Khóa luận tốt nghiệp toán học tìm hiểu một số vận dụng của Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC







NGÔ THỊ MAI


TÌM HIỂU MỘT SỐ VẬN DỤNG CỦA TOÁN HỌC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀO THỰC TIỄN




KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC




Sơn La, năm 2014

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ MAI


TÌM HIỂU MỘT SỐ VẬN DỤNG CỦA TOÁN HỌC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀO THỰC TIỄN


Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý



Sơn La, năm 2014

2
Lời cảm ơn

Khóa luận được hoàn thành trên sự hướng dẫn của cô giáo, Thạc sĩ
Nguyễn Hải Lý. Với lòng cảm ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới cô giáo,
Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý – Người thầy đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên
em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp cũng như sự giúp đỡ
nhiệt tình của các thầy giáo, cô giáo trong tổ toán và các em học sinh trường

Trung học phổ thông số 1 Bát Xát đã giúp đỡ em trong quá trình thực tập cũng
như thời gian em thực nghiệm tại trường.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn
phương pháp dạy học môn Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin
cũng như các thầy cô trong Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình dạy bảo, tạo
điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành nghiên cứu này.

Sơn La, ngày tháng năm 2014
Người thực hiện



Ngô Thị Mai
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Đối tượng nghiên cứu 2
7. Cấu trúc khóa luận 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Nội dung của Toán học 3
1.2. Mối quan hệ Toán học và thực tiễn 4
1.2.1. Nguồn gốc của Toán học 4
1.2.2. Vai trò của Toán học trong các nghành khoa học khác 5
1.2.3. Tính phổ dụng 7
1.2.4. Tính toàn bộ 7
1.2.5. Tính nhiều tầng 7

1.3. Đặc điểm của môn toán 8
1.3.1. Môn toán có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng 8
1.3.2. Môn toán có tính lôgic và tính thực nghiệm 9
1.4. Vị trí của môn toán 10
1.4.1. Toán học là môn học công cụ 10
1.4.2. Toán học góp phần phát triển nhân cách 10
1.5. Thực trạng việc vận dụng Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn 11
1.5.1. Mục đích nghiên cứu thực trạng 11
1.5.2. Đối tượng và địa điểm điều tra 11
1.5.3. Nội dung điều tra 11
1.5.4. Đánh giá thực trạng 12



CHƢƠNG 2: MỘT SỐ VẬN DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG VÀO THỰC TIỄN 16
2.1. Một số vận dụng của mệnh đề - tập hợp 16
2.2. Một số vận dụng của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai 21
2.3. Một số vận dụng của phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 23
2.4. Một số vận dụng của bất phương trình 27
2.5. Một số vận dụng của thống kê 30
2.5. Một số vận dụng của giải tam giác 32
2.6. Một số vận dụng của tổ hợp xác suất 35
2.7. Một số vận dụng của cấp số cộng, cấp số nhân 38
2.8. Một số vận dụng của bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số 40
2.9. Một số vận dụng kiến thức về vectơ, tọa độ 42
KẾT LUẬN 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận
Từ xa xưa ông cha ta đã có câu “Học đi đôi với hành”. Việc học và hành phải
có mối quan hệ chặt chẽ, mật thiết với nhau. Nếu ôm cả đống kiến thức mà
không thực hành thì chỉ là lý thuyết suông và nếu chỉ thực hành mà không có
một chút kiến thức nào thì kết quả cũng chẳng được gì.
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới nền giáo dục tiến bộ,
hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Luật giáo dục
2005 tiếp tục xác định: “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý
học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với đời sống sản xuất, lý luận phải
gắn liền với thực tiễn”. Unesco đã đề ra bốn trụ cột của giáo dục trong thế kỉ
XXI là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định
mình. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học là
không thể không đề cập đến.
Toán học có vai trò vô cùng quan trọng trong cuộc sống hàng ngày thể hiện ở
sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất,
đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử. Toán học có vai trò như vậy là
do sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển
và mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động của
con người và ngược lại nó cũng là môn học đắc lực giúp con người chinh phục
và khám phá thế giới.
Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa
học thì ngay từ bây giờ, khi ngồi trên ghế nhà trường, giáo viên phải dạy cho

học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động, sáng
tạo và có năng lực đáp ứng yêu cầu phát triển của đất nước. Chính vì thế, Toán
học ở trường Trung học phổ thông phải luôn gắn liền với thực tiễn đời sống.
Toán học Trung học phổ thông có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và thể
hiện rõ trong cuộc sống. Tuy nhiên, phần lớn học sinh vẫn chưa biết vận dụng
Toán học vào cuộc sống hàng ngày. Với mục đích cho học sinh thấy rằng Toán
học rất gần gũi với cuộc sống xung quanh và việc tiếp thu các kiến thức toán

