Phuong trình parabolic và ứng dụng trong vật lý

Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Mục lục
Mở đầu 2
Chương 1. Kiến thức cơ sở 5
1.1. Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . 5
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . . 6
1.3. Giải phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Các hệ tọa độ cong trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. Phương trình parabolic 22
2.1. Mở đầu về phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Phương pháp Fourier để giải phương trình parabolic . . . 23
2.3. Bài toán Cauchy đối với phương trình parabolic . . . . . . 24
2.4. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình parabolic . . . . . 26
Chương 3. Ứng dụng của phương trình parabolic trong vật
lý 30
3.1. Phương trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Quá trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn . . . . . . . . 31
3.3. Quá trình truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn . . . . . . . 35
3.4. Truyền nhiệt trong tọa độ trụ và tọa độ cầu . . . . . . . . 42
Kết luận 57
Tài liệu tham khảo 58
Phụ lục
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình của bậc Đại học, sinh viên chuyên ngành Toán
đã được làm quen với học phần Phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng mang hai nét đặc thù cơ bản: Thứ nhất là
liên quan mật thiết với các ngành Toán học khác như Giải tích, Tôpô, Đại
số, Thứ hai là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý, ứng dụng

phương trình đạo hàm riêng để giải các bài tập vật lý như: phương trình
truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình dừng.
Quá trình nghiên cứu nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng
thường gặp trong vật lý đã dẫn tới việc hình thành một ngành mới trong
giải tích – phương trình vật lý toán – vào khoảng giữa thế kỷ XVIII. "Người
đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến các nhà toán học: J.
D’Alembert, L. Euler, P. Laplace, " ([2]) Các ý tưởng và phương pháp
nghiên cứu của các nhà toán học đó khi xem xét các bài toán cụ thể của
vật lý toán có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển lý thuyết tổng quát của
phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ XIX.
Phương trình parabolic hay còn được gọi phương trình truyền nhiệt là
một trong ba loại phương trình tiêu biểu của phương trình đạo hàm riêng,
đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.
"Phương trình parabolic được đưa ra nghiên cứu vào năm 1822 trong công
trình nổi tiếng của J. Fourier “Lý thuyết giải tích truyền nhiệt”"([2]). Công
trình này đóng vai trò quan trọng vào sự pháp triển của các phương pháp
vật lý toán và lý thuyết chuỗi lượng giác. Phương trình parabolic không
chỉ đặc trưng cho quá trình truyền nhiệt mà còn mô tả các hiện tượng
khuếch tán như khuyếch tán chất khí, chất lỏng, quá trình truyền nhiệt
trong thanh dài.
Vì vậy, trên cơ sở đã nắm được các điều kiện ban đầu, các điều kiện
biên và phương pháp giải phương trình parabolic, tôi muốn tìm hiểu ứng
dụng của phương trình parabolic trong việc giải các bài toán vật lý. Từ đó
thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học và vật lý nói riêng và với mối
2
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
liện hệ với các ngành khoa học khác nói chung.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình parabolic và
ứng dụng trong vật lý” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu khóa luận

Mục tiêu của khóa luận là nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phương
trình parabolic. Ngoài ra, khóa luận còn trình bày về ứng dụng của phương
trình parabolic trong vật lý, cụ thể là các quá trình truyền nhiệt trong thanh
dài và phương trình khuếch tán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nói chung
và phương trình parabolic nói riêng.
• Nghiên cứu các ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lí.
• Tổng hợp nghiên cứu và đưa ra các ví dụ minh hoạ để làm rõ từng
ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lí.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên
quan đến phương trình parabolic và các phương trình toán lý
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo
trình, làm bài tập để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về các
vấn đề nghiên cứu một các khoa học, đầy đủ và chính xác.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức chung về phương trình parabolic,
một số bài toán vật lý, các khái niệm về phương pháp giải các bài toán.
• Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức về phương trình parabolic và ứng
dụng trong thực tế.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
• Ý nghĩa khoa học: Nội dung của khoá luận là tổng hợp các kiến thức
có liên quan đến phương trình parabolic, hệ thống, phân tích làm rõ
các ứng dụng của nó trong vật lí.
3
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
• Ý nghĩa thực tiễn: Khoá luận góp thêm một tài liệu tham khảo cho
các sinh viên chuyên ngành toán, sinh viên kỹ thuật, vật lí và cả các
giáo viên có nhu cầu tìm hiểu thêm về phương trình đạo hàm riêng

nói chung và phương trình parabolic nói riêng.
4
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa 1.1. ([2])
Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x
1
, x
2
, , x
n
), các biến độc
lập x
i
và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình ( vi
phân) đạo hàm riêng. Nó có dạng:
F

x, u(x),
∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n
, ,
∂
k

u
∂x
1
k
1
∂x
n
k
n

= 0. (1.1.1)
trong đó: F là hàm nhiều biến; x = (x
1
, x
2
, , x
n
) là vectơ trong không gian
Euclide n chiều R
n
; u(x) = u(x
1
, x
2
, , x
n
)
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được
gọi là cấp của phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính

đối với hàm ẩn và các đạo hàm riêng của nó.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến
tính đối với tất cả các đạo hàm riêng cấp cao nhất của hàm ẩn.
Ví dụ 1.1. Phương trình:
a(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+2b(x, y)
∂
2
u
∂x∂y
+c(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+d(x, y)
∂u
∂x
+e(x, y)
∂u
∂y
+f(x, y)u = g(x, y).
là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
5

Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Ví dụ 1.2. Phương trình:
a(x, y, u, u
x
, u
y
)
∂
2
u
∂x
2
+ 2b(x, y, u, u
x
, u
y
)
∂
2
u
∂x∂y
+ c(x, y, u, u
x
, u
y
)
∂
2
u
∂y

2
+ d(x, y, u, u
x
, u
y
) = 0
là phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính.
Một số kí hiệu
- Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho 0 ≤ k ≤ +∞. Tập
hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω kí hiệu
là C
k
(Ω).
- D
α
u(x) =
∂
|α|
u
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x

α
n
n
, ở đó α = (α
1
, α
2
, , α
n
), |α| = α
1
+
α
2
+ + α
n
.
1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai
1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai
Xét phương trình
a(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+ 2b(x, y)
∂
2
u

∂x∂y
+ c(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+ F

x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y

= 0. (1.2.1)
trong đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận
U ⊂ R
2
nào đó.
Xét phương trình




a − λ b
b c − λ





= λ
2
− (a + c)λ + ac − b
2
= 0
- Nếu b
2
−ac > 0 thì phương trình (1.2.1) là phương trình hyperbolic.
- Nếu b
2
− ac = 0 thì phương trình (1.2.1) là phương trình parabolic.
- Nếu b
2
− ac < 0 thì phương trình (1.2.1) là phương trình elliptic.
Nhờ phép đổi biến
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y)
với
a

∂ξ
∂x

2
+ 2b
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y

+ c

∂ξ
∂y

2
= 0,
6
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
a

∂η
∂x

2
+ 2b
∂η
∂x
∂η
∂y
+ c

∂η
∂y

2
= 0
ta đưa phương trình (1.2.1) về dạng chính tắc.
Phương trình
a(y


)
2
− 2by

+ c = 0, a = 0 (1.2.2)
được gọi là phương trình vi phân đặc trưng đối với phương trình (1.2.1).
1.2.2 Đưa về dạng chính tắc phương trình đạo hàm riêng cấp
hai
Bổ đề 1.2. ([2])
Nếu z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình
az
2
x
+ 2bz
x
z
y
+ cz
2
y
= 0 (1.2.3)
thì hệ thức
ϕ(x, y) = C, C ∈ R
xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường
ady
2
− 2bdxdy + cdx
2
= 0 (1.2.4)

Ngược lại, nếu ϕ(x, y) = C là nghiệm tổng quát của phương trình
(1.2.4) thì hàm z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.2.3)
Đường cong tích phân ϕ(x, y) = C được gọi là đường cong đặc trưng
của phương trình (1.2.1).
*Trường hợp b
2
− ac > 0 trong lân cận U
- Nếu a = 0. Khi đó, phương trình (1.2.2) có hai nghiệm thực đối với
y

, hay viết dưới dạng tích phân tổng quát:
ϕ
1
(x, y) = C
1
, ϕ
2
(x, y) = C
2
Đặt:
ξ = ϕ
1
(x, y), η = ϕ
2
(x, y)
thay vào phương trình:
a
1
(ξ, η)u
ξξ

+ 2b
1
(ξ, η)u
ξη
+ c
1
(ξ, η)u
ηη
+ F
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
thì a
1
= c
1
= 0 và b
1
= 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc
u
ξη
= F
∗
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u

η
) (1.2.5)
7
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
với:
a
1
= aξ
2
x
+ 2bξ
x
ξ
y
+ cξ
2
y
b
1
= aξ
x
η
x
+ b(ξ
x
η
y
+ ξ
y
η

x
) + cξ
y
η
y
c
1
= aη
2
x
+ 2bη
x
η
y
+ cη
2
y
- Nếu a = 0 thì ta có ngay u
xy
= F
∗
(x, y, u, u
x
, u
y
).
Thực hiện phép đổi biến ξ = α − β, η = α + β thì dạng chính tắc
của phương trình (1.2.5) có dạng:
u
αα

− u
ββ
= Φ(α, β, u, u
α
, u
β
) (1.2.6)
*Trường hợp b
2
− ac < 0 trong lân cận U
Khi đó, phương trình (1.2.2) có hai nghiệm phức liên hợp đối với y

