Về định lý điểm bất động kép cho lớp ánh xᄠCO trong không gian M–ÊTRIC suy rộng thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ
VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP
ÁNH XẠ (α, ψ)-CO TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN
Mã số: CS2013.01.13
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Trung Hiếu
Đồng Tháp, 5/ 2014
i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ
VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP
ÁNH XẠ (α, ψ)-CO TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN
Mã số: CS2013.01.13
Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài
Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Nguyễn Trung Hiếu
Đồng Tháp, 5/ 2014
MỤC LỤC
Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Mở đầu 1
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . 3
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . 5
1.2 Định lí điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không
gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong
không gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận 14
2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy rộng trong
không gian b-mêtric thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . 14
ii
iii
2.2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)- co suy rộng
trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận . . . . . . . 26
Kết luận và kiến nghị 42
1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Phụ lục 48
iv
bộ giáo dục & đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ
Tên đề tài: Về định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong
không gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận
Mã số: CS2013.01.13
Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Trung Hiếu
Tel.: 0939428941 E-mail:
Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Không
Thời gian thực hiện: 4/2013 đến 5/2014
1. Mục tiêu:

- Thiết lập một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co
trong không gian mêtric suy rộng.
- Xây dựng một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
2. Nội dung chính:
- Kiến thức chuẩn bị.
- Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian
mêtric suy rộng.
3. Kết quả chính đạt được:
- Thiết lập và chứng minh được một số định lí điểm bất động kép cho
lớp ánh xạ co suy rộng liên quan đến những hàm α, ϕ, ψ trong không gian
b-mêtric sắp thứ tự bộ phận.
v
- Thiết lập và chứng minh được một số định lí điểm bất động kép cho lớp
ánh xạ (α, ψ)-co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận.
- Xây dựng được một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
- Một bài báo khoa học được nhận đăng trên Tạp chí Khoa học Đại học
Đồng Tháp, một bản thảo bài báo khoa học được gửi đăng trên Journal of
Nonlinear Analysis and Optimization và một tài liệu tham khảo cho giảng
viên và sinh viên trong giảng dạy, nghiên cứu và học tập giải tích hiện đại.
Chủ nhiệm đề tài
Nguyễn Trung Hiếu
vi
ministry of education and training SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM
DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness
SUMMARY
Project Title: On some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive
mappings in partially ordered generalized metric spaces
Code number: CS2013.01.13
Coordinator: Nguyễn Trung Hiếu
Tel.: 0939428941 E-mail:

Implementing Institution: Dong Thap University
Cooperating Institution(s): No
Duration: from 2013, April to 2014, May
1. Objectives:
- To state some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive map-
pings in generalized metric spaces.
- To give some examples to demonstrate the validity of the results.
2. Main contents:
- Preliminaries.
- Some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractive mappings in
generalized metric spaces.
3. Results obtained:
- Some coupled fixed point theorems for generalized contractive mappings
relating to functions such as α, ϕ, ψ in partially ordered b-metric spaces were
stated and proved.
- Some coupled fixed point theorems for generalized (α, ψ)-contractive
vii
mappings in partially ordered metric-type spaces were stated and proved.
- Some examples were given to demonstrate the validity of the results
obtained.
- An article accepted to publish on Dong Thap University Journal of sci-
ence, a submitted manuscript on Journal of Nonlinear Analysis and Opti-
mization and a reference for lecturers and students of Mathematics Faculty
in studying, lecturing and researching advanced analysis.
Coordinator
Nguyễn Trung Hiếu
1
MỞ ĐẦU
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu
Các mêtric suy rộng có vai trò quan trọng trong việc thiết lập những