2
không chỉ để thi cử mà còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết
các vấn đề, tình huống trong thực tiễn. Chính vì lẽ đó tôi đã chọn khóa luận
nghiên cứu là “Tìm hiểu một số vận dụng của Toán học Trung học phổ thông
vào thực tiễn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu một số vận dụng của Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý luận và thực tiễn liên quan đến việc vận dụng kiến
thức Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn.
- Nghiên cứu một số tình huống vận dụng kiến thức Toán học Trung học
phổ thông vào thực tiễn.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra - quan sát.
5. Đối tƣợng nghiên cứu
Vận dụng của Toán học vào thực tiễn.
6. Phạm vi nghiên cứu
Toán Trung học phổ thông.
7. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số vận dụng của Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn.

3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Nội dung của Toán học
Theo từ điển thì Toán học (từ tiếng anh là Mathematics) là môn khoa học
ngiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách
khác, người ta cho rằng đó là môn học “hình và số”. Theo quan điểm chính
thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng, định nghĩa từ các
tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan
điểm khác nhau của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng
dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn
ngữ của vũ trụ”.
Môn toán liên hệ chặt chẽ với khoa học khác, Toán học đang phát triển
như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ và đời
sống. Toán học phản ánh trong nhà trường phổ thông là cơ bản, là nền tảng
được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng để
tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp hoặc đi vào cuộc sống
lao động.
Nội dung toán học của môn Toán trong nhà trường phổ thông chủ yếu
bao gồm các lĩnh vực sau, được tập hợp thành hai bộ phận:
- Số học, đại số và giải tích.
- Hình học.
Về số học, đại số và giải tích, có thể kể các nội dung sau:
(i) Các tập hợp số.
(ii) Các phép biến đổi đồng nhất.
(iii) Phương trình và bất phương trình.
(iv) Hàm số và đồ thị.
(v) Những yếu tố tổ hợp và xác suất.
(vi) Giới hạn, nguyên hàm, tích phân.

Hình học bao gồm các nội dung sau:
(i) Các khái niệm hình học.

4
(ii) Những đại lượng hình học.
(iii) Những hệ thức lượng trong hình học.
(iv) Các phép biến hình, dời hình và đồng dạng
(v) Vectơ và tọa độ.
Các lĩnh vực này không tách rời nhau mà trái lại thường đan kết với nhau.
1.2. Mối quan hệ Toán học và thực tiễn
1.2.1. Nguồn gốc của Toán học
Toán học có nguồn gốc từ các vấn đề thực tiễn mà loài người cần tìm
hiểu để cải thiện cuộc sống. Ăng-ghen đã chỉ ra khái niệm toán học ban đầu,
khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học được con người trừu tượng hóa
trong thế giới hiện thực do nhu cầu thực tiễn, chứ không phát sinh từ trí não con
người, do tư duy thần túy.
Ví dụ:
- Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm những đồ vật, đếm gia súc chăn
nuôi….
- Hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt
bên bờ sông Nin (Ai Cập).
- Số biểu diễn bởi phân số phát sinh do nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta
gặp cả những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và do
nhu cầu chia những đồ vật thành nhiều phần bằng nhau.
- Hệ thống số hữu tỉ được hình thành do nhu cầu đo những đoạn thẳng
sao cho mỗi đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ có 1 lần đo.
Đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con người hoàn thiện
được khái niệm về số tự nhiên, đại số, hình học. Con người nghiên cứu tất cả
các sự vật đó, số lượng, hình dạng, diện tích, thể tích của chúng trong khi giải
quyết các bài toán trong thực tiễn đời sống.

