
3 2
2 1
2
1
2
17 41
(
2 2) ( 1) 2 2 ( )
4
3 2 2 12 12
x x x x
S
x x x dx x dx x x đvdt

CA
ÂU 22:

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
2
3
2 2
3
2

x
x
y x
x



  

(C) TXĐ: D = R\ {0}
2
2
2
'
x
y
x



;
2
' 0
2

x
y
x

 

 





TC
Đ: x = 0 vì
0
lim
x
y

 

TC
X: y = x – 3 vì
2
l
im 0
x
x



BBT:

Đồ thò:
Cho y = 0


x
2
– 3x +2 = 0
1
2
x
x








2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được
đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1.
Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b
(d) tiếp xúc với (C)
2
2
2
3
2
2
k(x
- 2) + b (1)
k
(2)

x
x
x
x
x

 











có nghiệm.
Thay (2) vào (1):
2
2
2
3 2 ( 2)( 1)x x x
b
x
x
   





(b + 2)x
2
– 4x
+ 2 = 0 (3)

Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau.

(2
) có 2 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2


0
sao cho k
1
, k
2
= -
1.
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
4 2( 2 0)

' 0
2 2
. 1
1
b
x x
k k
x x
  

 


 
 
 
 
 




www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

29
1
2
2 2 2 2

1 2 1 2
1 2
2
x
0
2
vơ
ùi
4
(
) 2 0
2
x
b
b
x
x x x
x x
b








 
   



 






2
0
0

6 2 0
3 7 (nhận)
b
b
b b
b





 
 
  
  




C
ÂU 23:

1)
Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
2
3
2 2
3
2
x
x
y x
x



  

(C) TXĐ: D = R\ {0}
2
2
2
'
x
y
x



;
2
' 0
2

x
y
x

 
 





TCĐ: x = 0 vì
0
lim
x
y

 

TC
X: y = x – 3 vì
2
l
im 0
x

x



BB
T:

Đồ thò: Cho y = 0

x
2
– 3x +
2 = 0
1
2
x
x








2)
Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được
đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1.
Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b

(d) tiếp xúc với (C)
2
2
2
3 2
2
k(x
- 2) + b (1)
k
(2)
x x
x
x
x

 










co
ù nghiệm.
Thay (2) vào (1):
2

2
2
3
2 ( 2)( 1)x x x
b
x
x

  





(b + 2)x
2
–
4x + 2 = 0 (3)
Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau.

(2
) có 2 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2


0
sao cho k

1
, k
2
= -
1.
2
2
1 2
1 2
2 2
1 2
4 2( 2 0)
' 0
2 2
. 1
1
b
x x
k k
x x
  

 


 
 
 
 
 





1
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2
x
0
2
với
4
(
) 2 0
2
x
b
b
x
x x x
x x
b









 
   


 




www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

30
2
0
0

6 2 0
3 7 (nhận)
b
b
b b
b






 
 
  
  





Câu 24:

Ch
o
4
2
2
2 ( )
m
y
x x m C

  

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 0
4
2
2 2
y x x

  

TXĐ: D = R
3
2
'
4 4 4 ( 1)
y
x x x x

  


0
' 0
1
x
y
x


 





2
'
' 12 4

y
x



;
1 13
'' 0
9
3
y x y
      
đ
iểm uốn
1
13 1 13
, , ,
9
9
3
3

  


  
   

BB
T:

Đồ thò: Cho y=2  x
4
- x
2
=0

0
2
x
x









2) Tìm m để (C
m
)
chỉ có hai giao điểm chung với trục Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
)
và trục Ox:
x
4
- 2x

2
+ 2-m = 0
(1)
Đặt t = x
2
(
t≥0)
Phương trình trở thành:
t
2
-
2t + 2 – m = 0 (2)
(1) chỉ có 2 nghiệm  (2) có nghiệm trái dấu hoặc (1)
có nghiệm kép dương
0
2
2 0
' 0
1
1 2 0
0
2
P
m
m
m
m
b
a






  
 


  
 



  



 





Va
äy (C
m
)
cắt Ox tại 2 điểm khi: m = 1 hay m > 2.
3) Chứng minh rằng m tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trò của (C
m

)
là một tam giác
vuông cân:
Ta có: y = x
4
-
2x
2
+
2 - my’= 4x
3
-
4x
2
0
'
0
1
1
y
m
x
y
y
m
x







  









Gọi 3
điểm cực trò là:
A(0, 2- m), B(-1, 1- m), C(1, 1- m)
Ta có:
1
1 0,
( 1, 1) 2 ; (1, 1) 2
2,
AC
AB m
AB
AB AC AC
AB AC m


   



        

  




 

www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

31

Vậy  ABC là tam giác vuông cân tại A, m.
Câu 25:

a)
Khảo sát hàm số: y=x
4
-
5x
2
+4 (C) T
XD: D = R
y’= 4x
3
-
10x = 2x (2x

2
-
5)
0
y
'=0
10
2
x
x










y’
’= 12x
2
–
10
5
19
'
' 0
6 36

y
x y     

 điểm uốn:
5
19 5 19
,
,
6
36 6 36
  


 

 

 

BB
T:

Đồ thò:


Cho
4 4
1
4 0
2

0 5
x
x
y x x
 

  

 

  

b)
Tìm tất cả các giá trò của a để (C) tiếp xúc với đồ
thò y=x
2
+a.
Tìm
toạ độ tiếp điểm: Gọi (P): y = x
2
+
a.
(C) tiếp xúc (P)
3
4 4 2
(1)
(2)
4 10 2
5 4
a

x x
x x x
x






 
  


có
nghiệm
 
3
3
0
(
2) 3 0 3 0
3
x
x
x x
x
x




    

 



Th
ay vào (1):
0
4; 3 5
x
a x a

      

Va
äy a = 4, a = -55. Tiếp điểm






0,4 3, 2 3, 2
  
.

