điểm bất động chung cho ba ánh xạ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (152.13 KB, 47 trang )

Mục lục
Lời nói đầu
Mục Lục
Trang
1
2
Chơ
ng 1.
Điể
m
bất
động
chun
g
cho
ba
ánh
xạ
1.
1
M
ột
s
ố
ki
ế
n
th
ứ
c
c

huẩn bị . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. .
1.2 Điểm
bất động
chung cho
ba ánh
xạ . . . . . .
. . . . . . . .
Chơng
2.
Điểm
bất
động
chung
cho
bốn
ánh xạ
2.1 Điểm
bất động
chung
của bốn
ánh xạ
trong
không gian mêtric
4
4
8
14

đầy
đủ . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2 Điểm bất động chung
của bốn ánh xạ trong
không gian với d-hàm 30
Kết
luận
Tài
liệu
tham
khảo
1
35
36
lời nói đầu
Năm 1982, trong bài báo On a weak commutativity condition of map-
pings in fixed point considerations S. Sessa đã giới thiệu khái niệm các
ánh xạ giao hoán yếu và đã chứng minh đợc một số định lý điểm bất
động chung. Năm 1986, G. Jungck, đã mở rộng các khái niệm ánh xạ giao
hoán yếu bằng cách đa ra khái niệm các ánh xạ tơng thích. Sau đó, ông
cùng với P. P. Murthy và Y. J. Cho đã cùng mở rộng khái niệm ánh xạ giao
hoán yếu và đa ra khái niệm các ánh xạ tơng thích yếu loại (A). Sau
đó, H. K. Pathak và M. S. Khan đã đa ra khái niệm về các ánh xạ tơng
thích loại (B) mà nó là mở rộng khái niệm các ánh xạ tơng thích loại (A).
Theo hớng này, lần đầu tiên tác giả cùng với Y. J. Cho, S. M. Kang và S.
M. Madharia đã đa ra phần mở rộng khái niệm các ánh xạ tơng thích
loại (A) bằng cách giới thiệu khái niệm các ánh xạ tơng thích loại (C) và
một kiểu tơng thích khác đợc gọi là tơng thích loại (P). Năm 1998, G.

Jungck và B. E. Rhoades đã tìm cách mở rộng tất cả các khái niệm về giao
hoán, giao hoán yếu và tơng thích bằng cách giới thiệu khái niệm các
ánh xạ tơng thích yếu. Gần đây hơn, M. A. Al-Thagafi và N. Shahzad đã
đa ra khái niệm các ánh xạ tơng thích yếu ngẫu nhiên (viết tắt là owc)
nh là một mở rộng của khái niệm ánh xạ tơng thích yếu. Trên cơ sở
các bài báo On unique common fixed point theorems for three and four
self mappings của H. Bouhadjera và Common fixed point theorem for
four mappings satisfying generalized weak contractive condition của
M. Abbas và D. Đoric, dới sự hớng dẫn của NGƯT. PGS. TS. Trần Văn
Ân, chúng tôi đã tiếp cận đề tài nghiên cứu Điểm bất động chung cho
ba và bốn ánh xạ. Mục đích của luận văn này là thông qua các tài liệu
tham khảo và các bài báo theo hớng này, chúng tôi tìm hiểu và trình
bày một cách có hệ thống các kết quả về một số định lý điểm bất động
chung của ba và bốn ánh xạ. Với mục đích trên luận văn đợc trình bày
gồm hai chơng.
2
Chơng 1. Điểm bất động chung của ba ánh xạ.
Trong chơng này, ở mục 1 tác giả giới thiệu một số kiến thức làm cơ
sở cho việc trình bày của luận văn. Mục 2 trình bày và chứng minh các
định lý về điểm bất động chung cho ba ánh xạ.
Chơng 2. Điểm bất động chung cho bốn ánh xạ
Trong chơng này, mục 1 dành cho việc trình bày và chứng minh các
định lý về điểm bất động chung cho bốn ánh xạ trong không gian mêtric
đầy đủ, các hệ quả và một số ví dụ áp dụng. Tiếp theo ở mục 2, chúng
tôi trình bày các định lý về điểm bất động chung cho bốn ánh xạ trong
không gian với d-hàm, các hệ quả và một số ví dụ áp dụng các định lý
đã đợc trình bày trong phần này.
Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm

ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quý Thầy Cô
trong tổ Giải tích khoa Toán trờng Đại học Vinh, Phòng Tổ chức Trờng
Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
luận văn. Cuối cùng xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các Thầy, Cô trong tổ
Toán trờng THCS và THPT Nguyễn Khuyến, trờng THCS và THPT
Trí Đức, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các học viên cao học
khoá 18 Toán-Giải tích tại Trờng Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận
lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai
sót. Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của quý Thầy
Cô và bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện.
Vinh, ngày 20 tháng 8 năm 2012
Cao Thị Hậu
3
chơng 1
Điểm bất động chung của ba ánh xạ
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.1 Định nghĩa. ([2]) Giả sử d : X ì X [0, +) là hàm thỏa mãn
các điều kiện sau với mọi x, y X .
(1) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;
(2) d(x, y) = d(y, x).
Khi đó, d đợc gọi là một d-hàm (d-function) trên X .
1.1.2 Định nghĩa. ([1]) Không gian mêtric là một cặp (X, ) trong đó X
là một tập hợp, : X ì X R là một hàm số xác định trên X ì X thoả
mãn ba điều kiện sau
(i) (x, y) 0, (x, y) = 0 x = y;
(ii) (x, y) = (y, x), với mọi x, y X ;
(iii) (x, y) (x, z) + (z, y ), với mọi x, y, z X .
Điều kiện (i), (ii), (iii) đợc gọi lần lợt là các tiên đề không âm, đối xứng,
bất đẳng thức tam giác.

sup |x(t) z(t)| + sup |z(t) y(t)|
atb atb
= (x, z) + (z, y), với mọi x, y, z C [a, b], t [a, b].
(x, y) (x, z ) + (z, y).
1.1.5 Định nghĩa. ([1]) Cho không gian mêtric (X, ). Dãy {x
n
} X
đợc gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản, nếu
lim
n,m
(x
m
, x
n
) = 0,
nghĩa là với mọi > 0 tồn tại n
0
N sao cho với mọi m, n n
0
ta có
(x
n
, x
m
) < .
1.1.6 Định nghĩa. ([1]) Dãy {x
n
}
n
=1 trong không gian mêtric (X, ) đợc

gọi là hội tụ đến điểm x
0
X , nếu lim (x
n
, x
0
) = 0. Khi đó, ta viết
n
lim x
n
= x
0
hoặc x
n
x
0
và điểm x
0
đợc gọi là giới hạn của dãy {x
n
}.
n
1.1.7 Định nghĩa. ([1]) Không gian mêtric X đợc gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
5
1.1.8 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X,
X
) và (Y,
Y
) là các không gian mêtric.

ánh xạ f : X Y đợc gọi là liên tục tại x
0
X , nếu với mọi
> 0 tồn tại > 0 sao cho với mọi x X mà
X
(x
0
, x) < ta có

Y
(f (x
0
), f (x)) < .
Nếu f liên tục tại mọi điểm x X , thì f đợc gọi là liên tục (trên X ).
1.1.9 Nhận xét. ([1]) ánh xạ f : X Y là liên tục tại điểm x X khi
và chỉ khi với mọi dãy{x
n
} X, mà lim x
n
= x ta có lim f (x
n
) = f (x).
n n
1.1.10 Định nghĩa. ([2]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không
gian mêtric (X, d) vào chính nó.
Điểm x X đợc gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x) = x.
Điểm x X đợc gọi là điểm trùng nhau của các ánh xạ f và g nếu
f (x) = g(x).
Ta cũng dùng hai lớp hàm sau
= {| : [0, ) [0, ) nửa liên tục dới, (t) > 0, t > 0, (0) = 0},

= {| : [0, ) [0, ) liên tục và không giảm, (t) = 0 t = 0}.
1.1.11 Định nghĩa. ([2]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không
gian mêtric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ f và g đợc gọi là cặp giao
hoán yếu nếu với mọi x X ta có d(f gx, gf x) d(f x, gx).
1.1.12 Định nghĩa. ([5]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không
gian mêtric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ f và g đợc gọi là
(1) tơng thích nếu
lim d(f gx
n
, gf x
n
) = 0,
n
(2) tơng thích loại (A) nếu,
lim d(f gx
n
, g
2
x
n
) = 0 và lim d(gf x
n
, f
2
x
n
) = 0,
n
6
n

(3) t¬ng thÝch lo¹i (B) nÕu,
1
lim d(f gx
n
, g
2
x
n
) ≤
h
lim d(f gx
n
, f t) + lim d(f t, f
2
x
n
)
i
vµ
n→
∞
2
1
h
n→
∞
n
→
∞
i

lim d(gf x
f
n
2
lim
d(gf x
n
,
gt) +
lim
d(gt,
g
2
x
n
)
,
n→∞
n→∞
(4)
t¬ng
thÝch
lo¹i
(C)
nÕu,
lim
d(f gx
≤
1
h

lim d(f
gx
n
, f t)
+ lim
d(f t,
f
2
x
n
)
n
3
n
→
∞
i
n→∞
vµ
+ lim
d(f t,
g
2
x
n
)
n→∞
1
lim d(gf x
f

n
3
h
lim
d(gf
x
n
, gt)
+ lim
d(gt,
g
2
x
n
)
n→∞
n
i
+ lim
d(gt, f
n
(5) tơng thích
loại (P) nếu,
,
lim
d(f
2
x
n
,

g
2
x
n
) =
0
n
với mọi dãy {x
n
} X sao
cho
lim
f x
n
= lim
gx
n
= t, với điểm t
nào
đó
thuộc
X .
n n
1.1.13 Định nghĩa. ([5]) Giả sử f,
g
:
X