,
hay viết dưới dạng tích phân tổng quát:
ϕ
1
(x, y) = C
1
, ϕ
2
(x, y) = C
2
Đặt:
ξ = ϕ
1
(x, y), η = ϕ
2
(x, y)
thay vào phương trình:
a

1
(ξ, η)u
ξξ
+ 2b
1
(ξ, η)u
ξη
+ c
1
(ξ, η)u
ηη
+ F
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
với:
a
1
= aξ
2
x
+ 2bξ
x
ξ
y
+ cξ
2

y
c
1
= aη
2
x
+ 2bη
x
η
y
+ cη
2
y
Giả sử ϕ
1
(x, y) = α(x, y) + iβ(x, y), với α, β là số thực. Đặt:
α =
1
2
(ϕ
1
(x, y) + ϕ
2
(x, y)), β =
1
2i
(ϕ
1
(x, y) − ϕ
2

(x, y))
ta được phương trình sẽ có dạng:
a
2
u
αα
+ 2b
2
u
αβ
+ c
2
u
ββ
+ F
2
(α, β, u, u
α
, u
β
) (1.2.7)
với a
2
= c
2
, b
2
= 0 và a
2
c

2
− b
2
2
> 0 thì dạng chính tắc của phương trình
ban đầu có dạng
u
αα
+ u
ββ
= Φ(α, β, u, u
α
, u
β
) (1.2.8)
*Trường hợp b
2
− ac = 0 trong lân cận U
8
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
- Nếu b = 0 thì a = 0 hoặc c = 0 nên phương trình có dạng
u
αα
= Φ(α, β, u, u
α
, u
β
)
- Nếu b = 0. Khi đó, phương trình (1.1.3) có nghiệm kép đối với y


, hay
viết dưới dạng tích phân tổng quát:
ϕ(x, y) = C
Đặt:
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y)
Với ψ(x, y) tùy ý thỏa mãn
D(ϕ, ψ)
D(x, y)
= 0
thay vào phương trình
a
1
(ξ, η)u
ξξ
+ 2b
1
(ξ, η)u
ξη
+ c
1
(ξ, η)u
ηη
+ F
1
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
thì a

1
= b
1
= 0 và c
1
= 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc
u
ηη
= Φ(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) (1.2.9)
1.3 Giải phương trình vi phân cấp hai
1.3.1 Phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân tuyến tính:
L(y) = a
0
(x)
d
n
y
dx
n
+a
1
(x)
d
n−1
(y)

dx
n−1
+ +a
n−1
(x)
dy
dx
+a
n
(x)y = F (x) (1.3.1)
trong đó a
0
(x), a
1
(x), , a
n
(x) là các hàm liên tục trong khoảng a ≤ x ≤ b
và a
0
(x) = 0 trong khoảng a ≤ x ≤ b.
* Phương pháp giải
- Giải phương trình thuần nhất cấp n : L(y) = 0
Giả sử nghiệm thuần nhất của phương trình (1.3.1) có dạng:
y = C
1
y
1
(x) + C
2
y

2
(x) + + C
n
y
n
(x) (1.3.2)
trong đó C
1
, C
2
, , C
n
là các hằng số tùy ý
9
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
- Giải phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F (x)
Để giải phương trình này ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định
hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng. Khi đó nghiệm
tổng quát của phương trình (1.3.1) có dạng:
y = y
c
+ y
p
(1.3.3)
1.3.2 Phương trình vi phân cấp hai
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:
a
0
(x)
d

2
y
dx
2
+ a
1
(x)
dy
dx
+ a
2
(x) = 0, a ≤ x ≤ b (1.3.4)
Giả sử y
1
(x), y
2
(x) là tập nghiệm cơ bản của phương trình vi phân
tuyến tính không thuần nhất cấp hai (1.3.4)
Suy ra nghiệm của phương trình có dạng:
y
c
= C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) (1.3.5)

trong đó C
1
, C
2
là các hằng số tùy ý.
Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm một nghiệm riêng của
phương trình vi phân không thuần nhất.
L(y) = a
0
(x)
d
2
y
dx
2
+ a
1
(x)
dy
dx
+ a
2
(x) = F (x) (1.3.6)
có dạng:
y
p
= u(x)y
1
(x) + v(x)y
2

(x) (1.3.7)
trong đó: u(x), v(x) là các hàm thay thế hằng số C
1
, C
2
trong (1.3.5)
Hàm u, v cần tìm thỏa mãn hệ phương trình:



u

(x)y
1
(x) + v

(x)y
2
(x) = 0
u

(x)y

1
(x) + v

(x)y

2
(x) =

F (x)
a
0
(x)
a
0
(x) = 0.
(1.3.8)
Giải hệ (1.3.8) ta có:
u = u(x) = −
x

α
y
2
(ξ)F (ξ)
a
0
(ξ)W (ξ)
d(ξ);
10
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
v = v(x) =
x

