khóa luận tốt nghiệp bước đầu tìm hiểu lý thuyết coding

1
L
ỜI CẢM ƠN
Khóa lu
ận được hoàn thành tại Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn tận
tình, nghiêm kh
ắc của TS. Lê Văn An. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng
bi
ết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, người đã định hướng
nghiên c
ứu và tạo điều k
i
ện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập,
nghiên c
ứu.
Tác gi
ả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán vì
đ
ã dạy dỗ, giúp đỡ để tác giả sớm hoàn thành khóa luận.
M
ặc dù đã có cố gắng nhiều, song khóa luận không tránh khỏi những
thi
ếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo,
cô giáo và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành c
ảm ơn!
2
L
ỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công tr
ình nghiên c

ứu của tôi. Những kết quả
và các s
ố liệu t
rong khóa lu
ận ch
ưa được ai công bố dưới bất kì hình thức nào.
Tôi hoàn toàn ch
ịu trách nhiệm tr
ước nhà trường về sự cam đoan này.
Hà T
ĩnh, ngày 25 tháng 5 năm 2013
Tác gi
ả
Lê Th
ị Hương
3
M
Ở ĐẦU
1. Lý do ch
ọn đề t
ài
Ngày nay, v
ới sự xâm nh
ập của công nghệ thông tin trong đời sống
Kinh t
ế
- xã h
ội, các lĩnh vực của đời sống lo
ài người ngày càng lệ thuộc vào
Internet, công ngh

ệ số hóa
trong các l
ĩnh vực nh
ư thương m
ại điện tử, các
giao d
ịch trong kinh doanh, thanh toán, truyền hình, kĩ thuật
s
ố…Cần có sự
xuất hiện của bảo mật thông tin, từ nhu cầu thiết thực đó, mật mã trở thành
khoa h
ọc lý thuyết sâu sắc và có những ứ
ng d
ụng hết sức cụ thể. Lý thuyết
Coding có th
ể coi là sự xâm nhập của đại số nói chung và lý thuyết vành nói
riêng vào lý thuyết mật m
ã. T
rong th
ời gian gần đây, lý thuyết
Coding đư
ợc
nhi
ều nhà Toán học, nhiều nhà Tin học quan tâm nghiên cứu
và là vấn đ
ề
có
tính thời sự hiện nay.
Xu
ất phát từ

nhu c
ầu
b
ản thân muốn học hỏi, tìm tòi
v
ề lý thuyết
Coding, v
ới mong muốn bản thâ
n có được những kiến thức v
ề phần này, vì
th
ế tôi đã chọn đề tài:
“Bư
ớc đầu tìm hiểu
lý thuy
ết Coding
” làm đ
ề tài nghiên
c
ứu
.
2. M
ục đích nghiên cứu
Nghiên c
ứu các
cơ s
ở Toán học: Lý thuyết vành và l
ý thuy
ết số tác động vào
Coding.

M
ột số c
ơ s
ở bước đầu về l
ý thuy
ết Coding.
3. Phương pháp nghiên c
ứu
( )
i
. Phương pháp nghiên c
ứu lý thuyết:
⊕
Thu th
ập các bài báo khoa học, các tài liệu khoa học của những tác
gi
ả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết Coding.
⊕
Tham gia các bu
ổi s
eminar đ
ể trao đổi các kết quả đang nghi
ên cứu.
( )
ii
. Phương pháp phân tích, t
ổng hợp
.
4. L
ịch sử vấn đề

Ứng dụng lý thuyết v
ành vào mật mã được bắt đầu vào năm 1970. Tuy
nhiên, hư
ớng nghiên cứu này
không th
ật
s
ự
phát tri
ển trong những năm sau
4
đó, có không nhi
ều các bài báo được công bố về chủ đề này vào những năm
1970 – 1980. Tuy nhiên, vào đ
ầu những năm 1990 vấn đề này được quan tâm
m
ạnh mẽ
và thu đư
ợc
nh
ững kết quả sâu sắc, với các tác giả có nhiều công
trình, ch
ẳng hạn như N.J. A. Sloane và
P. Solé
Trong nh
ững năm gần đây, các tác giả S. R. López
– Permouth và Đinh
Quang H
ải có nhiều công trình
công b

ố về lý thuyết Coding như là ứng dụng
c
ủa lý thuyết vành vào lý thuyết mật mã. Hiện nay,
GS. Đinh Quang H
ải đ
ang
hướng dẫn một số nghiên cứu sinh tại Đại học Vinh về lý thuyết Coding.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
( )
i
. Đ
ối tượng nghiên cứu: Đối tượng chính của đề tài là lý thuyết Coding.
( )
ii
. Ph
ạm vi
nghiên c
ứu: Lý thu
y
ết vành và l
ý thuy
ết số.
6. Đóng góp c
ủa đề t
ài
⊕
Khóa lu
ận đ
ược thực
hi

ện dựa tr
ên việc hệ thống, tổng hợp và làm
rõ m
ột số kết quả của các sách và bài báo có liên quan.
⊕
Khóa lu
ận là một tài liệu tham
kh
ảo ch
o các đ
ộc giả bước đầu tìm hiểu
v
ề
lý thuy
ết Coding cũng nhưứng dụng của lý thuy
ết Coding v
ào thực tiễn.
7. B
ố cục của khóa luận
C
ấu trúc của khóa luận được chia làm 2 chương:
Chương 1. Trình bày m
ột cách tổng quan về Coding, một số khái niệm
cơ s
ở cần th
i
ết để hỗ trợ cho chương sau.
Chương 2. Chúng tôi nghiên c
ứu một số ứng dụng của Lý thuyết vành
vào Coding.

Chương 2 đư
ợc chia làm 2 tiết:
§1. M
ột số lớp vành
§2. Ứng dụng lý thuy
ết vành
vào Coding
5
Chương 1. CƠ S
Ở LÝ THUYẾT VỀ CODING
1.1. T
ổng quan về C
oding.
1.1.1. Sơ lư
ợc về l
ý thuy
ết mã hóa
.
S
ự tồn tại của tiếng ồn trong các kênh truyền thông là một thực tế không
th
ể tránh khỏi của cuộc sống. Một câu trả lời cho vấn đề này là việc tạo ra các
mã s
ửa lỗi.
Lý thuy
ết mã hóa là việc nghiên cứu các tính ch
ất dữ liệu, mật m
ã học
và g
ần đây hơn cho mã hóa mạng.