X
là các

ánh xạ
từ
không
gian
mêtric
(X, d)
vào
chính
nó. Các
ánh xạ
f
và
g
gọi là
tơng
thích
yếu
nếu
và
giao
hoán
tại các
điểm
trùng
nhau
của
chúng.
1.1.14
Định
nghĩa.

([13])
Giả sử
f, g : X
X là
các ánh xạ từ không
gian mêtric (X, d) vào chính
nó. Các ánh xạ f
và
g đợc gọi là tơng
thích yếu ngẫu nhiên (viết tắt
là owc) nếu tồn tại một điểm
t X mà nó
là một điểm trùng nhau
của f và g và tại đó f
và g giao hoán.
7
1.1.15 Nhận xét. Các ánh xạ tơng thích loại (A) là ánh xạ tơng thích
yếu ngẫu nhiên, nhng điều ngợc lại nói chung không đúng. Ví dụ sau
đây chứng minh điều đó.
1.1.16 Ví dụ. ([5]) Cho X = [0; ) với mêtric thông thờng. Ta xác
định các ánh xạ f, g : X X cho bởi công thức
(
0
nếu x [0; 1),
f (x) =
x
3
nếu x [1; )
(
2

x nếu x [0; 1),
g(x) =
1
x
2
nếu x [1; ).
Khi đó ta có f (1) = 1 = g(1) và f g(1) = 1 = gf (1).
Bây giờ, ta xét dãy {x
n
} với x
n
= 1 +
n
1 , với n = 1, 2, 3, . . Khi đó ta có
f x
n
= x
3
n 1 và gx
n
=
x
1
2
1 khi n . Nhng,
n
d(f gx
n
, ggx
n

) 26= 0.
Vì vậy, f và g là tơng thích yếu ngẫu nhiên, nhng không tơng thích
loại (A).
1.2 Điểm bất động chung của ba ánh xạ
1.2.1 Định lý. ([5]) Giả sử f, g và h là ba ánh xạ từ không gian mêtric
đầy đủ (X, d) vào chính nó thoả mãn các điều kiện
(i) f (X ) S g(X ) h(X );
(ii) d(f x, gy) d(hx, hy) + [d(f x, hx) + d(gy, hy)] + [d(hx, gy) +
d(hy, f x)], với mọi x, y X và , , là số thực không âm sao
cho + 2 + 2 < 1;
8
(iii) Một trong các ánh xạ f, g và h là liên tục;
(iv) (f, h) và (g, h) là tơng thích loại (A).
Khi đó, f, g và h có một điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Lấy x
0
X tuỳ ý. Ta xây dựng dãy {hx
2
n
}
nh sau
hx
2
n+1
=
f x
2
n
;
hx

2
n+2
=
gx
2
n+1
;
n = 0, 1, 2, 3,
Từ điều kiện (ii) ta có
d(hx
2
n+1, hx
2
n+2
) =
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
(1.1)
d(hx
2
n, hx
2
n+1
) +

[

d(f x
2
n, hx
2
n
) +
d(gx
2
n+1, hx
2
n+1
)
]
+
[
d(hx
2
n, gx
2
n+1
) +
d(hx
2
n+1, f x
2
n
)
]
= d(hx
2

n, hx
2
n+1
) +

[
d(hx
2
n+1, hx
2
n
) +
d(hx
2
n+2, hx
2
n+1
)
]
+
[
d(hx
2
n, hx
2
n+2
) +
d(hx
2
n+1, hx

2
n+1
)
]
( + + )d(hx
2
n, hx
2
n+1) + ( + )d(hx
2
n+1, hx
2
n+2
)
.
Vì vậy, ta có
+ +
d(hx
2
n+1, hx
2
n+2
)
d(hx
2
n, hx
2
n+1
)
tức là,