Thực tế cho thấy, sau khi phát sinh, lý thuyết của Toán học có ảnh hưởng
trực tiếp hay gián tiếp đến sự phát triển của các lực lượng sản xuất, đến các khoa
học khác. Ăng - ghen đã viết: “Cũng như mọi ngành khác của tư duy, những qui
luật trừu xuất từ thế giới hiện thực đến một mức độ phát triển nào đó sẽ tách
khỏi thế giới hiện thực, đối lập với nó như là một cái gì độc lập, như là những
qui luật từ ngoài đưa đến mà thế giới bắt buộc phải phù hợp. Điều đó đã xảy ra

5
với xã hội và nhà nước, cũng như với Toán học thuần tuý; Toán học thuần tuý
được áp dụng vào thế giới mặc dầu rằng nó bắt nguồn từ chính thế giới ấy và chỉ
là biểu thị một bộ phận của những hình thức liên hệ của thế giới”.
Tóm lại Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động của con người và
ngược lại nó cũng là môn học đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá
thế giới.
1.2.2. Vai trò của Toán học trong các nghành khoa học khác
Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng khách
quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ
bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống. Điều đó nói lên vai trò
của Toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công
nghệ, y học, sinh học, văn học…
Những thành tựu to lớn trong thời đại của chúng ta ngày nay như năng
lượng điện tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện tử…Đều gắn liền với sự phát
triển của ngành toán học như đại số tổ hợp, xác suất thống kê, hàm số phức,
toán giải tích hàm, hình học Aphin…
Đầu tiên, không thể không nhắc tới vai trò của Toán học với kinh tế học.
Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất.
Ai cũng biết rằng không chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất
tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lý sản xuất một cách
khoa học để phát huy đầy đủ, hiệu quả của kĩ thuật, máy móc. Đứng trước một
vấn đề sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án sản xuất và tất nhiên sẽ

chọn phương án giải quyết tốt nhất. Toán học có thể áp dụng trong hầu hết các
lĩnh vực kinh tế như nông nghiệp, công nghiệp, giao thông vận tải…
Y học là lĩnh vực đã chịu sự xâm nhập của Toán học. Trải qua hàng nghìn
năm, y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau và có các phương thức
chữa bệnh khác nhau. Thời nay, nhờ có các thiết bị máy móc hiện đại và
phương pháp tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và
máy tính điện tử có thể giúp con người khai thác triệt để các kinh nghiệm và

6
chuẩn đoán bệnh một cách chính xác và hiệu quả hơn. Y học đã thành công rất
nhiều trong các lĩnh vực như ghép thận, ghép gan, ghép tim…
Cơ học và vật lý học không thể phát triển được nếu không có Toán học.
Những điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng kỹ thuật mới là bên
cạnh những ứng dụng của Toán học vào kĩ thuật sản xuất thông qua vật lý và cơ
học thì ứng dụng thông qua điều khiển học tăng lên không ngừng và ngày càng
quan trọng.
Ví dụ: Khi thực hiện bắn tên lửa lên không gian vũ trụ, để tên lửa có thể
đạt tới vận tốc rất lớn cần có hai điều kiện phải tính toán. Một là khối lượng và
vận tốc của tên lửa khi phụt lên cần phải lớn, hai là cần chọn tỉ lệ thích hợp giữa
khối lượng của vỏ tên lửa và khối lượng của nhiên liệu chứa trong nó. Từ đó
người ta đã tìm ra giải pháp chế tạo tên lửa nhiều tầng. Khi nhiên liệu của tầng
một đã cháy hết thì tầng một tự tách ra và bốc cháy trong khí quyển. Tầng hai
bắt đầu hoạt động và tên lửa tiếp tục tăng tốc từ vận tốc đã đạt được trước đó.
Do khối lượng tên lửa đã giảm đáng kể nên vận tốc sẽ tăng nhanh. Quá trình này
lặp lại. Khi nhiên liệu tầng hai cháy hết tầng này lại tự tách ra và tầng ba bắt đầu
hoạt động….
Nhận thấy tên lửa đảm nhiệm được nhiều vai trò to lớn cho sự phát triển
của các ngành khoa học như vận chuyển các phương tiện khác nhau vào vũ trụ,
phóng trạm thăm dò lên các hành tinh khác trong hệ mặt trời, đưa con người
vào vũ trụ…

Trong hóa học và sinh học trước đây chỉ thỉnh thoảng dùng đến toán,
nhưng chỉ dùng đến toán học cổ điển như giải tích, phương trình vi phân, thống
kê. Hiện nay, một bộ phận hóa học và sinh học đã sử dụng những nội dung hiện
đại của Toán học như Tôpô học, thông tin học, máy tính điện tử… Bằng những
phương pháp toán học người ta có thể dự đoán chính xác hơn các tính chất của
nhiều hợp chất hóa học, có thể tính được công thức của hợp chất hóa học, hoặc
có thể tính được công thức của hợp chất có một số đặc tính định trước. Những
bí mật của sự sống, những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, cơ cấu hoạt
động của thần kinh và những vấn đề sinh lý sự vật, việc tính toán sinh con theo

