Hệ thống kiến thức toán THCS (hình học + đại số), có kết hợp bản đồ tư duy

Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự 1nghiệp trồng ngời

Năm học
2011 - 2015

Hệ thống kiến thức cơ bản
Học
Môn : Hình Học - THCS
Website:
1. Điểm - Đờng thẳng
- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,
B, C, ... để đặt tên cho điểm
- Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp
các điểm. Một điểm cũng là một
hình.
- Ngời ta dùng các chữ cái thờng a,
b, c, ... m, p, ... để đặt tên cho các
đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ cái
in hoa hoặc dùng hai chữ cái
thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy,
... )
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C
nằm trên đờng thẳng a hoặc đờng
thẳng a đi qua điểm C), kí hiệu là:
Ca

- Điểm M không thuộc đờng thẳng a
(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a
hoặc đờng thẳng a không đi qua
điểm M), kí hiệu là: M a
2. Ba điểm thẳng hàng

- Ba điểm cùng thuộc một đờng
thẳng ta nói chúng thẳng hàng
- Ba điểm không cùng thuộc bất kì
đờng thẳng nào ta nói chúng
không thẳng hàng.
3. Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song
- Hai đờng thẳng AB và BC nh
hình vẽ bên là hai đờng thẳng
trùng nhau.
- Hai đờng thẳng chỉ có một điểm
chung ta nói chúng cắt nhau, điểm
chung đó đợc gọi là giao điểm
(điểm E là giao điểm)
- Hai đờng thẳng không có điểm

Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ th«ng
1


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiƯu xy//zt
4. Khái niệm về tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau
- Hình gồm điểm O và một phần
đờng thẳng bị chia ra bởi điểm O
đợc gọi là một tia gốc O (có hai
tia Ox và Oy nh hình vẽ)
- Hai tia chung gốc tạo thành - Hai tia chung gốc và tia này nằm
đờng thẳng đợc gọi là hai tia trên tia kia đợc gọi là hai tia
đối nhau (hai tia Ox và Oy trong trùng nhau
hình vẽ là hai tia đối nhau)

- Hai tia AB và Ax là hai tia trùng
nhau
5. Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng
- Đoạn thẳng AB là hình gồm
điểm A, điểm B và tất cả các điểm
nằm giữa A và B
- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ
- Hai điểm A và B là hai mút (hoặc dài đoạn thẳng là một số dơng
hai đầu) của đoạn thẳng AB.
6. Khi nào thì AM + MB = AB ?
- NÕu ®iĨm M n»m giữa hai điểm
A và B thì AM + MB = AB. Ngợc
lại, nếu AM + MB = AB thì điểm
M nằm giữa hai điểm A và B
7. Trung điểm của đoạn thẳng
- Trung điểm M của đoạn thẳng
AB là điểm nằm giữa A, B và cách
đều A, B (MA = MB)
- Trung điểm M của đoạn thẳng
AB còn gọi là điểm chính giữa của
đoạn thẳng AB
8. Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau
- Hình gồm đờng thẳng a và một
phần mặt phẳng bị chia ra bởi a
đợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a
- Hai nửa mặt phẳng có chung bờ
đợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối
nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II)
đối nhau)
9. Góc, góc bẹt

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn HiÖu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự 3nghiệp trồng ngời
- Góc là hình gồm hai tia chung
gốc, gốc chung của hai tia gọi là
đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh
của góc
- Góc xOy kí hiệu là xOy hoặc O
hoặc xOy
- Điểm O là đỉnh của góc
- Hai cạnh cđa gãc : Ox, Oy
- Gãc bĐt lµ gãc cã hai cạnh là hai
tia đối nhau
10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù.
- So sánh hai góc bằng cách so
sánh các số đo của chúng
- Hai góc xOy và uIv bằng nhau
đợc kí hiệu là: xOy = uIv
- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:
xOy < uIv <=> uIv > xOy

- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, là góc
vuông
- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc
nhọn
- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ
hơn góc bẹt là góc tù.
11. Khi nào thì xOy + yOz = xOz

- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox
và Oz thì xOy + yOz = xOz .
- Ngợc lại, nếu xOy + yOz = xOz
thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox vµ
Oz
12. Hai gãc kỊ nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï
- Hai gãc kỊ nhau lµ hai góc có
một cạnh chung và hai cạnh còn
lại nằm trên hai nửa mặt phẳng
đối nhau có bờ chứa cạnh chung.
- Hai góc phụ nhau là hai góc có
tổng số đo b»ng 900
- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã
tỉng sè ®o b»ng 1800
- Hai gãc võa kỊ nhau, võa bù
nhau đợc gọi là hai góc kề bù

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
3

Năm học
2011 - 2015


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
13. Tia phân giác của góc
- Tia phân giác của một góc là tia
nằm giữa hai cạnh của góc và tạo
với hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau
- Khi: xOz + zOy = xOy vµ xOz = zOy

=> tia Oz lµ tia phân giác của góc
xOy
- Đờng thẳng chứa tia phân giác
của một góc là đờng phân giác
của góc đó (đờng thẳng mn là
đờng phân giác của góc xOy)
14. Đờng trung trực của đoạn thẳng
a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông
góc với một đoạn thẳng tại trung
điểm của nó đợc gọi là đờng trung
trực của đoạn thẳng ấy
b) Tổng quát:

a

A

a là đờng trung trùc cđa AB

B

I

a ⊥ AB t¹i I

 IA =IB

15. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng
a) Các cặp góc so le trong:
A1 và B3 ; A 4 và B2 .

b) Các cặp góc đồng vị:
A1 vµ B1 ; A 2 vµ B2 ;
A 3 vµ B3 ; A 4 và B4 .
c) Khi a//b thì:
A1 và B2 ; A 4 và B3 gọi là các cặp
góc trong cùng phía bù nhau

a

A
3 2
4 1
2B
3
41

b

16. Hai đờng thẳng song song

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự 5nghiệp trồng ngời
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo
thành có mét cỈp gãc so le trong
b»ng nhau (hc mét cỈp góc đồng
vị bằng nhau) thì a và b song song

với nhau

b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một ®−êng
th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song
song víi ®−êng th¼ng ®ã

c
a

b

M

b
a

c, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song
- NÕu mét đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;
Hai góc đồng vị bằng nhau;
Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
d) Quan hƯ gi÷a tÝnh vuông góc với tính song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng
c
vuông góc với đờng thẳng thứ ba
thì chúng song song víi nhau
a ⊥ c
 => a / / b
b c

- Một đờng thẳng vuông góc với một
trong hai đờng thẳng song song
thì nó cũng vuông góc với đờng
thẳng kia

Năm học
2011 - 2015

b
a

c

b
a

c b
=> c a
a / / b

e) Ba đờng thẳng song song
- Hai đờng thẳng phân biệt cùng
song song với một đờng thẳng thứ
ba thì chúng song song với nhau
a//c và b//c => a//b

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
5

a
b
c


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
17. Góc ngoài của tam giác
a) Định nghĩa: Góc ngoài của một
tam giác là góc kề bù với một góc
của tam giác ấy
b) Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam
giác bằng tổng hai góc trong không
kề với nó

A

B

18. Hai tam giác bằng nhau
a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng
nhau là hai tam giác có các cạnh
tơng ứng bằng nhau, các góc t−¬ng
øng b»ng nhau

A

B
∆ABC = ∆A ' B 'C '
 AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C '


⇔
A = A '; B = B '; C = C '



A'

C

C

B'
b) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác
*) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh
A
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau
NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = A 'B '

AC = A 'C '  => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.c.c)
BC = B 'C ' 


x

C

ACx = A + B

B

C

A'

B'

C'

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự 7nghiệp trồng ngời
*) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh
(c.g.c)
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác này bằng hai cạnh và góc xen
giữa của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau

Năm học
2011 - 2015

A

B

Nếu ABC và ∆A'B'C' cã:
AB = A 'B '


B = B '  => ∆ABC = ∆A 'B 'C '( c.g.c )
BC = B 'C '



C
A'

C'

B'

*) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

A

- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam
giác này bằng một cạnh và hai góc
kề của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau
Nếu ABC vµ ∆A'B'C' cã:
B = B' 


BC = B 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g )


C = C'


C

B
A'

C'

B'

c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác
vuông đó bằng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

Trờng hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh
ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc
nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó

bằng nhau.