1 ( + )
d(hx
2
n+1, hx
2
n+2
)
s.d(hx
2
n, hx
2
n+1
)
,
trong đó s =
1

+
(
+
+
)
< 1.
Chứng minh tơng tự ta có
d(hx
2
n+1, hx
2
n+2) s
2

n+1
d
(hx
0
, hx
1
).
Với k > n, ta có
d(hx
n
, hx
n
+k
)

d
(hx
n
+i1, hx
n
+i
)
s
n
+i1
d
(hx
0
, hx
1

)
sn

1 s
d(hx
0
, hx
1
) 0 khi n .
9
Do đó {hx
n
} là một dãy Cauchy. Vì X là không gian mêtric đầy đủ, tồn
tại một điểm z X sao cho hx
n
z. Khi đó các dãy con của {hx
n
},
{f x
2
n
}
và {gx
2
n+1
}
cũng hội tụ về z, tức là {f x
2
n} z và {gx
2

n+1} z.
Giả sử rằng h liên tục và cặp (f, h) là tơng thích loại (A). Từ điều kiện
(ii) ta có
d(hf x
2
n, gx
2
n+1) d(h
2
x
2
n, hx
2
n+1) +
[
d(f hx
2
n, h
2
x
2
n) + d(gx
2
n+1, hx
2
n+1)
]
+
[
d(h

2
x
2
n, gx
2
n+1
) +
d(hx
2
n+1, f hx
2
n
)
]
Vì h là liên tục nên h
2
x
2
n hz khi n . Do cặp (f, h) là tơng thích
loại (A), nên f hx
2
n hz khi n . Cho n , ta có
d(hz, z) d(hz, z) +
[
d(hz, hz) + d(z, z)
]
+
[
d(hz, z) + d(z, hz)
]

= ( + 2)d(hz, z).
Vì + 2 < 1, nên ta có d(hz, z) = 0 và hz = z.
Ta lại có
d(f z, gx
2
n+1
)
d(hz, hx
2
n+1
) +

[
d(f z, hz) + d(gx
2
n+1, hx
2
n+1
)
]
+
[
d(hz, gx
2
n+1
) +
d(hx
2
n+1, f z)
]

.
Cho n và dùng hz = z, ta có
d(f z, z) d(z, z) +
[
d(f z, z) + d(z, z)
]
+
[
d(z, z) + d(z, f z)
]
= ( + )d(f z, z).
Vì + < 1, nên ta suy ra d(f z, z) = 0 và f z = z. Vì thế ta có hz = f z = z.
10
Lại theo điều kiện (ii), ta có
d(z, gz) = d(f z, gz) d(hz, hz ) +
[
d(f z, hz) + d(gz, hz)
]
+
[
d(hz, gz) + d(hz, f z)
]
= ( + )d(gz, z).
Vì + < 1, từ đó suy ra d(z, gz) = 0, tức là z = gz. Do đó z là điểm bất
động chung của f, g và h.
Tơng tự nh vậy ta cũng chứng minh đợc z là điểm bất động chung
của f, g và h trong trờng hợp f hoặc g liên tục và cặp (g, h) là tơng thích
loại (A).
Bây giờ giả sử z và u là hai điểm bất động chung của f, g và h. Khi
đó, ta có z = f z = gz = hz và u = f u = gu = hu.

d(z, u) = d(f z, gu) d(hz, gu) +
[
d(f z, hz) + d(gu, hu)
]
+
[
d(hz, gu) + d(hu, f z)
]
= d(z, u) +
[
d(z, z) + d(u, u)
]
+
[
d(z, u) + d(u, z)
]
= ( + 2 )d(z, u).
Vì + 2 < 1, nên từ đó ta suy ra d(z, u) = 0 và z = u. Vì vậy điểm bất
động chung là duy nhất.
1.2.2 Định lý. ([5]) Cho X là một tập hợp với d-hàm. Giả sử f, g và h
là ba ánh xạ từ (X, d) vào chính nó thoả mãn các điều kiện sau
(1)
d(f x,gy)
0
(t)dt
d(hx,hy)+[d(f x,hx)+d(gy,hy)]+[d(hx,gy)+d(hy,f x)]
0
(t)dt,
với mọi x, y thuộc X , : R
+

R
+
là ánh xạ khả tích Lơbe mà
nó là không âm khả tổng sao cho
0
(t)dt > 0 với mỗi > 0 và
, , là các số thực không âm thoả mãn + 2 + 2 < 1;
11
(2) Cặp các ánh xạ (f, h) hoặc (g, h) là owc.
Khi đó f, g và h có điểm chung duy nhất.
Chứng minh. Giả sử rằng f và h là owc, khi đó có một phần tử u X
sao cho f u = hu và f hu = hf u.
Trớc hết, ta chứng minh rằng f u = gu. Thật vậy, bằng cách sử dụng
bất đẳng thức (1), ta có
d(f u,gu)
0
(t)dt
d(hu,hu)+[d(f u,hu)+d(gu,hu)]+[d(hu,gu)+d(hu,f u)]
0
(t)dt
=
(+)d(f u,gu)
0
(t)dt <
d(f u,gu)
0
(t)dt.
Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Do đó gu = f u = hu.
Tiếp tục ta giả sử rằng f f u6= f u. Dùng điều kiện (1) ta có đợc
d(f f u,gu)

