He thong kien thuc toan THCS-Dai so pdf

phân dạng và phơng pháp giải

Môn : Đại Số - THCS
Website:

I - Các loại phơng trình
1. Phơng trình bậc nhất
- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0 )
- Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt x = − b

a

- Chó ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và xét các trờng hợp sau:

B
Nếu A 0 phơng trình có nghiệm x = −
A

 NÕu A = 0 , B ≠ 0 ph¬ng trình trở thành 0.x = B
=> phơng trình vô nghiệm
Nếu A = 0, B = 0 => phơng trình vô số nghiệm
2. Phơng trình tích
- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hc B(x) = 0

 A( x ) = 0
 B( x ) = 0
 A( x ) = 0

- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>  B( x ) = 0
 C( x ) = 0


- Tr×nh bày gọn : A(x).B(x) = 0 <=>

3. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
- Giải phơng trình chứa ẩn ở mÉu ta thùc hiƯn theo 4 bíc:
 Bíc 1: T×m ĐKXĐ của phơng trình
Bớc 2: Quy đồng mẫu hai vế của phơng trình rồi khử mẫu
Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc
Bớc 4: (kết luận)
Trong các giá trị của ẩn tìm đợc ở bớc 3, các giá trị thỏa mÃn ĐKXĐ chính
là nghiệm của phơng trình đà cho, giá trị của x không thuộc ĐKXĐ là
nghiệm ngoại lai (loại đi)
4. Phơng trình chứa dấu giá trị tut ®èi

 A nÕu A ≥ 0
− A nÕu A < 0

- Định nghĩa: A =

- Các dạng phơng tr×nh
 f ( x ) = 0 <=> f ( x ) = 0


f ( x ) = k( k > 0) <=> f ( x ) = ± k



 f ( x ) = g( x )
f ( x ) = g( x ) <=> 
 f ( x ) = − g( x )

Hay f ( x ) = g( x ) <=> [ f ( x )] 2 = [ g( x )] 2 , ®a vỊ phơng trình tích


  f(x) ≥ 0

 f ( x ) = g( x ) hc <=>
 f ( x ) = g( x ) <=>
 f ( x ) ≤ 0

 f ( x ) = − g( x )

 g( x ) ≥ 0
Hc <=> 
f ( x ) = g( x ) hc f ( x ) = − g( x )

  g( x ) ≥ 0

 f ( x ) = g( x )
  g( x ) ≥ 0

 f ( x ) = − g( x )


 g( x ) ≥ 0

Hc <=> 
2
2
[ f ( x )] = [ g( x )]


- Chó ý: A 2 = A 2 ; A ≥ ± A vµ A − B ≤ A ± B ≤ A + B
5. Phơng trình vô tỉ





2
f ( x ) = A( A ≥ 0 ) <=> f ( x ) = A (với f(x) là một đa thức)

f(x) 0

f ( x ) = g( x ) <=>  g( x ) ≥ 0
f ( x ) = [ g( x )] 2

 f(x) ≥ 0

f ( x ) = g( x ) <=>  g( x ) ≥ 0
f ( x ) = g( x )


*)Lu ý: HÇu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều
kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng. Nếu không có thể thử lại
trực tiếp.
6. Phơng trình trùng phơng
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:
4

2

ax + bx + c = 0 (a 0)
Đặt x2 = t ( t 0 ), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bËc hai Èn
t : at2 + bt + c = 0 (*)
Giải phơng trình (*), lấy những giá trị thích hợp thỏa mÃn t 0
Thay vào đặt x2 = t và tìm x = ?
7. Phơng trình bậc cao
a) Phơng trình bậc ba dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Híng dÉn: NhÈm nghiƯm (nÕu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của
hạng tử tự do d) hoặc dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc dùng máy tính để tìm
nhanh nghiệm nguyên của phơng trình, khi đà biết một nghiệm thì dễ
dàng phân tích VT dới dạng tích và giải phơng trình tích (hoặc chia đa
thức)
b) Phơng trình bậc bốn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Hớng dẫn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba trên
c) Phơng trình bËc bèn d¹ng:
2
c
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (với d = ).
ữ
a
Phơng pháp:
Với x = 0, thay vào phơng trình và kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm hay
không ?
c
Với x ≠ 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau đó ta đặt t = x +
ax
d) Phơng trình bậc 4 d¹ng:


(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)

ab + cd
Phơng pháp: Đặt t = x2 + mx +
2
e) Phơng trình bậc bốn dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k)
Phơng pháp:
k
Chia cả hai vế cho x2. Đặt t = x +
x
II- Bất phơng trình bậc nhất một ẩn
1) Định nghĩa:
Một bất phơng trình dạng ax + b > 0 (hc ax + b < 0) víi a ≠ 0 đợc gọi là một
bất phơng trình bậc nhất một ẩn
2) Cách giải: ax + b > 0 <=> ax > - b
NÕu a > 0 th× x > − b

a
NÕu a < 0 th× x < − b
a

3) KiÕn thức có liên quan:
Hai bất phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm và
dùng kí hiệu <=> để chỉ sự tơng đơng đó
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ vế này
sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử đó => ta cã thĨ xãa
hai h¹ng tư gièng nhau ë hai vế
Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng một số
khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi chiều BPT nếu số
đó âm.
4) Tính chất cơ bản của bất ®¼ng thøc

- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã :

a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b

- Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc
+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=>

a3 >

- NÕu a ≥ 0, b ≥ 0 th× a > b <=> a >
- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A

