Hình học trên các mặt phẳng Minkowski với chuẩn Max.: Khóa luận toán học

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
LÊ THỊ LONG
HÌNH HỌC TRÊN MẶT PHẲNG
MINKOWSKI VỚI CHUẨN “MAX”
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Bộ môn: Hình học
Cán bộ hướng dẫn
PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
Huế, tháng 5 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường Đại học Sư phạm Huế,
được sự dìu dắt của quý thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được khá nhiều kiến thức hữu ích
về chuyên môn cũng như nghiệp vụ. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả
quan trọng của cả quá trình học tập và rèn luyện.
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của Thầy giáo, PGS.
TS. Đoàn Thế Hiếu. Tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Toán
B khóa 2007 - 2011 của trường ĐHSP Huế, đặc biệt là các thầy cô trong khoa
Toán đã giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập
và thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và lòng biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè và
những người đã quan tâm động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Huế, tháng 5 năm 2011
Lê Thị Long
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii

Mục lục 1
Mở đầu 2
1 Mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. 3
1.1 Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Độ dài, diện tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Các lục giác đều nội tiếp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Các tập đặc biệt: Tập có độ rộng hằng, tập đều, tập có dây cung đều. 15
1.5 Một vài mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt. . . . . . . . . . . 19
2 Một số bài toán cực trị trên mặt phẳng Minkowski với chuẩn
“max”. 21
2.1 Bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Bài toán Đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. . . 26
2.3 Bài toán Fermat - Torricelli trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn
“max”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
1
MỞ ĐẦU
Mặt phẳng Minkowski là hình học phi Euclid trong không gian 2 chiều. Trong
mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, khoảng cách được tính khác với khoảng
cách trong mặt phẳng Euclid. Từ đó, dẫn đến nghiệm của cùng bài toán trong mặt
phẳng Minkowski với chuẩn “max” khác với trong mặt phẳng Euclid. Trong đề tài
này chúng tôi đi sâu tìm hiểu các tính chất của mặt phẳng Minkowski với chuẩn
“max”, đặc biệt là bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm và bài toán Fermat.
Nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm trong mặt phẳng Minkowski với
chuẩn “max” không còn là duy nhất như trong mặt phẳng Euclid. Nghiệm của bài
toán này là đường thẳng, đường gấp khúc và đường cong lồi nào đó.
Bài toán Fermat-Torricelli yêu cầu tìm điểm x làm cực tiểu tổng khoảng cách đến
n điểm bất kỳ x
1

, x
2
, , x
n
. Đây là bài toán cổ điển trong mặt phẳng Euclid phẳng,
ở luận văn này chúng tôi sẽ đi tìm hiểu bài toán này trong mặt phẳng Minkowski
với chuẩn “max”. Nội dung của luận văn gồm 2 chương.
Chương 1 tìm hiểu độ dài, diện tích, tập có độ rộng hằng, tập đều, tập có dây cung
đều trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”.
Chương 2 tìm hiểu bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm, bài toán đẳng chu, bài
toán Fermat-Torricelli.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng trong việc trình bày, luận văn vẫn không thể
tránh những thiếu sót, chúng tôi mong rất mong được sự đóng góp để luận văn được
hoàn thiện hơn.
2
Chương 1
Mặt phẳng Minkowski với chuẩn
“max”.
1.1 Kiến thức chuẩn bị.
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm được sử dụng trong mặt
phẳng Minkowski.
Xét X là không gian véc tơ thực có số chiều là n.
Định nghĩa 1.1.1. Cho K là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ X.
Tập K được gọi là lồi nếu αx + (1 − α)y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀α ∈ [0, 1].
Với x, y ∈ X, ta định nghĩa:
[x, y] = {αx + (1 − α)y | α ∈ [0, 1]};
[x, y = {αx + (1 − α)y | α ≤ 1};
x, y = {αx + (1 − α)y | α ∈ R};
lần lượt được gọi là đoạn thẳng nối x và y, tia gốc x và đi qua y, đường thẳng đi
qua x và y.

Không gian định chuẩn thực hữu hạn chiều còn được gọi là không gian Minkowski.
Không gian Minkowski 2 chiều được gọi là mặt phẳng Minkowski.
Xét không gian Minkowski X, ∀x = (a
1
, a
2
, , a
n
) ∈ X với chuẩn của x có giá trị
bằng max{|a
1
|, |a
2
|, , |a
n
|}, được gọi là chuẩn max. Chuẩn “max” được ký hiệu là
.
∞
.
Ta gọi tập B[x, r] = {y ∈ X : y − x
∞
≤ r} là hình tròn tâm x bán kính r. Khi
đó, B[O, 1] được gọi là hình tròn đơn vị tâm O(0, 0) và tập điểm ∂B = {x ∈ B :
3
x
∞
= 1} được gọi là đường tròn đơn vị tâm O(0, 0).
Nhận xét 1.1.2. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị
tâm O(0, 0) chính là hình vuông đơn vị trong mặt phẳng Euclid.
Hình 1.1: Hình tròn đơn vị.