0
(t)dt
d(hf u,hu)+[d(f f u,hf u)+d(gu,hu)]+[d(hf u,gu)+d(hu,f f u)]
0
(t)dt.
Từ đó ta suy ra
d(f f u,gu)
0
(t)dt
(+2)d(f f u,f u)
0
(t)dt <
d(f f u,f u)
0
(t)dt.
Mâu thuẫn này kéo theo rằng f f u = f u = hf u.
Bây giờ, ta giả sử rằng gf u6= f u. Từ bất đẳng thức (1) ta có
d(f u,gf u)
0
suy ra,
(t)dt
d(hu,hf u)+[d(f u,hu)+d(gf u,hf u)]+[d(hu,gf u)+d(hf u,f u)]
0
(t)dt
d(f u,gf u)
0
(t)dt
(+)d(f u,gf u)
0
(t)dt <

d(f u,gf u)
0
(t)dt.
Ta gặp mâu thuẫn. Vì thế suy ra rằng gf u = f u. Đặt f u = gu = hu = t,
nh vậy t là một điểm bất động chung của các ánh xạ f, g và h.
12
B©y giê, lÊy t vµ z lµ hai ®iÓm bÊt ®éng chung ph©n biÖt cña c¸c ¸nh
x¹ f, g vµ h, nghÜa lµ f t = gt = ht = t vµ f z = gz = hz = z. V× t6= z nªn
d(t, z) > 0. Tõ (1) ta cã
∫ d(t,z)
0
ϕ(t)dt =
∫ d(f t,gz)
0
ϕ(t)dt
≤
=
∫ αd(ht,hz)+β [d(f t,ht)+d(gz,hz)]+γ[d(ht,gz)+d(hz,f t)]
0
∫ (α+2γ)d(t,z) ∫ d(t,z)
ϕ(t)dt < ϕ(t)dt.
0 0
ϕ(t)dt
V× thÕ, d(t, z) = 0 vµ z = t. V× vËy ®iÓm bÊt ®éng chung lµ duy nhÊt.
13
chơng 2
Điểm bất động chung của bốn ánh xạ
2.1 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ trong không
gian mêtric đầy đủ
2.1.1 Định lý. ([2]) Giả sử f, h, g và k là bốn ánh xạ từ không gian

mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó thoả mãn các điều kiện
(i) f (X ) k(X ), g(X ) h(X );
(ii) d(f x, gy) d(hx, ky) +
[
d(hx, f x) + d(ky, gy )
]
+
[
d(hx, gy) +
d(ky, f x)
]
, với mọi x, y X và , và là các số thực không
âm sao cho + 2 + 2 < 1;
(iii) Một trong các ánh xạ f, g, h và k là liên tục;
(iv) (f, h) và (g, k) là tơng thích loại (A).
Khi đó, f, h, g và k có một điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Lấy x
0
X là một điểm tuỳ ý. Chọn một điểm x
1
X
sao cho f x
0
= kx
1
. Điều này có thể thực hiện đợc vì f (X ) k(X ). Lấy
x
2
X sao cho gx
1

= hx
2
. Điều này có thể thực hiện đợc vì g(X )
h(X ). Do đó ta có thể chọn đợc dãy x
2
n
, x
2n+1
, x
2n+2, . . . sao cho f x
2
n
=
kx
2
n+1
và
gx
2
n+1
=
hx
2
n+2. Vì vậy ta có dãy
f x
0
, gx
1
, f x
2

, gx
3
,
14
(2.1)
Sử dụng điều kiện (ii), ta có
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
d(hx
2
n, kx
2
n+1
) +

[
d(hx
2
n, f x
2
n
) +
d(kx
2
n+1, gx
2

n+1
)
]
+
[
d(hx
2
n, gx
2
n+1
) +
d(kx
2
n+1, f x
2
n
)
]
= d(gx
2
n1, f x
2
n
) +

[
d(gx
2
n1, f x
2

n
) +
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
]
+
[
d(gx
2
n1 , gx
2
n+1
) +
d(f x
2
n, f x
2
n
)
]
d(gx
2
n1, f x
2
n
) +

[
d(gx
2
n1, f x
2
n
) +
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
]
+
[
d(gx
2
n1 , f x
2
n
) +
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
]

= ( + + )d(gx
2
n1, f x
2
n) + ( + )d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
.
Do đó ta nhận đợc
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
pd(f x
2
n, gx
2
n1
)
,
trong đó p =
1