3
3
b3 và a > b <=> a > b

b vµ a > b <=> a2 > b2

 A, nÕu A ≥ 0
A =
− A, nÕu A < 0.
Ta cã: A2 ≥ 0, |A| 0,

A2 = A

- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực không âm, ta cã:

a+b ≥
2

ab

DÊu “=” x¶y ra <=> a = b

III Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc
ba.
1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức h÷u tØ
- Khi thùc hiƯn rót gän mét biĨu thøc hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực
hiện các phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu thức có các dấu
ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn.
- Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều kiện của
biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)


2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
- Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) khi B 0

B

A xác định (có nghĩa) khi A 0
A
xác định (có nghĩa) khi B > 0
B
A + B xác định (có nghĩa) khi A 0

C
C > 0
A 0
A + B xác định (có nghÜa) khi 
C
C ≠ 0

- BiĨu thøc cã d¹ng
- BiĨu thøc cã d¹ng
- BiĨu thøc cã d¹ng
- BiĨu thøc cã dạng

3. Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc
ba
Lí thuyết chung:
a) Các công thức biến đổi căn thức
2

1)

A

2)

AB =
A
B

3)

= A

A B = A

5) A

A

B (víi B ≥ 0)
2

B =

A B (víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0)
2

B =−

6)

A
B

7)

A
B

9)

A (víi A ≥ 0 vµ B > 0)
B

=

2

4)

8)

B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0)

A

A B (víi A < 0 vµ B ≥ 0)

= 1
B
= A

B
B

C
=
A ±B
C
A ±

B

AB (víi AB ≥ 0 vµ B ≠ 0)

C

(víi B > 0)

(

A m
B
A −B

=

C

(

)

2

2

(víi A ≥ 0 vµ A ≠ B )

A m B
A −B

)

(víi A ≥ 0 , B ≥ 0 vµ A ≠ B)

*) Lu ý:
Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau :
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , theo thứ tự
đà biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng
- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)
b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:
1)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

( a + b)2 = a + 2 a.b + b

(a,b ≥ 0)


(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
( a − b)2 = a − 2 a.b + b
3)
a2 - b2 = (a + b).(a - b)
2)

(a,b ≥ 0)

a − b = ( a + b).( a − b)

4)
5)
6)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

a a + b b = a3 + b 3 =
7)

9)
10)

( ) ( )
a

3

+

b

3

= ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

a a − b b = a3 − b 3 =

8)

(a,b ≥ 0)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

( ) ( )
a

3

−

b

3

= ( a − b)(a + ab + b) (a,b ≥ 0)

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

( a + b + c)2 = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc
a2 = a

(a,b,c ≥ 0)

Phân dạng bài tập chi tiết

Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức không có điều kiện

Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thức có điều kiện
Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của
biến
Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu
thức
Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận
giá trị nguyên
Dạng 3.6 : Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức
Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đà rút gọn
Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp
IV Các dạng toán về hàm số
Lí thuyết chung
1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung).
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x
ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số
của x và x đợc gäi lµ biÕn sè.
*) VÝ dơ: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ...
*) Chú ý:
Khi đại lợng x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y đợc gọi là
hàm hằng.
*) Ví dụ: Các hàm hằng y = 2; y = - 4; y = 7; ...
2) Các cách thờng dùng cho một hàm số
a) Hàm số cho bởi bảng.
b) Hàm số cho bởi công thức.
- Hàm hằng: là hàm có công thức y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m ∈ ¡ )


- Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng công thức y = ax + b
Trong đó: x là biÕn, a,b ∈ ¡ , a ≠ 0 .

a lµ hê số góc, b là tung độ gốc.
- Chú ý: Nếu b = 0 thì hàm bậc nhất có dạng y = ax ( a ≠ 0 )
Hµm sè bËc hai: Là hàm số có công thức y = ax2 + bx + c
(trong đó x là biến, a,b,c ¡ , a ≠ 0 ).
Chó ý: NÕu c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax2 + bx ( a ≠ 0 )
NÕu b = 0 và c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax2 ( a ≠ 0 )
3) Kh¸i niƯm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x Ă . Với x1, x2 bất kì thuộc R
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm
số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.
Nếu x1 < x2 mà f(x1 ) < f(x2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm đi thì hàm số y =
f(x) đợc gọi là hàm nghịch biÕn.
NÕu x1 < x2 mµ f(x1 ) > f(x2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến /R
4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến và hàm nghịch biến.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a 0 ).
- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên Ă .
- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên Ă .
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a ≠ 0 ) cã thĨ nhËn biÕt ®ång biÕn và nghịch
biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
- Nếu a < 0 thì hàm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
5) Khái niệm về đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị
tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:
a) Hàm hằng.
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó
x là biến, m Ă ) là một đờng
y là biến, m Ă ) là một đờng

thẳng luôn song song với trục Ox.
thẳng luôn song song
với trục Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm)
luôn đi qua gốc toạ độ.