mở rộng của Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ.
Do đó, trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã xây dựng những không
gian mêtric suy rộng. Năm 1989, trong bài báo [3], Bakhtin đã giới thiệu một
khái niệm mêtric suy rộng là b-mêtric. Khái niệm này tiếp tục được Czerwik
nghiên cứu và bổ sung trong bài báo [8, 9]. Sự khác biệt của khái niệm b-
mêtric với khái niệm mêtric là điều kiện của bất đẳng thức tam giác trong
khái niệm mêtric đã được thay bằng một bất đẳng thức tổng quát hơn. Bằng
kĩ thuật tương tự, năm 2010, trong bài báo [17], Khamsi đã giới thiệu khái
niệm kiểu-mêtric. Kể từ đó, việc thiết lập những định lí điểm bất động trong
không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric thu hút nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu [7, 11, 14, 16, 27, 30].
Trong lí thuyết điểm bất động, việc nghiên cứu định lí điểm bất động
kép cũng được nhiều tác giả quan tâm. Khái niệm điểm bất động kép được
Bhaskar và cộng sự giới thiệu đầu tiên trong bài báo [5]. Đồng thời, trong bài
báo này, các tác giả cũng giới thiệu khái niệm ánh xạ đơn điệu hỗn hợp và
thiết lập một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ này. Kể từ đó, việc
thiết lập những dạng mở rộng của những định lí điểm bất động kép trong [5]
được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [1, 2, 15, 19, 21, 24, 25, 26, 28, 29,
31, 32, 34, 35, 36]. Cùng hướng nghiên cứu đó, năm 2011, trong bài báo [20],
2
Luong và cộng sự đã thiết lập một số kết quả về định lí điểm bất động kép
thông qua hàm ϕ và ψ. Năm 2012, trong bài báo [33], Samet và các cộng sự
giới thiệu hàm α-chấp nhận được với α : X
2
× X
2
−→ [0, ∞), đồng thời thiết
lập một số định lí điểm bất động kép bằng cách sử hàm α-chấp nhận được
này. Khái niệm này tiếp tục được Mursaleen và các cộng sự sử dụng để thiết
lập một số định lí điểm bất động kép trong bài báo [22].

Trong đề tài này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong bài báo [20] sang
không gian b-mêtric bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận được và mở rộng
những dạng định lí điểm bất động kép trong [22] sang không gian kiểu-mêtric
bằng cách bổ sung thêm số hạng. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh
họa cho kết quả đạt được.
2 Tính cấp thiết của đề tài
Trên cơ sở nghiên cứu những tài liệu tham khảo liên quan đến định lí điểm
bất động kép, chúng tôi nhận thấy rằng những dạng định lí điểm bất động
kép trong [20, 22] chưa được khảo sát trên không gian kiểu-mêtric và không
gian b-mêtric. Do đó, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng các định lí điểm bất động
kép của [20] sang không gian b-mêtric bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận và
mở rộng các định lí điểm bất động kép của [22] sang không gian kiểu-mêtric.
Kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần làm phong phú thêm các định lí
điểm bất động kép trên không gian mêtric suy rộng. Đồng thời, đề tài góp
phần nâng cao chất lượng dạy học và nghiên cứu khoa học của giảng viên và
sinh viên Trường Đại học Đồng Tháp.
3
3 Mục tiêu nghiên cứu
Thiết lập và chứng minh một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh
xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng.
Xây dựng ví dụ minh họa cho một số kết quả đạt được.
4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
Cách tiếp cận: Bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận được, chúng tôi đề
xuất mở rộng các kết quả của bài báo [20]. Đồng thời, bằng cách bổ sung các
số hạng trong điều kiện co của bài báo [22], chúng tôi đề xuất mở rộng của
các kết quả trong [22] sang không gian kiểu-mêtric.
Phương pháp: Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sử dụng phương
pháp tương tự hóa để thiết lập một số định lí điểm bất động kép trên không
gian kiểu-mêtric và không gian b-mêtric. Các kết quả này được thảo luận chi
tiết với một số tác giả cùng lĩnh vực nghiên cứu.

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu lớp ánh xạ liên quan đến những hàm α, ϕ, ψ trong
không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm
bất động trên không gian mêtric suy rộng.
6 Nội dung nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của không gian b-mêtric
và không gian kiểu-mêtric, một số định lí điểm bất động kép trong hai không
gian này và một số ví dụ minh họa.
4
Ngoài Mục lục, Mở đầu, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính
của đề tài được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không
gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận.
5
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric
Mục này trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của không gian
b-mêtric và không gian kiểu-mêtric.
1.1.1 Định nghĩa ([9]). Cho X là một tập khác rỗng, số thực s ≥ 1 và
d : X × X −→ [0, ∞) là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi
x, y, z ∈ X.
(1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x) nếu và chỉ nếu x = y;
(3) d(x, y) ≤ s

d(x, z) + d(z, y)

.