Đ
ặc điểm chung của các kênh truyền thông là các thông tin ban đầu
đư
ợc gửi qua một kênh đến một điểm nhận ở đầu kia. Các kênh là ồn ào, theo
nghĩa là tin nhắn nhận được không phải là luôn luôn giống nh au như những gì
đ
ã được gửi. Vấn đề cơ bản là để phát hiện nếu có một lỗi và trong trường
h
ợp như vậy, để xác định những gì tin nhắn đã được gửi trên cơ sở xấp xỉ đã
nh
ận được. Đây là vấn đề đã thúc đẩy việc nghiên cứu các lý thuyết mã hóa
đi
ện thoại truyề
n d
ẫn. Nó không thể tránh các lỗi xảy ra như tin nhắn được
g
ửi đi thông qua đường dây điện thoại đường dài và bị hỏng bởi những thứ
như sáng và nhi
ễu xuyên âm. Việc truyền v
à nh
ận khả năng của môđ
em tăng
kh
ả năng xử lý lỗi trong phần cứng. Một lĩnh vực khá
c, trong đó lý thuy
ết mã
hóa đ
ã được áp dụng thành công là x
âu không gian giao ti
ếp.

Các tin nh
ắn
là
v
ệ tinh, kênh là không gian ra ngoài và phần cứng gửi và nhận các n
gày,
ngư
ời nhận là trạm mặt đất trên trái đất, và tiếng ồn là vấn đề bên ngoài như
đi
ều
ki
ện khí quyển và xá
o tr
ộn nhiệt. Dữ liệu trong
không gian đ
ã được mã
hóa đ
ể truyền
, nó c
ũng quan trọng để bảo vệ thông tin li
ên lạc
qua th
ời gian
.
D
ữ liệu
đư
ợc l
ưu tr
ữ trong

máy tính ho
ặc tr
ên băng là s
ự xâm nhập của các tia
gamma và s
ự can thiệp từ.
Lý thuy
ết m
ã hóa đại số nghiên cứu trường con c
ủa lý thuyết m
ã hóa
c
ủa các m
ã
đư
ợc thể hiện về đại số. L
ý thuy
ết m
ã hóa
đ
ại số
v
ề c
ơ bản được
chia thành hai lo
ại chính của m
ã số, cụ thể là ngăn chặn mã số và xoắn mã.
6
Nó phân tích ba thu
ộc tính quan trọng sau

đây c
ủa
m
ột mã
: mã chi
ều dài, tổng
s
ố từ mã, và khoảng cách tối thiểu giữa hai từ mã, sử dụng chủ yếu là các
kho
ảng cách Hamming
, đôi khi là s
ử dụng khoảng cách Lee, khoảng cách
Euclide.
Vi
ệc nghi
ên c
ứu các mật mã đã trở
thành một chủ đề quan trọng m
à
liên k
ết các ng
ành khoa h
ọc khác nhau, như là lý th
uy
ết thông tin, kĩ thuật
điện, Toán học và khoa học máy tính, với mục đích thiết kế những phương
th
ức truyền dữ liệu hiệu quả và xác thực. Điều này đặc trưng bao gồm sự xóa
b
ỏ những thứ thừa thải cũng như sự tì

m tòi và s
ử
a ch
ữa những sai sót trong
vi
ệc truyền dữ liệu. Về cơ bản là có hai khía cạnh trong lý thuyết mật mã có
tên là ngu
ồn mã hóa (ví dụ như sự nén ép dữ liệu) và kênh mã hóa (như sự
s
ữa lỗi). Hai khía cạnh này có thể được nghiên cứu kết hợp với nhau.
Ngu
ồn mã hóa cố gắng ép nén dữ liệu từ một nguồn để truyền nó đi
m
ột cách hiệu quả hơn. Quá trình này có thể được tìm thấy hằng ngày trên
internet nơi mà s
ự ép nén dữ liệu Zip t
hông thư
ờng được dùng để giảm bớt
tính ch
ất rộng rãi của đường truyền mạng và
làm cho tài li
ệu trở nên nhỏ hơn.
Khía c
ạnh thứ hai, kênh mã hóa, thêm vào những bit dữ liệu để làm cho sự
truy
ền dữ liệu trở nên mạnh hơn để sự nhiễu loạn bộc lộ trong sự truyền dẫn
kênh. Những người dùng bình thường , thường không có kiến thức về nhiều
ứng d
ụng của việc sử dụng kênh mật mã, một đĩa nhạc đặc trưng sử dụng mật
mã Reed-Solomon đ

ể sửa chữa những hư hại gây ra bởi sự tạp nham và rác
rư
ởi. Trong ứng dụng n
ày, việc truyền dẫn kênh
là t
ự bản thân chiếc đĩa CD
đó, đi
ện thoại di động cũng sử dụng nh
ững kĩ thuật m
ã hóa để sửa chữa sự
tăng gi
ảm c
ường độ điện trường cũng
như ti
ếng ồn của sự truyền dẫn radio
v
ới tần suất cao. Mô
đem d
ữ liệu, sự truyền dẫn điện
tho
ại v
à NASA cơ quan
hàng không v
ũ trụ Hoa K
ì t
ất cả đều tận dụng kĩ thuật mã hóa kênh để nhận
đư
ợc số liệu từ đầu đến cuối, ví dụ như mật mã tua
bin và m
ật mã LDPC

. Lý
thuy
ết mã hóa đại số nghiên cứu trường con của lý thuyết mã hóa nơi mà
những đặc tính của mật mã được thể hiện trong những giới hạn đại số. Lý
thuy
ết mã hóa đại số về cơ bản được ch
ia thành hai lo
ại chính của mật mã, có
7
tên là m
ật mã khối và mật mã xoắn, n
ó phân tích ba đ
ặc tính quan trọng sau
c
ủa một mã: Độ dài của mật mã, tổng số lượng từ mã hóa và khoảng cách
ng
ắn nhất giữa hai từ mã hóa, sử dụng chính là khoảng cách Ham
ming, th
ỉn
h
tho
ảng sử dụng
kho
ảng cách khác như khoảng
cách Lee, kho
ảng cách
Euclide.
Đưa ra m
ột bảng chữ cái
A

v
ới
bi
ểu tượng
q
, m
ột mật mã kh
ối C có
độ dài
n
bao trùm bảng chữ cái
A
đơn giản là một tập hợp con của
n
A
.
q
và
n
đư
ợc
g
ọi là từ mã của mật mã C,
cái đó thông thư
ờng hình dung ra
K
, s
ố
lượng từ m
ã trong C