+
(

+
+
)
< 1. Chứng minh tơng tự ta có
d(f x
2
n, gx
2
n1) pd(f x
2
n2 , gx
2
n1).
Do đó ta có
d(f x
2
n, gx
2
n+1
)
p
2
d(f x
2
n2 , gx
2
n1
)
.
p

2
n
d
(f x
0
, gx
1
).
Điều này chứng tỏ rằng dãy (2.1) là dãy Cauchy và vì (X, d) là không gian
đầy đủ, nên dãy (2.1) có một điểm giới hạn z X . Do đó các dãy con
{f x
2
n
}
= {kx
2
n1
}
và {gx
2
n1
}
= {hx
2
n
}
cũng hội tụ đến điểm z X .
Giả sử rằng ánh xạ h là liên tục. Khi đó h
2
x

2
n hz và hf x
2
n hz khi
n . Vì cặp (f, h) là tơng thích loại (A), ta nhận đợc f hx
2
n hz
khi n .
Bây giờ từ (ii) ta có
d(f hx
2
n, gx
2
n+1
)
d(h
2
x
2
n, kx
2
n+1
) +

[
d(h
2
x
2
n, f hx

2
n
) +
d(kx
2
n+1, gx
2
n+1
)
]
+
[
d(h
2
x
2
n, gx
2
n+1
) +
d(kx
2
n+1, f hx
2
n
)
]
.
15
Cho n ta nhận đợc

d(hz, z) d(hz, z) +
[
d(hz, hz) + d(z, z)
]
+
[
d(hz, z) + d(z, hz)
]
= ( + 2)d(hz, z).
Vì 0 + 2 < 1, từ bất đẳng thức trên ta có d(hz, z) = 0. Suy ra hz = z.
Hơn nữa ta có
d(f z, gx
2
n+1) d(hz, kx
2
n+1) +
[
d(hz, f z) + d(kx
2
n+1, gx
2
n+1)
]
+
[
d(hz, gx
2
n+1
) +
d(kx

2
n+1, f z)
]
= ( + 2)d(hz, z ).
Cho kx
2
n+1, gx
2
n+1 z khi n , nhờ hz = z ta nhận đợc
d(f z, z) d(z, z) +
[
d(z, f z) + d(z, z)
]
+
[
d(z, z) + d(z, f z)
]
= ( + )d(f z, z).
Vì 0 + < 1, nên ta có d(f z, z) = 0, nghĩa là f z = z. Do đóf z =
hz = z. Vì f (X ) k(X ), tồn tại z
0
X sao cho z = f z = kz
0
.
Bây giờ lại nhờ (ii) ta có
d(z, gz
0
) = d(f z, gz
0
)

d(hz, kz
0
) +
[
d(hz, f z) + d(kz
0
, gz
0
)
]
+
[
d(hz, gz
0
) + d(kz
0
, f z)
]
= d(z, z) +
[
d(z, z) + d(z, gz
0
)
]
+
[
d(z, gz
0
) + d(z, z)
]

= ( + )d(z, gz
0
).
Vì thế, vì 0 + < 1 ta có d(z, gz
0
) = 0, nghĩa là gz
0
= z = kz
0
.
Lấy y
n
= z
0
với mọi n 1. Khi đó ta có gy
n
gz
0
= z và ky
n

16
kz
0
= z khi n . Vì cặp (g, k) là tơng thích loại (A), ta nhận đợc
lim d(gky
n
, kky
n
) = 0. Vì ky

n
= z với mọi n 1, điều này kéo theo
n
d(gz, kz) = 0. Vì thế ta có gz = kz.
Bây giờ ta có
d(z, gz) = d(f z, gz)
d(hz, kz) +
[
d(hz, f z) + d(kz, gz)
]
+
[
d(hz, gz) + d(kz, f z)
]
= d(z, gz) +
[
d(z, z) + d(gz, gz)
]
+
[
d(z, gz) + d(gz, z)
]
= ( + 2)d(z, gz).
Vì 0 + 2 < 1, ta nhận đợc gz = z. Vì thế ta có z = gz = kz . Do đó
z là điểm bất động chung của f, h, g và k, khi mà giả thiết rằng h là liên
tục.
Bây giờ giả thiết rằng f liên tục. Khi đó f
2
x
2

n f z, f hx
2
n f z khi
n . Nhờ điều kiện (ii) ta có
d(f
2
x
2
n, gx
2
n+1
)
d(hf x
2
n, kx
2
n+1
) +

[
d(hf x
2
n
, f
2
x
2n
) +
d(kx
2

n+1, gx
2
n+1
)
]
+
[
d(hf x
2
n, gx
2
n+1
) +
d(kx
2
n+1
, f
2
x
2n
)
]
.
Cho n và sử dụng tính tơng tích loại (A) của cặp (f, h) ta nhận
đợc
d(f z, z) d(f z, z) +
[
d(f z, f z) + d(z, z)
]
+