Khi đó, d được gọi là một b-mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không
gian b-mêtric. Lưu ý rằng không gian b-mêtric còn được một số tác giả nghiên
cứu với tên gọi là không gian kiểu-mêtric [14, 16, 18]. Trong đề tài này, chúng
tôi nghiên cứu không gian b-mêtric theo Định nghĩa 1.1.1.
1.1.2 Nhận xét ([10]). (1) (X, d) là một không gian mêtric khi và chỉ khi
(X, d, 1) là một không gian b-mêtric.
(2) Tồn tại một b-mêtric nhưng không là một mêtric.
6
1.1.3 Ví dụ ([10], Example 2.4). Xét X = R và ánh xạ d : X × X −→ [0, ∞)
xác định bởi d(x, y) = (x − y)
2
với mọi x, y ∈ X. Khi đó, d là một b-mêtric
trên X với s = 2 nhưng không là một mêtric trên X.
1.1.4 Ví dụ ([30], Example 1). Cho d là một mêtric trên X. Với p > 1, ta
đặt ρ(x, y) =

d(x, y)

p
với mọi x, y ∈ X. Khi đó ρ là một b-mêtric trên X
với s = 2
p−1
.
Một số khái niệm về sự hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ trong không
gian b-mêtric được trình bày như sau.
1.1.5 Định nghĩa ([6]). Cho (X, d) là một không gian b-mêtric và {x
n
} là
một dãy trong X. Khi đó
(1) Dãy {x

n
} được gọi là hội tụ đến x ∈ X, viết là lim
n→∞
x
n
= x hoặc x
n
→ x,
nếu lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0. Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy {x
n
}.
(2) Dãy {x
n
} được gọi là dãy Cauchy nếu lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0.
(3) Không gian b-mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong
X là một dãy hội tụ.
1.1.6 Mệnh đề ([6]). Cho (X, d) là một không gian b-mêtric. Nếu dãy {x
n
}
hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất.

1.1.7 Mệnh đề. Cho (X, d) là một không gian b-mêtric. Khi đó, X ×X cũng
là một không gian b-mêtric với b-mêtric được xác định bởi
d((x, y), (u, v)) = d(x, u) + d(y, v)
với mọi (x, y), (u, v) ∈ X × X.
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp ba điều kiện của một b-mêtric.
7
1.1.8 Nhận xét. Trong không gian b-mêtric, tôpô được hiểu là tôpô cảm
sinh bởi sự hội tụ của nó. Điều này có nghĩa là tập G mở trong không
gian b-mêtric (X, d) khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G, mọi dãy {x
n
} ⊂ X mà
lim
n→∞
x
n
= x thì tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
∈ G với mọi n ≥ n
0
. Khi đó, b-mêtric
d : X × X −→ [0, ∞) liên tục tại (x, y) nếu và chỉ nếu lim
n→∞
d(x
n
, y
n
) = d(x, y)
với mọi dãy {x

n
}, {y
n
} trong X mà lim
n→∞
x
n
= x và lim
n→∞
y
n
= y.
1.1.9 Nhận xét. b-mêtric là một ánh xạ không liên tục ([10, Example 2.2]).
Khái niệm kiểu-mêtric theo định nghĩa của Khamsi được giới thiệu như sau.
1.1.10 Định nghĩa ([17]). Cho X là một tập khác rỗng, số thực K ≥ 1 và
D : X × X −→ [0, ∞) là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau.
(1) D(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y với mọi x, y ∈ X;
(2) D(x, y) = D(y, x) nếu và chỉ nếu x = y với mọi x, y ∈ X;
(3) D(x, z) ≤ K

D(x, y
1
) + D(y
1
, y
2
) + . . . + D(y
n
, z)


với mọi
x, y
1
, y
2
, . . . , y
n
, z ∈ X.
Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là
một không gian kiểu-mêtric.
1.1.11 Nhận xét. (1) (X, D) là một không gian mêtric khi và chỉ khi (X, D, 1)
là một không gian kiểu-mêtric.
(2) Mỗi không gian kiểu-mêtric (X, D, K) là một không gian b-mêtric với
s = K.
(3) Tồn tại một b-mêtric nhưng không là một kiểu-mêtric ([10, Example 2.4]).
Một số khái niệm về sự hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ trong không
gian kiểu-mêtric được trình bày trong [17] tương tự với khái niệm về sự hội
8
tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ trong không gian b-mêtric. Hơn nữa, trong
[13], chúng tôi cũng chứng tỏ rằng kiểu-mêtric là ánh xạ không liên tục.
1.1.12 Ví dụ ([13], Example 2.2). Cho X =