*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a).
Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị
hàm số y = ax ( a 0 )
c) Đồ thị hàm sè y = ax + b ( a,b ≠ 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các
b
điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (
, 0).
a

*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®ỵc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b ≠ 0 )
+) C¸ch 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa ®é, cơ thĨ:
Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy
Cho y = 0 => x = b , ta đợc N( b ; 0) Ox

a

d)

a

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b 0 )
Đồ thị hµm sè y = ax2 ( a ≠ 0 ) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận
trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
- Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.

y

y

O
a>0

a<0

x
6) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
O
*) Hai đờng thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) vµ y = a’x + b’ ( a' ≠ 0 )
+ Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’.

x


+
+

+
*)
+

Song song víi nhau nÕu a = a’, b ≠ b.
Cắt nhau nếu a a.
Vuông góc nếu a.a = -1 .
Hai đờng thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0)
Trïng nhau nÕu a = b = c

a'

b'
c'
Song song víi nhau nÕu a = b ≠ c
a'
b'
c'
+
a ≠ b
Cắt nhau nếu
a'
b'
+

7) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b ( a ≠ 0 ) vµ trơc Ox
Giả sử đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) cắt trục Ox tại điểm A.
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT (với T
là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).
- Nếu a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo

công thức nh sau: tg = a (cần chứng minh mới đợc dùng).
- Nếu a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo
công thức nh sau:
= 1800 − β víi tgβ = a (cÇn chøng minh míi đợc dùng).

y
y

T
(a < 0)

(a > 0)


A

T

O



x
A
O
Phân dạng bài tập chi tiết



x

Dạng 1: Nhận biết hàm số
Dạng 2: Tính giá trị của hàm số, biến số.
Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
a) Hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ).
- NÕu a > 0 thì hàm số y = ax + b luôn đồng biến trên Ă .
- Nếu a < 0 thì hàm số y = ax + b luôn nghịch biến trên Ă .
b) Hàm bậc hai một ẩn số y = ax2 ( a ≠ 0 ) cã thÓ nhận biết đồng biến và nghịch
biến theo dấu hiệu sau:
- Nếu a > 0 thì hàm đồng biến khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị
tơng ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ.
Chú ý: Dạng đồ thị:


a) Hàm hằng.
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó
x là biến, m Ă ) là một đờng
y là biến, m Ă ) là một đờng
thẳng luôn song song với trục Ox.
thẳng luôn song song
với trục Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm)
luôn đi qua gốc toạ độ.

*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a).
Sau đó vẽ đờng thẳng ®i qua hai ®iĨm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta đợc đồ thị

hàm số y = ax ( a 0 )
c) Đồ thị hàm số y = ax + b ( a,b ≠ 0 ) lµ mét đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các
b
điểm) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (
, 0).
a

*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ cơ bản
+) Cách 1: Xác định hai điểm bất kì nào đó thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)
Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b 0 )
+) Cách 2: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cụ thể:
Cho x = 0 => y = b, ta đợc M(0 ; b) ∈ Oy


Cho y = 0 => x = − b , ta đợc N( b ; 0) Ox

a

d)

a

Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm M và N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b 0 )
Đồ thị hàm số y = ax2 ( a 0 ) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận
trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.

- Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.

y

y

O
a>0
x

x

a<0

O
Dạng 5: Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.
*) Điểm thuộc đờng thẳng.
- Điểm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a ≠ 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b
- §iĨm B(xB; yB) ∈ (d): y = ax + b (a ≠ 0) khi và chỉ khi yB= axB + b
*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a ≠ 0 )
- §iĨm A(x0; y0) ∈ (P) ⇔ y0 = ax02.
- §iĨm B(x1; y1) ∉ (P) ⇔ y1 ≠ ax12.
D¹ng 6: Xác định hàm số
Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm số
*) Phơng pháp:
Để tìm điểm cố định mà ®êng th¼ng y = ax + b ( a ≠ 0 ; a,b có chứa tham số)
luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:
Bớc 1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b luôn đi qua với
mọi giá trị của tham số m
Bớc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®ỵc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®ỉi vỊ d¹ng <=>

A( x0 ,y0 ).m + B( x0 ,y0 ) = 0 , đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của
tham số m hay phơng trình có vô số nghiệm m
Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vô số nghiệm.
A(x 0 ,y 0 ) = 0
( A( x0 ,y0 ).m + B( x0 ,y0 ) = 0 , cã v« sè nghiƯm ⇔ 
)
 B(x 0 ,y 0 ) = 0
Dạng 8: Tìm giao điểm của hai đồ thị
8.1: Tìm giao điểm của hai ®êng th¼ng.
Giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
 y = a1x + b1
Là nghiệm của hệ phơng trình
y = a2 x + b2
8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.
Cho (P) : y = ax2 (a ≠ 0) vµ (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n.
Giải phơng trình tìm x.
Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 hc y = mx + n ta tìm đợc
y.
+ Giá trị của x tìm đợc là hoành độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm.
8.3: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a 0) và (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*)
+ Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0) (d) và (P) không có điểm chung.
+ Phơng trình (*) cã nghiÖm kÐp ( ∆ = 0) ⇔ (d) tiÕp xóc víi (P).

10

+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( > 0 hoặc ac < 0)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
8.4: Tìm giá trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Cho (d) : y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ ≠ 0)(a’, a, b cã chøa tham số)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = ax + b. (*)
+ (d) và (P) không có điểm chung
Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0)
+ (d) tiếp xúc với (P) Phơng trình (*) có nghiệm kép ( = 0).
Nghiệm kép là hoành độ điểm tiếp xúc
+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt ( > 0 hoặc ac < 0). Hai nghiệm đó là hoành độ
của hai giao điểm
8.7: Tìm giá trị của tham số khi biết toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Cho (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ ≠ 0)
(a’, a, b cã chứa tham số)
Tìm giá trị của tham số để (d) và (P) cắt nhau tại A(xA; yA).
Cách làm: Thay tọa ®é cđa A vµo hµm sè cđa (d); (P) ®Ĩ tìm giá trị của tham số.
Dang 9: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
9.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(xA; yA) và B(xB; yB) trong đó xA xB và yA yB.
Phơng pháp:
Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập đi qua A và B cã d¹ng
y = ax + b (a ≠ 0).
Do A∈ (d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do B∈ (d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

 y A = ax A + b
 y B = axB + b

Tõ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình này tìm đợc a, b và suy ra phơng trình đờng thẳng (d) cần
lập
9.2: Lập phơng trình đờng thẳng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hƯ sè gãc là k.
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ sè gãc k cã d¹ng
y = kx + b
 Bíc 2: Đờng thẳng này đi qua M(x0 ; y0) => y0 = kx0 + b
=> b = y0 − kx0

 Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = kx + y0 kx0
9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(m; yA) và B(m; yB) trong đó yA yB.
Phơng pháp:
Do A(m; yA) (d): x = m;
Do B(m; yB) ∈ (d) : x = m;
VËy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m
9.4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(xA; n) và B(xB; n) trong đó xA xB.
Phơng pháp:
Do A(xA; n) ∈ (d): y = n;
Do B(xB; n) ∈ (d) : y = n;
Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n
9.5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(xA ; yA) và tiếp xúc víi ®êng
cong y = ax2 (a ≠ 0)
 Bíc 1: Giả sử phơng trình cần lập là y = ax + b
Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với ®êng cong y = ax2 (a ≠ 0)
khi vµ chØ khi phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = a 'x + b' cã nghiÖm kÐp.
Ta cho ∆ = 0 , tìm ra một hệ thức giữa a và b (1)

11


Bớc 3: Đờng thẳng đi qua A(xA ; yA) => y A = a 'x A + b'
(2)
 Bíc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a và b. Giải hệ tìm đợc a và b => phơng trình cần lập
9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với đờng
cong y = ax2 (a 0)
Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử là y = ax + b
Vì đờng thẳng có hệ số góc là k nên a = k => y = kx + b
Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiÕp xóc víi ®êng cong y = ax2 (a 0) <=> phơng trình hoành độ giao ®iĨm
2
2
kx + b = ax <=> ax − kx − b = 0 cã nghiÖm kÐp

Cho ∆ = 0( ∆ ' = 0) => b = ?
 Bíc 3: Trả lời
Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng
10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng ®i qua hai ®iĨm.
 Bíc 2: Chøng minh ®iĨm cßn lại thuộc đờng thẳng vừa lập.
10.2: Tìm giá trị của tham số để ba điểm thẳng hàng.
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm có toạ độ đơn giản nhất.
Bớc 2: Thay toạ độ của điểm còn lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập. Giải
phơng trình và tìm tham số.
Dạng 11: Ba đờng thẳng ®ång qui
11.1: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång qui.
 Bíc 1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.
Bớc 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đờng thẳng còn lại.

11.2: Tìm giá trị của tham số để ba đờng thẳng ®ång qui.
 Bíc 1: T×m giao ®iĨm cđa hai ®êng thẳng đơn giản nhất.
Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng còn lại. Giải
phơng trình và tìm tham số.
Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số
12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất
Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2) ⇔ a1 ≠ a2
+) (d1) // (d2) ⇔ a1 = a2
+) (d1) ≡ (d2) ⇔ a1 = a2 vµ b1 = b2
+) (d1) ⊥ (d2) ⇔ a1.a2 = -1 (phải chứng minh mới đợc dùng)
12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trơc
tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
a a2 (1)
Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì 1
b1 = b2 (2)
Giải (1)
Giải (2) và chọn những giá trị thoả mÃn (1).
12.3: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục
hoành.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
 a1 a2 (1)

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục hoành thì b1 b2
(2)
a = a
1
2
Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số.

Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai
trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng c
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác
thì ta có điều kiện cần là: a 0, b 0 => ®iỊu kiƯn cđa m

12


Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lợt là
giao điểm của đồ thị với trục tung và trơc hoµnh
− b ;0
 A(0 ; b) vµ B(
)
a
 Bíc 3: Xét tam giác vuông OAB có
SOAB = 1 OA.OB = 1 × b . − b = c
2
2
a
=> m = ? (kiểm tra với điều kiện ở bớc 1)
Dạng 14: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng
y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác cân
Cách 1:
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác
thì ta có điều kiện cần là: a 0, b ≠ 0
=> ®iỊu kiƯn cđa m
 Bíc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lợt là
giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành
b ;0
A(0 ; b) và B(

)
a
b
Bớc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=> b =
(*)
a
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở bớc1)
Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân khi và chỉ khi
đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x hoặc song song với đờng
thẳng y = - x
Dạng 15: Xác định giá trị của tham số để giao điểm của hai đờng thẳng ax
+ by = c và ax + by = c nằm trong các góc phần t của hệ trục tọa độ.
Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) của hai đờng thẳng, chính là nghiệm của
ax + by = c
hệ phơng trình:
a 'x + b'y = c'
 Bíc 2:
x > 0
+) NÕu A nằm trong góc phần t thứ I thì điều kiƯn lµ: 
y > 0
x < 0
+) NÕu A n»m trong góc phần t thứ II thì điều kiện là: 
y > 0

x < 0
+) NÕu A n»m trong gãc phần t thứ III thì điều kiện là:
y < 0
x > 0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thứ IV thì điều kiện là:
y < 0

Bớc 3: Tìm m = ?
Dạng 16:
Xác định giá trị tham sè ®Ĩ ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0
A = 0
 Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=> 
B = 0
Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị của tham số
V - Các dạng toán về hệ ph ơng trình
Lí thuyết chung
1. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:

13


ax + by = c
(trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)
(I) 
a' x + b ' y = c '

2. Định nghĩa nghiệm, tËp nghiƯm
- NghiƯm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) lµ nghiệm chung của hai phơng trình trong hệ
- Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phơng trình vô
nghiệm
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiƯm duy nhÊt, cã v«
sè nghiƯm, v« nghiƯm.

ax + by = c
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)


a' x + b' y = c '

a b c
+ HÖ cã v« sè nghiƯm nÕu
= =
a' b' c '
a b
c
+ HƯ v« nghiƯm nÕu
= ≠
a' b' c '
a b
+ HƯ cã một nghiệm duy nhất nếu

a' b'

+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là
ab ab = 0
3. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bËc nhÊt hai Èn .

ax + by = c

a' x + b ' y = c '

a) Phơng pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Bớc1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần)
sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng
nhau hoặc đối nhau.

Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó
có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng
trình một ẩn)
Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ
đà cho
*) Tổng qu¸t:

 ax + by = c
⇔
−ax + b ' y = c '
ax + by = c
+ NÕu cã 
⇔
ax + b' y = c '

ax + by = c
+ NÕu cã 
⇔
k.ax + b ' y = c '

+ NÕu cã 

(b + b')y = c + c '

−ax + b' y = c '
(b − b')y = c − c '

ax + b' y = c '
k.ax + kby = kc
⇔


k.ax + b' y = c '


(kb − b')y = k.c − c '

ax + by = c

b) Phơng pháp thế.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Bớc 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đà cho để đợc một hệ
phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn
Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đà cho
*) Tổng quát:

14


a
c

ax + by = c
y = − x +
⇔
b
b ⇔

a' x + b ' y = c '

a' x + b' y = c '



a
c

y=− x+

b
b


a ' x + b '  − a x + c  = c '
b

bữ




c) Phơng pháp đồ thị
- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng
+) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ thị
đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm của
hệ
+) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vô nghiệm
+) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp dụng
cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Phân dạng bài tập chi tiết

Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số
Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số
Phơng pháp:
Bớc 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình
Bớc 2: Giải hệ phơng trình không chứa tham số vừa thu đợc.
Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số
- Dùng phơng pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m),
làm xuất hiện phơng trình có dạng :
Ax = B (1) (hoặc Ay = B)
Nếu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.
+) Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0
phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
+) Khi B 0 phơng trình (1) vô nghiệm
=> hệ phơng trình vô nghiệm
B
Nếu A 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
A

x= B

A
=> hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
y = y(m )

Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, vô
nghiệm, vô số nghiệm.
*) Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc nhất hai Èn cã nghiƯm duy nhÊt, cã v« sè
nghiƯm, v« nghiÖm.

ax + by = c
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

a' x + b' y = c '
a b
c
+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu
= =
a' b ' c '
a b
c
+ HƯ v« nghiƯm nÕu
= ≠
a' b ' c '

a b

a' b'
Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu

Dạng 6: Tìm giá tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình

15


6.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.

ax + by = c
ax + by = c

Cho hệ phơng trình :

(1)
(2)

x = x0

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm

y = y 0

C¸ch 1:
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.
Cách 2:
Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là
tham số
6.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.

ax + by = c
ax + by = c

Cho hệ phơng trình:

x = x0

có nghiệm

y = y0

Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo cả hai phơng trình của hệ phơng trình ta đợc

ax 0 + by 0 = c

a′x0 + b′y 0 = c

Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số.
Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.

ax + by = c
ax + by = c

Cho hệ phơng trình : 

(1)
(I)
(2)

Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)
Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện cđa tham sè ®Ĩ hƯ (I) cã nghiƯm duy nhÊt
 Bíc 2: Do (x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ (I) và thoả mÃn (3) (x; y) là nghiệm của
(1), (2), (3). Kết hợp 2 phơng trình đơn giản nhất để đợc một hệ phơng trình
=> Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trình còn lại
Bớc 3: Giải phơng trình chứa ẩn là tham số
Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x 0 ;
y0) là những số nguyên
Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiƯm duy nhÊt
 Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng
b

x0 = a +
víi a, b ∈ Z
A(m )
d
y0 = c +
víi c, d ∈ Z
B(m )

b
x ∈ Z <=>
∈ Z <=> A(m ) ∈¦ ( b)
 0
A(m )
=> m = ?

d ∈ Z <=> B(m ) ∈¦ (d )
y0 Z <=>

B(m )

*) Đặc biệt nếu :
b
x0 = a +
víi a, b ∈ Z
A(m )
d
y0 = c +
víi c, d ∈ Z
A(m )
=> x0 ,y0 ∈ Z <=> A(m ) Ư C( b,d ) => m = ?

Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y là
P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

16


Cách 1:
Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình có nghiệm
duy nhất
Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y lµ:
P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè).
 k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + d d P(x,y) d
Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + d d P(x,y) d
Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
Cách 2:
P(x,y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x,y) = 0
 Bíc 1: TÝnh hoặc ' .
Bớc 2: Đặt điều kiện ∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0)
⇒ Gi¶i bÊt phơng trình chứa ẩn P(x,y).
P(x,y) e Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi
b −b '
=
.
∆ =∆' = 0 ⇔ x =
a
2a
 P(x,y) ≤ e Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi

=' = 0 x =

b b'
=
2a
a

Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số
1. Phơng pháp:

ax + by = c
trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham sè m.
a'x + b'y = c'


Cho hƯ ph¬ng trình:

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m ?
*) Cách 1:
Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ ta rút m theo x vµ y lµ
m = A(x,y)
 Bíc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai của hệ ta đợc hệ thức
liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham
số m
*) Cách 2: Sử dụng đối với hệ phơng trình có tham số m dới d¹ng bËc nhÊt

 ax + by = c
m = A( x, y )
=> 
a ' x + b ' y = c '
 m = B( x, y )

 Bíc 1: Từ hệ phơng trình

Bớc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). Đây là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ
thuộc vào tham số m
Lu ý: Ta cần rút gọn các hệ thức sao cho ngắn gọn, đơn giản nhất
Dạng 11: Tìm giá trị của tham số để hai hệ phơng trình tơng
đơng
- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập nghiệm
(tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngợc lại)
Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và
giải một số hệ phơng trình không ở dạng hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn (hệ đặc biệt)
VI Phơng trình bậc hai một ẩn
Phần I: Phơng trình không chứa tham số
I. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là
phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số
II. Phân loại.

17


1. Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = 0 (a 0)
Phơng pháp giải:
ax2 + bx = 0 (a, b ≠ 0)

x = 0
⇔ x(ax + b) = 0
x = b

a

b
a
2. Phơng trình khuyết b: ax2 + c = 0 (a, c 0)
Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 =
Phơng pháp giải:
ax2 + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ x2 =
+)

−c
a

−c
< 0 ⇒ Phơng trình vô nghiệm.
a
+)
c
Nếu
> 0 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
Nếu

x1 =

c ;
c

x2 =
a
a

3. Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c ≠ 0)
*) C«ng thøc nghiƯm:
∆ = b2 - 4ac
+) < 0 Phơng trình vô nghiệm
+) > 0 phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:
x1 = −b + ∆ ; x2 = −b

2a

2a

+) = 0 Phơng trình có nghiệm kÐp: x1 = x2 =
* ) C«ng thøc nghiƯm thu gän
NÕu b = 2b’ (b’ =

−b
2a

b
)→ ta cã : ∆’ = b’2 - ac
2

+ NÕu ∆’ > 0 → ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt là :
b '+ '
−b '− ∆ '
x1 =

; x2 =
a
a
+ NÕu ∆’ = 0 phơng trình có nghiệm kép
b '
x1 = x2 =
a
+ Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm
Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số
Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số
Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Dạng 2: Giải và biện phơng trình theo tham số
Tổng quát:
Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
c
+ Nếu b 0 thì phơng trình có nghiệm x =
b
+ Nếu b = 0 và c 0 thì phơng trình vô nghiệm.

18


+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
Với a 0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt sè:
∆ = b2 – 4ac ( hay ∆ ’ = b’2 – ac)
+ NÕu ∆ < 0 ( ∆ ’ < 0) thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu = 0 ( = 0) thì phơng trình có nghiÖm kÐp :
b
x1 = x2 = = − b'
2a

a
+ NÕu > 0 ( > 0) thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = b + = −b'+ ∆ ' ; x2 = −b − ∆ = b ' '
2a
a
2a
a

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
- Xét hai trờng hỵp cđa hƯ sè a:
 Trêng hỵp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào
phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình có
nghiệm
Trờng hợp 2: a à 0, phơng trình bậc hai mét Èn cã nghiÖm <=>

∆ ≥ 0 ( ∆ ' 0)

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt
Phơng trình bậc hai mét Èn cã hai nghiƯm ph©n biƯt

 a≠0
∆ > 0( ' > 0)

<=>

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm kép

a0
= 0( ' = 0)

Phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm kép <=>

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình vô nghiệm
- Xét hai trờng hỵp cđa hƯ sè a:
 Trêng hỵp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào
phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình vô
nghiệm
Trờng hợp 2: a à 0, phơng trình bậc hai mét Èn v« nghiƯm
<=> ∆ < 0 ( ∆ ' < 0 )
Dạng 7: Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Để chứng minh phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:

a0
ac < 0

Cách 1: Chøng minh: 

a ≠ 0
∆ > 0

 C¸ch 2: Chøng minh: 

Chó ý: Cho tam thøc bËc hai ∆ = am2 + bm + c

a>0

2
∆m = b − 4ac < 0

Để chứng minh > 0, m ta cần chứng minh

Dạng 8: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, trái
dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng ph©n biƯt,

19


có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm là hai số đối nhau, có hai
nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 ; trong ®ã a, b, c chøa tham số

S = x + x = b
1
2

a
Theo định lí Vi - Ðt, ta cã : 
 P = x1 x2 = c
a

a 0
a0


a) Phơng trình có hai nghiệm cïng dÊu <=>  ∆ ≥ 0 hc  ∆ ≥ 0
P > 0
 ac > 0



a ≠ 0
a≠0
b) Ph¬ng trình có hai nghiệm trái dấu <=>
hoặc
P < 0
ac < 0
a 0
0

c) Phơng trình cã hai nghiƯm d¬ng <=> 
P > 0
S > 0

a 0
0

d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=> 
P > 0
S < 0

a ≠ 0
∆ > 0

e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>
P > 0
S > 0

a 0
> 0

f) Phơng trình cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt <=> 
P > 0
S < 0

g) Phơng trình có hai nghiệm là hai số ®èi nhau


 a≠0

<=>  ∆ ≥ 0

b =0
 S = x1 + x2 =
a


h) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau

20



a≠0

<=>  ∆ ≥ 0

c =1
 P = x1 x2 =
a

Dạng 9: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
b
c
Bớc 2: Tính x1 + x1 =
và x1.x1 =
a
a
Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x1 + x1 và x1.x1 ; sau đó thay giá trị của
x1 + x1 và x1.x1 vào để tính giá trị của biểu thức.
Chú ý:

a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
(a − b)2 = (a + b)2 − 4ab
( a + b)2 = (a + b) + 2 a.b
a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2b2