, như là m
ột lũy thừa của
q
, ví d
ụ như
k
K q=
, vì th
ế
vi
ệc thay thế tham số
k
v
ới số nguyên
log
a
k k=
. S
ố nguyên
k
này là s
ố
nguyên nh
ỏ nhất như th
ể l
à mỗi thông báo từ C có thể được ch
ia ra thành
thông báo riêng l
ẻ
k

t
ừ
q
trong b
ảng chữ cái
A
. Vì v
ậy, số nguyên
k
có th
ể
đư
ợc xem như là số lượng củ
a nh
ững biểu tượng từ mã, rằng đang mang
thông báo đi hơn c
ả sự dư thừa. Việc thực hiện sửa chữa sai sót của mật mã
kh
ối được miêu tả bằng khoảng cách nhỏ nhất Hamming giữa mỗi cặp từ mã
và thông thư
ờng được quy vào như là khoảng cách của mật mã.
Trong m
ột
m
ật mã khối, mỗi thông báo đưa
vào có m
ột độ dài cố định
k n<
những biểu tượng đưa vào. Sự dư thừa thêm vào trong một thông báo
nh

ờ biến đổi nó thành một từ mã lớn hơn cho phép một người nhận tìm ra và
s
ửa
ch
ữ
a nh
ững sai sót trong m
ột từ m
ã được truyền dẫn, và lấy lại được
thông báo nguyên b
ản bằng cách sử dụng việc giải m
ã thuật toán phù hợp. Sự
dư th
ừa đ
ược
miêu t
ả trong giới hạn
t
ỉ lệ thông tin của chính nó, hoặc đ
ơn
gi
ản h
ơn cho m
ột mật mã khối trong giới hạn của tỉ lệ mật mã, kh
ái ni
ệm.
T
ới người nhận cuối cùng, một quyết định được đưa ra về việc truyền
d
ẫn từ m

ã
d
ựa v
ào thông tin nhận được từ
n
. S
ự quyết định n
ày là sự thốn
g
kê, nó là m
ột phỏng đoán tốt nhất trong nền tảng của thông tin có sẵn. Một
m
ật
mã t
ốt l
à một nơi mà khái niệm, tỉ lệ của mật mã, là v
i
ệc gần nh
ư
không
có quá nhi
ều sự d
ư th
ừa thì thông tin có thể được dẫn truyền hiệu quả hơn,
trong khi nh
ững từ mã đủ xa từ nơi này đến nơi khác rằng xác
su
ất
c
ủa những

8
thông báo nh
ận được là rất nhỏ. S
ơ đ
ồ dưới đây mô tả một kênh giao tiếp mà
bao g
ồ
m m
ột kế hoạch mã hóa / giải mã:
Đ
ịnh lý
c
ủa Shannon đảm bảo rằng hi vọng của chúng ta về việc đưa ra
nh
ững thông báo sửa chữa tới người dùng
s
ẽ được hoàn thành một tỉ lệ chắ
c
ch
ắn của thời gian. Dựa vào
nh
ững đặc điểm của kênh giao tiếp, nó có thể xây
d
ựng nên v
i
ệc mã hóa và giải mã đúng đắn. V
ì v
ậy, tỉ lệ này, mặc dù không
phải là tuyệt đối 100%, nhưng cũng có thể đạt được cao như chúng ta mong
muốn. Tuy nhi

ên,
b
ằng chứng của đ
ịnh lý Shannon l
à theo xác
su
ất và chỉ
đ
ảm bảo sự tồn tại của những mật mã tốt, không một mật mã cụ thể nào được
xây d
ựng tr
ên một căn cứ mà cung cấp độ chính xác như mong muốn cho một
kênh đư
ợc đưa ra. Mục đích chính của lý thuyết mã hóa là thiết lập những mật
mã t
ốt để ho
àn thành
s
ự khẳng định của định lý Shannon. Trong suốt 50 năm
qua, trong khi nhi
ều mật m
ã t
ốt được xây dựng, nhưng chỉ từ năm 1993, với
s
ự h
ư
ớng dẫn của một mật mã tua
bin, s
ự phát hiện lại của mật m
ã LDPC và

s
ự nghiên cứu
nh
ững mật mã liên quan và kết hợp
thu
ật to
án gi
ải mã,
nh
ững
ngư
ời nghiên cứu bắt đầu
nh
ận ra rằng những mật mã
b
ắt đầu tiếp cận sự
mong chờ của định lý Shannon trong thực hành.
1.1.2. Áp d
ụng v
ành và t
rư
ờng
vào lý thuy
ết mật m
ã
.
Trong khi lý thuy
ết đại số của những
bài toán mã s
ửa sai

th
ực hiện có
truy
ền thống đ
ược
nghiên c
ứu trong
không gian véc tơ trên trư
ờng hữu hạn,
m
ật m
ã trên vành h
ữu
h
ạn đ
ư
ợc nghiên cứu từ những năm đầ
u 1970. Tuy
nhiên, nh
ững b
ài báo
liên quan đ
ến chủ đề trong suốt những năm 1
970 và 1980
chưa th
ật sự nhiều và
ch
ỉ là yêu cầu
v
ề T

oán h
ọc với
m
ục đích l
à gi
ải quyết
m
ột số
v
ấn đ
ề mở quan tr
ọng của
lý thuy
ết
m
ật mã.
Thông
báo
Mã hóa
Kênh
Giải mã
Ngư
ời
dùng
Thông báo
Nguyên b
ản
T
ừ mã
Ti

ếng ồn
T
ừ mã
nhận được
Thông báo
đư
ợc đánh giá
9
M
ột vài điểm nổi bật của thời kỳ đó bao gồm công việc của Blake,
ngư
ời mà vào năm 1972, đã chỉ ra cách làm thế nào để xây
d
ựng những mật
mã bao trùm lên
m
t
ừ mật mã cyclic trên
( )
GF p
, trong đó
p
là m
ột nhân tố
quan tr
ọng của m. Sau đó
, ông
ấy đề cập đến việc nghiê
n c
ứu cấu trúc của

m
ật m
ã trên
r
p
. Vào năm 1977, Spieger khái quát hóa những kết quả đó cho
m
ật mã trên
m
, trong đó
m
là m
ột số nguyên tố bất kỳ.
Có nhiều l
ớp
mã quan tr
ọng
không tuy
ến
tính (trên trư
ờng hữu hạn),
ch
ẳng hạn nh
ư là Kerdock, Preparata, Nordstrom
-Robinson, Goethals và
Delsarte-Goethals. Nhi
ều nh
à nghiên c
ứu đã nghiên cứu những mật mã này và
ch