1.2 Độ dài, diện tích.
1.2.1 Độ dài.
Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm hiểu về cách tính độ dài đường cong trong mặt
phẳng Minkowski với chuẩn “max”.
Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ :
ϕ :I → R
2
t → ϕ(t),
với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở, nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc
cả toàn bộ đường thẳng thực ). Gọi c = ϕ(I) ⊂ R
2
, ảnh của bộ tập I. Khi đó (c, ϕ)
là một đường tham số với tham số hóa ϕ và tham số t.
Đường cong c = {x : x = ϕ(t), t ∈ [a, b]} được gọi là đường cong đơn, đóng nếu hàm
ϕ(t) liên tục trên [a, b] và ϕ(a) = ϕ(b).
Định nghĩa 1.2.2. Một đường cong đơn, đóng được gọi là lồi nếu nó bao một tập
lồi.
Một đường cong c từ x
0
đến x
1
được gọi là lồi nếu c ∪ [x
0
, x
1
] là đường cong đơn,
đóng, lồi.
4
Ví dụ 1.2.3.
1. [x

1
, x
2
] = {x(t)|x(t) = (1 −t)x
1
+ tx
2
, t ∈ [0, 1]} là đoạn thẳng từ x
1
đến x
2
.
2. Hợp hữu hạn các đoạn thẳng kề nhau [x
1
, x
2
] ∪[x
2
, x
3
] ∪ ∪[x
n−1
, x
n
] cũng là
một đường cong và ta gọi là đường gấp khúc, được kí hiệu [x
1
, x
2
, , x

n
]. Khi
đó x
i
, [x
i−1
, x
i
] lần lượt được gọi là đỉnh và cạnh của đường gấp khúc.
3. Hai đường cong c
1
và c
2
mà điểm cuối của c
1
trùng với điểm đầu của c
2
thì tạo
thành một đường cong mới c
1
∪ c
2
.
Định nghĩa 1.2.4. Chiều dài của đường gấp khúc P = [x
0
, x
1
, , x
n
] là

µ(P ) =
n

i=1
x
i
− x
i−1

∞
.
Cho đường cong c = {x : x = ϕ(t), α ≤ t ≤ β} và α = t
0
< t
1
< < t
n
= β là một
phân hoạch của [α, β], ta định nghĩa chiều dài của đường cong c như sau:
Định nghĩa 1.2.5. Chiều dài của đường cong c, kí hiệu µ(c) được xác định
µ(c) = sup{

n
i=1
ϕ(t
i
) −ϕ(t
i−1
)
∞

: {t
0
, t
1
, , t
n
} là một phân hoạch của [α, β]}.
Nhận xét 1.2.6. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị
tâm O(0, 0) chính là hình vuông đơn vị trong mặt phẳng Euclid nên µ(∂B) = 8.
Bổ đề 1.2.7. Cho 3 điểm x
1
, x
2
, x
3
phân biệt trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn
“max” (X, .
∞
), khi đó ta có
x
1
− x
3

∞
≤ x
1
− x
2


∞
+ x
2
− x
3

∞
.
Chứng minh. Giả sử x
1
(a
1
, b
1
), x
2
(a
2
, b
2
), x
3
(a
3
, b
3
) là ba điểm bất kỳ nằm trong
mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”. Ta có:
x
1

− x
3

∞
= max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3
|};
x
1
− x
2

∞
= max{|a
1
− a
2
|, |b
1
− b
2
|};
x
2

− x
3

∞
= max{|a
2
− a
3
|, |b
2
− b
3
|}.
Ta lần lượt xét các trường hợp có thể xảy ra
• TH1:
5
Hình 1.2: Ba điểm bất kỳ.





x
1
− x
2

∞
= |a
1

− a
2
|
x
2
− x
3

∞
= |a
2
− a
3
|
⇒





|a
1
− a
2
| ≥ |b
1
− b
2
|
|a

2
− a
3
| ≥ |b
2
− b
3
|
⇒ |a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |b
1
− b
2
| + |b
2
− b
3
| ≥ |b
1
− b
3
|. (1)
Mặt khác |a

1
− a
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |a
1
− a
3
|. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
|a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3
|}

⇒x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x
3

∞
≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3
|}
⇒x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x