[
d(f z, z) + d(z, f z)
]
= ( + 2)d(f z, z).
Vì 0 + 2 < 1, ta nhận đợc f z = z. Lại do f (X ) k(X ), nên tồn
tại u X sao cho z = f z = ku.
17
Bây giờ lại nhờ (ii) ta có
d(f
2
x
2
n, gu) d(hf x
2
n, ku) +
[
d(hf x
2
n
, f
2
x
2n
) +
d(ku, gu)
]
+
[
d(hf x
2

n, gu) + d(ku, f
2
x
2
n
)
]
.
Cho n ta nhận đợc
d(z, gu) = d(f z, gu)
d(z, z) +
[
d(z, z) + d(z, gu)
]
+
[
d(z, gu) + d(z, z)
]
= ( + )d(z, gz).
Vì 0 + < 1, ta nhận đợc gu = z. Vì thế ta có z = ku = gu.
Đặt y
n
= u với mọi n 1. Khi đó gy
n
gu = z và ky
n
gu = z. Vì
(g, k) là cặp tơng thích loại (A), ta có
lim d(gky
n

, kky
n
) = 0.
n
Điều này cho ta gku = kgu hoặc gz = kz. Hơn nữa ta có
d(f x
2
n, gz) d(hx
2
n, kz) +
[
d(hx
2
n, f x
2
n
) +
d(kz, gz)
]
+
[
d(hx
2
n, gz) + d(kz, f x
2
n)
]
.
Cho n , ta có
d(z, gz) d(z, gz) +

[
d(z, z) + d(gz, gz)
]
+
[
d(z, gz) + d(gz, z)
]
= ( + 2)d(z, gz).
Vì 0 + 2 < 1, ta nhận đợc z = gz. Ta lại có g(X ) h(X ), do đó
18
tồn tại điểm v X sao cho z = gz = hv. Lúc này ta có
d(f v, z) = d(f u, gz)
d(hv, kz) +
[
d(hv, f v) + d(kz, gz)
]
+
[
d(hv, gz) + d(kz, f v)
]
= d(z, z) +
[
d(z, f v) + d(z, z)
]
+
[
d(z, gz) + d(z, f v)
]
= ( + )d(z, f v).
Vì 0 + < 1, ta có f v = z. Lấy y

n
= v, khi đó ta có f y
n
f v =
z, hy
n
hv = z. Vì (f, h) là tơng thích loại (A), ta có
lim d(hf y
n
, hhy
n
) = 0.
n
Điều này suy ra rằng f hv = hf v hoặc f z = hz. Vì vậy ta có z = f z =
hz = kz = gz. Do đó z là điểm bất động chung của f, g, h và k, khi f là
liên tục. Chứng minh tơng tự ta cũng có z là điểm bất động chung của
f, g, h và k, khi g là liên tục.
Bây giờ ta chứng minh rằng điểm bất động chung là duy nhất. Giả
sử z và w là hai điểm bất động chung của f, g, h và k, nghĩa là z = f z =
gz = hz = kz và w = f w = gw = hw = kw. Nhờ điều kiện (ii) ta có
d(z, w) = d(f z, gw)
d(hz, kw) +
[
d(hz, f z) + d(kw, gw)
]
+
[
d(hz, gw) + d(kw, f z )
]
= d(z, w) +

[
d(z, z) + d(w, w)
]
+
[
d(z, w) + d(w, z)
]
= ( + 2)d(z, w),
Vì + 2 < 1, từ bất đẳng thức trên ta suy ra z = w.
19
2.1.2 Định lý. ([3]) Giả sử f, g, S và T là các ánh xạ từ không gian
mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó, f (X ) T (X ), g(X ) S(X ) và các
cặp {f, S} và {g, T } là tơng thích yếu. Nếu
(d(f x, gy)) (M (x, y)) (M (x, y))
với mọi x, y X , trong đó , và
1
(1)
M (x, y) = max{d(Sx, T y), d(f x, Sx), d(gy, T y),
2
(d(Sx, gy)+d(f x, T y))},
(2)
thì f, g, S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong X , miễn là
một trong các tập ảnh f (X ), g(X ), S(X ), T (X ) là đóng.
Chứng minh. Lấy x
0
là một điểm tuỳ ý trong X . Chọn một điểm x
1
thuộc X sao cho y
0
= f x

0
= T x
1
. Điều này có thể xảy ra, vì ảnh của T
chứa ảnh của f .
Tơng tự, ta chọn đợc điểm x
2
X sao cho y
1
= gx
1
= Sx
2
vì
g(X ) S(X ). Tiếp tục quá trình này, ta có một dãy {y
n
} X sao cho
y
2
n
=
f x
2
n
=
T x
2
n+1
và
y