α
y
1
(ξ)F (ξ)
a

0
(ξ)W (ξ)
d(ξ),
trong đó α là hằng số và:
W (x) =




y
1
(x) y
2
(x)
y

1
(x) y

2
(x)




Vậy nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng:
y
p
= y
p

(x) = y
1
(x)
x

α
−y
2
(ξ)F (ξ)
a
0
(ξ)W (ξ)
d(ξ) + y
2
(x)
x

α
y
1
(ξ)F (ξ)
a
0
(ξ)W (ξ)
d(ξ)
=
x

α
[y

2
(x)y
1
(ξ) − y
1
(x)y
2
(ξ)] F (ξ)
p(ξ)W (ξ)
d(ξ) (1.3.9)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.3.6) có dạng:
y = y
c
+ y
p
= C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) +
x

α
[y
2
(x)y

1
(ξ) − y
1
(x)y
2
(ξ)] F (ξ)
p(ξ)W (ξ)
d(ξ) (1.3.10)
1.3.3 Phương trình Cauchy - Euler
Phương trình Cauchy - Euler có dạng:
a
0
x
2
d
2
y
dx
2
+ a
1
x
dy
dx
+ a
2
y = 0 (1.3.11)
trong đó a
0
, a

1
, a
2
là các hằng số tùy ý
Đặt t = lnx, ta có:
dy
dx
=
dy
dt
.
dt
dx
=
dy
dt
1
x
d
2
y
dx
2
=
d
dx

dy
dt


1
x

=
dy
dt

−
1
x
2

+
1
x
2
d
2
y
dt
2
Phương trình (1.3.11) có dạng:
a
0
d
2
y
dt
2
+ (a

1
− a
0
)
dy
dt
+ a
2
y = 0 (1.3.12)
11
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Giả sử phương trình (1.3.11) có nghiệm dưới dạng mũ y = e
mt
, ta có
phương trình đặc trưng:
a
0
m
2
+ (a
1
− a
0
)m + a
2
= 0 (1.3.13)
* Trường hợp 1
Nếu phương trình (1.3.13) có hai nghiệm thực phân biệt m = α và
m = β thì nghiệm tổng quát có dạng: y = C
1

x
α
+ C
2
x
β
, với C
1
, C
2
là các
hằng số tùy ý.
*Trường hợp 2
Nếu phương trình (1.3.13) có hai nghiệm kép m = α thì nghiệm tổng
quát có dạng: y = x
α
(C
1
+ C
2
lnx), với C
1
, C
2
là các hằng số tùy ý.
* Trường hợp 3
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức dạng m = α + iβ, m =
α −iβ, thì nghiệm tổng quát có dạng: y = x
α
[C

1
cos(βlnx) + C
2
sin(βlnx)],
với C
1
, C
2
là các hằng số tùy ý.
1.4 Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier
1.4.1 Định nghĩa
Tập các hàm

1, sin
nπx
L
, cos
nπx
L

là các hàm riêng trực giao nhau
trong khoảng (−L, L). Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một
khoảng nào đó, có nghĩa là khoảng này có thể chia thành nhiều khoảng
nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f (x) và đạo hàm f

(x) liên tục.
Tập các hàm trực giao ở trên có thể biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x)
dưới dạng chuỗi:
f(x) = a
0

+
∞

n=1

a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

(1.4.1)
được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng
(−L, L). Các hằng số a
0
, a
n
và b
n
được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi.
Từ tính trực giao của tập

1, sin
nπx
L

, cos
nπx
L

có thể tìm được hệ số
12
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Fourier a
0
, a
n
và b
n
như sau:
a
0
=
(f, 1)
||1||
2
=
1
2L
L

−L
f(x)dx
a
n
=


f, cos
nπx
L







cos
nπx
L






2
=
1
L
L

−L
f(x)cos
nπx
L

dx
b
n
=

f, sin
nπx
L







sin
nπx
L






2
=
1
L
L


−L
f(x)sin
nπx
L
dx
1.4.2 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
* Điều kiện Dirichlet để tồn tại chuỗi Fourier
- Hàm f(x) là hàm đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L;
- Hàm f (x) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các
điểm gián đoạn trong khoảng (−L; L) .
* Giả sử khoảng (−L; L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm số f(x).
Chuỗi Fourier xác định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm
f(x), khi đó cho phép khai triển hàm tuần hoàn f(x) xác định ngoài khoảng
Fourier đầy đủ.
* Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.4.1) có thể được thay thế bởi dấu
gần bằng (≈), có nghĩa "tương đương với", bởi vì chuỗi bên phải không
hội tụ thành hàm f (x) đối với mọi giá trị x. Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn
thành hàm f(x) trong khoảng Fourier đầy đủ. Người ta có thể xác định
hàm f (x) là mở rộng của hàm f (x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như
vậy, f(x) là mở rộng tuần hoàn của hàm f(x). −L ≤ x ≤ L có tính chất
f(x + 2L) = f(x) đối với mọi x không phải là hàm tuần hoàn.
* Hàm f(x) được gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số
a
0
, a
n
và b
n
được tính cụ thể. Do đó, có một số hàm không có biểu diễn
chuỗi Fourier. Các hàm này không có xác định ở một hoặc vài điểm trong