3

∞
≥ x
1
− x
3

∞
.
• TH2:





x
1
− x
2

∞
= |a
1
− a
2
|
x
2
− x

3

∞
= |b
2
− b
3
|
⇒





|a
1
− a
2
| ≥ |b
1
− b
2
|
|b
2
− b
3
| ≥ |a
2
− a

3
|
⇒





|a
1
− a
2
| + |b
2
− b
3
| ≥ |b
1
− b
2
| + |b
2
− b
3
|
|a
1
− a
2
| + |b

2
− b
3
| ≥ |a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
|
⇒





|a
1
− a
2
| + |b
2
− b
3
| ≥ |b
1
− b
3

|
|a
1
− a
2
| + |b
2
− b
3
| ≥ |a
1
− a
3
|
⇒ |a
1
− a
2
| + |b
2
− b
3
| ≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3

|}
⇒ x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x
3

∞
≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3
|}
⇒ x
1
− x
2

∞
+ x
2

− x
3

∞
≥ x
1
− x
3

∞
.
• TH3:
6





x
1
− x
2

∞
= |b
1
− b
2
|
x

2
− x
3

∞
= |a
2
− a
3
|
⇒





|b
1
− b
2
| ≥ |a
1
− a
2
|
|a
2
− a
3
| ≥ |b

2
− b
3
|
⇒





|b
1
− b
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
|
|b
1
− b

2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |b
1
− b
2
| + |b
2
− b
3
|
⇒





|b
1
− b
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |a
1

− a
3
|
|b
1
− b
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |b
1
− b
3
|
⇒ |b
1
− b
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1

− b
3
|}
⇒ x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x
3

∞
≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3
|}
⇒ x
1
− x
2

∞

+ x
2
− x
3

∞
≥ x
1
− x
3

∞
.
• TH4:





x
1
− x
2

∞
= |b
1
− b
2
|

x
2
− x
3

∞
= |b
2
− b
3
|
⇒





|b
1
− b
2
| ≥ |a
1
− a
2
|
|b
2
− b
3

| ≥ |a
2
− a
3
|
⇒ |b
1
− b
2
| + |b
2
− b
3
| ≥ |a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
| ≥ |a
1
− a
3
|. (3)
Mặt khác |b
1
− b
2

| + |b
2
− b
3
| ≥ |b
1
− b
3
|. (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra
x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x
3

∞
≥ max{|a
1
− a
3
|, |b
1
− b
3

|}
⇒x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x
3

∞
≥ x
1
− x
3

∞
.
Vậy với 3 điểm phân biệt, ta luôn có bất đẳng thức tam giác
x
1
− x
2

∞
+ x
2
− x

3

∞
≥ x
1
− x
3

∞
.
Định nghĩa 1.2.8. Cho c
1
là đường cong nối từ x đến y.
Đường cong c
2
được gọi là nằm trong c
1
nếu mọi điểm nằm trên đường cong c
2
đều
thuộc miền bao bởi đoạn thẳng [x, y] và đường cong c
1
.
Định nghĩa 1.2.9. Cho c là một đường cong lồi từ x đến y.
Một đường gấp khúc lồi P từ x đến y được gọi là nội tiếp c nếu mỗi đỉnh của P đều
thuộc c.
Một đường gấp khúc lồi P

từ x đến y được gọi là ngoại tiếp c nếu c nằm trong P


và mỗi cạnh của P

đều tiếp xúc với c.
Nhận xét 1.2.10. Nếu c là đường cong lồi từ x đến y, P là đường gấp khúc nội
tiếp đường cong c từ x đến y. Khi đó µ(P ) ≤ µ(c).
7
Hình 1.3: Đường gấp khúc nội tiếp.
Bổ đề 1.2.11. Nếu P = [x
0
, x
1
, , x
n
] là đường gấp khúc lồi từ x
0
đến x
n
và nằm
trong [x
0
, y, x
n
] thì
n

i=1
x
i
− x
i−1


∞
≤ y − x
0

∞
+ x
n
− y
∞
. (∗)
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh mệnh đề này bằng qui nạp. Với n = 1, bất đẳng
thức (∗) đúng.
Giả sử bất đẳng thức (∗) đúng với n = k. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (∗) cũng
đúng với n = k + 1.
Thật vậy, với n = k + 1, cho tia [x
k+1
, x
k
 cắt [x
0
, y] tại m. Khi đó, ta có
Hình 1.4:
k+1

i=1
x
i
− x
i−1


∞
=
k

i=1
x
i
− x
i−1

∞
+ x
k+1
− x
k

∞
≤m −x
0

∞
+ x
k
− m
∞
+ x
k+1
− x
k


∞
(giả thiết qui nạp)
≤m −x
0

∞
+ x
k+1
− m
∞
≤m −x
0

∞
+ y −m
∞
+ y −x
k+1

∞
≤y − x
0

∞
+ y −x
k+1

∞
.

