Phương pháp hàm số

Bài 1. Phương pháp hàm số
Chương I. Hàm số – Trần Phương

Bài giảng 1: Phương pháp hàm số

Bài 1: Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi
x
R
∈
:
4 (1) (2 3)2 5 3 0
xx
mm−+ −+≥
Lời giải: Đặt , khi đó
2
x
t =>0


2
(1) (2 3) 5 3 0tmtm⇔− + − +≥

2
33
()
25
tt
mf
t
−+
⇔≤ =

+
t
)
(1’)
Xét hàm số f(t) trên ta có:
(
0; +∞

2
67 5
167
2
() 0
2
2(2 5)
67 5
2
t
ft
t
t
⎡
−
=
⎢
⎢
′
=− =⇔
⎢
+

−
−
=
⎢
⎣

Từ đó ta có bảng biến thiên (tự vẽ)
(1) nghiệm đúng với mọi x khi (1’) nghiệm đúng mọi t > 0, điều này xảy ra khi:

0
67 5 67 8
min f ( ) ( )
22
t
mtf
>
−
−
≤= =


Bài 2
: Tìm m để bpt sau có nghiệm:

2
4( ) ( 3)( 1) 2mx x x m x x m+++− ++≤−
(2)
Lời giải: Đk bpt có nghĩa:
0x ≥
Đặt

22
10 2( )11txx t xxx=++>⇒=+ ++≥
, do
2
2
1
01,
2
t
ttxxx
−
>⇒≥ + +=


2
(2) 2 ( 1) ( 3) 2mt m t m⇔−+−≤−

2
23
()
21
t
mf
tt
+
⇔≤ =
+−
t (2’)
Xét hàm f(t) với , ta có:
1t ≥

()
2
2
2
685
() 0, 1
21
tt
f
tt
tt
++
′
=− < ∀ ≥
+−

Suy ra hàm f(t) nghịch biến trên
[
)
1;
+
∞
.
Vậy (2) có nghiệm khi (2’) có nghiệm , xảy ra khi và chỉ khi:
1t ≥

1
5
max f(t)=f(1)=

2
t
m
≤
≤


Bài 3
: Tìm m để bpt sau có nghiệm:
(3)
1
(1 6 ) 2 (5.4 13) 1
xx
mm
+
+≤++
Bài 1. Phương pháp hàm số
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Lời giải: Làm tương tự như bài 1, đặt
2
x
t 0
=
>
. Khi đó

2
(1) (1 6 )2 (5 13) 1mt t m⇔+ ≤ + +

2

21
()
51213
t
mf
tt
−
⇔≥ =
−+
t

Xét hàm f(t) với t > 0, ta có:

()
()
2
2
2
5 165
0
25 5 7
10
() 0
5 165
51213
0
10
t
tt
ft

tt
t
⎡
+
=
>
⎢
−−−
⎢
′
==⇔
⎢
−
−+
=
<
⎢
⎣

Từ đó vẽ được bảng biến thiên của hàm f(t) (tự vẽ), suy ra bpt có nghiệm khi:

1
(0)
13
mf
−
>=


Bài 4

: Tìm m để bpt sau có nghiệm:

22
2( 1)152 2(11 )mx m x x m x++ + − − ≥ −
(4)
Lời giải: Đk:
2
15 2 0 5 3xx x−−≥⇔−≤≤
Đặt
2
15 2 0 4txxt=−−⇒≤≤
và
2
222xx t
2
7
+
−=−−
. Khi đó:
2
(4) ( 7) 2 ( 1) 0mt m t⇔−−+++≥

2
2
()
7
t
mf
tt
+

⇔≤ =
−+
t
]

Xét hàm f(t) trên đoạn
[
, ta có:
0; 4

()
2
2
2
1
45
() 0
5
7
t
tt
ft
t
tt
=
⎡
+−
′
=− = ⇔
⎢

=
−
⎣
−+

Từ đó vẽ được bảng biến thiên của hàm f(t) (tự vẽ), suy ra bpt có nghiệm khi:

[]
0;4
1
ax ( ) (1)
3
t
mm ft f
∈
≤==


Bài 5
: Tìm m để bpt sau có nghiệm:

2
3( 4 5 ) 1 2 20 0xxmxx++ − ++ +− ≤
(5)
Lời giải: Đk:

45x−≤ ≤
Đặt
22
450 9220txxt x= ++ − >⇒ =+ +−x

2
91833tt⇒≤ ≤ ⇒≤≤ 2

Khi đó:
2
(5) 3 1 ( 9) 0tmt⇔++ −≤
• t = 3 không là nghiệm của bpt
• Với
332t
thì bpt tương đương với:
<≤
Bài 1. Phương pháp hàm số
Chương I. Hàm số – Trần Phương

2
31
()
9
t
mf
t
t
+
≤− =
−

Ta có
()
2

2
2
3227
() 0
9
tt
ft
t
++
′
=>
−

Suy ra hàm luôn đồng biến trên
(
3; 3 2
⎤
⎦
suy ra bpt có nghiệm khi:

92 1
(3 2)
9
mf
+
≤=−

Vậy đs là
92 1
(3 2)

9
mf
+
≤=−


Bài 6
: Tìm m để bpt sau có nghiệm:

2
(1 4 ) 1 3 2mxxmxxx−− +≤ −−−
(6)
Lời giải: Đk:

23x≤≤
Khi đó:
22
21
(6) ( )
343
xx
f
xm
xx xx
−+ +
⇔= ≤
−++−

Dễ thấy hàm f(x) đồng biến, do tử số đồng biến, còn mẫu nghịch biến và dương
Do đó, bpt có nghiệm khi và chỉ khi:

23
3
n f(x)=f(2)=
26
x
mmi
≤≤
≥
+


Nguồn:
Hocmai.vn