khoảng (−L; L).
* Hàm f(x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm x
0
nếu:
f(x
−
0
) = lim
→0,>0
f(x
0
− ) = f(x
+
0
) = lim
→0,>0
f(x
0
+ ).
13
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Nếu f (x) và f

(x) là liên tục từng khúc trong khoảng (−L; L) thì biểu
diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm f (x) tại điểm mà hàm f (x) là liên tục;
- Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng
Fourier đầy đủ;
- Tại điểm x
0

có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi
Fourier của hàm f (x) hội tụ về
1
2

f(x
+
0
) + f(x
−
0
)

là giá trị trung bình của
giới hạn trái và giới hạn phải của bước nhảy gián đoạn.
* Hàm
S
N
(x) = a
0
+
N

n=1

a
n
cos
nπx
L

+ b
n
sin
nπx
L

được gọi là tổng riêng thứ N, nó biểu diễn tổng của N số hạng đầu tiên.
Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm S
N
(x) khi biểu diễn chuỗi Fourier bằng đồ
thị. Hàm f(x) bất kỳ có một bước nhảy gián đoạn thì hàm S
N
(x) có đồ
thị tại lân cận bước nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động.
* Chuỗi có dạng:
a
0
+
∞

n=1

a
n
cos
nπx
L
+ b
n
sin

nπx
L

cũng có thể viết dưới dạng:
a
0
+
∞

n=1
C
n
sin

nπx
L
+ ϕ
n

trong đó: C
n
=

a
2
n
+ b
2
n
được gọi là biên độ, ϕ

n
= arctg

a
n
b
n

được gọi
là pha; số hạng thứ n: C
n
sin

nπx
L
+ ϕ
n

được gọi là dao động điều hòa
thứ n. Dao động điều hòa thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều hòa
cơ bản.
1.4.3 Hàm chẵn, hàm lẻ
Cho hàm f(x) có tập xác định trên D. Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn
nếu với ∀x ∈ D, thì −x ∈ D và f(−x) = f(x). Hàm chẵn đối xứng theo
trục Oy. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ nếu với ∀x ∈ D, thì −x ∈ D và
f(−x) = −f (x). Hàm lẻ đối xứng theo trục Ox.
14
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Một số tính chất của hàm chẵn và hàm lẻ:
* Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì:

L

−L
f(x)dx = 2
L

0
f(x)dx
* Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(−x) = −f (x) thì:
L

−L
f(x)dx = 0
* Tích của hai hàm chẵn là hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm
chẵn, tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn(1.4.1) có dạng:
f(x) =
∞

n=1
b
n
sin
nπx
L
, 0 < x < L
trong đó b
n
=
2

L
L

0
f(x)sin
nπx
L
dx.
- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là:
f(x) = a
0
+
∞

n=1
a
n
cos
nπx
L
, 0 < x < L
trong đó a
0
và a
n
được xác định theo công thức:
a
0
=
1

L
L

0
f(x)dx; a
n
=
2
L
L

0
f(x)cos
nπx
L
dx
1.4.4 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier
*Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác
Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:
f(x) = a
0
+
∞

n=1

a
n
cos
nπx

L
+ b
n
sin
nπx
L

, −L < x < L,
15
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
với các hệ số:
a
0
=
(f, 1)
||1||
2
=
1
2L
L

−L
f(x)dx;
a
n
=

f, cos
nπx

L







cos
nπx
L






2
=
1
L
L

−L
f(x)cos
nπx
L
dx;
b
n

=

f, sin
nπx
L







sin
nπx
L






2
=
1
L
L

−L
f(x)sin
nπx

L
dx
Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:
f(x) =
A
0
2
+
∞

n=1

A
n
cos
nπx
L
+ B
n
sin
nπx
L

, −L < x < L
trong đó:
A
n
=
1
L

L

−L
f(x)cos
nπx
L
dx;
B
n
=
1
L
L

−L
f(x)sin
nπx
L
dx.
Một số trường hợp hàm f(x) xác định trong khoảng α ≤ x ≤ α+2L,với
f(x + 2L) = f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:
f(x) = a
0
+
∞

n=1

a
n

cos
nπx
L
+ b
n
sin
nπx
L

,
với các hệ số được xác định theo công thức:
a
0
=
1
2L
α+2L

α
f(x)dx
a
n
=
1
L
α+2L

α
f(x)cos
nπx

L
dx
b
n
=
1
L
α+2L

α
f(x)sin
nπx
L
dx
16
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng cách đồng nhất thức
Euler:
e
inπx
L
= cos
nπx
L
+ isin
nπx
L
; i
2
= −1