2
n+1
=
gx
2
n+1
=
Sx
2
n+2
.
Trớc hết, ta chỉ ra rằng {y
n
} là một dãy Cauchy trong X . Xét hai
trờng hợp.
1. Nếu với một số n nào đó ta có y
n
= y
n
+1, thì y
n
+1
=
y
n
+2. Nếu
không, thì với n = 2m, trong đó m Z
+
ta có
M (x

2
m+2
, x
2m+1) = max{d(Sx
2
m+2, T x
2
m+1
)
, d(f x
2
m+2, Sx
2
m+2
)
,
d(gx
2
m+1, T x
2
m+1),
1
(
d
(Sx
2
m+2, gx
2
m+1
) +

d(f x
2
m+2, T x
2
m+1
)
}
2
= max{d(y
2
m+1, y
2
m), d(y
2
m+2, y
2
m+1), d(y
2
m+1, y
2
m),
1
(
d
(y
2
m+1
, y
2m+1
) +

d(y
2
m+2
, y
2m
)
}
2
1
= max{d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
,
= d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
.
20
2
d(y
2
m+2
, y
2m

)
Từ (1) ta có

(
d(y
n
+2
, y
n+1
)
=
(
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
=
(
d(f x
2
m+2, gx
2
m+1
)
.

(
M (x

2
m+2
, x
2m+1
)

(
M (x
2
m+2
, x
2m+1
)
=
(
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)

(
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
<

(
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
.
Điều này mâu thuẫn. Do đó ta phải có y
n
+1
=
y
n
+2 với mọi n là số
chẵn.
Bằng cách chứng minh tơng tự ta có thể chỉ ra rằng đẳng thức này
cũng xảy ra khi n là số lẻ. Vì vậy, với mọi n mà y
n
= y
n
+1, ta luôn có
y
n
+1
=
y
n
+2. Bằng quy nạp ta nhận đợc y
n

= y
n
+k với mọi k 1.
Do đó trong trờng hợp này {y
n
} là dãy hằng. Do đó nó là dãy
Cauchy.
2. Nếu y
n
6= y
n
+1, với mọi n nguyên dơng, thì với n = 2m + 1, trong
đó m là nguyên dơng nào đó. Khi đó ta có
M (x
2
m+2
, x
2m+1) = max{d(Sx
2
m+2, T x
2
m+1
)
, d(f x
2
m+2, Sx
2
m+2
)
,

d(gx
2
m+1, T x
2
m+1
)
,
1
(
d
(Sx
2
m+2, gx
2
m+1
) +
d(f x
2
m+2, T x
2
m+1
)
}
2
= max{d(y
2
m+1
, y
2m
)

, d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
, d(y
2
m+1
, y
2m
)
,
1
(
d
(y
2
m+1
, y
2m+1
) +
d(y
2
m+2
, y
2m
)
}
2

= max{d(y
2
m+1
, y
2m
)
, d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
1
(
d
(y
2
m
, y
2m+1
) +
d(y
2
m+1
, y
2m+2
)
}
2
= max{d(y

2
m+1
, y
2m
)
, d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
}
Bây giờ nếu M (x
2
m+2
, x
2m+1
) =
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
, thì
21
ψ
(
d(y
n

+1
, y
n
)
= ψ
(
d(f x
n
+1, gx
n
+2
)
≤ ψ
(
M (x
n
+1
, x
n
)
− ϕ
(
M (x
n
+1
, x
n
)
= ψ
(

M (x
2
m+2
, x
2m+1
)
− ϕ
(
M (x
2
m+2
, x
2m+1
)
= ψ
(
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)
− ϕ
(
d(y
2
m+2
, y
2m+1
)

2m+1
) =
d(y
2
m+1
, y
2m
)
Do ®ã tõ (1), ta cã
ψ
(
d(y
n
+1
, y
n
)
= ψ
(
d(f x
n
+1, gx
n
+2
)
≤ ψ
(
M (x
n
+1, x

n
) − ϕ
(
M (x
n
+1, x
n
)
= ψ
(
M (x
2
m+2
, x
2m+1
)
− ϕ
(
M (x
2
m+2
, x
2m+1
)
= ψ
(
d(y
2
m+1, y
2

m) − ϕ
(
d(y
2
m+1, y
2
m)
= ψ
(
d(y
n
, y
n
−1
)
− ϕ
(
d(y
n
, y
n
−1
)
< ψ
(
d(y
n
, y
n
−1) .

(3)
B»n
g
c¸c
h
lËp
luËn
t¬n
g tù
nh
trªn
ta
cã
kÕt
luËn
giè
ng
nh
víi
trên
g
hîp
n lµ

điểm bất động chung cho ba ánh xạ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về