(a,b ≥ 0)

a3 + b3 = a a + b b
= ( a + b)(a − ab + b)

(a,b ≥ 0)

Dạng 10: Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa
mÃn một trong các điều kiÖn sau:
a)

α x1 + β x2 = γ

b)

1 + 1 =n
x1
x2

c) x 2 + x 2 = k
1
2
,.... ...............

d) x 3 + x 3 = t
1
2

Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm x1, x2. Giải

a 0
=> m = ?
0


hệ ĐK:

S = x + x = − b
1
2


a
 Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã: 
 P = x1 x2 = c
a


 Bíc 3: BiÕn ®ỉi ®iỊu kiƯn của đề bài (là một đẳng thức hoặc bất đẳng thức)
để có tổng và tích hai nghiệm, sau đó thay tổng và tích hai nghiệm có đợc ở bớc 2 vào điều kiện vừa biến đổi; từ đó giải phơng trình hoặc bất phơng trình
với biến là tham số để tìm giá trị của tham số. Tiếp theo kiểm tra xem các giá
trị tham số tìm đợc có thỏa mÃn hệ điều kiện ở bớc 1 hay không ?
Hoặc có bài toán ta kết hợp điều kiện của đề bài với một hệ thức Vi - ét để tìm
hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn là x1, x2); sau đó ta thay x1, x2
vào hệ thức Vi ét còn lại để tìm tham số.
Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có một nghiệm x = x1. Tìm nghiệm
còn lại
Bớc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta có:

ax12 + bx1 + c = 0 => m = ?
21


Bớc 2: Để tìm nghiệm còn lại x2 ta thực hiện theo hai cách:
Cách 1: Thay giá trị của m vào phơng trình ban đầu. Từ đó có phơng trình bậc
hai và giải phơng trình này ta tìm đợc x2
Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: x2 = S − x1 hc x2 = P : x1
Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai khi biết trớc hai nghiƯm sè
 Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 . Ta có phơng trình với ẩn x là :

( x − x1 ) ( x − x2 ) = 0 <=> x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0

Trờng hợp 2: Không có x1, x2 riêng
Bớc 1: Tìm S = x1 + x2 và P = x1 x2
Bớc 2: Phơng trình với ẩn x là x2 Sx + P = 0 .
Phơng trình có nghiệm <=> S2 4 P
Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai khi biết mối liên hệ giữa hai nghiệm của
phơng trình cần lập với hai nghiệm của phơng trình cho trớc.
Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm của phơng trình.
Bớc 2: Tính tổng và tích hai nghiệm của phơng trình đà cho
b
c
x1 + x 2 =
, x1.x 2 =
a
a
 Bíc 3: TÝnh tổng và tích hai nghiệm của phơng trình cần lập x3 và x4 thông
qua mối liên hệ với x1 , x2.
Bớc 4: Lập phơng trình.
Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
tham số
Cách 1:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình cã hai nghiƯm x1, x2.

a ≠ 0
∆ ≥ 0

Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn 

−b

S = x1 + x 2 = a


 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt: 
P = x .x = c
1 2

a

 Bíc 3: Khư tham sè trong hệ thức Vi ét, tìm hệ thức liên hệ giữa S và P.
Đó là hệ thức độc lập với tham số giữa các nghiệm của phơng trình.
Cách 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2.

a 0
0

Giải hệ điều kiện

Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2.
Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số).
Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai
2

y = ax + bx + c

(a ≠ 0 )

C¸ch 1:
Biến đổi y = kA2(x) + m (m là hằng sè).
 k < 0 ⇒ kA2(x) ≤ 0 ⇒ kA2(x) + m m y m
Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.

 k > 0 ⇒ kA2(x) ≥ 0 ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒ y ≥ m

22


Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi A(x) = 0.
C¸ch 2:
y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = 0
+ Bíc 1: TÝnh ∆ hc ∆ ' .
+ Bíc 2: Đặt điều kiện 0 ( ' 0)
Giải bất phơng trình chứa ẩn y.
y m Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi
b b '
=
.
=' = 0 x =
a
2a
y m Giá trị lớn nhất của y bằng m đạt đợc khi

=' = 0 x =

b b'
=
2a
a

Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức liên hệ giữa hai
nghiệm
Bớc 1: Kiểm tra sự có nghiệm của phơng trình

Bớc 2: TÝnh x1 + x 2 =

−b
c
, x1.x 2 =
a
a

 Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x1; x2) về dạng có chứa
x1+ x2 và x1.x2
 Bíc 4: Thay x1 + x2 vµ x1.x2 vµo biểu thức A. Khi đó A trở thành tam thức bậc
hai ẩn là tham số.
Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham số thích
hợp.
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc
vào tham số
Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiÖm x1 , x2

−b

 x1 + x 2 = a

 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt: 
 x .x = c
 1 2 a

 Bíc 3: TÝnh gi¸ trị của biểu thức theo x1+ x2 và x1.x2 ; thấy kết quả là một
hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Dạng 18: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thỏa mÃn

bất đẳng thức đà cho.
Dạng 19: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
u + v = S 2
NÕu hai sè u vµ v thoả mÃn
(S 4P). Thì u và v là nghiệm của phu.v = P
ơng trình x2 - Sx + P = 0
(*)
- Nếu phơng trình (*) có hai nghiệm ph©n biƯt x1 , x2 . Do x, y cã vai trò nh nhau

u = x1
u = x 2


hoặc
v = x2
v = x1


- Nếu phơng trình (*) cã nghiÖp kÐp x1 = x2 = a => u = v = a
nên có hai cặp số thỏa mÃn là