7
ý muốn… đã và đang được nghiên cứu bằng những phương tiện toán học tinh vi
và hiện đại.
Tóm lại, Toán học có vai trò to lớn với sự nghiệp phát triển của các
ngành khoa học, kỹ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản
xuất.
Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các khoa học với nhau và thúc đẩy
cùng phát triển. Ngày nay các phương pháp toán học không phải chỉ được sử
dụng trong vật lý, cơ học mà còn trở thành những phương pháp chung cho toàn
bộ khoa học khác. Không phải chỉ ở nhà vật lý, cơ học và các kỹ sư mới cần
đến Toán học mà còn có cả các nhà sinh vật học, các thầy thuốc, các nhà ngôn
ngữ học…cũng cần đến Toán học.
1.2.3. Tính phổ dụng
Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính phổ dụng tức là cùng một
đối tượng toán học (khái niệm, định lý, công thức ) có thể phản ánh rất nhiều
hiện tượng trên những lĩnh vực rất khác nhau trong cuộc sống.
Ví dụ: Hàm số
axy 
có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện tích của một tam
giác với đường cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó, giữa quãng đường

đi được với thời gian trong chuyển động đều khi cho trước vận tốc.
1.2.4. Tính toàn bộ
Mối liên hệ của Toán học và thực tiễn có tính toàn bộ. Muốn thấy rõ ứng
dụng của Toán học, nhiều khi không thể xét từng khái niệm, từng định lý riêng
lẻ mà phải xem xét toàn bộ một lý thuyết, toàn bộ một lĩnh vực.
Ví dụ: Ta khó thấy được ứng dụng trực tiếp của định lý “không có số hữu tỉ
nào có bình phương bằng 2” nhưng ý nghĩa thực tế của định lý này là ở vai trò
của nó.
Trong việc xây dựng số thực mà toàn bộ lĩnh vực này là cơ sở để hình thành
giải tích toán học, một ngành có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
1.2.5. Tính nhiều tầng
Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính nhiều tầng. Toán học là kết
quả của sự trừu tượng hóa diễn ra trên những bình diện khác nhau. Có những

8
khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất
cụ thể, nhưng cũng có nhiều khái niệm nảy sinh do sự trừu tượng hóa những cái
trừu tượng đã đạt được trước đó.
Do vậy, từ Toán học tới thực tiễn nhiều khi phải trải qua nhiều tầng, ứng
dụng của một lĩnh vực Toán học được thể hiện có khi không trực tiếp ở ngay
trong thực tiễn mà ở một lĩnh vực khác gần thực tế hơn nó. Giải phương trình là
một lĩnh vực gần thực tế, ứng dụng của nó đã được thấy rõ ràng. Khảo sát hàm
số có khi giúp ta giải phương trình. Như vậy, khảo sát hàm số cũng là có ứng
dụng thực tế. Đạo hàm là một công cụ khảo sát hàm số, điều đó cũng là một
biểu hiện của ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm.
Ứng dụng của Toán học nhiều khi thấy rõ ở những môn học khác gần thực tế
hơn như vật lý, hóa học Làm việc với những ứng dụng của Toán học trong
những môn học này cũng là một hình thức liên hệ Toán học với thực tiễn, đồng
thời cũng làm rõ mối liên hệ liên môn.
1.3. Đặc điểm của môn toán

1.3.1. Môn toán có tính trừu tƣợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng
Tính trừu tượng của Toán học và của môn toán trong trường Trung học
phổ thông được quy định do chính đối tượng và phương pháp của Toán học thể
hiện ở hai định nghĩa sau đây:
(i) Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng
và lôgic trong thế giới khách quan.
(ii) Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có
thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề.
Như vậy, những quan hệ số lượng được hiểu theo nghĩa rất tổng quát và
rất trừu tượng. Chúng có thể diễn tả quan hệ lôgic và quan hệ hình dạng không
chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong không gian trừu tượng
khác nữa như không gian có số nhiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử
là các hàm liên tục
Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi các tập hợp số mà còn
được hiểu như những phép toán và những tính chất của chúng trên những tập