⇒ cos
nπx
L
=
e
inπx
L
+ e
−
inπx
L
2
; sin
nπx
L
=
e
inπx
L
− e
−
inπx
L
2
(1.4.2)
* Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ
Từ (1.4.2) ta có thể khai triển chuỗi Fourier dưới dạng mũ:
f(x) =
A
0

2
+
∞

n=1

A
n
2

e
inπx
L
+ e
−
inπx
L

−
iB
n
2

e
inπx
L
− e
−
inπx
L



=
A
0
2
+
1
2
∞

n=1
(A
n
− iB
n
) e
inπx
L
+
1
2
∞

n=1
(A
n
+ iB
n
) e

−
inπx
L
.
Các hằng số được xác định bởi công thức:
C
0
=
A
0
2
=
1
2L
L

−L
f(x)dx;
C
n
=
1
2
(A
n
− iB
n
) =
1
2L

L

−L

f(x)cos
nπx
L
− if(x)sin
nπx
L

dx
=
1
2L
L

−L
f(x)e
−
inπx
L
dx
C
−n
=
1
2
(A
n

+ iB
n
) =
1
2L
L

−L

f(x)cos
nπx
L
+ if(x)sin
nπx
L

dx
=
1
2L
L

−L
f(x)e
inπx
L
dx
Như vậy
f(x) = C
0

+
∞

n=1
C
n
e
inπx
L
+
∞

n=1
C
−n
e
−
inπx
L
17
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Thay tổng cuối cùng n bằng −n ta có:
f(x) = C
0
+
∞

n=1
C
n

e
inπx
L
+
−∞

n=−1
C
−n
e
inπx
L
Biểu diễn này là dạng phức của chuỗi Fourier:
f(x) =
∞

n=−∞
C
n
e
inπx
L
trong đó C
n
=
1
2L
L

−L

f(x)e
−

inπx
L

dx
1.5 Các hệ tọa độ cong trực giao
1.5.1 Định nghĩa
Giả sử x, y, z là tọa độ Đề-các của một điểm nào đó, x
1
, x
2
, x
3
là tọa độ
của hệ tọa độ cong trực giao cũng của điểm đó. Xét yếu tố khoảng trong
hệ tọa độ Đề- các và hệ tọa độ cong trực giao:
ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
= h
2
1
dx

2
1
+ h
2
2
dx
2
2
+ h
2
3
dx
2
3
,
trong đó: h
i
=


∂x
∂x
i

2
+

∂y
∂x
i


2
+

∂z
∂x
i

2
, i = 1, 2, 3 là các hệ số metric
hay còn được gọi là hệ số Lame
Các hệ tọa độ trực giao được đặc trưng đầy đủ bằng ba hệ số metric
h
1
, h
2
, h
3
. Ta đưa vào vào biểu diễn các toán tử grad, div, rot và toán tử
Laplace ∆ trong các hệ tọa độ cong trực giao khác nhau, dạng tổng quát
của chúng có dạng:
gradu =
3

k=1
1
h
k
∂u
∂x

k
−→
i
k
;
div
−→
A =
1
h
1
h
2
h
3

∂u
∂x
1
(h
2
h
3
A
1
) +
∂u
∂x
2
(h

3
h
1
A
2
) +
∂u
∂x
3
(h
1
h
2
A
3
)

;
rot
−→
A =








h

1
−→
i
1
h
2
−→
i
2
h
3
−→
i
3
∂
∂x
1
∂
∂x
2
∂
∂x
3
h
1
A
1
h
2
A

2
h
3
A
3








;
18
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
∆u =
1
h
1
h
2
h
3

∂
∂x
1

h

2
h
3
h
1
∂
∂x
1

+
∂
∂x
2

h
2
h
3
h
2
∂
∂x
2

+
∂
∂x
3

h

3
h
1
h
3
∂
∂x
3

.
trong đó:
−→
i
1
,
−→
i
2
,
−→
i
3
là vectơ cơ sở có độ dài bằng đơn vị;
−→
A = (A
1
, A
2
, A
3