0, 1,
1
2
, . . . ,
1
n
, . . .


và ánh xạ
D : X × X −→ [0, ∞) được xác định bởi
D(x, y) =





















0 nếu x = y
1 nếu x = y và x, y ∈ {0, 1}
|x − y| nếu x, y ∈

0,
1

n
,
1
m

, trong đó n, m ≥ 2
1
3
nếu x, y ∈

1,
1
n

, trong đó n ≥ 2.
Khi đó, ánh xạ D là một kiểu-mêtric không liên tục với K = 3.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X, ta có D(x, y) ≥ 0, D(x, y) = 0 khi và chỉ
khi x = y và D(x, y) = D(y, x). Với mọi x, y
1
, . . . , y
k
, y ∈ X, k ≥ 1, ta sẽ
chứng minh
D(x, y) ≤ 3[D(x, y
1
) + D(y
1
, y
2
) + . . . + D(y

k
, y)]. (1.1)
Đặt
σ = D(x, y
1
) + D(y
1
, y
2
) + . . . + D(y
k
, y).
Ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. D(x, y) = D(0, 1) = 1 hoặc D(x, y) = D

1,
1
n

=
1
3
với
n ≥ 2. Khi đó, σ ≥
1
3
.
Trường hợp 2. D(x, y) = D

0,

1
n

=
1
n
với n ≥ 2. Khi đó, σ ≥
1
3
nếu tồn
tại i ∈ {1, . . . , k} sao cho y
i
= 1 và σ ≥
1
n
nếu y
i
= 1 với mọi i = 1, . . . , k.
9
Trường hợp 3. D(x, y) = D

1
n
,
1
m

=




1
n
−
1
m



. Khi đó, σ ≥
1
3
nếu tồn tại
i ∈ {1, . . . , k} sao cho y
i
= 1 và σ ≥



1
n
−
1
m



nếu y
i
= 1 với mọi i = 1, . . . , k.

Từ các trường hợp trên, ta suy ra (1.1) thỏa mãn. Do đó D là một kiểu-
mêtric trên X với K = 3.
Ta lại có
lim
n→∞
D

1
n
, 0

= lim
n→∞
1
n
= 0
và
lim
n→∞
D

1
n
, 1

=
1
3
= 1 = D(0, 1).
Do đó, D là một ánh xạ không liên tục.

1.2 Định lí điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ)-
co trong không gian mêtric
Mục này trình bày khái niệm điểm bất động kép, khái niệm ánh xạ đơn
điệu hỗn hợp, hàm α-chấp nhận được và một số kết quả về điểm bất động
kép của lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric.
1.2.1 Định nghĩa ([5], Definition 1.2). Điểm (x, y) ∈ X×X được gọi là điểm
bất động kép của ánh xạ F : X × X −→ X nếu F (x, y) = x và F (y, x) = y.
1.2.2 Định nghĩa ([5], Definition 1.1). Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự bộ
phận và ánh xạ F : X × X −→ X. Khi đó, F được gọi là đơn điệu hỗn hợp
nếu F(x, y) là ánh xạ đơn điệu không giảm theo biến x và đơn điệu không
tăng theo y, nghĩa là, với mọi x, y, x
1
, x
2
, y
1
, y
2
∈ X, ta có: Nếu x
1
 x
2
thì
F (x
1
, y)  F (x
2
, y) và nếu y
1
 y

2
thì F(x, y
1
)  F (x, y
2
).
1.2.3 Định nghĩa ([22], Definition 3.3). Cho hai ánh xạ F : X × X −→ X
và α : X
2
× X
2
−→ [0, ∞). Ánh xạ F được gọi là α-chấp nhận được nếu với
10
mọi x, y, u, v ∈ X mà α

(x, y), (u, v)

≥ 1 thì
α

F (x, y), F (y, x)

,

F (u, v), F (v, u)