ỉ ra rằng chúng không phải là duy nhất và số lượng lớn mã số tồn tại với sự
phân b
ố trọng lượng như nhau.
Đi
ều đó chỉ l
à cho đ
ến đầu những năm 1990, vi
ệc nghi
ên
c
ứu những
m
ật m
ã
tuy
ến
tính trên vành h
ữu
h
ạn đ
ã
đạt được sự
n
ổi bật, bởi v
ì s
ự khám
phá nh
ững mật mã này
tương đương v
ới những mật m

ã tuy
ến
tính trên vành
4
. Lechaev đ
ã chỉ ra rằng mật
mã Kerdock là mã cyclic trên
4
. Hơn th
ế
n
ữa, mối quan hệ gây sự chú ý
gi
ữa sự phân bố trọng lượng của mật mã
Kerdock và Preparata, m
ột mối quan hệ thân thuộc
gi
ữa sự phân bố
tr
ọng
lư
ợng của một mật mã
tuy
ến
tính và đ
ối số của nó, được giải thích bởi
Caldrerbank, Hammons, Kumar, Sloane và Solé [2] khi h
ọ chỉ ra rằng vào
năm 1993 nh
ững mật mã nổi tiếng này trong thực tế tư

ơng đương v
ới những
m
ật m
ã
tuy
ến
tính trên vành
4
, cái mà đ
ối số với một cái khác
. T
ừ thời điểm
đó, những mật mã trên vành hữu hạn nói chung và trên
4
nói riêng, đã đạt
đư
ợc những ứng dụng
to l
ớn trong V
ăn h
ọc. Hiện nay,
có nhi
ều bài báo
nghiên c
ứu về chủ đề này và ít nhất một cuốn sách dành hết cho việc nghiên
c
ứu một mật m
ã Quaternary (mật mã cấp 4).
M

ặc d
ù chúng ta không nói thêm v
ề nghĩa của “ cấu trúc đ
ặc biệt” đ
ược
đ
ề cập ở trên giữa
m
ật mã Kerdock và Prep
arata và m
ật mã tương ứng trên
4
ch
ỉ cần nói rằng có một kíc
h thư
ớc giống nhau giữa chúng, được chứng
10
minh b
ởi ánh xạ

:
( )
2
4 2
→
t
ừ 0 đến 00,1 đến 01,2 đến 11, và 3 đến 10.
Kích thư
ớc giống nh
au này liên h

ệ với mật m
ã trên
4
, đư
ợc trang bị với c
ái
g
ọi là hệ mét L
ee v
ới
m
ật mã Kerdock và Preparata
theo tiêu chu
ẩn hệ mét
Hamming. Đi
ều này chỉ ra rằng, từ
s
ự bắt đầu của nó, lý thuyết
m
ật mã trên
vành không nh
ững
nói v
ề sự hướng dẫn của một cấu trúc đại số kế tiếp cho
b
ảng chữ cái mà còn là của một hệ mét khác nhau cho những mật mã mới tr
ên
vành. Thêm vào trong h
ệ mét L
ee, nh

ững hệ mét khác được khẳng định bởi
nhi
ều tác giả khác nhau.
Có ít nh
ất ha
i lý do t
ại sao mật mã cyclic
l
ại là một trong những lớp quan
tr
ọng nhất của các mật mã trong lý thuy
ết m
ã hóa.Đầu tiên, mật mã cyclic
có th
ể
mã hóa hiệu quả nhờ sử dụng những máy ghi thay đổi, cái mà giải thích vai trò
đư
ợc ưu tiên hơn của chúng trong khoa họ
c. Thêm vào đó, m
ật mã cyclic
d
ễ
dàng đư
ợc mô tả như là
vành s
ố thương, cụ thể
: vành
[ ]
1−
n

x
xF
c
ủa đa thức
[ ]
F x
v
ới hệ số trong bả
ng ch
ữ cái của tr
ư
ờng
F. Nh
ững khái niệm của mật m
ã
negacyclic và mã constancyclic, ví d
ụ nh
ư có th
ể thấy như việ
c đ
ề cập đến
nh
ững mật mã đó
phù h
ợp với những
vành s
ố thương cụ thể
:
[ ]
1+

n
x
xF
và
[ ]

−
n
x
xF
(
{ }
0−∈F

) c
ủa
[ ]
xF
.
T
ất c
ả những khái niệm tr
ên có th
ể dễ
dàng đư
ợc mở r
ộng cho tr
ư
ờng
h

ợp
vành hữu h
ạ
n b
ằng cách thay thế tr
ường h
ữu h
ạn F bằng v
ành h
ữu h
ạn R
trong m
ỗi định nghĩa.
1.2. M
ột số khái niệm c
ơ sở Coding
.
1.2.1. Mã.
Cho R là vành giao hoán h
ữu hạn có đơn vị
( )
{ }
1 2 1 2
; ; ; / , , ,
n
n n
R x x x x x x R= ∈
Khi đó
n
R

là m
ột R
- môđun.
11
Xét M
n
R⊆
v
ới M là môđun con của
n
R
. Khi đó,
M
đư
ợc gọi là một
mã tuy
ến tính có độ dài n.
1.2.2. T
ừ mã
.
Cho vành R h
ữu hạn và xem
n
R
là m
ột môđun phải trên vành R. Một
mã tuy
ến tính có độ dài n là một môđun con của
n
R

. M
ỗi phần tử của mã
đư
ợc gọi là từ mã.
( )
1 2
; ; ;
n
x x x M∈
g
ọi l
à một từ mã.
1.2.3. Mã constacyclic.
Cho vành R h
ữu hạn.
N
ếu

là ph
ần tử khả nghịch của vành R thì
phép
nâng

- constacyclic

Γ
trên
n
R
là:

( ) ( )
0 1 1 1 0 1 2
; ; ; ; ; ; ;
n n n
x x x x x x x


− − −
Γ =
Và m
ột mã C được gọi là

- constacyclic n
ếu
( )
,C C

Γ =
t
ức là C
đóng vai tr
ò
phép nâng

- constacyclic

Γ
. Khi
1


=
thì mã

- constacyclic
là mã cyclic.
M
ỗi mã từ
( )
0 1 1
; ; ;
n
c c c c
−
=
đư
ợc định nghĩa một cách thông thường
với đa thức:
( )
1
0 1 1

n
n
c x c c x c x
−
−
= + + +
, và mã C là tập các đa thức biểu diễn
c
ủa các mã từ của nó. Như thế, trong vành

[ ]
n
R x
x

−
,
( )
xc x
tương
ứng với một
phép nâng

- constacyclic c
ủa
( )
c x
.
1.2.4 . M
ệnh đề
. M
ột mã tuyến tính C có độ dài n là