Mệnh đề 1.2.12. Nếu c là đường cong lồi từ x
0
đến x
n
và nằm trong [x
0
, y, x
n
] thì
µ(c) ≤ y − x
0

∞
+ x
n
− y
∞
.
8
Hình 1.5:
Chứng minh. Ta có c = {x : x = ϕ(t), α ≤ t ≤ β}.
µ(c) = sup{

n
i=1
ϕ(t
i
) −ϕ(t
i−1
)

∞
: {t
0
, t
1
, , t
n
} là một phân hoạch của [α, β]}.
Vì đường cong c nằm trong [x
0
, y, x
n
], c lồi nên [ϕ(t
1
), ϕ(t
2
), , ϕ(t
n
)] nằm trong
[x
0
, y, x
n
] với mọi phân hoạch {t
0
, t
1
, , t
n
} của [α, β], do đó theo Bổ đề 1.2.9 ta có


n
i=1
ϕ(t
i
) −ϕ(t
i−1
)
∞
≤ y − x
0

∞
+ x
n
− y
∞
.
⇒ sup
{t
0
, ,t
n
} là phân hoạch của [α,β]
{

n
i=1
ϕ(t
i

)−ϕ(t
i−1
)
∞
} ≤ y −x
0

∞
+x
n
−y
∞
.
⇒ µ(c) ≤ y −x
0

∞
+ x
n
− y
∞
.
Định lý 1.2.13. Nếu c là đường cong lồi từ x đến y, P
2
là đường gấp khúc ngoại
tiếp c từ x đến y, khi đó µ(c) ≤ µ(P
2
).
Hình 1.6: Đường gấp khúc ngoại tiếp.
Chứng minh. Giả sử P

2
= [x
0
, x
1
, , x
n
] là đường gấp khúc ngoại tiếp c, x

j
là các
điểm chung của c và P
2
, ∀j = 0, n.
Ta gọi x
0
= x = x

0
, x
n
= y = x

n
, x

i
= [x
i
, x

i+1
] ∩c, ∀i = 1, n − 1.
Khi đó x

i
− x
i

∞
+ x
i+1
− x

i

∞
= x
i+1
− x
i

∞
, ∀i = 1, n − 1. (∗)
Gọi c(x

i
, x

i+1
) là phần đường cong từ x


i
đến x

i+1
, ∀i = 1, n −1. Khi đó, theo Bổ
đề 1.2.10 ta có
µ(c(x

i
, x

i+1
)) ≤ x
i+1
− x

i

∞
+ x

i+1
− x
i+1

∞
.
9
⇒


n−1
i=0
µ(c(x

i
, x

i+1
)) ≤

n−1
i=0
(x
i+1
− x

i

∞
+ x

i+1
− x
i+1

∞
). (I)
Mặt khác, ta có


n−1
i=0
µ(c(x

i
, x

i+1
)) = µ(c), (II)

n−1
i=0
(x
i+1
− x

i

∞
+ x

i+1
− x
i+1

∞
)
= (x
1
− x


0

∞
+ x

1
− x
1

∞
) + ··· + (x
n
− x

n−1

∞
+ x

n
− x
n

∞
)
= x
1
− x


0

∞
+ (x

1
− x
1

∞
+ x
2
− x

1

∞
) +
··· + (x

n−1
− x
n−1

∞
+ x
n
− x

n−1


∞
) + x

n
− x
n

∞
= x
1
− x
0

∞
+ x
2
− x
1

∞
+ ···+ x
n
− x
n−1

∞
(do (∗))
= µ(P
2

). (III)
Từ (I), (II), (III) suy ra µ(c) ≤ µ(P
2
).
Từ kết quả của Bổ đề 1.2.11 và Định lý 1.2.13 ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.14. Nếu c
1
và c
2
là đường cong lồi từ x đến y, với c
1
nằm trong c
2
thì µ(c
1
) ≤ µ(c
2
).
1.2.2 Diện tích.
Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, diện tích bao bởi đường cong đơn,
đóng nào đó cũng được xác định tương tự như trong mặt phẳng Euclid.
Khi chúng ta nói đến diện tích bao bởi đường cong đơn, đóng là ta nói đến diện tích
miền trong.
Chúng ta sẽ giả sử rằng tham số hóa của đường tham số được chọn sao cho nếu di
chuyển dọc đường cong theo chiều tăng của tham số thì phần trong luôn nằm về
phía bên trái. Các đường tham số như thế được gọi là định hướng dương.
Bổ đề 1.2.15. Giả sử c : [α, β] → R
2
, c(t) = (x(t), y(t)) là đường tham số đơn,
đóng với định hướng dương, A là diện tích miền trong của c. Khi đó

A =

β
α
x(t).y

(t)dt
= −

β
α
y(t).x

(t)dt
=
1
2

β
α
[x(t).y

(t) −x

(t).y(t)]dt.
10
Chứng minh. Ta có

β
α

(x.y)

dt =

β
α
(x

.y + x.y

)dt
=

β
α
x

.ydt +

β
α
x.y

dt
⇒ A =

β
α
x.y


dt =

β
α
(x.y)

dt −

β
α
x

.ydt
=xy(β) −xy(α) −

β
α
x

.ydt
= −

β
α
x

.ydt.
⇒ 2A =

β

α
x.y

dt−

β
α
x

.ydt
⇒ A =
1
2

β
α
[x(t).y

(t) −x

(t).y(t)]dt.
Nhận xét 1.2.16. Trong mặt phẳng Euclid, hình tròn đơn vị có diện tích bằng π
nhưng trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị có diện tích
bằng 4.
Diện tích của tam giác đều đơn vị trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” có
thể khác
√
3
4
.