≥ 1.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại kết quả chính về điểm bất động kép
được thiết lập trong [20].
Kí hiệu Φ là tập hợp các hàm số ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều

kiện sau.
(1) ϕ liên tục và đơn điệu không giảm;
(2) ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0;
(3) ϕ(t + s) ≤ ϕ(t) + ϕ(s) với mọi t, s ≥ 0.
Kí hiệu Ψ là tập hợp các hàm đơn điệu không giảm ψ : [0, ∞) −→ [0, ∞)
thỏa mãn lim
t→r
ψ(t) > 0 với mọi r > 0 và lim
t→0
+
ψ(t) = 0.
1.2.4 Định lí ([20], Theorem 2.1). Cho (X, d, ) là một không gian mêtric
sắp thứ tự bộ phận đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn
hợp thỏa mãn
(1) Tồn tại hàm ϕ ∈ Φ và hàm ψ ∈ Ψ sao cho
ϕ

d(F (x, y), F (u, v))

≤
1
2
ϕ

d(x, u) + d(y, v)

−ψ

d(x, u) + d(y, v)
2


(1.2)
với mọi x, y, u, v ∈ X mà x  u và y  v;
(2) F là ánh xạ liên tục hoặc X có tính chất: với {x
n
} là dãy không giảm và
{y
n
} là dãy không tăng trong X sao cho lim
n→∞
x
n
= x và lim
n→∞
y
n
= y thì
x
n
 x và y
n
 y với mọi n ∈ N;
(3) Tồn tại x
0
, y
0
∈ X sao cho x
0
 F(x
0

, y
0
) và y
0
 F(y
0
, x
0
).
11
Khi đó, F có điểm bất động kép.
Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự bộ phận. Trên X × X, xét thứ tự 
xác định bởi:
(x, y)  (u, v) ⇐⇒ x  u, y  v
với mọi (x, y), (u, v) ∈ X × X.
1.2.5 Định lí ([20], Theorem 2.4). Giả sử
(1) Các giả thiết của Định lí 1.2.4 được thỏa mãn;
(2) Với mỗi (x, y), (z, t) ∈ X × X, tồn tại (u, v) ∈ X × X sao cho (u, v) so
sánh được với (x, y), (z, t).
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động kép.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về điểm bất động kép
của lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric được thiết lập trong [22, 23].
Kí hiệu Ω là tập hợp các hàm đơn điệu không giảm ψ : [0, ∞) −→ [0, ∞)
thỏa mãn
∞

n=1
ψ
n
(t) < ∞ với mọi t > 0.

1.2.6 Nhận xét ([4], Lemma 2.1-2.2). Với hàm ψ ∈ Ω, ta có
(1) lim
n→∞
ψ
n
(t) = 0 với mọi t > 0.
(2) ψ(t) < t với mọi t > 0.
(3) ψ(0) = 0.
1.2.7 Định nghĩa ([23], Definition 3.2). Cho (X, d, ) là một không gian
mêtric sắp thứ tự bộ phận và ánh xạ F : X × X −→ X. Khi đó F được gọi
12
là ánh xạ (α,ψ)-co suy rộng nếu tồn tại hai hàm α : X
2
× X
2
−→ [0, ∞) và
ψ ∈ Ω thỏa mãn
α

(x, y), (u, v)

d

F (x, y), F (u, v)

+ d

F (y, x), F (v, u)

2

≤ ψ

d(x, u) + d(y, v)
2

(1.3)
với mọi x, y, u, v ∈ X mà x  u và y  v.
1.2.8 Định lí ([22], Theorem 3.4). Cho (X, d, ) là một không gian mêtric
sắp thứ tự bộ phận đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn
hợp thỏa mãn
(1) F là ánh xạ (α,ψ)-co suy rộng;
(2) F là ánh xạ α-chấp nhận được;
(3) F là ánh xạ liên tục;
(4) Tồn tại x
0
, y
0
∈ X sao cho x
0
 F(x
0
, y
0
), y
0
 F(y
0
, x
0
) và

α

(x
0
, y
0
),

F (x
0
, y
0
), F (y
0
, x
0
)

≥ 1,
α

(y
0
, x
0
),

F (y
0
, x

0
), F (x
0
, y
0
)

≥ 1.
Khi đó, F có điểm bất động kép.
1.2.9 Định lí ([22], Theorem 3.5). Cho (X, d, ) là một không gian mêtric
sắp thứ tự bộ phận đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn
hợp thỏa mãn
(1) F là ánh xạ (α,ψ)-co suy rộng;
(2) F là ánh xạ α-chấp nhận được;
(3) Nếu {x
n
} và {y
n
} là hai dãy trong X sao cho lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y và
α

(x

n
, y
n
), (x
n+1
, y
n+1
)

≥ 1, α

(y
n
, x
n
), (y
n+1
, x
n+1
)