9
hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề,
phép biến hình
Tính chất trừu tượng không chỉ ở trong Toán học mà có đặc điểm của mọi
khoa học. Nhưng trong Toán học cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của
đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi.
Như vậy, Toán học có tính chất trừu tượng cao độ.
Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau.
Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng
vật chất cụ thể. Nhưng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng hóa
những cái trừu tượng đã đạt được trước đó.
Tính trừu tượng cao độ chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của
Toán học.
Tính trừu tượng cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có

thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế.
Ví dụ: Những tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công
thức
axy 
có thể ứng dụng vào hình học, hóa học…Vì mối tương quan này
phản ánh những mối liên hệ trên các lĩnh vực đó.
Do tính trừu tượng cao độ mà Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng
vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lí học, Hóa học, Ngôn ngữ học, Thiên văn học, Địa
lí, Sinh học và trở thành một công cụ có hiệu lực của các ngành đó.
1.3.2. Môn toán có tính lôgic và tính thực nghiệm
Khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng phương
pháp tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thủy (tức
là các đối tượng nguyên thủy và quan hệ nguyên thủy) tìm ra các tiên đề, mệnh
đề khác.
Khi trình bày môn toán trong nhà trường phổ thông, do đặc điểm lứa tuổi và
yêu cầu từng bậc học, cấp học nói chung là vì lý do sư phạm, người ta thường
châm chước, nhân nhượng về tính lôgic. Mô tả (không định nghĩa) một số khái
niệm không phải là nguyên thủy, thừa nhận (không chứng minh) một số mệnh
đề không phải là tiên đề hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa thật chặt chẽ.

10
Tuy nhiên nhìn chung giáo trình toán phổ thông cũng vẫn mang tính lôgic, hệ
thống tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước,
tất cả các mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ.
1.4. Vị trí của môn toán
Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng với
những lí do sau đây:
1.4.1. Toán học là môn học công cụ
Do tính trừu tượng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng. Những tri
thức và kỹ năng Toán học cùng với những phương pháp làm việc trong Toán

học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công
cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong thực tế
và vì vậy là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông của
con người mới.
Ví dụ: Tri thức về tương quan tỉ lệ thuận
axy 
là công cụ để nghiên cứu rất
nhiều các lĩnh vực khác nhau như:
- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với
đường cao h ứng với cạnh đó:
1
2
S ah

- Quãng đường S đi được trong một chuyển động đều với vận tốc cho trước
V tỉ lệ thuận với thời gian đi t:
S Vt

Cùng với tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn luyện cho học sinh
những kỹ năng toán học như kỹ năng tính toán, vẽ hình, kỹ năng đọc và vẽ biểu
đồ, kĩ năng đo đạc, ước lượng, kĩ năng sử dụng dụng cụ toán học và máy tính
điện tử môn toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phương
pháp, phương thức tư duy và hoạt động như Toán học hóa tình huống thực tế,
thực hiện và xây dựng thuật giải phát hiện và giải quyết vấn đề… Những kĩ năng
này rất cần cho người lao động trong thời đại mới.
1.4.2. Toán học góp phần phát triển nhân cách
Ngoài việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện
kỹ năng toán học cần thiết, môn toán còn có tác dụng góp phần phát triển nhân

11

lực, trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa , rèn
luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận,
chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
1.5. Thực trạng việc vận dụng Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn
1.5.1. Mục đích nghiên cứu thực trạng
Tìm hiểu những quan niệm, nhận thức của giáo viên về vấn đề vận dụng
Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn.
Đồng thời, cung cấp cho giáo viên một số kiến thức về vấn đề vận dụng
Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn. Giúp giáo viên nhận thấy được
tầm quan trọng của Toán học đối với thực tiễn.
1.5.2. Đối tƣợng và địa điểm điều tra
Địa điểm điều tra
Trường Trung học phổ thông số 1 Bát Xát - Huyện Bát Xát - Tỉnh Lào
Cai là một trong những trường Trung học phổ thông có điều kiện cơ sở vật chất
khá đầy đủ. Trường nằm tại trung tâm thị trấn Bát Xát, giao thông thuận tiện, có
nền kinh tế đang phát triển mạnh theo xu hướng công nghiệp hóa - hiện đại hóa
đất nước.
Trường có một đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, linh hoạt, có trình độ.
Các em học sinh ngoan, lễ phép.
Đối tƣợng điều tra
Điều tra 7 giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán tại trường Trung
học phổ thông số 1 Bát Xát. Trong đó, 2 giáo viên có trình độ thạc sĩ, 5 giáo
viên có trình độ cử nhân.
1.5.3. Nội dung điều tra
Tôi sử dụng phương pháp quan sát, dự giờ, điều tra bằng phiếu điều tra.
Để tìm hiểu những quan niệm, nhận thức của giáo viên về vấn đề vận dụng
Toán học vào thực tiễn tôi tiến hành điều tra dựa trên những câu hỏi sau:

12
1. Theo anh (chị) trong dạy học Trung học phổ thông, việc vận dụng Toán
học vào thực tiễn có cần thiết không?
2. Trong quá trình giảng dạy, anh (chị) có hay cho học sinh tiếp cận các
bài toán liên quan với thực tiễn không?
3. Anh (chị) có thường xuyên tổ chức các tiết ngoại khóa, thực hành Toán
học trong dạy học không?
4. Theo anh (chị) các tiết thực hành, ngoại khóa trong môn toán có quan
trọng đối với học sinh không?
5. Theo anh (chị) sách giáo khoa toán học Trung học phổ thông có nhiều
nội dung vận dụng vào thực tiễn hay không?
6. Những thuận lợi và khó khăn của việc vận dụng Toán học Trung học
phổ thông vào thực tiễn?
7. Anh (chị) hãy chia sẻ một số kinh nghiệm về việc dạy và học các bài
toán có nội dung thực tiễn?
1.5.4. Đánh giá thực trạng
Sau khi thăm dò ý kiến của 7 giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn
toán về thực trạng vận dụng Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn, tôi thu
được kết quả như sau:

13
Bảng 1: Nhận thức của giáo viên về việc vận dụng Toán học Trung học
phổ thông vào thực tiễn
Stt
Tiêu chí
Mức độ
Tổng
1
2
3

4
Sl
%
Sl
%
Sl
%
Sl
%
Sl
%
1
Theo anh (chị) trong dạy
học Trung học phổ thông,
việc vận dụng Toán học
vào thực tiễn có cần thiết
không?


1


14,3


6


82,7

0


0


0


0


7


100
2
Trong quá trình giảng
dạy, anh (chị) có hay cho
học sinh tiếp cận các bài
toán liên quan với thực
tiễn không?


0


0

3


42,9


4


57,1


0


0


7


100
3
Anh (chị) có thường
xuyên tổ chức các tiết
ngoại khóa, thực hành
Toán học trong dạy học
không?

0


0


1


14,3


6


82,7


0


0


7


100
4

Theo anh (chị) các tiết
thực hành, ngoại khóa
trong môn toán có quan
trọng đối với học sinh
không?


0


0


1


14,3


1


14,3


5


71,4

7


100
5
Theo anh (chị) sách giáo
khoa toán học Trung học
phổ thông có nhiều nội
dung vận dụng vào thực
tiễn hay không?
0
0
0
0
7
100
0
0
7
100

14
Theo kết quả của bảng trên ta thấy, tất cả các giáo viên đều nhận thức được
sự cần thiết của việc vận dụng Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn. Cụ
thể có 14,3% giáo viên cho rằng việc vận dụng Toán học vào cuộc sống là rất
cần thiết. Có tới 82,7% giáo viên cho rằng cần thiết. Tuy nhiên hầu hết các giáo
viên vẫn chưa thường xuyên cho học sinh vận dụng các bài toán liên quan tới
thực tiễn đời sống. Cụ thể có 57,1% giáo viên rất ít khi cho học sinh tiếp cận với
các bài toán có liên quan tới thực tiễn. Phần lớn các giáo viên vẫn chưa thấy

được tầm quan trọng của việc học các tiết ngoại khóa trong trường phổ thông.
Cụ thể là có tới 71,4% giáo viên cho rằng các tiết ngoại khóa, thực hành Toán
học là không quan trọng. Các giáo viên đều cho rằng trong sách giáo khoa có rất
ít nội dung vận dụng vào thực tiễn. Cụ thể là 100% giáo viên cho rằng sách giáo
khoa có rất ít nội dung vận dụng vào thực tiễn.
Trong thời gian thực tập sư phạm, thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và
qua các ý kiến thăm dò, khảo sát một số giáo viên, học sinh, tôi nhận thấy thực
trạng dạy và học các vận dụng của Toán học vào thực tiễn còn khá nhiều khó
khăn và tồn tại: việc dạy học Toán học tại các trường Trung học phổ thông hiện
nay đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành, coi nhẹ các vận dụng Toán học
vào thực tiễn đời sống. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn còn rất ít. Học
sinh còn ít được tiếp cận với các bài toán có liên quan tới thực tiễn. Theo tôi,
thực trạng ấy có thể do các nguyên nhân sau:
 Thứ nhất, thực trạng này xuất phát từ lối dạy phục vụ cho thi cử của một
số giáo viên hiện nay.
 Thứ hai, tất cả các sách giáo khoa môn toán và hầu hết các sách tham
khảo rất ít quan tâm đến các vận dụng Toán học vào thực tiễn.
 Thứ ba, các tiết thực hành, ngoại khóa của học sinh còn mang tính đối
phó, hình thức.
 Thứ tư, các em học sinh còn lười tư duy, tâm lí coi nhẹ việc thực hành,
coi nhẹ các bài toán vận dụng vào thực tiễn.
Thực tiễn trên đã đặt ra yêu cầu là chúng ta cần thiết phải tăng cường
tính ứng dụng của những nội dung toán học được giảng dạy trong nhà trường.