Ví dụ 1.2.17. Cho tam giác đều có các đỉnh M(
2
3
, 0), N(1, 0), P (0, 1). Khi đó, diện
tích của MNP bằng
1
2
(Hình 1.7).
Hình 1.7: Diện tích tam giác.
11
1.3 Các lục giác đều nội tiếp affine.
Định lý 1.3.1. Nếu (X, .
∞
) là mặt phẳng Minkowski, x
0
∈ X thì tồn tại x
1
, x
2
trong X sao cho x
i
− x
j

∞
= 1, ∀i = j, i, j ∈ {0, 1, 2}.
Hình 1.8:
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử x
0
= 0. Lấy x

1
là điểm thuộc đường
tròn ∂B = {x ∈ X : x
∞
= 1}.
Xét hình tròn B[x
1
, 1] = {x ∈ X : x −x
1

∞
≤ 1} là hình tròn tâm x
1
bán kính 1.
Khi đó, hình tròn tâm x
1
bán kính 1 sẽ đi qua điểm x
0
nằm trong ∂B và đi qua
điểm 2x
1
nằm ngoài ∂B. Do đó, hình tròn sẽ cắt đường tròn đơn vị tâm x
0
tại điểm
x
2
. Vậy luôn tồn tại x
1
, x
2

thõa mãn điều kiện bài toán.
Nhận xét 1.3.2.
1. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, luôn tồn tại các điểm x
1
, x
2
thõa
mãn x
i
− x
j

∞
= 1, ∀i = j, i, j ∈ {0, 1, 2} nhưng các điểm x
1
, x
2
không duy
nhất.
2. Từ định lý này ta sẽ dựng được lục giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị với các
đỉnh là x
1
, x
2
, x
2
− x
1
, −x
1

, −x
2
, x
1
− x
2
.
12
Hình 1.9: Lục giác đều nội tiếp.
Mệnh đề 1.3.3. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”,
inf{x + y
∞
: x
∞
≥ 1, y
∞
≥ 1, x − y
∞
≤ 1} ≤
√
3 (I)
sup{x + y
∞
: x
∞
≤ 1, y
∞
≤ 1, x − y
∞
≥ 1} ≥

√
3. (II)
Chứng minh. Xét lục giác đều x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
nội tiếp hình tròn đơn vị tâm O(0, 0),
trong đó x
0

∞
= 1, x
1

∞
= 1, x
i
− x
i−1

∞
= 1, i = 1, 5.

Ta đặt y
i
=
1
√
3
(x
i
+ x
i+1
), i = 1, 5 (qui ước x
6
= x
0
, x
7
= x
1
).
Hình 1.10: Lục giác đều nội tiếp.
Lúc đó, ta có:
y
i+1
=
1
√
3
(x
i+1
+ x

i+2
) =
1
√
3
(x
i+1
− x
i−1
) =
1
√
3
(x
i+1
+ x
i
− x
i−1
− x
i
).
13
=
1
√
3
(x
i
+ x

i+1
) −
1
√
3
(x
i
+ x
i−1
) = y
i
− y
i−1
.
y
i
+ y
i−1
=
1
√
3
(x
i+1
+ x
i
+ x
i−1
+ x
i

) =
1
√
3
(2x
i
+ x
i+1
+ x
i−1
) =
1
√
3
(3x
i
) =
√
3x
i
.
⇒ x
i
=
1
√
3
(y
i
+ y

i−1
).
∗ Nếu x
i
+ x
i+1
 ≤
√
3 thì
inf{x + y
∞
: x
∞
≥ 1, y
∞
≥ 1, x − y
∞
≤ 1} ≤ x
i
+ x
i+1
 ≤
√
3.
∗ Nếu x
i
+ x
i+1