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
7


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng

B

B'

A

C A'

C'

Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác
vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông
kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam
giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
trong tam giác)
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh
lớn hơn là góc lớn hơn
ABC : Nếu AC > AB thì B > C

A

B

C

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn

ABC : Nếu B > C thì AC > AB

20. Quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên, đờng xiên và
hình chiếu
Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu của
đờng xiên
- Lấy A d, kẻ AH ⊥ d, lÊy B ∈ d vµ B ≠ H. Khi đó :

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn HiÖu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự 9nghiệp trồng ngời

Năm học
2011 - 2015

- Đoạn thẳng AH gọi là đờng vuông
A
góc kẻ từ A đến đờng thẳng d
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên
đờng thẳng d
- Đoạn thẳng AB gọi là một đờng xiên
kẻ từ A đến đờng thẳng d
d
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của
B
H
đờng xiên AB trên đ.thẳng d
Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc:
Trong các đờng xiên và đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài

một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc là đờng
ngắn nhất.
Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:
Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng
đến đờng thẳng đó, thì:
Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và
ngợc lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng
nhau.
21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam
giác
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn
độ dài cạnh còn lại.

A
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

B

C

- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn
độ dài cạnh còn l¹i.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn

hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
9


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
21. Tính chất ba đờng trung tuyến của tam giác
- Ba ®−êng trung tun cđa mét tam gi¸c
A
cïng ®i qua mét điểm. Điểm đó cách mỗi
đỉnh một khoảng bằng 2 độ dài đờng

F

3

trung tuyến đi qua đỉnh ấy:
GA = GB = GC = 2
DA
EB
FC
3

B

C

D

G là trọng tâm của tam giác ABC
22. Tính chất ba đờng phân giác của tam giác
- Ba đờng phân giác của một
A
tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm này cách đều ba cạnh của
tam giác đó
- Điểm O là tâm đờng tròn nội
tiếp tam giác ABC

E

G

O
C

B
23. Tính chất ba đờng trung trực của tam giác
- Ba đờng trung trực của một tam
A
giác cùng đi qua một điểm. Điểm
này cách đều ba đỉnh của tam giác
đó

O

- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC

C

B

24. Đờng trung bình của tam giác, của hình thang
a) Đờng trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh của tam giác
Định lí: Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh
thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

A
DE là đờng trung bình của tam giác

D

DE / / BC, DE = 1 BC
2

B

E
C

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Năm học
2011 - 2015

Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự11
nghiệp trồng ngời

b) Đờng trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên của hình thang
Định lí: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai
đáy và bằng nửa tổng hai đáy
B
EF là đờng trung bình của
A
hình thang ABCD
E

EF//AB, EF//CD, EF = AB + CD
2

F

D

C

25. Tam gi¸c đồng dạng
a) Định lí Ta_lét trong tam giác:
- Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai
cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tơng
ứng tỉ lệ

A
B 'C '/ /BC => AB ' = AC ' ;
AB
AC
AB ' = AC ' ; B 'B = C 'C
B'B
C 'C AB
AC

B'

C'

B

a

C

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét:
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên
hai cạnh này những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ thì đờng thẳng đó song
song với cạnh còn lại của tam giác
Ví dụ: AB ' = AC ' => B 'C '/ /BC ; Các trờng hợp khác tơng tự
AB

AC

c) Hệ quả của định lí Ta_lét
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với

cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ
lệ với ba cạnh của tam giác đà cho. Hệ quả còn đúng trong trờng hợp
đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài
của hai cạnh còn lại ( B 'C '/ /BC => AB ' = AC ' = B 'C ' )
AB