≥ 1 với mọi n ∈ N
thì α

(x
n
, y
n
), (x, y)


≥ 1 và α

(y
n
, x
n
), (y, x)

≥ 1 với mọi n ∈ N;
13
(4) Tồn tại x
0
, y
0
∈ X sao cho x
0
 F(x
0
, y
0
), y
0
 F(y
0
, x
0
) và
α

(x

0
, y
0
),

F (x
0
, y
0
), F (y
0
, x
0
)

≥ 1,
α

y
0
, x
0
),

F (y
0
, x
0
), F (x
0

, y
0
)

≥ 1.
Khi đó, F có điểm bất động kép.
1.2.10 Định lí ([23], Theorem 3.6). Giả sử
(1) Các giả thiết của Định lí 1.2.8 hoặc Định lí 1.2.9 được thỏa mãn;
(2) Với mỗi (x, y), (z, t) ∈ X × X, tồn tại (u, v) ∈ X × X sao cho (u, v) so
sánh được với (x, y), (z, t) và α

(x, y), (u, v)

≥ 1, α

(z, t), (u, v)

≥ 1.
Khi đó, F có duy nhất điểm bất động kép.
14
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP
ÁNH XẠ (α, ψ)-CO TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN
2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy
rộng trong không gian b-mêtric thứ tự bộ phận
Trong mục này, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số định lí điểm bất
động kép cho lớp ánh xạ suy rộng trong không gian b-mêtric và suy ra một
số hệ quả từ những định lí này. Những kết quả này là sự mở rộng các định lí
điểm bất động kép trong bài báo [20] sang không gian b-mêtric. Đồng thời,

chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. Các kết quả
chính của mục này được công bố trong bài báo [12].
2.1.1 Định lí. Cho (X, d, ) là một không gian b-mêtric sắp thứ tự bộ phận
đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn
(1) Tồn tại hàm α : X
2
× X
2
−→ [0, ∞), hàm ϕ ∈ Φ và hàm ψ ∈ Ψ sao cho
α((x, y), (u, v))ϕ

s
2
d(F (x, y), F (u, v))

≤
1
2
ϕ

d(x, u) + d(y, v)
s

− ψ

d(x, u) + d(y, v)
2

(2.1)
với mọi x, y, u, v ∈ X mà x  u và y  v;

15
(2) F là ánh xạ liên tục hoặc X thỏa mãn giả thiết (H): Với {x
n
} và {y
n
}
là hai dãy trong X sao cho lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y và
α

(x
n+1
, y
n+1
), (x
n
, y
n
)

≥ 1,
α


(y
n
, x
n
), (y
n+1
, x
n+1
)

≥ 1
với mọi n ∈ N thì x
n
 x, y
n
 y và
α

(x
n
, y
n
), (x, y)

≥ 1, α

(y
n
, x
n

), (y, x)

≥ 1
với mọi n ∈ N;
(3) Tồn tại x
0
, y
0
∈ X sao cho x
0
 F(x
0
, y
0
), y
0
 F(y
0
, x
0
) và
α

F (x
0
, y
0
), F (y
0
, x

0
)

, (x
0
, y
0
)

≥ 1,
α

(y
0
, x
0
),

F (y
0
, x
0
), F (x
0
, y
0
)

≥ 1.
Khi đó, F có điểm bất động kép.

Chứng minh. Xét dãy {x
n
} và {y
n
} trong X xác định bởi:
x
n+1
= F (x
n
, y
n
), y
n+1
= F (y
n
, x
n
) (2.2)
với mọi n ∈ N, trong đó x
0
, y
0
được xác định bởi giả thiết (3). Khi đó, sử
dụng tính đơn điệu hỗn hợp của ánh xạ F , bằng qui nạp ta chứng minh được
x
n
 x
n+1
, y
n

 y
n+1
(2.3)
với mọi n ∈ N. Mặt khác, vì
α

(x
1
, y
1
), (x
0
, y
0
)

= α

F (x
0
, y
0
), F (y
0
, x
0
)

, (x
0

, y
0
)

≥ 1
và F là ánh xạ α-chấp nhận được nên ta có
α

F (x
1
, y
1
), F (y
1
, x
1
)

, (x
0
, y
0
)

≥ 1 hay α

(x
2
, y
2

), (x
1
, y
1
)

