Phuong phap ham so giai phuong trinh

Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT
I.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT:

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm
của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y
thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f đồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.

Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa
phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh
được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất
nghiệm.

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc
luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g
nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.

Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác

tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi đó pt có
nhiều nhất là m+1 nghiệm.
Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.

Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D
thì .

Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
.
.
.
.
Giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ
gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm
đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là
nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau.
ĐK:
Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
nên hàm số f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng
biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ
dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến.

* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu
căn nhận giá trị là số chính phương.

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp
khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến
và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài
1)
3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy
nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên
hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu đặt thì phương
trình đã cho trở thành:
, trong đó là một hàm liên tục và
có nên f(t) luôn đồng biến. Do đó
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
, do vậy nếu đặt
, khi đó phương trình trở
thành:
, trong đó với t>0 .
Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy
.

Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng
minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa
dự đoán. Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
.
.
Giải:
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không

quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số
có g''(x)>0 (vì khi đó theo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều
nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.

2) Đk: x>-1/2.
, trong đó là hàm liên tục và đồng biến. Do đó

Xét hàm số , ta có: , suy ra pt
g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy
x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0
nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo
cách sau
* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần
chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0,
dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . Từ
đây ta suy ra được . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có nên f(x) là hàm đồng biến.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là

hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ
vào bản thân của phương trình.
*Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó
là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ
thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán
về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong
các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng
phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán
về Bất Phương trình.

Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.

Giải:
1) ĐK: .
Xét hàm số
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6.
Do đó
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ĐK: .
Xét hàm số , ta có
suy ra f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác:
Do vậy Bpt
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Giải:
Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1.
, trong đó
với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có được
là ngiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 6: Giải hệ pt: .

Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có :
(vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch
biến trên .)
Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: .

Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình
của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được
khi f(t) liên tục và đơn điệu

Ví dụ 7:Giải hệ phương trình: .

Giải: Đặt t=2x-y. Khi đó (1) trở thành:
(*)
Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t=1 là một nghiệm
của (*). Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1
t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta được: (Vì hàm
là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0).

Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1).

Ví dụ 8: Giải hệ: .
.
Giải: Xét hàm số
Khi đó hệ có dạng : .
ta có: nên f(t) là hàm đồng biến
Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra
Vậy , thay vào hệ ta được phương trình:
. Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có
nghiệm duy nhất x=1
Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho.


Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: Giải các bất phương trình sau


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Bài 4: Giải và biện luận phương trình

Nguyễn Tất Thu (các bạn có thể tham khảo thêm tại
/>