AC

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
11

BC


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
A

a

C'

B'
A

C

B

a
B'

C'

C

B

d) Tính chất đờng phân giác của tam giác:
- Đờng phân giác trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối
diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó

A

A

B

C

D

D'

DB = AB
DC
AC

B

C

D'B = AB
D'C
AC

ABC

S

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :
- Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có các góc tơng ứng bằng
nhau và các cạnh tơng ứng tỉ lệ

A = A '; B = B '; C = C '

∆A 'B 'C ' <=>  AB
AC
BC
 A 'B ' = A 'C ' = B 'C ' = k( tØ sè đồng dạng )


f) Định lí về hai tam giác đồng dạng:
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác
đà cho

S

MN / /BC => AMN

ABC

A
a

M
N
*) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với
trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo
dài hai cạnh của tam giác và song song
C
B
với cạnh còn lại
g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác
*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của
tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn HiÖu


Năm học
2011 - 2015

Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sù13
nghiƯp trång ng−êi
A'
A

B'

C

NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
AB = AC = BC => ∆ABC
A 'B '
A 'C '
B 'C '

∆A 'B 'C '( c.c.c)

S

C

B

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của
tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam
giác đồng dạng

A'
A

C

B'

C'

Nếu ABC và A'B'C' có:
AB = BC 

A 'B '
B 'C '  => ∆ABC


B = B'


∆A 'B 'C '(c.g.c )

S

B

*)Tr−êng hỵp 3: NÕu hai gãc của tam giác này lần lợt bằng hai góc
của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;

A'
A

B

C

B'

C
S

Nếu ABC và ∆A'B'C' cã:
A = A '


 => ∆ABC ∆A 'B 'C '(g.g )
B = B'


h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau
thì chúng đồng dạng.

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
13


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng

S

Nếu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã:
0
A = A ' = 90 

 => ∆ABC ∆A 'B 'C '
C = C'



B'

B

C

A

C'

A’

*)Tr−êng hỵp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ
với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng
dạng.

B'
B

C

A

C'

A'
S

Hai tam giác vuông ABC vµ A'B'C' cã:
AB = AC => ∆ABC ∆A 'B 'C '
A 'B '
A 'C '

*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác

vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông
kia thì hai giác đó đồng dạng.

S

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
AB = BC => ABC A 'B 'C '
A 'B '
B 'C '

S

26. TØ sè hai ®−êng cao, tØ sè diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c đồng
dạng
- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ
số đồng dạng
- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phơng tỉ số
đồng dạng
- Cụ thể : A 'B 'C ' ABC theo tỉ số k

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Năm học
2011 - 2015

Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sù15
nghiƯp trång ng−êi
S
=> A 'H ' = k vµ A 'B 'C' = k2

AH

SABC

27. Diện tích các hình

b
a

h

a

S = a. b

h
a

a
2

S=a

S = 1 ah
2

S = 1 ah
2

b

h

E
a

h

a

S = 1 (a + b)h = EF.h
2

S = 1 ah
2

b h
α

F

d2

a

d1

S = 1 d1 ⋅ d2
2

S = a. h = a. b.sin α

Chó ý:
1. Diện tích đa giác đều n cạnh, mỗi cạnh có độ dài bằng a đợc tính
theo công thức S = 1 .na 4 R 2 − a 2
4

(R lµ bán kính đờng tròn ngoại

tiếp đa giác đều )

2. Di n tích tam giác:
s∆ABC = 1 .a.ha = 1 a.b.sinC = p.r =
2

2

abc
4R

=

p ( p − a )( p − b)( p − c)

+) a, b, c là
dài các c nh tương ng
+) ha là
dài ư ng cao ng v i c nh a
+) C là
l n c a góc xen gi a hai c nh a, b
+) p là n a chu vi c a tam giác