15
Trong quá trình dạy học môn toán, giáo viên cần làm cho học sinh nhận
thức được đúng và đầy đủ rằng môn toán là môn khoa học nghiên cứu về sự
tương quan giữa số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách
quan. Đồng thời, mỗi khi học tới vấn đề mới giáo viên cần nêu rõ vận dụng của
Toán học trong thực tiễn hoặc nguồn gốc thực tiễn của nó để học sinh nhận thức

rằng Toán học nghiên cứu những định luật trong sản xuất.
Giáo viên cần tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu
cầu quá chặt chẽ về lý thuyết. Ở bậc phổ thông, học sinh cần phải được cung cấp
những kiến thức cần thiết cho cuộc sống và cung cấp công cụ để học tốt các môn
học. Cần làm cho học sinh biết ứng dụng những tri thức và phương pháp toán
học vào những môn học khác trong nhà trường. Trong điều kiện sách giáo khoa
hiện hành, có thể bước đầu nên đưa vào bằng các giờ học ngoại khoá, thực hành
hoặc bằng các giờ học tự chọn.
Tóm lại trong quá trình dạy học toán ở trường Trung học phổ thông giáo
viên luôn cần phát triển kỹ năng và kỹ sảo cho học sinh vận dụng Toán học
trong thực tế hàng ngày, trong lao động và trong tính toán những sự việc có thật
trong cuộc sống. Đồng thời, giáo viên làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực
tiễn để học sinh có ý thức và khả năng vận dụng Toán học trong cuộc sống.







16
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ VẬN DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VÀO THỰC TIỄN

2.1. Một số vận dụng của mệnh đề - tập hợp
Tình huống 1: Bạn hãy mô tả nguyên lý lôgic của sơ đồ mạng điện cầu thang
điều khiển một ngọn đèn đến từ hai nơi.
Phƣơng án giải quyết:
Bài toán yêu cầu tìm nguyên lý lôgic của sơ đồ mạng điện điều khiển

một ngọn đèn từ hai nơi.
Trước khi vào lời giải của bài toán trên ta xét mối quan hệ giữa hoạt
động của các mạch điện và lôgic mệnh đề.
Mỗi mạch điện ta có thể xem như một mệnh đề (kí hiệu a). Ta quy ước khi
mạch điện a có dòng điện chạy qua thì có giá trị chân lý bằng 1 và ngược lại khi
không có dòng điện chạy qua thì mệnh đê a có giá trị chân lí bằng 0. Như vậy:
- Phép phủ định được mô tả bởi mạng điện trong hình 1 (trong đó IBM là
mạng a và I
BM
là mạch điện
a
; công tắc IB khi đóng thì tiếp xúc tại B;
còn khi mở thì tiếp xúc tại
B
)

- Phép hội có thể được mô tả bởi mạng điện hình 3 (ở đây ABCD là mạch
điện a, còn DMNP là mạch điện b)
- Phép tuyển có thể được mô tả bởi mạng điện mắc song song hình 2
(ở đây ABCI là mạch điện a, còn AMNI là mạch điện b)
m
p
n
d
c
b
a

Hình 3

17
Ta có bài giải như sau:
Mạch điện điều khiển 1 ngọn đèn bằng 2 công tắc phải đảm bảo yêu cầu
sau đây:
- Khi công tắc của mạch a và mạch b cùng đóng hoặc cùng mở thì đèn sáng.
- Khi một trong hai công tắc đóng thì công tắc thứ hai mở thì đèn tắt.
Nếu ký hiệu c là mạng điện điều khiển ngọn đèn bằng hai công tắc thì ta
có bảng sau:
A
B
C
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1


Nhìn vào bảng trên ta thấy khi
c
thì mệnh đề “a

b”. Sơ đồ của mạng c

được mô tả trong hình 4 (ABO là mạng a, OCI là mạng b, A
B
O
là mạng
a
và
OCI
là mạng
b
)

Tình huống 2: Quan sát một chiếc đèn hiệu, người ta tổ hợp ánh sáng sau đây:
- Đèn xanh và đèn đỏ không bao giờ cùng chiếu sáng và chỉ một trong hai
đèn chiếu sáng.
- Đèn vàng chiếu sáng và đèn đỏ cùng đèn xanh đều không sáng.
Bạn hãy mô tả mối liên hệ trạng thái đóng, mở của các công tắc ba bóng
đèn trên?