∞

>
√
3 thì y
i

∞
> 1, ∀i = 0, 4.
Chọn i
0
∈ {0, 1, 2, 3, 4} sao cho y
i
0

∞
= min
{i=0, ,4}
y
i

∞
.
Đặt x =
y
i
0
−1
y
i
0


∞
, y =
y
i
0
−2
y
i
0

∞
, Khi đó, ta có
x
∞
≥ 1, y
∞
≥ 1.
x −y
∞
=
y
i
0
−1
− y
i
0
−2

∞

y
i
0

∞
=
y
i
0

∞
y
i
0

∞
= 1.
⇒ x + y
∞
∈ {x + y
∞
: x
∞
≥ 1, y
∞
≥ 1, x − y
∞
≤ 1}.
Mặt khác x + y
∞

=
y
i
0
−1
+ y
i
0
−2

∞
y
i
0

∞
=
√
3
x
i
0
− 1
∞
y
i
0

∞
<

√
3.
⇒ inf{x + y
∞
: x
∞
≥ 1, y
∞
≥ 1, x − y
∞
≤ 1} ≤ x + y
∞
<
√
3.
Vậy inf{x + y
∞
: x
∞
≥ 1, y
∞
≥ 1, x − y
∞
≤ 1} ≤
√
3.
Tương tự chứng minh được (II).
Hệ quả 1.3.4. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”,
inf{x + y
∞

: x
∞
= 1, y
∞
= 1, x − y
∞
= 1} =
√
3,
sup{x + y
∞
: x
∞
= 1, y
∞
= 1, x − y
∞
= 1} =
√
3.
Nhận xét 1.3.5. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, độ dài đường trung
tuyến của tam giác đều đơn vị có thể khác
√
3
2
.
Ví dụ 1.3.6. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, .
∞
), tam giác đều
đơn vị OMN có độ dài các đường trung tuyến OK, NH lần lượt bằng

1
2
và bằng 1.
14
Hình 1.11: Trung tuyến.
1.4 Các tập đặc biệt: Tập có độ rộng hằng, tập đều,
tập có dây cung đều.
1.4.1 Tập có độ rộng hằng.
(X, .) là mặt phẳng Minkowski với chuẩn thông thường. (X, .
∞
) là mặt phẳng
Minkowski với chuẩn “max”.
Định nghĩa 1.4.1. Cho K là một tập lồi trong X. Độ rộng của tập lồi K theo
phương
−→
v , ký hiệu ω(K,
−→
v ) được xác định bởi
ω(K,
−→
v ) = max{µ([M, N])}.
Trong đó M, N là các giao điểm của đường thẳng có phương
−→
v với tập lồi K.
Độ rộng của tập lồi K là độ rộng theo phương lớn nhất.
Định nghĩa 1.4.2. Một tập lồi K có độ rộng hằng nếu với mọi phương
−→
v độ rộng
của tập lồi K không đổi.
Ví dụ 1.4.3. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, .

∞
), độ rộng
Minkowski của tam giác OMN theo phương
−→
v (1, 1) bằng
1
2
, trong đó O(0, 0),
M(1, 0), N(0, 1).
Ví dụ 1.4.4. Hình tròn bán kính r có độ rộng hằng bằng 2r.
Ví dụ 1.4.5. Cho mặt phẳng Minkowski (X, .), tam giác Reuleaux có độ rộng
hằng. Trong đó, tam giác Reuleaux được xây dựng như sau:
Xét tam giác đều Ox
1
x
2
với x
1
 = x
2
 = x
1
−x
2
 = 1. Trên cạnh x
1
x
2
lấy cung
15

Hình 1.12: Độ rộng của tam giác OMN theo phương.
x
1
x
2
của hình tròn đơn vị tâm O(0, 0). Trên cạnh Ox
2
lấy ảnh tịnh tiến của cung
(−x
1
)(x
2
− x
1
), trên cạnh Ox
1
lấy ảnh tịnh tiến cung (−x
2
)(x
1
− x
2
). Miền lồi thu
được chính là tam giác Reuleaux. Ta ký hiệu là R.
Hình 1.13: Tam giác Reuleaux trong mặt phẳng (X, .).
Nhận xét 1.4.6. Tam giác Reuleaux độ rộng hằng 2 trong mặt phẳng Minkowski
với chuẩn thông thường (X, .) tương ứng với hình tròn bán kính 1 trong mặt
phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, .
∞
).

1.4.2 Tập đều.
Định nghĩa 1.4.7. Một tập con S trong không gian tuyến tính thực n-chiều X
được gọi là tập antipodal nếu mỗi cặp điểm p, q ∈ S tồn tại hai siêu phẳng tựa song
song phân biệt P, Q sao cho p ∈ P, q ∈ Q.
Định nghĩa 1.4.8. Một tập con S của không gian Minkowski với chuẩn “max”
(X, .
∞
) được gọi là tập đều nếu mọi cặp điểm của S có cùng khoảng cách.
16
Hình 1.14: Tam giác Reuleaux trong mặt phẳng (X, .
∞
).
Nhà toán học Petty và Scotlan đã chỉ ra tập đều là tập antipodal, Danzer và
Grunbaum đã kết luận rằng trong không gian tuyến tính thực n-chiều một tập
antipodal có nhiều nhất 2
n
phần tử. Do đó ta có định lý sau:
Định lý 1.4.9. Nếu S là tập các điểm trong không gian Minkowski n-chiều thõa
mãn x −x