- Nếu phơng trình (*) vô nghiệm => Không tìm đợc cặp giá trị (u, v) nào thỏa mÃn
yêu cầu đề bài

23


Dạng 20: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai một ẩn có
nghiệm chung
Cho hai phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vµ a ' x 2 + b' x + c ' = 0 (a ' ≠ 0)

Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè m

*) C¸ch 1:
 Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng trình:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

cã nghiÖm

2
a ' x + b ' x + c ' = 0 (a ' ≠ 0)


 Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình dạng:
A(m).x = B(m)
+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó
thay trực tiếp vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa
tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm
chung hay không ?

B(m )
(chứa tham số). Thay vµo mét trong
A(m )

+) NÕu A(m ) ≠ 0 => x =

hai phơng trình ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó thay từng giá trị
của m vào hai phơng trình giải hai phơng trình không chứa tham số
và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm chung hay
không ?

+) NÕu A(m ) ≠ 0 => x =

B(m )
(kh«ng chøa tham số), kết luận ngay
A(m )

đây là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay nghiệm chung đó vào
một trong hai phơng trình ta rút ra giá trị của m
Kết luận: ứng với giá trị m nào thì hai phơng trình có nghiệm chung,
nghiệm chung là gì ?
*) Cách 2: Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài toán đơn giản
Từ hai phơng trình
2
ax + bx + c = 0 => m = A(x)
2
a ' x + b' x + c ' = 0 => m = B(x)

Ta có: A(x) = B(x). Giải phơng trình này ta đợc nghiệm chung của hai phơng
trình, sau đó thay nghiệm chung đó vào một trong hai phơng trình ta tìm đợc giá trị
của tham số m, nếu cần thiết thử lại để kiểm tra
Cách 3: Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài toán đơn giản
Từ một trong hai phơng trình ta rút m theo x và thế vào phơng trình kia, đợc
phơng trình ẩn x; từ phơng trình này ta tìm đợc nghiệm chung, sau đó tìm m = ?
Dạng 21: Chứng minh trong hai phơng trình bậc hai một ẩn có ít nhất
một phơng trình có nghiệm
Cho hai phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) vµ a ' x 2 + b' x + c ' = 0 (a ' ≠ 0)
Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè
Chøng minh ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Phơng pháp:
Cách 1: Gọi 1 , 2 lần lợt là biệt thức của hai phơng trình. Ta cần chứng minh

+) 1 + ∆2 ≥ 0 => ∆1 ≥ 0 hc ∆2 ≥ 0 hc ∆1 , ∆2 ≥ 0
+) ∆1 . ∆2 ≤ 0 => ∆1 ≥ 0 hc ∆2 ≥ 0
Vậy ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng
Giả sử cả hai phơng trình đều vô nghiệm. Khi đó 1 < 0, ∆2 < 0

24


Ta lập luận dẫn đến điều vô lí => phải có ít nhất một trong hai biệt thức
không âm. Vậy có ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Dạng 22: Tìm giá trị của tham số để hai phơng trình tơng đơng
- Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập
nghiệm
*) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc nhất
Tìm nghiệm của hai phơng trình theo tham số và cho hai nghiệm bằng nhau,
từ đó tìm đợc giá trị của tham số để hai phơng trình tơng đơng
*) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai một ẩn
Xét hai trờng hợp
Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung
Trớc hết tìm giá trị của tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau
đó thay giá trị của tham số vào hai phơng trình và tìm tập nghiệm của
chúng. Nếu tập nghiệm bằng nhau thì hai phơng trình tơng đơng => giá
trị của tham sè

 ∆1 < 0

 ∆2 < 0


 Trêng hỵp 2: Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=>

=> Giá trị của tham số
Đặc biệt: Nếu nhận thấy một trong hai phơng trình có hai nghiệm
( 1 0 hoặc 2 0 )
=> Hai phơng trình tơng đơng khi hai nghiệm của phơng
trình
này cũng là hai nghiệm của phơng trình kia, do đó ta
có thể áp dụng vi ét cho cả hai phơng trình và tìm tham số.
Cụ thể ta cã: x1 + x2 = − b = − b' ;x1 x2 = c = − c' => m = ?
a
a'
a
a'
Dạng 23: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm của phơng trình
23.1: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phơng trình.
Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = x1.
Cách giải:
Bớc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = 0.
Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn là tham số.
23.2: Tìm giá trị của tham số khi biết hai nghiệm của phơng trình.
Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1) (a ≠ 0) cã hai nghiƯm x = x1; x = x2.
C¸ch 1:
 Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:
2
ax1 + bx1 + c = 0

 2
ax 2 + bx 2 + c = 0

Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.
Cách 2:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng tr×nh cã nghiƯm.
−b

 x1 + x 2 = a

 Bíc 2: Theo Vi - Ðt 
 x .x = c
 1 2 a

 Bíc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số.
Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn luôn dơng
hoặc luôn luôn ©m víi mäi x
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

(

)

2
2

2
− b − 4ac
f(x) = a( x + b x + c ) = a  x + b
2
a
a

2a

4a


(



b
 = a x +
2a





)

2

−

∆
4a

2







25