)
là vectơ tùy ý; u = u(x
1
, x
2
, x
3
) là một hàm vô hướng; A
k
= A
k
(x
1
, x
2
, x
3
),
k = 1, 2, 3.
1.5.2 Hệ tọa độ Đề-các
Các trục tọa độ cong trùng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc:





x
1
= x
x

2
= y
x
3
= z
⇒





h
1
= 1
h
2
= 1
h
3
= 1
Các toán tử grad, div, rot và toán tử ∆ trong hệ tọa độ Đề-các vuông
góc được viết:
gradu =
∂u
∂x
−→
i +
∂u
∂y
−→

j +
∂u
∂z
−→
k ;
div
−→
A =
∂A
x
∂x
+
∂A
y
∂y
+
∂A
z
∂z
;
rot
−→
A =









−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
A
x
A
y
A
z








=

∂A

z
∂y
−
∂A
y
∂z

−→
i +

∂A
x
∂z
−
∂A
y
∂x

−→
j +

∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y

−→

k
∆u =
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
.
trong đó:
−→
i ,
−→
j ,
−→
k là các vector chỉ phương của các trục x, y, z.
1.5.3 Hệ tọa độ trụ
Xét hệ tọa độ cong:






x
1
= r
x
2
= ϕ
x
3
= z
19
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
liên hệ với hệ tọa độ Đề-các bởi các hệ thức:





x = rcoxϕ
y = rsinϕ
z = z
Hệ số metric






h
1
= 1
h
2
= r
h
3
= 1
do đó các toán tử grad, div, rot và toán tử Laplace ∆ trong hệ trụ được
viết:
gradu =
∂u
∂r
−→
i
1
+
∂u
∂ϕ
−→
i
2
+
∂u
∂z
−→
i
3
;

div
−→
A =
1
r
∂
∂r
(rA
1
) +
1
r
∂A
2
∂ϕ
+
∂A
3
∂z
;
rot
−→
A =
1
r









−→
i
1
r
−→
i
2
−→
i
3
∂
∂r
∂
∂ϕ
∂
∂z
A
1
rA
2
A
3









=

1
r
∂A
3
∂ϕ
−
∂A
2
∂z

−→
i
1
+

∂A
1
∂z
−
∂A
3
∂r

−→
i

2
+

1
r
∂
∂r
(rA
2
) −
1
r
∂A
1
∂ϕ

−→
i
3
;
∆u =
1
r
∂
∂r

r
∂u
∂r


+
1
r
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+
∂
2
u
∂z
2
.
1.5.4 Hệ tọa độ cầu
Xét hệ tọa độ cong:





x
1
= r
x
2
= θ
x

3
= ϕ
liên hệ với hệ tọa độ Đề-các bởi các hệ thức:





x = rsinθcoxϕ
y = rsinθsinϕ
z = rcosθ
20
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Hệ số Metric:





h
1
= 1
h
2
= r
h
3
= rsinθ
do đó các toán tử grad, div, rot và toán tử Laplace∆ trong hệ tọa độ trụ
được viết:

gradu =
∂u
∂r
−→
i
1
+
1
r
∂u
∂θ
−→
i
2
+
1
rsinθ
∂u
∂ϕ
−→
i
3
;
div
−→
A =
1
r
2
∂

∂r
(r
2
A
1
) +
1
rsinθ
∂
∂θ
(sinθA
2
) + rsinθ
1
∂A
3
∂ϕ
;
rot
−→
A =
1
r
2
sinθ









−→
i
1
r
−→
i
2
rsinθ
−→
i
3
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂ϕ
A
1
rA
2
rsinθA
3









=
=
1
rsinθ

∂
∂θ
(A
3
sinθ)−
∂A
2
∂ϕ

−→
i
1
+
1
r

1
sinθ
∂A
1
∂ϕ

−
∂
∂r
(rA
3
)

−→
i
2
+
1
r

∂
∂r
(rA
2
)−
∂A
2
∂θ

−→
i
3
;
∆u =
1
r

2
∂
∂r

r
2
∂u
∂r

+
1
r
2
sinθ
∂
∂θ

sinθ
∂u
∂θ

+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2

u
∂ϕ
2
.
21
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
2.1 Mở đầu về phương trình parabolic
Ta xét phương trình truyền nhiệt sau:
∂u
∂t
= ∆u + f(x, t), u = u(x, t), (x, t) ∈ Q ⊂ R
n
× (0, +∞)
Đối với phương trình parabolic, người ta thường đặt vấn đề nghiên cứu
bài toán Cauchy và bài toán biên. Ta xét bài toán Cauchy của phương
trình truyền nhiệt sau:
Tìm hàm u liên tục và giới nội khi t ≥ 0, thỏa mãn phương trình truyền
nhiệt:
∂u
∂t
= ∆u + f(x, t), u = u(x, t), (x, t) ∈ Q ⊂ R
n
× (0, +∞) (2.1.1)
và khi t = 0 trùng với một hàm liên tục và giới nội ϕ(x) cho trước:
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ R
n
(2.1.2)
Giả sử Ω ⊂ R
n

là một miền. Đặt
Q
T
= Ω × (0, T)
S
T
= ∂Ω × (0, T)
Điều kiện biên Dirichlet hay điều kiện biên ban đầu thứ nhất đối với
phương trình truyền nhiệt đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của
miền, tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Điều kiện có dạng:
u