 = c, ∀x, x

∈ S(x = x

) thì số phần tử của S không vượt quá 2
n
phần
tử. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi mọi phần tử của S là các đỉnh của hình hộp.
Ví dụ 1.4.10.
1. Cho tập con S = {M

1
(x, y), M
2
(−x, y), M
3
(x, −y), M
4
(−x, −y)}.
Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, tập S là tập đều nhưng trong
mặt phẳng Euclid, tập con S không phải là tập đều.
Hình 1.15: Tập đều trong mặt phẳng (X, .
∞
).
2. Tập các đỉnh của tam giác đều là tập đều.
17
1.4.3 Tập có dây cung đều.
Định nghĩa 1.4.11. Cho K là một tập lồi, x ∈ K được gọi là điểm equichordal
nếu mọi đường thẳng l đi qua x sao cho các đoạn thẳng giao bởi l với tập lồi K có
chiều dài không đổi.
Định nghĩa 1.4.12. Tập lồi K có điểm equichordal được gọi là tập có dây cung
đều.
Ví dụ 1.4.13. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, xét tập lồi K có các
biên là các đoạn thẳng y = 3, y = −1 và hai đường cong có phương trình lần lượt là
x
2
− xy + 2x − 4y = 0, x
2
+ xy −2x − 4y = 0.
Hình 1.16: Tập có dây cung đều.
Ta xét d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0), phương trình của d sẽ có

dạng x = 0 hoặc y = mx.
T H
1
: Đường thẳng d có phương trình dạng x = 0.
Rõ ràng, đường thẳng x = 0 giao với tập lồi K tại các giao điểm M(0, 3), N(0, −1)
nằm trên biên y = 3, y = −1 và độ dài |MN| = 4.
T H
2
: Đường thẳng d có phương trình dạng y = mx, khi đó ta đi xét các trường
hợp của m.
∗ m = 0
Đường thẳng d giao với K theo đoạn thẳng có độ dài bằng 4.
∗ 0 < m ≤ 1
Đường thẳng d cắt K tại 2 giao điểm p(
4m + 2
m + 1
,
m(4m + 2)
m + 1
) và q(
−2
m + 1
,
−2m
m + 1
)
nằm trên biên x
2
− xy + 2x − 4y = 0, x
2

+ xy −2x − 4y = 0.
⇒
−→
pq = (−4, −4m)
18
⇒ |pq| = max{| −4|, | − 4m|} = 4.
∗ −1 ≤ m < 0
Tương tự, đường thẳng d cắt K tại 2 điểm nằm trên biên x
2
− xy + 2x − 4y = 0,
x
2
+ xy −2x − 4y = 0 có khoảng cách là 4.
∗ m > 1 hoặc m < −1
Đường thẳng d cắt K tại hai điểm nằm trên biên y = 3, y = −1 là p(
3
m
, 3), q(
−1
m
, 1)
⇒ |pq| = max{|
−4
m
|, | −4|} = 4.
Vậy theo định nghĩa cho thấy tập lồi K này là tập có dây cung đều.
Ví dụ 1.4.14. Cho OAB có các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1). Khi đó, các đỉnh
A, B là các điểm equichordal của OAB và các đường thẳng qua A hoặc B giao với
tam giác bởi các đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Vì vậy, OAB là tập có dây cung
đều.

Hình 1.17: Tập có dây cung đều.
1.5 Một vài mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt.
1.5.1 Mặt phẳng Taxicab.
Như chúng ta đã biết, mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là một trong những
mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt. Ngoài ra, còn có một số mặt phẳng
Minkowski với chuẩn đặc biệt khác như là mặt phẳng Taxicab. Sau đây, chúng tôi
sẽ giới thiệu về mặt phẳng này.
Mặt phẳng Taxicab là hình học phi Euclid được xét trong không gian 2 chiều với
19
mêtric được sử dụng là mêtric Taxicab. Mêtric Taxicab được kí hiệu d
T
(A, B) =
|a
1
− b
1
| + |a
2
− b
2
|, trong đó A(a
1
, a
2
), B(b
1
, b
2
) là các điểm bất kỳ nằm trong mặt
phẳng Taxicab.