+) r là
dài bán kính ư ng trịn n i ti p tam giác
+) R là
dài bán kính ư ng trịn ngo i ti p tam giỏc.
28. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản
(dùng thớc thẳng, thớc đo độ, thớc có chia khoảng, compa, êke)
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trớc;

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
15


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc;
c) Dùng ®−êng trung trực của một đoạn thẳng cho trớc, dựng trung
điểm của một đoạn thẳng cho trớc;
d) Dựng tia phân giác cđa mét gãc cho tr−íc;
e) Qua mét ®iĨm cho tr−íc, dựng đờng thẳng vuông góc với một đờng
thẳng cho trớc;
f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng
thẳng song song với một đờng thẳng cho trớc;
g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa,
hoặc biết một cạnh và hai góc kề.
29. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9)
a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
2

A

b = ab'

2

c = ac '
2

2

2

c

a = b + c (Pi_ta_go)

bc = ah
2

B

h = b'c'
1 + 1 = 1
2
2
2
b
c
h

h

b

b'

c'
H

C

a

b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn
Định nghĩa các tỉ số lợng giác của góc nhọn
cạnh đối
cạnh huyền
cạnh ®èi
tan α =
c¹nh kỊ

sin α =

c¹nh kỊ
c¹nh hun
c¹nh kỊ
cot α =
cạnh đối
cos =



Một số tính chất của các tỉ số lợng giác
+) Định lí về tỉ số lợng giác cđa hai gãc phơ nhau

Cho hai gãc α vµ β phơ nhau. Khi ®ã:
sinα = cosβ;
tanα = cotβ;
cosα = sinβ;
cotα = tanβ.
0
0
+) Cho 0 < α < 90 . Ta cã:
2

2

0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; sin α + cos α = 1
tan α = sin α ; cot α = cos α ; tan α .cot α = 1
cos α
sin α

So s¸nh c¸c tỉ số lợng giác
0

0

0 < 1 < 2 < 90 => sin α1 < sin α2 ;cos α1 > cos α2 ;tan α1 < tan α2 ;cot α1 > cot 2

c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự17

nghiệp trồng ngời
b = a.sinB;
b = a.cosC;
b = c.tanB;
b = c.cotC;
=> a =

c = a.sinC
c = a.cosB
c = b.tanC
c = b.cotB

b = c = b =
c
sinB
sinC
cosC
cosB

Bản đồ t duy:

30. Đờng tròn, hình tròn, góc ở tâm, số đo cung

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
17

Năm học
2011 - 2015

Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
- Đờng tròn tâm O, bán kính R là hình
gồm các điểm cách O một khoảng bằng
R, kí hiệu (O ; R).
- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm

trên đờng tròn và các điểm nằm bên
trong đờng tròn đó.
0
0
0 < < 180
- Trên hình vẽ:
+) Các điểm A, B, C, D nằm trên (thuộc)
đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M nằm bên trong đờng tròn; OM < R
+) N nằm bên ngoài đờng tròn; ON > R
+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)
+) CD = 2R, là đờng kính (dây cung lớn
nhất, dây đi qua tâm)
+) AmB là cung nhỏ ( 00 < < 1800 )
+) AnB là cung lớn
+) Hai điểm A, B là hai mút của cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn
đợc gọi là góc ở tâm ( AOB là góc ở tâm
chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn
- Số đo cung:
+) Số ®o cđa cung nhá b»ng sè ®o cđa
gãc ë t©m chắn cung đó
0

0
sđ AmB = ( 0 < < 180 )
+) Sè ®o cđa cung lín b»ng hiƯu giữa
3600 và số đo của cung nhỏ (có chung
hai mút víi cung lín)
0

s® AnB = 360 − α
0
+) Sè ®o của nửa đờng tròn bằng
= 180
0
180 , số đo của cả đờng tròn bằng
3600
31. Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây
- Trong một đờng tròn, đờng kính
vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm của dây Êy
AB ⊥ CD t¹i H => HC = HD
- Trong một đờng tròn, đờng kính đi
qua trung điểm của một dây không đi
qua tâm thì vuông góc với dây ấy
32. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự19
nghiệp trồng ngời