- constacyclic
trên R n
ếu và chỉ nếu C là iđêan
c
ủa
[ ]


−
n
x
xR
.
Cho mã t
ừ
( ) ( )
0 1 1 0 1 1
; ; ; , ; ; ;
n n
x x x x y y y y
− −
= =
Tích trong của chúng được định nghĩa như sau:
0 0 1 1 1 1

n n
xy x y x y x y
− −
= + + +
nh
ận giá trị trong R.
Hai mã t
ừ
,x y
đư
ợc gọi là trực giao nếu
0xy =
v

ới một mã tuyến tính
C trên R và
C
⊥
đư
ợc gọi là mã đối ngẫu của mã
C
.
12
{ }
/ 0,C x xy y C
⊥
= = ∀ ∈
Mã C
được gọi là tự trực giao nếu
C C
⊥
⊆
và nó đư
ợc gọi là tự đối
ng
ẫu nếu
C C
⊥
=
.
1.2.5. M
ệnh đề
. V
ới một mã C là


- constacyclic có đ
ộ dài n trên R,
xét m
ột phần tử bất kỳ
,a C b C
⊥
∈ ∈
. Vì C là

- constacyclic,
( )
1n
b C

−
Γ ∈
Suy ra:
( ) ( ) ( )
1 1
1
0
n
a b a b a b

 

− −
−
= Γ = Γ = Γ

.
Ch
ứng minh:
Vì C là

- constacyclic nên
( )
C C

Γ =
( )
b C

⇒ Γ ∈
⇒
( )
1n
b C

−
Γ ∈
( )
1
0
n
a b

−
⇒ Γ =
vì

a C
⊥
∈
Gi
ả sử:
( ) ( )
0 1 1 0 1 1
; ; ; , ; ; ;
n n
a a a a b b b b
− −
= =
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
1 0 1 2
1
1 2 1 0
1
0 1 1 1 2 1 0
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ;
n n
n
n
n

n n
b b b b b
b b b b b
a b a a a b b b b




  
  
− −
−
−
−
− −
Γ =
Γ =
⇒ Γ =
0 1 1 2 2 1 1 0

n n n
a b a b a b a b
  
− − −
= + + + +
( )
( )
1
1
1 0 1 2

; ; ; ;
n n
a a a a a

  
−
−
− −
Γ =
( )
1 0 1 2
; ; ; ;
n n
a a a a
  
− −
=
( )
( )( )
1
1 0 1 2 0 1 1
. ; ; ; ; ; ; ;
n n n
a b a a a a b b b

   
−
− − −
⇒ Γ =
1 0 0 1 2 1

n n n
a b a b a b
 
− − −
= + + +
( )
1
1
1 0 0 1 2 1
.
n n n
a b a b a b a b


−
−
− − −
Γ = + + +
Vì:
( )
1
. 0a b


−
Γ =
( )
( )
1

1
. 0a b

 
−
−
⇒ Γ =
( )
1
. 0a b

−
⇒ Γ =
13
1.2.6. M
ệnh đề
. Đ
ối ngẫu của mã

- constacyclic là m
ột mã
1

−
-
constacyclic.
Với m
ã C có độ dài n trên
( )
;GR R m

, chúng ta đ
ịnh nghĩa mã xoắn và
mã th
ặng dư
c
ủa C trên
2
F m
như sau:
( )
{ }
( )
{ }
2
2
/
Re / :
m
m
n
n
Tor C a F a C
s C a F b a b C


= ∈ ∈
= ∈ ∃ + ∈
Xét ánh x
ạ:
( )

: ResC C

→
a b a

+ 
D
ễ thấy

là đ
ồng cấu vành với
( )
er orK T C

≅
( ) ( )
ResC C

=
( )
Res
orC
C
C
T
⇒ =
.
1.2.7. M
ệnh đề
. Cho C là mã constancyclic có đ

ộ dài n trên
( )
;GR R m
và mã xo
ắn và mã thặng dư
c
ủa nó là
( )
orT C
và Res
( )
C
.
Khi đó:
( ) ( )
or Res .C T C C=
1.2.8. Định nghĩa.
Hai đa th
ức
1 2
,f f
[ ]
R x∈
đư
ợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu:
[ ]
1 2
f f R x+ =
Ho
ặc tương đương tồn tại đa thức

1 2
,g g
[ ]
R x∈
sao cho:
1 1 2 2
1f g f g+ =
Vì
R
là trư
ờng nên hai đa thức của
[ ]
R x
là nguyên t
ố cùng nhau nếu
và ch
ỉ nếu chúng không có ước chung có bậc lớn hơn 0.
1.2.9. Đ
ịnh nghĩa.
Đa th
ức
[ ]
f R x∈
đư
ợc gọi l
à b
ất khả quy cơ sở nếu
f
là b
ất khả quy

trong
[ ]
R x
. Đa th
ức
[ ]
f R x∈
đư
ợc gọi là chính quy nếu nó có ước khác 0.
14
Chương 2. M
ỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT VÀNH
VÀO CODING
§1. M
ột số lớp vành
Trong ti
ết này, chúng tôi tìm hiểu
khái ni
ệm, tính chất của
m
ột số
vành
liên quan đ
ến lý thuyết Coding đó là
vành chính, vành đ
ịa phương và vành
chu
ỗi,
các vành ở đây đư
ợc hiểu là vành giao hoán, có đơn vị và hữu hạn

ph
ần tử.
2.1.1. Đ
ịnh nghĩa.
M
ột iđê
an c
ủa vành
R
đư
ợc gọi là chính nếu nó được sinh ra
b
ởi một phần
t
ử
. Vành
R
đư
ợc gọi là vành
chính n
ếu mọi iđ
êan c
ủa nó là chính.
2.1.2. Bổ đề. Cho
R
là vành có đơn vị (không nhất thiết giao hoán)
{
A x R= ∈
, v
ới

x
không kh
ả nghị
ch
}
Các m
ệnh đề sau tương đương:
( )
A.1
đóng kín đ
ối với phép cộng.
( )
.2
A
là iđêan (hai phía).
( )
.3a
A
là iđêan ph
ải lớn nhất khác
R
.
( )
.3b
A
là iđêan trái l
ớn nhất khác
R
.
( )

.4a
T
ồn tại iđêan
ph
ải lớn nhất trong
R
(
≠
R
).
( )
.4b
T
ồn tại iđêan
trái l
ớn nhất trong
R
(
≠
R
).
( )
.5a
Mỗi
Rr ∈
, hoặc
r
hoặc
r−1
khả nghịch phải.