18
Phƣơng án giải quyết:
Ta kí hiệu X = “Đèn xanh chiếu sáng”
Tương tự D = “Đèn đỏ chiếu sáng”
V = “Đèn vàng chiếu sáng”
Kết quả quan sát có thể được mô tả như sau:
(1)
XD

(2)
V D X

Từ (1) ta suy ra
(3)
DX

Từ (2) ta suy ra
(4)
D X V

(5)
VX

(6)
VD

Từ (4) ta suy ra
(7)
XV

(8)
DV

Từ các kết quả trên ta suy ra:
X D V

D X V
V D X



Vậy:

- Khi công tắc đèn xanh đóng thì hai công tắc đèn đỏ và đèn vàng đều mở.
- Khi công tắc đèn đỏ đóng thì hai công tắc đèn xanh và đèn vàng đều mở.
- Khi công tắc đèn vàng đóng thì hai công tắc đèn đỏ và đèn xanh đều mở.
Hay: Khi một công tắc đèn đóng thì hai công tắc đèn còn lại đều mở.
Tình huống 3: Một nhóm du khách đi du lịch nước ngoài trong đó gồm có:
- 28 người biết tiếng Anh.
- 13 người biết tiếng Pháp.
- 10 người biết tiếng Đức.

19
- 8 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp.
- 6 người biết tiếng Anh và tiếng Đức.
- 5 người biết tiếng Pháp và tiếng Đức.
- 2 người biết tất cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức.
Và đặc biệt trong đoàn có 41 người không biết một thứ tiếng nào trong ba
thứ tiếng ấy.
Hỏi đoàn du khách có bao nhiêu người?
Phƣơng án giải quyết: (sử dụng sơ đồ ven)
Ta kí hiệu nhóm du khách biết tiếng Anh là A, biết tiếng Pháp là B, biết
tiếng Đức là C.
Theo giả thiết:
     
28; 13; 10n A n B n C  
;
 
8n A B
;
 
6n A C
;

 
2n A B C  

Sơ đồ ven:
28
2
6
5
8
10
13
A
B
C

Trước hết ta tìm số du khách biết ít nhất một trong ba thứ tiếng, tức là tìm
 
n A B C

Ta sử dụng sơ đồ ven để tìm số này: Tính tổng
     
n A n B n C

Trong tổng này, mỗi một trong các phần tử của A giao B, B giao C, C giao
A được tính làm hai lần, nên trong tổng
     
n A n B n C
ta phải trừ đi tổng
     
n A B n B C n A C    

Bây giờ ta cần làm rõ xem biểu thức:
       
n A n B n C n A B   

   
n B C n A C  


20
Chứa bao nhiêu lần số
 
n A B C

Rõ ràng nó chứa ba lần với dấu + (trong mỗi số hạng
     
,,n A n B n C
và ba
lần với dấu – (trong mỗi số hạng
     
;;n A B n B C n A C  
).
Do đó để không bỏ sót các du khách là các phần tử thuộc tập hợp
A B C
, ta
cần thêm số hạng
 
n A B C
vào tổng trên và có:
Thế các giá trị đã cho trong giả thiết ta được:

 
28 13 10 8 6 5 2 34n A B C         

Vậy tổng số du khách của đoàn du lịch là
34 41 75
du khách.
Tình huống 4: Các nhà thiên văn tính được thời gian để trái đất quay một vòng
quanh mặt trời là 365 ngày
1
4

ngày. Còn bạn Nam tính đi từ nhà đến trường là
30 phút

1 phút.
Trong hai phép đo trên phép đo nào chính xác hơn?
Phƣơng án giải quyết: (Bài toán về sai số và số gần đúng)
Nhận thấy phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối không vượt
quá
1
4
ngày, nghĩa là 6 giờ hay 360 phút.
Còn phép đo của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 1 phút.
Thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Nam chính xác hơn của các nhà thiên văn
(so sánh 1 phút với 360 phút). Tuy nhiên,
1
4
ngày hay 360 phút là độ chính xác
của phép đo một chuyển động trong 365 ngày, còn 1 phút là độ chính xác của
phép đo một chuyển động trong 30 phút. So sánh hai tỉ số?

1
1
4
0,0006849
365 1460


1
0,033
30


a a d

Ta nói phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn nhiều.