Năm học
2011 - 2015

Định lí 1: Trong một đờng tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây của một đờng tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD
33. VÞ trÝ tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
a) Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau
(có hai điểm chung)
- Đờng thẳng a gọi là cát tuyến của (O)
d = OH < R và HA = HB =

2

R OH

2

b) Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc
nhau (có một điểm chung)
- Đờng thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiếp điểm
d = OH = R

*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đờng thẳng
là tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông
góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
a là tiếp tuyến của (O) tại H => a OH
c) Đờng thẳng và đờng tròn không
giao nhau (không cã ®iĨm chung)
d = OH > R

34. DÊu hiƯu nhËn biết tiếp tuyến của đờng tròn
- Để nhận biết một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn ta có
hai dấu hiệu sau:
Dấu hiệu 1: Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
(định nghĩa tiếp tuyến)
Dấu hiệu 2: Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và
vuông góc với bán kính đi qua điểm đó

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
19


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng


=> a là tiếp tuyến của (O)
a OH tại H 

H ∈ ( O)

35. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp,
bàng tiếp tam giác

a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của
một đờng tròn cắt nhau tại một
điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là
tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là
tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua các tiếp AB = AC;OAB = OAC ; AOB = AOC
điểm.
b) Đờng tròn nột tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của
tam giác đợc gọi là đờng tròn nội
tiếp tam giác, khi đó tam giác gọi là
tam giác ngoại tiếp đờng tròn
- Tâm của đờng tròn nội tiếp tam
giác là giao điểm của các đờng phân
giác các góc trong của tam giác
c) Đờng tròn bàng tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh
của một tam giác và tiếp xúc với các
phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là
đờng tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm của đờng tròn bàng tiếp là
giao điểm của hai đờng phân giác
các góc ngoài tại hai đỉnh nào đó - Với một tam giác có ba đờng
tròn bàng tiếp (hình vẽ là
hoặc là giao điểm của một đờng
đờng tròn bàng tiếp trong

phân giác góc trong và một đờng
góc A)
phân giác góc ngoài tại một đỉnh
36. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn, tiếp tuyến chung của
hai đờng tròn.

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự21
nghiệp trồng ngời
a) Hai đờng tròn cắt nhau
(có hai điểm chung)
- Hai điểm A, B là hai giao điểm
- Đoạn thẳng AB là d©y chung
R - r < OO' < R + r

- Đờng thẳng OO là đờng nối
tâm, đoạn thẳng OO là đoạn nối
tâm
*) Tính chất đờng nối tâm: Đờng
nối tâm là đờng trung trực của
dây chung
b) Hai đờng tròn tiếp xúc
nhau
(có một điểm chung)
- Điểm chung A gọi là tiếp điểm
+) Tiếp xúc ngoài tại A:
OO' = R + r

+) Tiếp xúc trong tại A:
OO' = R r

c) Hai đờng tròn không giao
nhau
(không có điểm chung)
+) ở ngoài nhau:
OO' > R + r

+) Đựng nhau:
OO' < R r

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
21

Năm học
2011 - 2015


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
+) Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm:
OO' = 0

d) Tiếp tuyến chung của hai
đờng tròn
- Tiếp tuyến chung của hai đờng
tròn là đờng thẳng tiếp xúc với cả
hai đờng tròn đó
- Tiếp tuyến chung ngoài không cắt
đoạn nối tâm

- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn
nối tâm
37. So sánh hai cung trong một đờng tròn hay trong hai đờng
tròn bằng nhau.
- Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đợc gọi là cung lớn hơn
- KÝ hiÖu: AB = CD; EF > GH <=> GH < EF
38. Liên hệ giữa cung và dây.
*) Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay trong
hai đờng tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung b»ng nhau
AB = CD => AB = CD ; AB = CD => AB = CD

*) Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay trong
hai đờng tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
AB > CD => AB > CD ; AB > CD => AB > CD

39. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa:
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên
đờng tròn và hai cạnh chứa hai dây cung
của đờng tròn đó.
- Cung nằm bên trong góc đợc gọi là cung
BAC là góc nội tiếp chắn
bị chắn

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Năm học
2011 - 2015

Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự23
nghiệp trồng ngời

b) Định lí:
cung nhỏ BC(hình a) và
Trong một đờng tròn, số đo của góc nội chắn cung lớn BC(hình b)
1
tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
BAC = sđ BC
2

c) Hệ quả: Trong một đơng tròn
+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng
nhau thì bằng nhau
+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của
góc ở tâm cùng chắn một cung
+) Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.
40. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Khái niệm:
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là
góc có đỉnh nằm trên đờng tròn, một cạnh
là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây

cung của đờng tròn
- Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
- Hình vẽ:
BAx chắn cung nhỏ AmB
BAy chắn cung lớn AnB
b) Định lí:
BAx = 1 sđ AmB
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
2
1 sđ AnB
cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
BAy =
2
c) Hệ quả:
Trong một đờng tròn, góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.
BAx = ACB =

1
sđ AmB
2

41. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài
đờng tròn.
a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng
tròn.
- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng tròn
d m a
đợc gọi là góc có đỉnh ở bên trong đờng

tròn
e
- Hình vẽ: BEC là góc có đỉnh ở bên trong
đờng tròn chắn hai cung là BnC , AmD
o
c
- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong

Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông
23

n
b


Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng
đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung
bị chắn
BEC = sđBnC + sđ AmD
2

b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng
tròn.
- Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn là
góc có đỉnh nằm ngoài đờng tròn và các
cạnh đều có điểm chung với đờng tròn
- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên
trong góc, hình vẽ bên: BEC là góc có
đỉnh ở bên ngoài đờng tròn, có hai cung
bị chắn là AmD và BnC

- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài
đờng tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung
bị chắn
BEC = sđBnC sđ AmD
2

42. Kết quả bài toán quỹ tích cung chứa góc
a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB và góc
( 00 < < 1800 ) cho trớc thì quỹ tích các
điểm M thỏa m·n AMB = α lµ hai cung
chøa gãc α dùng trên đoạn thẳng AB
- Hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng
AB đối xứng với nhau qua AB

- Khi = 900 thì hai cung chứa góc là hai
nửa đờng tròn đờng kính AB, suy ra: Quỹ
tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc
dới một góc vuông là đờng tròn đờng
kính AB (áp dụng kiến thức này để chứng
minh tứ giác nội tiếp)

Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu


Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự25
nghiệp trồng ngời

Năm häc
2011 - 2015

b) C¸ch vÏ cung chøa gãc α
- VÏ đờng trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Vẽ tia Ax t¹o víi AB mét gãc α ( BAx = α )
- VÏ tia Ay vu«ng gãc víi tia Ax . Gọi O là
giao điểm của Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho
cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không
chứa tia Ax.
c) Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mÃn tính
chất T là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H
43. Tứ gi¸c néi tiÕp
a) Kh¸i niƯm tø gi¸c néi tiÕp
- Mét tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng
tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi
tắt là tứ giác nội tiếp)
b) Định lí:
Tứ giác ABCD nội
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc
tiếp (O), suy ra:
®èi diƯn b»ng 1800
0
A + C = B + D = 180

c) DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c nội tiếp
Phơng pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
Phơng pháp 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong

của đỉnh đối diện
Phơng pháp 3: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có
thể xác định đợc). Điểm đó là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác
Phơng pháp 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa
hai đỉnh còn lại dới một góc
Phơng pháp 5: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta
có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ
nhật, hình vuông, hình thang cân.
Phơng pháp 6: Chứng minh tổng các góc đối bằng nhau
*) Thủ tht th−êng gỈp:
Sư dơng kü tht céng gãc
Chøng minh tỉng hai góc đối diện của tứ giác bằng tổng ba góc
của một tam giác nào đó

Tài liệu Ôn thi vào Trung häc Phỉ th«ng
25