( )
.5b
M
ỗi
Rr ∈
, ho
ặc
r
ho
ặc
r−1
kh
ả nghịch trái.
( )
.6
M
ỗi
Rr ∈
, ho
ặc
r
ho
ặc
r−1
kh
ả nghịch.
15
2.1.3. Đ
ịnh nghĩa.
Vành

R
th
ỏa m
ãn một trong các mệnh đề tương đương trên gọi là vành
đ
ịa ph
ương.
2.1.4. Đ
ịnh nghĩa.
M
ột vành
R
đư
ợc
g
ọi là vành chuỗi nếu các iđêan
c
ủa nó sắp thứ tự
tuy
ến tính.
T
ức là:
R
là vành chu
ỗi nếu các iđêan
c
ủa nó được sắp xếp như sau:
RRR ⊂⊂⊂⊂
21
0

2.1.5. Ví d
ụ.
k
p
v
ới các iđêan
s
ắp xếp:
2
0
k
p
p p
R⊆ ⊆ ⊆ ⊆ =
k
p
⇒
là vành chu
ỗi.
2.1.6. Đ
ịnh lý
. Vành R là vành giao hoán h
ữu hạn
thì các m
ệnh đề sau
là tương đương:
( )
i
. R là vành đ
ịa

phương v
ới iđêan
t
ối đại M của R là chính.
( )
ii
. R là vành iđêan chính đ
ịa phương.
( )
iii
. R là vành chu
ỗi.
Ch
ứng
minh:
( )
i
( )
ii⇒
. Xét
I
là iđêan c
ủa
R
b
ất kỳ.
Ta ch
ứng minh:
I bR=
1 .1I I R R∈ ⇒ = =

1 I I M∉ ⇒ ⊆
(vì
M
là iđêan t
ối đại)
Vì
M
chính nên
M aR=
a M⇒ ∈
Suy ra, ho
ặc
a
không kh
ả nghịch hoặc
1 a−
kh
ả nghịch
.
16
T
ừ đó cũng suy ra được hoặc
n
a
không kh
ả nghịch hoặc
1
n
a−
kh

ả nghịch.
Ta ch
ứng minh
a
lu
ỹ linh.
Gi
ả sử:
0,
n
a n≠ ∀
Xét
{ }
/
n
J a n I= ∈ ⊆
Do
I
h
ữu hạn nên
( )
, :
p q
p q a a p q∃ = >
( )
( )
'
0
1 0
1 0

q p
q p q
q p q
a a
a a
a a x
−
−
⇒ − =
⇒ − =
⇒ − =
sao cho:
( )
'
1 1
p q
a x
−
− =
0
q
a⇒ =
( vô lý )
n⇒ ∃
đ
ể
0
n
a =
, ta g

ọi n là bậc luỹ linh.
Ta ch
ứng minh
: , 1,2, ,
k
x M x a t k n∈ = =
v
ới
t
kh
ả ng
h
ịch.
Ta có:
,M aR a M= ∈
x M⇒ ∃ ∈
sao cho:
( )
arx r R= ∈
r kh
ả nghịch:
1
a .rx =
r không kh
ả nghịch:
'
2 '
ar
r M
r

x a r
⇒ ∈
⇒ =
⇒ =
Lý lu
ận tương tự đến bậc n (
vì
1 2
0
n n
a a
+ +
= = =
)
N
ếu
a r
k
x =
(r kh
ả nghịch
)
I∈
k
a I⇒ ∈
17
1
a .r I
a
k

k
k
x
rr I
a I
−
= ∈
⇒ ∈
⇒ ∈
N
ếu
a
k
là ph
ần tử có bậc nhỏ nhất thuộc I
( )
1k
a I
−
∉
, ta ch
ứng minh
:
a
k
I R=
.
Th
ật vậy,
a ,

k k
I a r I r∈ ⇒ ∈ ∀
1 2
a ; ; ; ;
k k k n
k
a a a I
a R I
+ +
⇒ ∈
⇒ ⊂
Gi
ả sử:
a
k
R I≠
( )
l
x a r I l k⇒ ∃ = ∈ <
(vô lý)
a
k
I R⇒ =
I⇒
chính.
( )
ii
( )
iii⇒
. Cho

R
là vành đ
ịa ph
ương, là vành iđêan
chính. Ta c
ần
ch
ứng minh
R
là vành chu
ỗi.
Th
ật vậy,
R
là đ
ịa phư
ơng, là vành iđêan chính nên
M
là iđêan t
ối đại
c
ủa
R
:
M aR=
.
: , 1;
k
x M x a r k n∀ ∈ = =
v

ới r là khả nghịch.
Xét
,A B
là iđêan c
ủa vành
R
,
,A B R≠
,A B M⇒ ⊆
,
m s
A a B a= =
N
ếu
m s B A≤ ⇒ ⊆
N
ếu
s m A B≤ ⇒ ⊆
⇒
R
là vành chu
ỗi.
18
( ) ( )
iii ii⇒
. Cho
R
là vành chu
ỗi, t
a c

ần chứng
minh
R
đ
ịa phương, tối
đ
ại là chính.
Cho:
1 2 3
0
K
A A A A R⊄ ⊄ ⊄ ⊄ ⊄ ⊄
.
k
A
t
ối đại,
suy ra đư
ợc
R
đ
ịa phương.
Gi
ả sử
k
A
không chính, khi đó t
ồn tại
,a b
sao cho:

b a b a
a b a b
 ∉  ⊄
 
⇒
 
∉ ⊄
 
 
(trái v
ới giả thiết
R
chu
ỗ
i)
k
A⇒
chính.
2.1.7. M
ệnh đề
. Cho R là vành chu
ỗi kết hợp hữu hạn với iđ
êan
t
ối đại
là
M a=
và ch
ỉ số lũy linh


. Khi đó:
a). V
ới mỗi số nguyên tố p và số nguyên dương k, l ( k
l≥
),
,
k l
R p R p= =
và đặc số của R và
R
là lũy thừa của p.
b). V
ới i = 1, 2, 3,…,

.
i
i
a R

−
=
. Hơn n
ữa,
R R

=
Khi:
k l

=

.
19
§2. Ứng d
ụng
lý thuy
ết v
ành
vào Coding
Trong ti
ết này, chúng tô
i tìm hi
ểu và chứng minh một số ứng dụng của
lý thuy
ế
t vành vào lý thuy
ết Coding
, đ
ặc biệt là định lý Kummer và ứng dụng
c
ủa định lý vào lý thuyết Coding
.
2.2.1. B
ổ đề
. Hai đa th
ức
1 2
,f f
[ ]
R x∈
nguyên t