Câu 26:

Cho hàm số: y = x

3
-
(2m + 1)x
2
+ (m
2

- 3m + 2)x + 4
a) Khảo sát hàm số khi m = 1: y=x
3
- 3x
2
+
4 TXD: D = R
y' = 3x
2

- 6x ;
0
' 0
2
x
y
x


 




y’
’= 6x – 6 ; y’’= 0  x = 1  y = 2  điểm uốn I(1, 2)
BBT:

Đồ thò:
x = 3, y = 4
x = -1, y = 0


www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

32
b)
Xác đònh m để đồ thò hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về
2 phía trục tung. Ta có: y = x
3
- (2
m +1)x
2
+ (
m
2
-
3m + 2)x + 4
y’= 3x
2
- 2(2m + 1)x + m

2
- 3m + 2
Đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về 2 phía của trục Oy.
 y = 0 có 2 nghiệm x
1,
x
2
tr
ái dấu  P< 0.
2
3 2
0 1 2
3
m m
m
 
    

ĐS: 1 < m < 2
Câu 27:


a) Khảo sát hàm số:
 
2
3
6
1
1
x

x
y
x




TXD: D=R\{1}

 
2
2
1
2
3
' ' 0
3
1
x
x
x
y y
x
x
 



  






Tie
äm cận đứng: x=1 vì
1
l
im
x
y




Tie
äm cận xiên: Ta có:
4
2
1
y
x
x

 


 TCX: y = x - 2 vì
4
lim

0
1
x
x





BB
T:

Đồ thò:
Cho x = 0
 y = -6
x = 2  y = 4


b) Từ đồ thò hàm số (1) hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò hàm số:

2
3 6
1
x
x
y
x
 



(C
1
)
Ta có: y≥0  (C
1
) ở
phía trên Ox.

1
ne
áu ( 1)
nếu ( 1)
y
x
y
y x




 



Suy ra cách vẽ (C
1
)
như sau:
- Phần của đồ thò (1) ứng với x > 1 trùng với (C

1
).
-
Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng
của phần này qua trục Ox ta được (C
1
).

c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thò (C).
Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có).
- Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx.
- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

 
2
2
2
3 6
(1)
1
2 3
(2)
1
x x
kx
x
x x
k
x


 





 







Thay (2) vào (1):
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

33


 
2 2
2
2
3 6 4 6 9
3 6 ( 2 3)
6 3 0
1

1
3 6 4 6 9
x k
x x x x x
x x
x
x x k
 
   
   
      
 


    
 
 


Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thò (1).
Tọa độ tiếp điểm là:
1
3
6 3 6 3 (3 6,3 6 3)
x
y M

      

2
3
6 3 6 3 (3 6, 3 6 3)
x
y M

        

Câu 28:
Cho hàm số:
3
1
y x x m (1)
3
  

1) Khảo sát hàm số (1) khi
2
m
3



3
1
2
y
x x (C)
3

3

 
TXD: D = R

2
y' x 1
x 1
y' 0
x 1
y'' 2x
2 2
y'' 0 x 0 y điểm uốn I(0, )
3 3
 
 

 




     

 BBT:


 Đồ th
ò:
Cho

x
2, y 0
4
x
2, y
3

 





2) Tìm m để đồ thò (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
Đồ thò (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

3
3
1
x
x m 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
1 2 2
x
x m (*) có 3 nghiệm phân biệt.
3
3 3
   
     

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d).
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
 (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt:
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

34

2
4
0
m
3 3
2 2
m
3
3

   

  

Câu 29 :


1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :
2

( )
2
x
x
y C
x




 TXĐ :


\ 2
D R



2
2
4 2
'
( 2)
2 6
' 0
2 6
x x
y
x
x

y
x
 



 
 

 



 Tie
äm cận đứng :
x = 2 vì
2
lim
x
y

 

Ta có :
6
3
2
y x
x
  



 Tie
äm cận xiên:
y = x + 3 vì
6
li
m 0
2
x
x





 BB
T:


 Đồ th
ò :
Cho x = 0 , y = 0
x = 1 , y = -2

X
Y
O
(
C)

2) Xác đònh b để
(
)

cắt (C
) tại 2 điểm phân biệt .
www.VNMATH.com
C
ï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

35

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại O.

1
'
( ).
2
y
f O x y x

  


(
)

qu
a B(0, b) và song song (d) có dạng :

1
( ) :
2
y x b
   


Phương trình hoành độ giao điểm của
(
)

v
à (C) :

2
2 2
2
1
2
2
2
2 2 2 4
3
2 4 0
x
x
x b
x
x

x x x bx b
x
bx b

  


     

  


(
)

ca
ét (C) tại 2 điểm phân biệt :
'
0

 



2
1
2 0 0 12
b
b b b


     


Toạ độ trung điểm I cuả MN :

2
5
2 6 3
2
1
2
M
N
x x
b b
x
x
y
y x b


  


 


  



Vậy I nằm trên đường thẳng cố đònh có phương trình :
5
2
x
y 

Câu 30:


Cho hàm số :
2
2
2
1
x
mx
y
x





1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 1:

2
2
2

1
x
x
y
x





 TXĐ :


\ 1
D R
 


2
2
2
'
( 1)
x
x
y
x




0
'
0
2
x
y
x






 

 Tie
äm cận đứng :
x = -1 vì
1
lim
x

 


Ta có:
1

1
1
y
x
x

 


 Tiệm cận xiên :
y = x + 1 vì
1
lim
0
1
x
x




 BBT:
www.VNMATH.com