S
T
= ψ(x, t)
22
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
trong đó ψ là nhiệt độ đã được xác định.
Điều kiện biên Neumann hay điều kiện biên thứ hai đối với phương
trình truyền nhiệt đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên
biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Điều kiện
biên này có dạng:
∂u
∂n



S

T
= gradu
−→
n



S
T
= ψ(x, t)
trong đó ψ là dòng nhiệt đã được xác định.
Chú ý đối với biên đã được cách nhiệt (hay không cho dòng nhiệt đi
qua) thì:
∂u
∂n



S
T
= gradu
−→
n



S
T
= 0
Điều kiện biên Robin hay điều kiện biên loại ba đối với phương trình

truyền nhiệt đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệt độ trao đổi với môi
trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương
trình truyền nhiệt giải được. Điều kiện biên có dạng:
∂u
∂n
+ hu



S
T
= ψ(x, t)
trong đó: h > 0 là hằng số, ψ là dòng nhiệt đã được xác định.
Chú ý rằng, dòng nhiệt trao đổi với môi trường xung quanh phụ thuộc
vào nhiệt độ của môi trường.
Điều kiện biên hỗn hợp Là kết hợp của các điều kiện biên loại một và
loại hai. Có dạng:
u



S
T
= ψ(x, t)
∂u
∂n



S

T
= gradu
−→
n



S
T
= 0
2.2 Phương pháp Fourier để giải phương trình parabolic
Phương pháp Fourier nhằm xây dựng một nghiệm của các phương trình
đạo hàm riêng cho trước thông qua các hàm có ít biến số hơn. Nói cách
khác ta có thể dự đoán nghiệm đó có thể được viết dưới dạng tổng hoặc
tích của các hàm số có ít biến số hơn và tách nhau, thay nó vào phương
trình đạo hàm riêng đã cho để tìm các hàm số đó, đảm bảo nghiệm thỏa
mãn các điều kiện của phương trình đạo hàm riêng đã cho.
23
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Phương pháp này sẽ được áp dụng cụ thể trong việc giải bài toán
Cauchy với phương trình parabolic và các bài toán hỗn hợp ở phần sau.
2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình parabolic
Xét bài toán Cauchy thuần nhất:
u
t
− a
2
u
xx
= 0, (x, t) ∈ R × (0, +∞) (2.3.1)

u(x, 0) = g(x), x ∈ R (2.3.2)
Ta đi tìm nghiệm của bài toán (2.3.1 - 2.3.2) bằng phương pháp tách
biến như sau:
u(x, t) = X(x)T (t)
Thay vào phương trình (2.3.1) ta được:
T

(t)
a
2
T (t)
=
X

(x)
X(x)
= −µ
Do đó ta có hệ:

T

(t) + a
2
µT (t) = 0,
X

(x) + µX(x) = 0
Vì nghiệm giới nội nên µ > 0, ta đặt µ = λ
2
. Thay vào hệ phương trình

ta được:

T

(t) + a
2
λ
2
T (t) = 0,
X

(x) + λ
2
X(x) = 0
Từ đó
T (t) = e
−a
2
λ
2
t
,
X(x) = Acosλx + Bsinλx
Vậy nghiệm của phương trình có dạng:
u
λ
(x, t) = e
−a
2
λ

2
t

Acosλx + Bsinλx

Tích phân theo λ ta được:
u(x, t) =
+∞

−∞
e
−a
2
λ
2
t

Acosλx + Bsinλx

dλ
24
Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang
Giả sử g(x) có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier như sau:
g(x) =
1
2π
+∞

−∞
dλ

+∞

−∞
g(ξ)cosλ(ξ − x)dξ
=
1
2π
+∞

−∞

cosλx
+∞

−∞
g(ξ)cosλξdξ + sinλx
+∞

−∞
g(ξ)sinλξdξ

dλ
Do u(x, 0) = g(x) nên:
A(λ) =
1
2π
+∞

−∞
g(ξ)cosλξdξ

B(λ) =
1
2π
+∞

−∞
g(ξ)sinλξdξ
Từ đó:
u(x, t) =
1
2π
+∞

−∞
dλ
+∞

−∞
g(ξ)e
−a
2
λ
2
t
cosλ(ξ − x)dξ
=
1
π
+∞


0
dλ
+∞

−∞
g(ξ)e
−a
2
λ
2
t
cosλ(ξ − x)dξ
Do
+∞

−∞
g(ξ)e
−a
2
λ
2
t
cosλβdλ =
√
π
α
e
−
β
2

4α
2
nên:
u(x, t) =
1
2a
√
πt
+∞

−∞
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
g(ξ)dξ
(Công thức Poisson đối với bài toán Cauchy)
Đặt:
F (ξ, τ, x, t) =





1
2a


π(t − τ)
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
(t−τ )
, với t < τ
0 , với t ≥ τ .
25