ố cùng nhau nếu
và chỉ
nếu
1 2
,f f
nguyên t
ố cùng nhau trong
[ ]
R x
.
Ch
ứng minh:
1 2
,f f
là nguyên t
ố c
ùng nhau trong
[ ]
R x
, suy ra
1 2
,f f
nguyên t
ố c
ùng
nhau trong
[ ]
R x
.
1 1 2 2

1f g f g+ =
1 1 2 2
1f g f g⇒ + =
⇒
1 2
,f f
nguyên t
ố c
ùng nhau trong
[ ]
R x
.
N
ếu
1 2
,f f
là nguyên t
ố cùng nhau trong
[ ]
R x
.
1 1 2 2
1f g f g⇒ + =
⇒
1 1 2 2
1f g f g ah+ = −
V
ới
[ ]
,M a h R x= ∈

. Đ
ặt:
( ) ( )
[ ]
1
1 l ah ah ah R x

−
 
= + + + ∈
 
( )
1 1 2 2
1lf g lf g l ah+ = − =
( ) ( ) ( )
1
1 1ah ah ah ah

−
 
+ + + −
 
( )
( )
( )
1
1ah ah ah ah ah
 
+
= − = − =

( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
1
1 1 1
lf g lf g f g f g
l f g l f g
⇒ + = − − +
⇒ + + + =
⇒
1 2
,f f
nguyên t
ố cùng nhau
.
20
2.2.2. B
ổ đề
. Gi
ả sử
1 2
, , ,
k
f f f
là các đa th
ức nguyên tố cùng nhau
đôi m
ột trong
[ ]
R x

thì
i
f
và
j
j i
f
≠
∏
nguyên t
ố c
ùng nhau trong
[ ]
R x
.
Ch
ứng minh:
i
f
và
j
j i
f
≠
∏
nguyên t
ố cùng nhau trong
[ ]
R x
.

,
i j
j i
f f
≠
⇔
∏
nguyên t
ố cùng nhau trong
[ ]
R x
.
'
1
1
i i j i
j i
i i j i
f g f h
f g f h
≠
⇔ + =
⇔ + =
∏
⇔
,
i j
f f
nguyên t
ố cùng nhau trong

[ ]
R x
.
,
i j
f f⇔
nguyên t
ố c
ùng nhau trong
[ ]
R x
.
2.2.3. Mệnh đề. Đặt
( )
0 1

n
n
f x a a x a x= + + +
trong
[ ]
R x
.
Khi đó các m
ệnh đ
ề sau l
à tương đương:
( )
i
.

f
là chính quy.
( )
.ii
0 1
; ; ;
n
a a a R=
.
( )
.iii
i
a
kh
ả nghịch với mọi i,
0 i n≤ ≤
.
( )
.iv
0.f ≠
2.2.4. B
ổ đề Hensel
. Cho
f
đa th
ức trên R và giả sử
1 2

r
f g g g=

v
ới
1 2
, , ,
r
g g g
là các đa th
ức đôi một nguy
ên tố cùng nhau trên
R
. Khi đó, t
ồn
t
ại bộ đa thức
1 2
, , ,
r
f f f
trên R sao cho:
1 2

r
f f f f=
và
( )
, 1;
i i
f g i r= =
Đ
ặt D là tập các đa thức trên

[ ]
R x
sao cho
f
khác 0 trong bao đóng
.R
2.2.5. M
ệnh đề
. Cho
f
là đa th
ức chính q
uy. Khi đó:
( )
.i
N
ếu
f
là b
ất khả quy cơ sở thì
f
b
ất khả quy.
21
( )
.ii
N
ếu
f
là b

ất khả quy thì
k
f g

=
v
ới
R

∈
và
g
là b
ất khả quy
đơn ánh trên
[ ]
R x
.
( )
.iii
N
ếu
f
D∈
thì
f
b
ất khả quy khi và chỉ khi
f
là b

ất khả quy cơ sở.
2.2.6. M
ệnh đề
. Cho
f
là đa th
ức khả quy trong
[ ]
R x
. Khi đó:
1 2

r
f g g g

=
v
ới

là kh
ả nghịch và
1 2
, , ,
r
g g g
là các đa th
ức nguyên sơ
đôi m
ột nguy
ên tố cùng nhau, khả quy.

Hơn n
ữa,
1 2
, , ,
r
g g g
là duy nh
ất theo nghĩa:
N
ếu
1 2 `1 2

r s
f g g g vh h h

= =
v
ới
,v

kh
ả nghịch,
{ } { }
,
i s
g h
là các đa
th
ức nguyên sơ nguyên tố cùng nhau đôi một khả quy thì
r s=

và
, 1;
i i
g h i r= =
.
Tương đương,
n
f g

=
v
ới
R

∈
và
g
không gi
ản ước được trong
[ ]
R x
.
2.2.7. M
ệnh đề
. Cho
,f g
là các đa th
ức khác 0 trong
[ ]
R x

. N
ếu
f
chính quy thì t
ồn tại
,q r ∈
[ ]
R x
sao cho:
f gq r= +
v
ới
( ) ( )
deg degr g<
Cho
1 2
,f f
∈
[ ]
R x
thì
1
f
đư
ợc gọi là liên kết với
2
f
n
ếu tồn tại một
ph

ần tử nghịch đảo
r R∈
sao cho:
( ) ( )
1 2
f x rf x=
.
2.2.8. Tiêu chuẩn Eienstein.
Cho
1n ≥
và
( )
[ ]
0 1

n
n
f x a a x a x x= + + + ∈
. Nếu tồn tại số nguyên
t
ố p sao cho
p
chia h
ết
0
a
,
p
chia h
ết

1
a
, ,
p
chia h
ết
1n
a
−
,
p
không chia h
ế
t
n
a
và
2
p
không chia hết a
0
thì
( )
f x
là bất khả quy trên Q
[ ]
x
.
Chú ý rằng tiêu chuẩn Eienstein không đúng với
k

[ ]
x
.
22
2.2.9. Ví d
ụ
.
Cho
( )
[ ]
2
20
10 5f x x x x= + + ∈
và
5p =
th
ỏa mãn các điều kiện của
tiêu chu
ẩn Eienstein nhưng:
( ) ( )
2
2
10 5 5f x x x x= + + = +
.
2.2.10. M
ệnh đề
. Cho
( )
[ ]
( )

;
p
u
GR p m
h u


=
là vành Galois, khi đó các
m
ệnh đề sau là đúng:
( )
.i
M
ỗi iđêan
c
ủa
( )
;GR p m

c
ủa
( )
;GR p m

có d
ạng:
( )
;
k k

p p GR p m

=
v
ới
0 k

≤ ≤
.
Đặc biệt,
( )
;GR p m

là vành chuỗi với iđêan tối đại.
( )
;p pGR p m

=
và trư
ờng GF
( )
m
p
.
( )
.ii
V
ới
0 i


≤ ≤
:
( )
( )
;
m i
i
p GR p m p


−
=
( )
.iii
M
ỗi phần tử của
( )
;GR p m

có th
ể biểu diễn thành
k
p

v
ới

kh
ả
ngh

ịch và
0 k

≤ ≤
, trong đó k là duy nh
ất và

duy nh
ất theo m
ôđun
n k
p
−
.
( )
.iv
( )
h u
có m
ột nghiệm

, v
ới phần tử nguyên thủy
1
m
p −
là nghi
ệm
duy nh
ất.