Ví dụ 1.5.1. Cho hai điểm P (1, 2) và Q(−2, −2).
Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, khoảng cách giữa hai điểm P, Q là
µ([P, Q]) = max{|3|, |4|} = 4 nhưng trong mặt phẳng Taxcicab, khoảng cách giữa
hai điểm P, Q là d
T
(P, Q) = |3| + |4| = 7.
Nhận xét 1.5.2. Đường tròn bán kính a trong mặt phẳng Taxcicab chính là hình
vuông cạnh a trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”.
Đường tròn bán kính a trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” chính là hình
vuông cạnh 2a trong mặt phẳng Taxcicab.
Hình 1.18: Đường tròn trong mặt phẳng (X, d
T
) và trong mặt phẳng (X, |.|
∞
).
20
Chương 2
Một số bài toán cực trị trên mặt
phẳng Minkowski với chuẩn “max”.
2.1 Bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm.
Như chúng ta đã biết đường thẳng là nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai
điểm trong mặt phẳng Euclid. Vậy nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai
điểm trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là gì? Trong mục này chúng ta
sẽ đi tìm nghiệm của bài toán này.
Bổ đề 2.1.1. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, nếu P = [x
0
, x
1
, x
2

, , x
n
]
là đường gấp khúc thì x
n
− x
0

∞
≤

n
i=1
x
i
− x
i−1

∞
.
Hình 2.1: Đường gấp khúc.
Bổ đề 2.1.2. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, nếu c là một đường
cong nối hai điểm x và y thì µ([x, y]) ≤ µ(c).
Chứng minh. Trường hợp 1: Đường cong c không cắt đoạn thẳng [x, y].
∗ Nếu c là đường cong lồi thì µ([x, y]) ≤ µ(c). (theo Bổ đề 1.2.7)
∗ Nếu c là đường cong không lồi thì c chính là hợp của các đường cong lồi c
1
, c
2
, , c

k
.
21
Hình 2.2: Đường nối hai điểm x và y.
⇒ µ(c) = µ(c
1
) + µ(c
2
) + . . . + µ(c
k
).
Trong đó c
1
, c
2
, , c
k
lần lượt là các phần đường cong lồi của c nối x và y
1
, y
1
và
y
2
, ,y
k−1
và y.
Khi đó theo Bổ đề 1.2.7 ta có
µ([x, y
1

]) ≤ µ(c
1
);
µ([y
1
, y
2
]) ≤ µ(c
2
);
.
.
.
µ([y
k−1
, y]) ≤ µ(c
k
);
⇒µ([x, y
1
]) + µ([y
1
, y
2
]) + + µ([y
k−1
, y]) ≤ µ(c
1
) + µ(c
2

) + + µ(c
k
)
⇒x −y
1

∞
+ y
1
− y
2

∞
+ + y
k−1
− y
∞
≤ µ(c
1
) + µ(c
2
) + + µ(c
k
)
⇒x −y
∞
≤ µ(c) (theo Bổ đề 2.1.1)
⇒µ([x, y]) ≤ µ(c).
Trường hợp 2: Đường cong c cắt đoạn thẳng [x, y].
Giả sử đường cong c cắt đoạn thẳng [x, y] tại các điểm x = x

0
, x
1
, x
2
, , x
k−1
, y = x
k
.
Hình 2.3: Đường nối hai điểm.
Khi đó, µ([x, y]) = µ([x, x
1
]) + µ([x
1
, x
2
]) + + µ([x
k−1
, y]).
Gọi c
1
, c
2
, , c
k
lần lượt là các phần đường cong lồi của c nối x và x
1
, x
1

và x
2
, ,
x
k−1
và y.
Ta có µ(c) = µ(c
1
) + µ(c
2
) + + µ(c
k
).
22
Mặt khác, theo trường hợp 1 ta có
µ([x, x
1
]) ≤ µ(c
1
);
µ([x
1
, x
2
]) ≤ µ(c
2
);
.
.
.

µ([x
k−1
, y]) ≤ µ(c
k
);
Suy ra µ([x, x
1
]) + µ([x
1
, x
2
]) + + µ([x
k−1
, y]) ≤ µ(c
1
) + µ(c
2
) + + µ(c
k
).
Vậy µ([x, y]) ≤ µ(c).
Nhận xét 2.1.3. Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, đoạn thẳng là
nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm x và y nhưng nó không phải là
nghiệm duy nhất của bài toán này.
Chẳng hạn, đoạn thẳng AB và đường gấp khúc [A, M, N, B] là đường ngắn nhất nối
hai điểm A, B.
Hình 2.4: Đường ngắn nhất nối hai điểm.
Nhận xét 2.1.4. Nếu đường gấp khúc P là đường ngắn nhất nối hai điểm A, B thì
mọi đường cong lồi nối hai điểm A và B nằm trong miền trong bao bởi đoạn thẳng
AB và đường gấp khúc P cũng là đường ngắn nhất nối hai điểm A và B.

Thật vậy
Gọi c là đường cong lồi nối hai điểm A và B nằm trong miền trong bao bởi đoạn
thẳng AB và đường gấp khúc P . Khi đó, áp dụng Bổ đề 1.2.6, 1.2.9 ta có
AB ≤ µ(c) ≤ µ(P )
⇒AB ≤ µ(c) ≤ AB (vì µ(P ) = AB)
⇒µ(c) = AB.
23