.
16
Tiếp tục quá trình này, ta nhận được
α

(x
n+1
, y
n+1
), (x
n
, y
n
))

≥ 1 (2.4)
với mọi n ∈ N. Tương tự, ta cũng chứng minh được
α

(y
n
, x
n
), (y

n+1
, x
n+1
))

≥ 1 (2.5)
với mọi n ∈ N. Khi đó, từ (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) và tính đơn điệu không
giảm của hàm ϕ, ta có
ϕ(d(x
n+1
, x
n
)) ≤ ϕ

s
2
d(x
n+1
, x
n
)

= ϕ(s
2
d(F (x
n
, y
n
), F (x
n−1

, y
n−1
)))
≤ α((x
n
, y
n
), (x
n−1
, y
n−1
))ϕ(s
2
d(F (x
n
, y
n
), F (x
n−1
, y
n−1
)))
≤
1
2
ϕ

d(x
n
, x

n−1
) + d(y
n
, y
n−1
)
s

−ψ

d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y
n−1
)
2

. (2.6)
Tương tự, từ (2.1), (2.2), (2.3), (2.5) và tính đơn điệu không giảm của hàm
ϕ, ta có
ϕ(d(y
n
, y
n+1
)) ≤
1

2
ϕ

d(y
n−1
, y
n
) + d(x
n−1
, x
n
)
s

−ψ

d(y
n−1
, y
n
) + d(x
n−1
, x
n
)
2

. (2.7)
Từ (2.6) và (2.7), ta được
ϕ(d(x

n+1
, x
n
)) + ϕ(d(y
n+1
, y
n
))
≤ ϕ

d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y
n−1
)
s

−2ψ

d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y

n−1
)
2

. (2.8)
Mặt khác, từ tính chất (3) của hàm ϕ, ta có
ϕ(d(x
n+1
, x
n
) + d(y
n+1
, y
n
)) ≤ ϕ(d(x
n+1
, x
n
)) + ϕ(d(y
n+1
, y
n
)). (2.9)
17
Do đó, từ (2.8) và (2.9), ta được
ϕ(d(x
n+1
, x
n
) + d(y

n+1
, y
n
))
≤ ϕ

d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y
n−1
)
s

−2ψ

d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y
n−1
)
2


. (2.10)
Từ (2.10) và tính không âm của hàm ψ, ta có
ϕ(d(x
n+1
, x
n
) + d(y
n+1
, y
n
)) ≤ ϕ

d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y
n−1
)
s

≤ ϕ(d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y

n−1
)). (2.11)
Từ (2.11) và tính đơn điệu không giảm của hàm ϕ, ta được
d(x
n+1
, x
n
) + d(y
n+1
, y
n
) ≤ d(x
n
, x
n−1
) + d(y
n
, y
n−1
). (2.12)
Đặt δ
n
= d(x
n+1
, x
n
) + d(y
n+1
, y
n

) với mọi n ∈ N. Khi đó, từ (2.12), ta suy
ra {δ
n
} là dãy số không âm và đơn điệu không tăng. Do đó, tồn tại δ ≥ 0 sao
cho lim
n→∞
δ
n
= δ. Ta sẽ chứng minh δ = 0. Giả sử δ > 0. Khi đó cho n → ∞
trong (2.10) và sử dụng tính chất của hàm ϕ và ψ, ta được
ϕ(δ) ≤ ϕ(
δ
s
) − 2 lim
n→∞
ψ(
δ
n−1
2
) ≤ ϕ(δ) − 2 lim
n→∞
ψ(
δ
n−1
2
) < ϕ(δ).
Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, δ = 0 hay
lim
n→∞
δ

n
= 0. (2.13)
Tiếp theo, ta chứng minh {x
n
} và {y
n
} là hai dãy Cauchy trong X. Giả
sử {x
n
} hoặc {y
n
} không là dãy Cauchy trong X. Khi đó
lim
n,m→+∞
d(x
n
, x
m
) + d(y
n
, y
m
) = 0.
Do đó, tồn tại ε > 0, hai dãy con {x
n(k)
}, {x
m(k)
} của {x
n
} và hai dãy con

{y
n(k)
}, {y
m(k)
} của {y
n
} với n(k) nhỏ nhất thỏa mãn n(k) ≥ m(k) ≥ k và
d(x
n(k)
, x
m(k)
) + d(y
n(k)
, y
m(k)
) ≥ ε. (2.14)