( )
.v
Đ
ối với mỗi số nguyên dương d,
t
ồn tại một đồng cấu vành
chi
ếu tự nhi
ên:
( )
;GR p m

( )
;GR p md

→
( )
.vi
T
ồn tại đồng cấu vành nhúng tự nhiên:
( )
;GR p m

( )
1
;GR p m

−
→
với hạt nhân

1
p

−
.
( )
.vii
M
ỗi vành con của
( )
;GR p m

là vành Galois có d
ạng
( )
;GR p l

v
ới l chia hết cho m.
23
Ngược lại, nếu
l
chia hết cho
m
thì
( )
;GR p m

chứa một bản duy nhất
c

ủa
( )
;GR p l

, ngh
ĩa là số các vành con của
( )
;GR p m

là s
ố của phép chia
cho
m
.
Với vành chuỗi hữu hạn
R
với iđêan tối đại
a
và chỉ số luỹ linh

của
a
là ch
ẵn, m
ã
2
a

là t
ự đối ngẫu v

à được gọi là mã tự đối ngẫu tầm thường.
2.2.11. M
ệnh đề
. S
ố các mã từ trong mã tuyến tính bất kỳ C có độ dài
n trên vành
m
p
là
k
p
v
ới
k ∈
{ }
0;1; ;mn
.
Hơn n
ữa, mã đối ngẫu
C
⊥
có
l
p
mã t
ừ với
k l mn+ =
.
2.2.12. M
ệnh đề

. Cho
R
là vành h
ữu hạn có cấp
p

. S
ố các mã từ
trong mã tuy
ến tính C có độ dài n trên
R
là
k
p
, v
ới số nguyên
k ∈
{ }
0;1; ; n

. Hơn n
ữa, m
ã đối ngẫu
⊥
C
có
l
p
mã t
ừ

v
ới
mnlk =+
.
2.2.13. M
ệnh đề
. Cho
R
là vành k
ết hợp hữu hạn và:
( )
1
0 1 1

n
n
a x a a x a x
−
−
= + + +
( )
1
0 1 1

n
n
b x b b x b x
−
−
= + + +

Khi đó,
( ) ( )
0a x b x =
trong
[ ]
1−
n
x
xR
n
ếu và chỉ nếu
( )
0 1
; ; ;
n
a a a
tr
ực
giao v
ới
( )
1 2 0
; ; ;
n n
b b b
− −
và m
ọi đỗi chổ tuần hoàn.
2.2.14. M
ệnh đề

. Cho vành
R
là vành chu
ỗi hữu hạn với iđêan
t
ối đại
a
và

là ch
ỉ số lũy linh của a
. Khi đó, t
ồn
t
ại số nguyên tố p và số nguyên
l sao cho:
,
l l
R p R p

= =
, đ
ặc số của R và
R
là b
ội của p.
24
2.2.15. B
ổ đề
. Cho

R
là vành chu
ỗi hữu
h
ạn với iđêan
t
ối đại
a
và

là ch
ỉ số lũy linh của a. Nếu
f
là đa th
ức bất khả quy cơ sở chính quy của
vành
[ ]
R x
thì
[ ]
R x
f
c
ũng là vành chuỗi với các iđêan
sau:
1
0 ; 1 ; 1 ; ; ;f a f a f

−
+ + +

Ch
ứng minh:
Với mọi
{ }
, 0; ; 1i j

∈ −
thì:
i j
a f a f+ ≠ +
Gi
ả sử,
0 1i j

≤ < < −
và
i j
a f a f+ = +
( )
i j
a f a g x f⇒ + = +
v
ới
( )
g x
∈
[ ]
R x
( )
i j

a a g x f⇒ − =
Do
( )
deg deg
i j
a a g x g f− ≤ <
( )
( )
( )
( )
0
0
j i
i j
i j j j
i j
a g x a
a a g x
a a a a g x
a a g x
 
 
− −
+ −
⇒ − =
⇒ =
⇒ =
⇒ = =
Mâu thuẫn với định nghĩa về chỉ số lũy linh
⇒

i j
a f a f+ ≠ +
Xét I là iđêan c
ủa
[ ]
R x
f
và
0.I ≠
L
ấy
( )
h x f I+ ∈
là ph
ần tử khác 0 trên
[ ]
R x
f
. Do
f
là b
ất khả quy
cơ sở nên
f
là đa thức bất khả quy trên
[ ]
R x
.
Ta có:
25

( )
( )
; 1
;
g d h f
g d h f f

⊂ =


⊂ =

Trư
ờng hợp 1:
( )
; 1g d h f⊂ =
⇒
;h f
nguyên t
ố cùng nhau trong
[ ]
R x
.
⇒
;h f
nguyên t
ố cùng nhau trong
[ ]
R x
.

,u v⇒ ∃ ∈
[ ]
R x
sao cho:
1.fu hv+ =
( ) ( )
1v f h f vh f f⇒ + + = + = +
h f⇒ +
kh
ả nghịch
⇒
[ ]
R x
I
f
=
.
Trư
ờng hợp 2:
( )
;g d h f f⊂ =
⇒
h f
⇒
T
ồn tại
( ) ( )
,g x z x
∈
[ ]

R x
sao cho:
h fg az= +
⇒
h f a f+ < +
Không m
ất tính tổng quát , giả sử
k
là s
ố nguyên lớn nhất mà:
k
h f a f+ < +
với
1k
h f a f
+
+ ⊄ +
G
ọi:
' 1k
h f I a f
+
+ ∈ +
' k
h fk a z⇒ = +
Do
( )
1
;g d z f
f


⊂ =


Gi
ả sử,
( )
;g d z f f⊂ =